teorema pi velocidade atrito tensao(1)

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ProfaDariana Lima
� Homogeneidade Dimensional da Equação de Bernoulli:
� Um bom exemplo de equação dimensionalmente homogênea:
� Os três termos aditivos têm as mesmas dimensões.
� Todo fenômeno representado por uma relação
dimensionalmente homogênea de n grandezas físicas,
na forma F(G1, G2, G3, .... Gn)=0, pode ser descrito
por uma relação de n-r grupos adimensionaispor uma relação de n-r grupos adimensionais
independentes, Φ(Π1, Π 2, Π 3, ..., Π n-r) = 0, onde r é
o número de grandezas básicas ou fundamentais
necessárias para expressar dimensionalmente as
variáveis Gi.
L [comprimento]
T [tempo]
M [massa]M [massa]
I [intensidade de corrente elétrica]
N [quantidade de matéria]
I O [intensidade luminosa]
� PASSO 1: Liste todos os parâmetros envolvidos. Define-se n como
o número de parâmetros envolvidos;
� PASSO 2: Expresse estes parâmetros em termos das grandezas
básicas. Define-se r como o número de grandezas básicas presentesbásicas. Define-se r como o número de grandezas básicas presentes
no problema;
� Na hidráulica, existem no máximo três grandezas fundamentais
necessárias para descrever cada variável de um fenômeno, a
saber: massa [M], comprimento [L] e tempo [T].
� PASSO 3: Selecione da lista um número r de parâmetros que, em
conjunto, incluam todas as dimensões primárias. Tome cuidado para que
estes parâmetros não sejam linearmente dependentes.
PASSO 4: Estabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros� PASSO 4: Estabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros
selecionados no passo anterior com cada um dos outros parâmetros para
formar grupos adimensionais. Geralmente, o número de equações
dimensionais é igual ao número de parâmetros menos o número de
dimensões primárias presentes no problema (n-r).
imlkii GGGGA
321 ααα=Π
Número real;
Expoentes a determinar pela imposição de homogeneidade;
Variáveis básicas;
Grandeza do fenômeno diferente das variáveis básicas;
321 ,, ααα
iG
iA
mlk GGG
� No fenômeno físico do escoamento de um
líquido real, com velocidade média V,
caracterizado pela sua viscosidade dinâmica µ
e massa específica ρ através de uma tubulaçãoe massa específica ρ através de uma tubulação
circular de diâmetro D, comprimento L e
coeficiente de rugosidade ε, a queda de
pressão ∆p ao longo do comprimento, pode ser
tratado pelo teorema dos Π’s.
� n = 7 e r = 3;
� n-r=4; 
),,,,,( εµρ LDVFp =∆
� n-r=4; 
� 4 grupos adimensionais independentes que 
descrevem o fenômeno;
),,,( 4321 ΠΠΠΠ=Φ F
ρ V D ∆p µ ε L
M 1
L -1
T -2
]..[]/[][ 212 −−==∆ TLMmNpExemplo:
ρ V D ∆p µ ε L
M 1 0 0 1 1 0 0
L -3 1 1 -1 -1 1 1
T 0 -1 0 -2 -1 0 0
20100
11130
10010
1
321
321
321
][][
][][
][][
−+−
−++−
+++
=
=
=
Π
ααα
ααα
ααα
TT
LL
MM
pDV ∆=Π 3211
αααρ
µρ βββ 3212 DV=Π
ερ γγγ 3213 DV=Π
LDV 3214
θθθρ=Π
1
1
−=
Π
α 1
2
−=
Π
β 0
3
=
Π
γ 0
4
=
Π
θ
0
2
1
3
2
1
=
−=
−=
α
α
α
1
1
1
3
2
1
−=
−=
−=
β
β
β
1
0
0
3
2
1
−=
=
=
γ
γ
γ
1
0
0
3
2
1
−=
=
=
θ
θ
θ
pDV ∆=Π −− 0211 ρ
p∆
=Π Número de Euler
21 V
p
ρ
∆
=Π Número de Euler
µρ 1112
−−−=Π DV
VDρ
µ
=Π2 Número de Reynolds
µ
ρVD
Rey =
VDρ
=Π2 Número de Reynolds
Rey
1
2 =Π
µ
Rey =
1
2
Rey
=Π
ερ γγγ 3213 DV=Π D
ε
=Π3 Rugosidade Relativa
LDV 3214
θθθρ=Π
D
L
=Π4
21 V
p
ρ
∆
=Π
D
ε
=Π3
VDρ
µ
=Π2
D
L
=Π4






=
∆
DD
LVD
F
V
p ε
µ
ρ
ρ
,,
2






=
∆
D
VD
F
D
L
V
p ε
µ
ρ
ρ
,.
2
f (fator de atrito)
se
Então: 
f
D
L
V
p
.
2
=
∆
ρ
Hp ∆=∆ γ
Então: 
Dg
LV
fH
2
2
=∆
Inserido para reproduzir a 
definição de carga cinética
Fórmula Universal da Perda de 
Carga ou
Equação de Darcy- Weisbach
Dg
LV
fH
2
2
=∆
0τ
θ
z1
z2ALW γ=
L
zz
sen 12
−
=θ
� Força de pressão:
� Força de gravidade:
F
P
=PA
ALW γ=
� Força de cisalhamento: LPF sc 0τ=
0021 =−−−=∑ θγτ ALsenLPAPAPF Sx
Aγ Aγ
0
)( 12021 =
−
−−−
L
zz
A
AL
A
LP
A
AP
A
AP S
γ
γ
γ
τ
γγ
A
LP
z
P
z
P S
γ
τ
γγ
0
2
2
1
1 =





+−





+
A
LP
H S
γ
τ 0=∆
Pm
A
RH =
L
H
J
∆
=
Com
Temos
RAIO HIDRÁULICO PERDA DE CARGA 
UNITÁRIA
e
HR
L
H
γ
τ 0=∆ JRHγτ =0
Temos
ProfaDariana Lima 
� Considere o escoamento de um fluido real,
incompressível, em regime permanente,
através de uma tubulação circular de
diâmetro constante e área A. As forças quediâmetro constante e área A. As forças que
atuam sobre o fluido são:
0τ
θ
z1
z2ALW γ=
L
zz
sen 12
−
=θ
� Força de pressão:
� Força de gravidade:
F
P
=PA
ALW γ=
� Força de cisalhamento: LPF sc 0τ=
0021 =−−−=∑ θγτ ALsenLPAPAPF Sx
Aγ Aγ
0
)( 12021 =
−
−−−
L
zz
A
AL
A
LP
A
AP
A
AP S
γ
γ
γ
τ
γγ
A
LP
z
P
z
P S
γ
τ
γγ
0
2
2
1
1 =





+−





+
A
LP
H S
γ
τ 0=∆
Pm
A
RH =
L
H
J
∆
=
Com
Temos
RAIO HIDRÁULICO PERDA DE CARGA 
UNITÁRIA
e
HR
L
H
γ
τ 0=∆ JRHγτ =0
Temos
HR
L
H
γ
τ 0=∆
Dg
LV
fH
2
2
=∆
LLV τ2
HR
L
Dg
LV
f
γ
τ 0
2
2
=
8
0
*
f
Vu ==
ρ
τ
Velocidade de atrito [m/s]