ED-Funções-2013

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Estruturas Discretas
Funções
2º. Semestre 2013
HAC ED 2013 1
Funções
• Uma função é uma regra ou um mecanismo que transforma uma 
quantidade em outra ou, dito de outra forma, transforma uma 
entrada em uma saída.
x
HAC ED 2013 2
f
y
Uma função pode ser encarada como uma máquina, em que se
introduz uma entrada, aperta-se um botão e uma resposta é
obtida.
Entradas e Saídas
• As entradas e saídas de uma função muitas vezes são 
números, mas podem ser outros objetos, como:
– cadeias de caracteres, – cadeias de caracteres, 
– figuras geométricas,
– conjuntos,
– outros objetos.
HAC ED 2013 3
Propriedade da Consistência
• É essencial que a função forneça sempre a mesma resposta 
para a mesma entrada. 
• Assim, se uma determinada saída for gerada quando uma 
entrada for introduzida em uma função, essa mesma saída entrada for introduzida em uma função, essa mesma saída 
terá que ser obtida sempre que essa mesma entrada for 
novamente apresentado à função. 
• Essa é uma propriedade básica da função e é chamada de 
propriedade da consistência.
HAC ED 2013 4
Definição de funções
A função pode ser definida:
• Por uma regra geral que define explicitamente como gerar saídas a 
partir das entradas. 
– Por exemplo, podemos definir uma função que, dado um número natural, calcula e 
“devolve” como saída o dobro desse número. O cálculo do dobro é então a regra “devolve” como saída o dobro desse número. O cálculo do dobro é então a regra 
pela qual eu obtenho a saída, a partir da entrada. 
– Essa é a forma mais conhecida de definir uma função
• Como um conjunto de pares de entrada e saída sem definição da 
regra que associa as entradas às saídas. 
HAC ED 2013 5
Definições de função por uma regra geral
• Quando a função é definida por uma regra de associação entre entradas 
e saídas, essa função é expressa por uma fórmula matemática.
• Nesse caso usamos variáveis para representar os valores de entrada e 
de saída. 
• Por exemplo - Função quadrado:
• f(x) = x2 (x é a variável e f é a função – Lê-se: f de x é igual a x 
elevado ao quadrado).
• x → x2 (x “vai em” x2)
• y = x2 ( x representa o valor de entrada e y representa o valor 
de saída, calculado a partir de x. Por essa razão dizemos que x é a 
variável independente e y é a variável dependente nessa função)
HAC ED 2013 6
Definição de função como um conjunto de pares
Definição genérica de função
• Podemos definir função, que chamamos de f, como um 
tipo especial de relação (conjunto de pares ordenados) 
afirmando que:
• Uma relação f é chamada função desde que • Uma relação f é chamada função desde que 
(a,b) ∈ f e (a,c) ∈ f implique b=c.
(Para nomes de funções são usadas as letras do meio do 
alfabeto, como f, g, h.)
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• Restrição básica que se impõe a uma relação para que ela seja também 
uma função:
não é possível ter mais de um par de valores com o primeiro elemento 
igual e o segundo diferente. igual e o segundo diferente. 
• Isso equivale a dizer que a função tem que satisfazer a propriedade da 
consistência:
não é permitido que a mesma entrada gere saídas diferentes.
HAC ED 2013 8
Exemplos
• f = {(1,2), (2,3), (3,1), (4,7)} 
é uma função, pois não existe mais de um par com o primeiro elemento 
igual.
• g = {(1,2), (1,3), (4,7)} 
não é uma função, pois os pares (1,2) e (1,3) estão na relação, o que não 
satisfaz a restrição colocada anteriormente, para que uma relação 
seja uma função.
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Notação de função
• A notação na forma de pares, como se usa para relações, não é a 
preferida quando tratamos de funções. 
• Podemos definir a notação de função como:
• Seja f uma função e seja a um objeto. A notação f(a) é definida 
desde que exista um objeto b tal que (a,b) ∈ f. Nesse caso, f(a) = b. 
Se não existir par ordenado (a, -) em f, f(a) não está definida.
• Logo, a notação (1,2) ∈∈∈∈ f é equivalente a notação f(1) = 2.
HAC ED 2013 10
Exemplos
• Na função f = {(1,2), (2,3), (3,1), (4,7)} 
temos:
f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1, f(4) = 7.
• b) Na função g = {(1,2), (3,2), (4,7)} 
temos:
f(1) = 2, f(3) = 2, f(4) = 7.
HAC ED 2013 11
Domínio e Imagem
• Seja f uma função. 
• O conjunto de todos os primeiros elementos possíveis dos 
pares ordenados de f é chamado de domínio de f, denotado 
por dom f. por dom f. 
• O conjunto de todos os segundos elementos possíveis dos 
pares ordenados de f se chama imagem de f, denotado por im 
f.
HAC ED 2013 12
• Em outra notação:
dom f = {a | ∃b, (a, b) ∈ f} e 
im f = {b | ∃a, (a, b) ∈ f} 
ou
dom f = {a | f (a) está definido} e 
im f = {b | b = f(a) para algum a} 
HAC ED 2013 13
Exemplos
• a) f = {(1,2), (2,3), (3,1), (4,7)} 
dom f = {1, 2, 3, 4} e im f = {2, 3, 1, 7}
• b) f = {(1,a), (2,b), (3,c), (4,a), (5,c)} • b) f = {(1,a), (2,b), (3,c), (4,a), (5,c)} 
dom f = {1, 2, 3, 4, 5} e im f = {a, b, c}
HAC ED 2013 14
• c) f = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5)} 
dom f = {1, 2, 3, 4, 5} e im f = {1, 2, 3, 4, 5} 
• d) f = {(x,y)| x, y ∈ Z, y = x2}
O domínio de f é o conjunto de todos os inteiros;O domínio de f é o conjunto de todos os inteiros;
A imagem de f é o conjunto de todos os quadrados perfeitos.
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Função de um conjunto A para um conjunto B
• Até este momento tratamos uma função como um 
conjunto de pares e definimos o domínio e a imagem de 
uma função. Agora vamos definir uma função de um 
conjunto para outro.
• Seja f uma função e sejam os conjuntos A e B. Dizemos 
que f é uma função de A para B se 
dom f = A e im f ⊆ B. Escrevemos:
f : A → B
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•Dizemos também que:
“f é uma aplicação de A em B”.
HAC ED 2013 17
•O conjunto B pode ser chamado de contra-domínio 
de f.
Exemplo
• Sejam A ={ a, b, c, d} e B = {r, s, t, u}. 
• Definimos uma função f de A para B por:
f : A → B
f = {(a,s), (b,u), (c,r), (d,s)}
• Note que a imagem de f está contida em B, mas não é exatamente igual a 
B: 
im f = {r, s, u}.
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Representação gráfica de funções
• Existem duas formas para se representar graficamente as 
funções: 
• Gráficos no plano cartesiano:Gráficos no plano cartesiano:
– São maneiras de visualizamos funções cujas entradas e saídas são 
números reais. 
• Diagramas de setas:
– São usados para representar funções sobre conjuntos finitos ou 
sobre os conjuntos N e Z.
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Gráficos de funções de R para R
• Considere uma função f de R para R. A função f é um conjunto 
de pares e f é um subconjunto de R × R = R2 . 
• R2 pode ser representado pelo conjunto de pontos no plano. 
Para traçar o gráfico de uma função, marcamos um ponto no Para traçar o gráfico de uma função, marcamos um ponto no 
plano das coordenadas (x,f(x)) para todo x ∈ dom f. 
• Os valores de entrada da função são assinalados no eixo x e 
os valores de saída são assinalados no eixo y.
HAC ED 2013 20
y
f f
a) f : R → R
f(x) = x+2
b) f : R → R
f(x) = x2
HAC ED 2013 21
xx
y=f(x)=x+2
y=f(x)=x2
x
Gráficos de funções a) f(x) = x+2; b) f(x) = x2
a) b)
x
Teste da reta vertical
• Para que f seja uma função, é necessário que cada entrada x esteja 
associada a apenas uma saída y. 
• Com a representação gráfica podemos verificar se um gráfico representa 
uma função, usando o teste da reta vertical: 
• qualquer reta vertical traçada no plano só pode interceptar o gráfico de 
uma função no máximo em um ponto. 
• De fato, se uma reta vertical interceptar o gráfico da função em mais de 
um ponto, significa que existe mais de um valor de saída associado a 
cada valor de entrada. 
HAC ED 2013 22
Representação gráfica para funções 
sobreconjuntos finitos
• Para conjuntos A e B finitos, a maneira de representar graficamente 
funções f: A → B é pelo diagrama de setas, semelhante ao usado 
para representar relações.
• Desenha-se um conjunto de pontos para A, à esquerda e um 
conjunto de pontos para B à direita. conjunto de pontos para B à direita. 
• Traça-se uma seta de a para b quando f(a) = b. 
• Todo ponto à esquerda (em A) tem exatamente uma seta partindo 
dele e terminando à direita (em B).
• É possível que um ou mais elementos de B não sejam apontados por 
nenhum seta no diagrama. 
HAC ED 2013 23
Exemplo
a
b
r
s
f: A → B
f = {(a,s), (b,u), (c,r), (d,s)}
HAC ED 2013 24
b
c
d
s
t
u
A B
Diagrama de setas da função f do Exemplo
Observação
• Nem todas as funções podem ser representadas adequadamente 
com gráficos, seja o gráfico de coordenadas ou o diagrama de setas. 
Por exemplo:
f : 2A→ N definida por f(x) = |x| 
• (A cada subconjunto x de A, a função f associa um número natural 
que é o seu tamanho.)
• Não há maneira prática de representar essa função como um gráfico.
HAC ED 2013 25
Função Identidade
• Seja A um conjunto qualquer. 
• A função de A em A que associa cada elemento a si mesmo é dita 
função identidade em A, usualmente denotada por 1A.
1A(a) = a
• Exemplo :
Seja A = R. 
A função identidade sobre os reais é a função 1R(x) = x
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Gráfico
y
f
y=f(x)=x
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xx
y=f(x)=x
Gráfico da função identidade.
Composição de funções
• Operações podem ser aplicadas sobre funções, produzindo, como 
resultado, novas funções. 
• A composição de funções é uma operação sobre funções
• Considere as funções f: A → B e g: B → C. 
• Podemos definir uma nova função de A para C, denominada 
composição de f e g denotada por g ° f como:
(g ° f) (a) ≡ g(f(a))
HAC ED 2013 28
• A composição de funções g ° f corresponde a aplicação das duas 
funções originais em sequência: aplicação da função f e, em seguida, 
aplicação da função g no resultado obtido com a aplicação da f.
• Para aplicar a composição, um dos requisitos necessários é que a 
imagem da primeira função esteja contida no domínio da segunda imagem da primeira função esteja contida no domínio da segunda 
função. 
• O resultado da composição é uma nova função h de A para C, ou 
seja:
h: A → C com h(a) = g(f(a)).
HAC ED 2013 29
Exemplo
A = {1, 2, 3} B = {2, 4, 6, 8} C = {a, b, c}
f: A → B com f = {(1,2), (2,4), (3,6)}
g: B → C com g = {(2,a), (4,c), (6,a), (8,b)}
Como a composição de f e g é definida por (g ° f) (a) = g(f(a)), temos:
(g ° f) (1) = g(f(1)) = g(2) = a
(g ° f) (2) = g(f(2)) = g(4) = c
(g ° f) (3) = g(f(3)) = g(6) = a
Logo, (g ° f) : A → C com (g ° f) = {(1,a), (2,c), (3,a)}
HAC ED 2013 30
• A função f está definida para todos os elementos do domínio A – o que é 
uma exigência da definição de funções – mas tem um elemento 
“sobrando” no conjunto B. 
• Essa situação pode ocorrer e não impede o cálculo da composição das 
duas funções. 
• Já a função g está também definida sobre todos os elementos de B (dom g 
= B), mas não é necessário que esteja para calcular a composição.
• Quando a composição de f e g é calculada, notamos que a função (g ° f) 
está definida para todos os elementos de A, mas fica “sobrando” o 
elemento b em C, ou seja, nenhuma entrada da função composta (g ° f) 
gera como resultado o valor b.
HAC ED 2013 31
Exemplo
f: Z → Z com f(x) = x+1
g: Z → Z com g(x) = x2
(g ° f) : Z → Z 
(g ° f) (x) = g(f(x)) = g(x+1) = (x+1)2
h(x) = (g ° f) (x) = (x+1)2
HAC ED 2013 32
• Situações particulares acontecem quando a composição 
de funções envolve a função identidade. Considere uma 
função qualquer 
f: A → B. Então,
f ° 1A = f e 1B ° f = f
• onde 1A e 1B são as funções identidade em A e B, 
respectivamente.
HAC ED 2013 33
Funções Inversas
• Funções inversas são calculadas de forma semelhante às relações 
inversas. 
• Funções são relações de um tipo especial, logo, podemos também 
considerar a inversa de uma função f, denotada por f-1, invertendo a 
ordem dos pares da função.ordem dos pares da função.
• Se f é uma função de A para B, f -1 será uma função de B para A?
• Nem sempre a inversa de uma função é também uma 
função
HAC ED 2013 34
Exemplo
Sejam A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {5, 6, 7, 8, 9}
f: A → B
f = {(0,5), (1,7), (2,8), (3,9), (4,7)}
Calculando a f -1:Calculando a f -1:
f -1 = {(5,0), (7,1), (8,2), (9,3), (7,4)}
HAC ED 2013 35
• Não é uma função por duas razões:
• 1) Tanto (7,1) como (7,4) estão em f -1 , o que fere a propriedade de 
consistência de funções, já que temos o mesmo valor de entrada 7 
levando a duas saídas diferentes, 1 e 4.
• 2) dom f -1 = {5, 7, 8, 9} ≠ B, o que significa que f -1 não está definida para 
todos os elementos do domínio, que é o conjunto B. Nesse exemplo, f -1
não está definida para o elemento 6.
HAC ED 2013 36
• A inversa de uma função f de A para B não é necessariamente uma função 
de B para A. 
• A inversa de f será uma função se a função f tiver certas características 
específicas, caso contrário, sua inversa será uma relação. 
HAC ED 2013 37
Propriedades de Funções
• Função injetiva
• Uma função f: A → B é dita injetiva (ou injetora, ou um-
a-um), denotada por 1-1, se elementos diferentes do 
domínio A têm imagens distintas, ou seja, se f(a) = f(b) domínio A têm imagens distintas, ou seja, se f(a) = f(b) 
implica a = b. Em outras palavras, se a ≠ b, então f(a) ≠
f(b). 
• Uma função injetiva também é chamada de injeção.
HAC ED 2013 38
Exemplos
A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5}. 
f : A → B
f = {(1,2), (2,5), (3,1), (4,4)}
É injetiva, pois não tem mais que um par com o primeiro elemento 
diferente e o segundo elemento igual.diferente e o segundo elemento igual.
A = {a, b, c, d} e B = {r, s, t, u}. 
f : A → B
f = {(a,s), (b,u), (c,r), (d,s)}
NÃO é injetiva, pois o elemento a e o elemento d do conjunto A levam 
ao mesmo elemento s do conjunto B.
HAC ED 2013 39
a
b
c
r
s
t
1
2
3
1
2
HAC ED 2013 40
d
t
u
A B
Diagrama de setas das funções do Exemplo
3
4
3
4
5
A B
Função injetiva – cada elemento de 
B tem uma só seta chegandp nele
Função NÃO injetiva – elemento s 
tem duas setas chegandp nele
Esquema de prova
Provar que uma função é um-a-um
• Mostrar que f é um-a-um:
• Método direto:
• Supor que f(x) = f(y) e mostrar que x = y.
• Contrapositiva:
• Supor que x ≠ y, e mostrar que f(x) ≠ f(y). 
• Contradição:
• Supor que f(x) = f(y) e que x ≠ y, mostrar que chega a uma 
contradição
HAC ED 2013 41
Exemplos
a) Seja f : Z → Z definida por f(x) = 3x+4
Mostrar que f é um-a-um:
Sejam x e y inteiros. Suponhamos f(x) = f(y).
Então 3x+4 = 3y+4. Então 3x+4 = 3y+4. 
Sobtraindo 4 de ambos os lados, temos 3x = 3y.
Dividindo ambos os lados por 3, temos x = y.
Portanto, f é um-a-um.
HAC ED 2013 42
Função sobrejetiva
• Uma função f: A → B é dita sobrejetiva (ou sobrejetora, 
ou sobre) se todo elemento de B é imagem de algum 
elemento de A, ou seja, para todo b ∈ B, existe um a ∈ A 
tal que f(a) = b, ou ainda, se im f = B. 
• Uma função sobrejetiva também é chamada de 
sobrejeção.
HAC ED 2013 43
Exemplo
a) A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {5, 7, 8, 9}
f: A → B
f = {(0,5), (1,7), (2,8), (3,9), (4,7)}
É sobrejetiva, pois todos os elementos de B são imagem de algum 
elemento de A.elemento de A.
b) A ={ a, b, c, d} e B = {r, s, t, u}. 
f : A → B
f = {(a,s), (b,u), (c,r), (d,s)} 
NÃO é sobrejetiva, pois o elemento t ∈ B não é imagem de nenhum 
elemento de A.
HAC ED 2013 44
Exemplo
c) f: R → R
f (x) = x-1
É sobrejetiva,pois todos os elementos de R são imagem de algum 
elemento de R.
d) f : Z → Z
f (x) = 2x
NÃO é sobrejetiva, pois os elementos ímpares não são imagem de 
nenhum elemento de Z.
HAC ED 2013 45
Esquema de prova
Provar que uma função é sobre
• Mostrar que f: A → B é sobre:
• Método direto:
– Seja b um elemento arbitrário de B. Explicar como achar ou construir – Seja b um elemento arbitrário de B. Explicar como achar ou construir 
um elemento de a de modo que f(a) = b.
HAC ED 2013 46
Exemplo
f: Z → Z com f (x) = x-1
Seja y um elemento arbitrário de Z.
Seja x = y+1.
Então f(x) = f(y+1) = y+1-1 = y.
Logo, f é sobrejetiva.Logo, f é sobrejetiva.
f : Z → Z com f (x) = 2x
Seja y = 3. Vamos tentar encontrar x tal que f(x) = 3.
Se f(x) = 3, então 2x = 3. Como 3 é ímpar, não existe x inteiro tal que 
2x=3.
Logo, f não é sobrejetiva.
HAC ED 2013 47
Função inversível
• Uma função f: A → B é dita inversível se a relação inversa é uma 
função de B para A.
• Para afirmar que a inversa de uma função também é uma função, 
precisamos das propriedades de funções conhecidas. 
Teorema 
• Uma função f: A → B é inversível se e somente se f é injetiva e 
sobrejetiva. 
HAC ED 2013 48
Função bijetiva
• Quando as propriedades de injetividade e sobrejetividade estão presentes 
ao mesmo tempo, temos um caso específico chamado de bijetividade.
• Uma função f: A → B uma função bijetiva (ou bijetora) se é ao mesmo 
tempo injetiva e sobrejetiva.
• A função bijetiva é chamada de bijeção.
HAC ED 2013 49
Exemplo
a) A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {a, b, c, d, e}
f = {(1,a), (2,e), (3,b), (4,c), (5,d)}
É bijetiva.
b) Seja A o conjunto dos inteiros pares eb) Seja A o conjunto dos inteiros pares e
B o conjunto dos inteiros ímpares.
A função f: A → B definida por f(x) = x+1 é uma bijeção.
HAC ED 2013 50
Esquema de prova
Provar que f é bijetiva
• Provar que f: A → B é uma bijeção:
– Provar que f é um-a-um.
– Provar que f é sobre.– Provar que f é sobre.
HAC ED 2013 51
Exemplo
Seja A o conjunto dos inteiros pares e B o conjunto dos inteiros ímpares. A 
função f: A → B definida por f(x) = x+1 é uma bijeção.
Para provar que f é uma bijeção, Devemos provar que f é um-a-um e 
sobre.
• Provar que f é um-a-um:• Provar que f é um-a-um:
– Suponhamos f(x) = f(y) com x e y inteiros pares.
– Então f(x) = f(y) ⇒ x+1 = y+1 ⇒ x = y . Logo, f é um-a-um.
• Provar que f é sobre:
– Seja b um inteiro ímpar. Por definição, b = 2k+1 para algum inteiro k.
– Seja a = 2k. Obviamente, a é par. 
– Então f(a) = a+1 = 2k + 1 = b. Logo, f é sobre.
• Como f é um-a-um e é sobre, f é uma bijeção.
HAC ED 2013 52
Funções sobre conjuntos finitos e propriedades
• Queremos verificar qual a relação entre o número de elementos de A e B e 
as propriedades de funções.
• Vamos verificar algumas situações possíveis sempre com A e B finitos, 
sendo |A| = a e |B| = b. Nessas condições podemos afirmar:
• Se |A| > |B| então f não pode ser um-a-um. 
• Se |A| < |B| então f não pode ser sobre.
HAC ED 2013 53
Proposição 
Sejam A e B conjuntos finitos e seja f : A → B. Se |A| > |B|, então f não 
é um-a-um. Se |A| < |B|, então f não é sobre.
Como decorrência dessa proposição, podemos afirmar que: 
se f : A → B é um-a-um, então |A| ≤ |B| e 
se f : A → B é sobre, então |A| ≥ |B|.
HAC ED 2013 54
O que podemos afirmar sobre o número de elementos de A e B 
se a função for bijetiva? A próxima proposição dá a resposta 
para essa pergunta.
ProposiçãoProposição
Sejam A e B conjuntos finitos e seja f : A → B. 
Se f é uma bijeção, então |A| = |B|.
HAC ED 2013 55
Algumas Funções Especiais
Funções Floor e Ceiling
A função Floor (ou piso) associa um número real ao maior valor inteiro que não 
ultrapasse esse valor real. 
A função ceiling (ou função teto) associa um número real ao menor valor inteiro A função ceiling (ou função teto) associa um número real ao menor valor inteiro 
que ultrapasse esse valor real. 
Seja x um número real qualquer. Então x está entre dois inteiros:
x , dito floor de x, denota o maior inteiro n tal que n ≤ x.
 x, dito ceiling de x, denota o menor inteiro n tal que n ≥ x (n não é 
menor do que x).
HAC ED 2013 56
Se x é um inteiro, x = x = x; 
caso contrário, x + 1 = x.
Exemplos:
3,14 = 3 -8,5 = -9 3 = 3
3,14 = 4 -8,5 = -8 3 = 3
HAC ED 2013 57
Função valor inteiro
Seja x um número real qualquer. O valor inteiro de x, escrito INT(x), converte 
x em um inteiro truncando a parte fracionária do número.
INT(3,17) = 3
INT(-8,5) = -8
Observe que INT(x) = x se x é positivo e
INT(x) = x se x é negativo.
HAC ED 2013 58
Função valor absoluto
O valor absoluto de um número real x, denotado por ABS(x), ou |x| é 
definido como sendo o maior dos valores entre x e –x. 
Observe que ABS(0) = 0
ABS(x) = x para x positivo, x ≠ 0
ABS(x) = -x para x negativo, x ≠ 0ABS(x) = -x para x negativo, x ≠ 0
|x| = |-x|
Exemplos: |-15| = 15, |6| = 6, |4,56| = 4,56
HAC ED 2013 59