aula 08

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Pag *
AULA 08 – Função Quadrática
Definição de Função Quadrática
Um clube dispõe de um campo de futebol de 100 m de comprimento por 70 m de largura e, por medida de segurança, decidiu cercá-lo, deixando entre o campo e a cerca uma pista com 3 m de largura. Qual é a área do terreno limitado pela cerca?
Pag *
Pag *
AULA 08 – Função Quadrática
A cada largura x escolhida para a pista há uma área:
A(x) = (100 + 2x)(70 + 2x) = 7000 + 200x + 140x + 4 x 
= 4x + 340x + 7000
Esta é uma função polinomial do 2° grau ou função quadrática.
Area da região cercada: 
(100 + 2 . 3) (70 + 2 . 3) 
= 106 . 76 = 8 056 m
Se a largura da pista fosse de 4 m:
(100 + 2 . 4) (70 + 2 . 4) = 108 . 78 
= 8 424 m
2
2
2
2
Pag *
Pag *
AULA 08 – Função Quadrática
f(x) = 2x + 3x + 5 onde a = 2, b = 3, c = 5
f(x) = 3x - 4x + 1 onde a = 3, b = - 4, c = 1
f(x) = x -1 onde a = 1, b = 0, c = -1
f(x) = - x + 2x onde a = -1, b = 2, c = 0
f(x) = - 4x onde a = - 4, b = 0, c = 0
Função quadrática ou polinomial de 2° grau :
f(x) = ax + bx + c
onde a, b, c, são números reais e a ≠ 0.
2
2
2
2
2
2 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Função Quadrática - Exercícios
Pag *
Pag *
Prof. Claudio Maciel
BEM-VINDO À DISCIPLINA
MATEMÁTICA PARA NEGÓCIOS
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Função Quadrática - Exercícios
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Função Quadrática - Raízes
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Função Quadrática - Gráfico
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Função Quadrática - Gráfico
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Função Quadrática - Exercícios
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Função Quadrática - Exercícios
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Valores Máximo e Mínimo
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Valores Máximo e Mínimo
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Valores Máximo e Mínimo
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Função Receita Quadrática
Exemplo: 
Uma indústria fabrica um tipo de produto, que é vendido ao preço unitário x reais. Considerando que a receita mensal é dada pela equação 
R(x) = 80000x - 8000x 
Para ser gerada uma receita mensal de R$200.000, por quanto cada unidade deve ser vendida? 
2
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Função Receita - Solução
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Função Lucro Exercícios
1. Ache a função Custo de produção (C) para a produção de camisas. Sabe-se que Isso depende do preço de venda da quantidade de camisas produzidas.
Resposta: O custo C para estampar x camisetas é dado por:
C(x) = 1650 + 7,50x.
AULA 08 
Pag *
Pag *
O lucro na venda de x camisas é dado por:
L(x) = x² + 2x – 3 Pede-se:
a) o lucro na venda de 10 unidades do produto.
b) a quantidade vendida para um lucro zero.
c) a quantidade vendida para que um lucro maior possível.
d) o gráfico de L(x).
AULA 08 – Função Lucro Exercícios
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Função Lucro - Solução
Substituir x por 10: L(10) = 100 + 10 – 1 = R$109,00
 x² + 2x – 3 = 0  Aplicando Bhaskara: raízes são: 1 e -3. 
Por ser negativa, (-3) tem que ser desprezada. 
Então, x = 1, isto é, preciso vender 1 unidade para o lucro ser zero.
Quanto mais venda, maior o lucro (não há limite)
Resposta: O custo C para estampar x camisetas é dado por:
C(x) = 1650 + 7,50x.
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Valores Máximo e Mínimo
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Inequações de 2º grau 
Para resolver inequações do segundo grau, precisamos, antes, recordar que as inequações de primeiro grau são resolvidas, seguindo-se o mesmo procedimento utilizado na resolução das equações de primeiro grau.
x² – 3x – 4 > 0 .... (então y > 0 ... a função x² – 3x – 4 = y)
igualando a equação a 0 para calcular as raízes:
x² – 3x – 4 = 0  x1 = -1 e x2 = 4. 
Para determinar o ponto em que a parábola corta o eixo y, temos que fazer x = 0. Logo: y = - 4
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Inequações de 2º grau 
Cálculo do vértice da parábola (ponto máximo ou mimo). 
Abcissa = - b / 2 = - (- 3 / 2) = 1,5
Ordenada = - (b - 4ac) / 4a = - (9 + 16) / 4 = - 25 / 4 = - 6,25
De posse dos quatro pontos calculados: -1, 4, - 4 e o vértice (1,5 ; - 6,25): 
2
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Inequações de 2º grau 
Vamos analisar a inequação: x² – 3x – 4 > 0 
Como y > 0, só interessa a parte positiva da função, i.e, a parte da curva em que X1< -1 ou que x > 4, que representam os pontos da curva a partir dos quais y se torna positivo.
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Estudo do sinal da função
A função x² – 3x – 4 > 0 é côncava para cima, pois a > 0 
Logo, os valores de x que fazem com que a expressão seja positiva são x < –1 ou x > 4. E o conjunto.
A > 0
S = {x R | –1 > x > 4} 
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Estudo do sinal da função - Exercício
- x² + 5x – 6 ≥ 0
- x² + 5x – 6 = 0
Achando as raízes: x1 = 2 e x2 = 3 Estudo do sinal (a função é côncava para baixo, pois a < 0): 
A < 0
S = {x R | 2 ≤ x ≤ 3 }
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Estudo do sinal da função - Exercício
- x² + 4x – 4 ≥ 0  - x² + 4x – 4 = 0
Achando as raízes: x1 = 2 e x2 = 2 Estudo do sinal (a função é côncava para baixo, pois a < 0): 
A função é toda negativa, exceto no ponto x = 2, onde ela é nula. O único ponto que faz parte da solução é x = 2. 
 A solução é S = {2} 
AULA 08 
Pag *
Pag *
AULA 08 – Exercícios
Esboce o gráfico de cada uma das funções:
y = x² 		
y = 2x² 		
y = – x² 		
y = – 2x²
y = x² – 2x		
y = – x² + 3x 
AULA 08 
Pag *
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*