Trabalho 2

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Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Diretoria de Graduação e Educação Profissional
Departamento Acadêmico de Matemática
Trabalho 2 de Cálculo Diferencial e Integral 2 - 10/10/2013
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Apresente as contas de modo organizado e, se necessário, justifique sua resposta.
1. (a) Ao escrever o símbolo
lim
(x,y)→(0,0)
f(x, y) = L
o que, precisamente, se está querendo afirmar? Como se mostra que esse limite não existe?
(b) Determine se existe ou não lim
(x,y)→(0,0)
xy3
x2 + y6
.
2. (a) O que afirma o Teorema de Clairaut?
(b) Seja
f(x, y) =

xy3
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
Determine se fxy(0, 0) = fyx(0, 0).
3. O plano 4x− 3y + 8z = 5 intercepta o cone z2 = x2 + y2, determinando uma elipse.
(a) Faça, no mesmo sistema de coordenadas, os gráficos do cone, do plano e da elipse.
(b) Use o método dos multiplicadores de Lagrange para achar os pontos da elipse mais próximo e
mais longe da origem.
4. Considere a aplicação f : R2 →: R2 dada por f(x, y) = 3x− x3 − 2y2 + y4.
(a) Determine a função hessiana de f em (x, y).
(b) Encontre, se existir, pelo menos um ponto de máximo local, um ponto de mínimo local e um
ponto-sela de f .
5. Uma lâmina, de massa m, ocupa a região circular x2 + y2 = 2y, mas fora do círculo x2 + y2 = 1.
Determine o centro de massa se a densidade σ for proporcional à distância do ponto à origem.
6. Calcule o volume do sólido Ω compreendido entre os parabolóides z = 5x2 + 5y2 e z = 6− 7x2 − y2.
7. (a) Seja D a região do plano, cuja fronteira é formada por xy = pi, xy = 2pi, xy4 = 1 e xy4 = 2. Ache
¨
D
sen(xy) dA
(b) Calcule
ˆ 1
0
ˆ 1
0
emax{x
2,y2} dy dx, onde max{x2, y2} significa o maior dos números x2 e y2.
8. Determine o momento de inércia de uma esfera sólida, de raio R e massa M , em relação a uma reta
passando por seu centro.
9. Determine o volume e a coordenada z do centro de massa do sólido Ω que está acima do conez =
(x2 + y2)
1/2
e abaixo da esfera x2 + y2 + z2 = 1.
10. Utilize a transformação x = u2, y = v2, z = w2 para determinar o volume da região limitada pela
superfície x1/2 + y1/2 + z1/2 = 1 e pelos planos coordenados.
11. A base de um aquário, sem tampa e com volume V , é feita de ardósia. Os lados do aquário são
feitos de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a cinco vezes o preço do vidro,
determine as dimensões do aquário para minimizar o custo do material.
12. Determine se o que se afirma é verdadeiro (V) ou falso (F). Explicite o(s) motivo(s) que permitem
concluir que a assertiva é falsa ou verdadeira.
(a) ( ) Se u = xy, então
x
y
· ∂u
∂x
+
1
lnx
· ∂u
∂y
= 2u.
(b) ( ) Se a equação F (x, y, z) = 0 define implicitamente cada uma das três variáveis x, y e z
como função das outras duas, então
∂z
∂x
· ∂x
∂y
· ∂y
∂z
= 1
(c) ( ) Se z = f(x, y), x = r cos θ e y = r sen θ, então
∂2z
∂x2
+
∂2z
∂y2
=
∂2z
∂r2
+
1
r2
· ∂
2z
∂θ2
+
1
r
· ∂z
∂r
2