cad_C2_exercicios_3serie_4opcao_2bim_matematica

Prévia do material em texto

1. Represente, utilizando as figuras dadas a seguir, os afixos das raízes 
a) quadradas de 4
b) quartas de 16
c) oitavas de 256
RESOLUÇÃO
a) 
2. (UNIP) – Os afixos das raízes sextas do número 64 são, no plano
complexo, os vértices de um polígono regular, cuja área vale:
a) 2���3 b) ���6 c) 6���3 d) 3���3 e) 10���3 
RESOLUÇÃO:
Uma das raízes sextas de 64 é igual a 2. Os afixos dessas raízes pertencem
à circun ferên cia de centro na origem e raio 2 e são vértices de um hexágono
regular, cujo lado mede 2.
22 . ���3 
A área desse polígono é 6 . –––––––– = 6���3
4
Resposta: C
MÓDULO 16
RADICIAÇÃO EM �
b)
c)
FRENTE 1 – ÁLGEBRA
– 1
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 1
3. O número w = 2(cos 6° + i sen 6°) é uma raiz décima de z. Então z
é igual a 
a) 210(cos 30° + i sen 30°) b) 210(cos 36° + i sen 368)
c) 210(cos 60° + i sen 60°) d) 210(cos 66° + i sen 66°)
e) 210(cos 72° + i sen 72°)
RESOLUÇÃO:
Se w é raiz décima de z, então w10 = z.
Logo, z = 210 . [cos(10 . 6°) + i sen(10 . 6°)] = 210(cos 60° + i sen 60°)
Resposta: C
4. Ache as raízes cúbicas de z = 8(cos 60° + i sen 60°)
RESOLUÇÃO:
z1 = 2 cos + i sen = 2(cos 20° + i sen 20°)
z2 = 2[cos(20° + 120°) + i sen(20° + 120°)] = 2(cos 140° + i sen 140°)
z3 = 2[cos(20° + 2.120°) + i sen(20° + 2.120°)] = 2(cos 260° + i sen 260°)
5. (UNESP) – As soluções da equação z3 = i, onde z é um número
complexo e i2 = – 1, são:
a) z = ± + i ou z = – i.
b) z = ± – i ou z = – i.
c) z = ± + i ou z = – i.
d) z = ± – i ou z = – i.
e) z = ± – i ou z = – i.
RESOLUÇÃO:
As raízes da equação z3 = i são as raízes cúbicas (z1, z2 e z3) do número 
i = 1 . (cos 90° + i . sen 90°)
Logo:
z1 = 1 . (cos 30° + i . sen 30°) = + i 
z2 = 1 . (cos 150° + i . sen 150°) = – + i
z3 = 1 . (cos 270° + i . sen 270°) = – i
Resposta: C
� � 60°––––3 � �
60°
––––
3 � �
1
–––
2
���2
––––
2
1
–––
2
���3
––––
2
1
–––
2
���3
––––
2
1
–––
2
���2
––––
2
���3
––––
2
1
–––
2
1
–––
2
���3
––––
2
1
–––
2
���3
––––
2
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT3M201, MAT3M202 e MAT3M203
No Portal Objetivo
2 –
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 2
1. Sejam f, g e h três polinômios. Se gr(P) indica o grau do polinômio
P e gr(f) = 3, gr(g) = 3 e gr(h) = 4, considere as afirmações
I) gr(f + g) = 3 II) gr(f + h) = 4
III) gr(f . g) = 7 IV) gr(f + g) = 2
O número de afirmações verdadeiras é
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
RESOLUÇÃO:
I) Falsa, pois se f(x) = x3 + 2x2 e g(x) = – x3 + 7x, então gr(f + g) = 2
II) Verdadeira, por se gr(h) > gr(f), então gr(f + h) = gr(h)
III) Verdadeira, pois se gr(f) = m e gr(g) = n, então gr(f . g) = m + n
IV) Falsa, pois se f(x) = 2x3 e g(x) = x3, então gr(f + g) = 3
Resposta: C
2. Se 2 é raiz do polinômio P(x) = x3 + 2x2 – mx + 4, então o valor de
m é 
a) – 10 b) – 5 c) 0 d) 5 e) 10
RESOLUÇÃO:
Se 2 é raiz de P(x), então P(2) = 0 ⇔ 23 + 2 . 22 – m . 2 + 4 = 0 ⇔
⇔ – 2m = – 20 ⇔ m = 10
Resposta: E
3. Se = + para todo x ∈ (� – {1; 2}), 
então é correto afirmar que
a) A = B b) A – B = 1 c) AB = 2
d) BA = 1 e) B = A + 1
RESOLUÇÃO:
Para x ∈ (� – {1; 2}) temos:
= + ⇔
⇔ = ⇔
⇔ 3x + 4 = (A + B)x + (– 2A – B) ⇔
⇔ ⇔
Resposta: E
4. Utilizando o método da chave, dividir A(x) = 2x4 – 7x3 + 16x – 5
por B(x) = x2 – 3x – 1.
RESOLUÇÃO:
–––––––––––––––––––––––
––––––––––––––––––
–––––––––––––––
12x – 6
O quociente é Q(x) = 2x2 – x – 1 e o resto é R(x) = 12x – 6
5. (UFSC) – Na divisão do polinômio x4 + x3 – 7x2 + x + 9 por 
x2 + 2x + 1, pode-se afirmar que:
a) o quociente é – x2 + x + 6
b) o quociente é x2 – x + 6
c) o resto da divisão é 15
d) o resto da divisão é 14x + 15
e) a divisão é exata, isto é, o resto é 0
RESOLUÇÃO:
–––––––––––––––––––––––
––––––––––––––––––
–––––––––––––––
14x + 15
Resposta: D
B
––––––
x – 2
A
––––––
x – 1
3x – 4
––––––––––––
(x – 1)(x – 2)
B
––––––
x – 2
A
––––––
x – 1
3x – 4
––––––––––––
(x – 1)(x – 2)
Ax – 2A + Bx – B
–––––––––––––––
(x – 1)(x – 2)
3x – 4
––––––––––––
(x – 1)(x – 2)
A = 1
B = 2�A + B = 3 – 2A – B = – 4�
x2 – 3x – 1
2x2 – x – 1
2x4 – 7x3 + 0x2 + 16x – 5
– 2x4 + 6x3 + 2x2
– x3 + 2x2 + 16x – 5
x3 – 3x2 – x
– x2 + 15x – 5
x2 – 3x – 1
x2 + 2x + 1
x2 – x – 6
x4 + x3 – 7x2 + x + 9
– x4 – 2x3 – x2
– x3 – 8x2 + x + 9
x3 + 2x2 + x
– 6x2 + 2x + 9
+ 6x2 + 12x + 6
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT3M204
No Portal Objetivo
MÓDULO 17
POLINÔMIOS: GRAU, RAIZ, 
IDENTIDADES E DIVISÃO
– 3
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 3
1. Obtenha o quociente e o resto das divisões seguintes, utilizando o
dispositivo prático de Briot-Ruffini
a)
RESOLUÇÃO:
Resposta: Q(x) = x3 – x2 + x + = 4x3 – 3x2 + 6x + 2 
e r = 18
b)
RESOLUÇÃO:
Resposta: Q(x) = 4x3 – 5x2 + 6x – 12 
e r = 52
2. Na divisão do polinômio p(x) = x5 – 4x3 – 14x2 – 8 por x – 3 
obtém-se quociente q(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e e resto r = f. 
A soma a + b + c + d + e + f resulta igual a
a) 0 b) 7 c) 14 d) 15 e) 16
RESOLUÇÃO:
Q(x) = x4 + 3x3 + 5x2 + x + 3 e r = 1 
Logo, a + b + c + d + e + f = 1 + 3 + 5 + 1 + 3 + 1 = 14
Resposta: C
3. O resto da divisão de um polinômio P(x), de grau 6, por (3x – 12)
é igual a:
a) P(6) b) P(3) c) P(4) d) P(12) e) P(9)
RESOLUÇÃO:
⇒ P(x) = (3x – 12) . Q(x) + r ⇒ P(4) = 0 . Q(4) + r ⇒ r = P(4)
Resposta: C
4. Na divisão de um polinômio A(x) por (x – 5) obtém-se quociente
Q(x) e resto 7 e o resto da divisão de Q(x) por (x – 3) é igual a 2. Então,
o resto da divisão de A(x) por (x – 3) é
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
RESOLUÇÃO:
I) ⇒ r = A(3)
II)
⇒
De (I) e (II) conclui-se que r = A(3) = 3
Resposta: C
x + 24x4 + 3x3 – 4x2 + 28
– 24 3 – 4 0 28
4 – 5 6 – 12 52
31 0 – 4 – 14 0 – 8
1 3 5 1 3 1
28 – 10 0 – 20 10
8 6 12 4 18
4
––
2
12
–––
2
6
––
2
8
––
2
2x – 48x4 – 10x3 – 20x + 10
3x – 12
Q(x)
P(x)
r
x – 3
Q(x)
A(x)
r
A(3) = – 2 . Q(3) + 7� ⇒ A(3) = – 2 . 2 + 7 = 3Q(3) = 2
x – 5
Q(x)
A(x)
7� x – 3
Q1(x)
Q(x)
2
MÓDULO 18
POLINÔMIOS: BRIOT-RUFFINI 
E TEOREMA DO RESTO
4 –
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 4
1. As raízes da equação 2x3 – 8x2 – x – 10 = 0 são a, b e c. Considere
as afirmações:
I) a + b + c = 4 II) ab + ac + bc = –
III) abc = 5 IV) a2 + b2 + c2 = 17
são verdadeiras: 
a) apenas I e II b) apenas II e III
c) apenas III e IV d) apenas I, II e III
e) todas
RESOLUÇÃO:
Das relações de Girard concluímos que
I) a + b + c = = = 4
II) ab + ac + bc = =
III) abc = = = 5
IV)a + b + c = 4 ⇒ (a + b + c)2 = 42 ⇒ a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) = 16
Então, a2 + b2 + c2 + 2 . = 16 ⇒ a2 + b2 + c2 = 17
Resposta: E 
2. (MACKENZIE) – Se a, b e c são as raízes da equação 
x3 – 2x2 + 3x – 4 = 0, então + + vale
a) b) c) d) e)
RESOLUÇÃO:
+ + = = = 
Resposta: D 
3. (UNICAMP) – As três raízes da equação x3 – 3x2 + 12x – q = 0,
onde q é uma parâmetro real, formam uma progressão aritmética.
a) Determine q;
b) Utilizando o valor de q determinado no item (a), encontre as raízes
(reais e complexas) da equação.
RESOLUÇÃO:
a) Sejam a – r, a e a + r as três raízes em progressão aritmética de razão
r. Como a – r + a + a + r = , concluímos que a = 1 e, portanto,
1 – 3 + 12 – q = 0 ⇔ q = 10.
b) A equação é x3 – 3x2 + 12x – 10 = 0 e 1 é uma de suas raízes.
Logo, x3 – 3x2 + 12x – 10 = 0 ⇔ (x – 1)(x2 – 2x + 10) = 0
As raízes da equação são tais que x – 1 = 0 ou x2 – 2x + 10 = 0 ⇔
⇔ x = 1 ou x = ⇔ x = 1 ou x = 1 + 3i ou x = 1 – 3i
Respostas: a) q = 10 b) 1, 1 + 3i, 1 – 3i
4. (UFTM) – Uma das raízes do polinômio p(x) = x4 – 6x3 + 54x + k,
em que k é uma constante real, é igual à soma das outras três raízes.
a) Determine o valor de k;
b) Encontre todas as raízes de p(x).
RESOLUÇÃO:
a) Sendo r1, r2, r3 e r4 as raízes, temos do enunciado e das relações de
Girard que
⇒ r1 + r1 = 6 ⇒ r1 = 3. 
Então, 34 – 6 . 33 + 54 . 3 + k = 0 ⇔ k = – 81 
b) Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini obtém-se:
Então, P(x) = (x– 3)(x – 3)(x2 – 9) = (x – 3)(x – 3)(x – 3)(x + 3)
As raízes de P(x) são r1 = 3, r2 = 3, r3 = 3 e r4 = – 3.
Respostas: a) k = – 81
b) 3, 3, 3 e – 3
� – 1–––2 �
1
–––
a
1
–––
b
1
–––
c
2
–––
3
4
–––
3
7
–––
3
3
–––
4
1
–––
4
1
–––
a
1
–––
b
1
–––
c
bc + ac + ab
–––––––––––––
abc
3
–––
1
––––––
4
–––
1
3
–––
4
3
–––
1
1 – 3 12 – 10 
1 – 2 10 0
1
2 ± 6i
–––––––
2
�r1 = r2 + r3 + r4r1 + r2 + r3 + r4 = 6
1 – 6 0 54 – 81
1 – 3 – 9 27 0 
1 0 – 9 0 
3
3
1
–––
2
8
–––
2
– a4
––––
a0
– 1
–––
2
+ a2
––––
a0
10
–––
2
– a3
––––
a0
MÓDULO 19
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS: RELAÇÕES DE GIRARD
– 5
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 5
1. (VUNESP) – Analise o seguinte polinômio:
p(x) = x4 + 2x3 – 11x2 – 12x + 36.
Está correto afirmar que
a) – 3 é raiz de p(x), com multiplicidade 3.
b) – 2 é raiz de p(x), com multiplicidade 2.
c) 0 é raiz de p(x), com multiplicidade 2.
d) 3 é raiz de p(x), com multiplicidade 3.
e) 2 é raiz de p(x), com multiplicidade 2.
RESOLUÇÃO:
As possíveis raízes inteiras de P(x) são os divisores de 36, isto é, ± 1, ± 2, 
± 3, ± 4, ± 6, ± 9, ± 18, ± 36.
Utilizando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, verifica-se que 2 é raiz
dupla e –3 também é raiz dupla.
Resposta: E
2. (UEM) – Se o polinômio p(x) = x4 + 2x3 + x2 + 8x – 12 apresenta
o número complexo z = 2i como um dos seus zeros, então é correto
afirmar que
01) a equação p(x) = 0 apresenta 3 raízes reais.
02) a soma das raízes de p(x) = 0 é – 2 e o produto é – 12.
04) dois dos zeros de p(x) são soluções da equação x2 + 2x – 3 = 0.
08) p(x) é divisível por x2 – 4.
16) os gráficos dos polinômios – p(x) e p(x) apresentam as mesmas
interseções com os eixos coordenados.
RESOLUÇÃO:
Se 2i é raiz de p(x), então 2i também é raiz e assim sendo, p(x) é divisível
por (x – 2i) (x + 2i) = x2 + 4
Efetuando a divisão resulta
–––––––––––––––––––––––––
2x3 – 3x2 + 8x – 12
– 2x3 – 8x
––––––––––––––––––––––
– 3x2 – 12
+ 3x2 + 12
–––––––––––––––––––
0
Então, p(x) = (x2 + 4) (x2 + 2x – 3) e, portanto, suas raízes são 2i, – 2i, 
1 e – 3.
01) F 02) V 04) V 08) F 16) F
Obs.: 16 F, pois p(0) = – 12 e – p (0) = 12
3. (UFSC) A equação 3x4 – 7x3 + 14x2 – 28x + 8 = 0 tem uma raiz
inteira e duas raízes complexas imaginárias puras. Sua quarta raiz é:
a) b) c)
d) e)
RESOLUÇÃO:
Entre os divisores de 8, que são as possíveis raízes inteiras da equação,
verificamos que 2 é raiz.
Logo, 3x4 – 7x3 + 14x2 – 28x + 8 = 0 ⇔ (x – 2)(3x3 – x2 + 12x – 4) = 0 ⇔
⇔ (x – 2) . [x2 (3x – 1) + 4 (3x – 1)] = 0 ⇔ (x – 2)(3x – 1)(x2 + 4) = 0
As raízes da equação são 2, , 2i e – 2i.
Resposta: C
4. A equação de coeficientes reais x3 – 7x2 + mx + n = 0 admite o
número complexo 2 + i como raiz. A raiz real dessa equação é
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
RESOLUÇÃO:
Se 2 + i é raiz, então 2 – i também é. Seja r a terceira raiz. Das relações de
Girard obtém-se 2 + i + 2 – i + r = 7 ⇔ r = 3
Resposta: C
x4 + 2x3 + x2 + 8x – 12
– x4 – 4x2
x2 + 4
x2 + 2x – 3
2– –––
3
1– –––
3
1–––
3
2–––
3
4–––
3
1
–––
3
1 2 – 11 – 12 36 2
1 4 – 3 – 18 0 2
1 6 9 0 – 3
1 3 0 – 3
1 0
MÓDULO 20
EQUAÇÕES ALGÉBRICAS: PESQUISA DE RAÍZES
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT3M205
No Portal Objetivo
3 – 7 14 – 28 8 2
3 – 1 12 – 4 0
6 –
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 6
1. O valor da expressão é:
a) 225 b) 256 c) 289 d) 361 e) 400
RESOLUÇÃO:
= = =
= 16 . (17 – 1) = 162 = 256
Resposta: B
2. Calcule o valor de cada número binomial dado a seguir
a) b) c) d)
RESOLUÇÃO:
a) = = = 35
b) = = = 35
c) = = 1
d) = = 1
3. A solução da equação 2 . = 3 . ≠ 0 é um 
número entre
a) 3 e 5 b) 5 e 7 c) 7 e 9 d) 9 e 11 e) 11 e 13
RESOLUÇÃO:
2 . = 3 . ≠ 0 ⇔
⇔ 2 . = 3 . ⇔
⇔ 2 . ⇔ 3 . ⇔
⇔ 2(x – 2) = (x – 4)(x – 5) ⇔ 2x – 4 = x2 – 9x + 20 ⇔
⇔ x2 – 11x + 24 = 0 ⇔ x = 3 ou x = 8 ⇔
⇔ x = 8, pois para x = 3 resulta 0 = 0
Resposta: C
4. A soma das soluções da equação = ≠ 0 
é igual a
a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10
RESOLUÇÃO:
x – 2 = 3x – 6 ou x – 2 + 3x – 6 = 16 ⇔ 4 = 2x ou 4x = 24 ⇔
⇔ x = 2 ou x = 6 ⇔ V = {2; 6}
Resposta: D
(x – 2)(x – 3)!
––––––––––––––––––––
2 . (x – 4)(x – 5)(x – 6)!
(x – 3)!
––––––––––
6 . (x – 6)!
� 16x – 2 � �
16
3x – 6 �
(x – 2)!
––––––––––––
2!(x – 2 – 2)!
(x – 3)!
––––––––––––
3!(x – 3 – 3)!
� x – 22 � �
x – 3
3
�
� x – 22 � �
x – 3
3
�
� 77 �
7!
–––––––
7! 0!
� 70 �
7!
–––––––
0! 7!
17! – 16! 
–––––––––
15!
17! – 16! 
–––––––––––
15!
17 . 16 . 15! – 16 . 15! 
––––––––––––––––––––
15!
15! (17 . 16 – 16) 
–––––––––––––––
15!
� 73 � �
7
4 � �
7
0 � �
7
7 �
� 73 �
7!
–––––––
3! 4!
7 . 6 . 5 . 4!
–––––––––––
3 . 2 . 1 . 4!
� 74 �
7!
–––––––
4! 3! �
7
3 �
MÓDULO 21
FATORIAL E NÚMERO BINOMIAL
– 7
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 7
5. O Triângulo de Pascal é uma tabela de números binomiais, dis -
postos como se segue.
.............................................................................
.............................................................................
.............................................................................
…
Reescreva o triângulo, substituindo cada número binomial pelo seu
valor e, em seguida, verifique as seguintes propriedades: dos binomiais
equidis tantes dos extremos, das linhas, das colunas e das diagonais.
RESOLUÇÃO:
1. A soma + é igual a
a) b) c)
d) e)
RESOLUÇÃO:
Resposta: B
2. Calculando obtém-se
a) 64 b) 81 c) 121 d) 128 e) 256
RESOLUÇÃO:
= + + + … + = 28 = 256
Resposta: E
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT3M206
No Portal Objetivo
MÓDULO 22
TEOREMA DO BINÔMIO DE NEWTON
� 175 � �
17
6 �
� 187 � �
18
6 � �
18
5 �
� 177 � �
17
8 �
�22��
2
1��
2
0�
�33��
3
2��
3
1��
3
0�
�44��
4
3��
4
2��
4
1��
4
0�
�nn��
n
2��
n
1��
n
0�
�11��
1
0�
�00�
�8k�
8
∑
k = 0
�88��82��81��80��8k�
8
∑
k = 0
8 –
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 8
3. Completar
a) (x + y)0 =
b) (x + y)1 =
c) (x + y)2 =
d) (x + y)3 =
e) (x + y)4 =
f) (x + y)5 =
RESOLUÇÃO:
a) (x + y)0 = 1
b) (x + y)1 = 1x + 1y
c) (x + y)2 = 1x2 + 2xy + 1y2
d) (x + y)3 = 1x3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3
e) (x + y)4 = 1x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4
f) (x + y)5 = 1x5 + 5x4y + 10x3y + 10x2y3 + 5xy4 + 1y5
4. Assinale (V) ou (F) conforme as sentenças dadas a seguir sejam
Verdadeiras ou Falsas, respectivamente.
I) O desenvolvimento de (x + y)n (n ∈ � e n > 1) tem n + 1 termos.
II) O termo geral do desenvolvimento de (x + y)n (n ∈ � e n > 1) é 
Tk + 1 = x
n – k . yk, para os expoentes de x em ordem decres- 
cente.
III) O termo geral do desenvolvimento de (x + y)n (n ∈ � e n > 1) é
Tk + 1 = x
k . yn – k, para os expoentes de x em ordem cres -
cente.
IV) A soma dos coeficientes dos termos do desenvolvimento de 
(3x + 2y)2 é igual a 25.
A sequência correta, respectivamente, é
a) VVVV b) VVVF c) VVFV
d) VFVV e) FVVV
Resposta: A
5. Considere o binômio x2 +
6
e calcule:
a) o quarto termo do seu desenvolvimento, feito segundo os expoentes
decrescentes de x;
b) o termo independente de x.
RESOLUÇÃO:
a) T4 = (x
2)3 . (x – 1)3 = 20 . x6 . x– 3 = 20x3
b) Tk + 1 = (x
2)6 – k . (x– 1)k = x12 – 2k . x– k = x12 – 3k
Para 12 – 3k = 0 tem-se k = 4. Portanto, o termo independente de x resulta
x0 = 15
Resposta: a) 20x3 b) 15
6. A soma dos coeficientes do desenvolvimento do binômio (8x – 7y)9
é 
a) 0 b) 1 c) 512 d) 729 e) 1024
RESOLUÇÃO:
Para x = 1 e y = 1 resulta
(8 . 1 – 7 . 1)9 = 19 = 1
Resposta: B
1. (MODELO ENEM) – No sistema de numeração indo-arábico, a
representação escrita dos números é feita com a utilização de dez
algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Nesse sistema, uma das funções
do zero é estabelecer a posição dos algarismos para diferenciar
números, como por exemplo: 25, 205 e 2 005. Assim, utilizando uma
única vez o algarismo 2 e uma única vez o algarismo 5, e empregando
o algarismo zero tantas vezes quantonecessário, podem-se escrever N
números naturais distintos de dois, de três ou de quatro algarismos.
Nessas condições, o valor de N é
a) 8. b) 10. c) 12. d) 14. e) 16.
Lembrete: 025 = 25
RESOLUÇÃO:
com 2 algarismos: 25 e 52
com 3 algarismos: 250, 205, 520 e 502
com 4 algarismos: 2500, 2050, 2005, 5200, 5020, 5002
são 2 + 4 + 6 = 12
Resposta: C
2. Em uma rua foram construídas oito casas, uma ao lado da outra.
Utilizando apenas três cores distintas, de quantas maneiras é possível
pintá-las, sendo uma de cada cor, de modo que casas adjacentes tenham
cores diferentes?
a) 6561 b) 2187 c) 729
d) 384 e) 192 
RESOLUÇÃO:
3 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 3 . 27 = 3 . 128 = 384 
Resposta: D
� nk �
� 1––x �
� 63 �
� 6k �� 6k � � 6k �
� 64 �
�nk�
MÓDULO 23
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA 
CONTAGEM, ARRANJOS E PERMUTAÇÕES
– 9
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 9
3. A palavra BIRUTA tem x anagramas diferentes, enquanto
SOSSEGO tem y. Então, o valor de x + y é
a) 420 b) 480 c) 720 d) 900 e) 1140
RESOLUÇÃO:
x = P6 = 6! = 720
y = P7
(3,2)
= = = 420
x + y = 720 + 420 = 1140
Resposta: E
4. (FUVEST – MODELO ENEM) – Um lotação possui três bancos
para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três
membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro
pessoas. Além disso, 
1. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco;
2. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.
Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove
passageiros no lotação é igual a
a) 928 b) 1152 c) 1828 d) 2412 e) 3456
RESOLUÇÃO:
Existem 3 formas de escolher o banco em que a família Souza irá sentar e
P3 formas de posicioná-la nesse banco.
Existem 2 formas de escolher, entre os bancos que so braram, aquele em
que o casal Lúcia e Mauro senta. Para cada um desses bancos existem duas
formas de posicionar o casal (à esquerda ou à direita do banco, por
exemplo) e, para cada uma dessas formas, P2 maneiras de o casal trocar de
lugar entre si.
Existem P4 formas de posicionar as quatro outras pessoas.
Assim, no total, temos:
3 . P3 . 2 . 2 . P2 . P4 = 12 . 3! . 2! . 4! = 3456 maneiras distintas de dispor os
passageiros no lotação.
Resposta: E
5. (UNESP – MODELO ENEM) – A figura mostra a planta de um
bairro de uma cidade. Uma pessoa quer caminhar do ponto A ao ponto
B por um dos percursos mais curtos. Assim, ela caminhará sempre nos
sentidos “de baixo para cima” ou “da esquerda para a direita”. O
número de percursos diferentes que essa pessoa poderá fazer de A até
B é:
a) 95 040. b) 40 635. c) 924.
d) 792. e) 35.
RESOLUÇÃO:
Qualquer percurso para ir de A até B deve ter, sempre, cinco trechos “de
baixo para cima” e sete trechos “da esquerda para a direita”. O número de
percursos diferentes é igual, portanto, ao número de permutações desses 12
trechos, lembrando que 5 são iguais (↑) e os outros 7 também (→). Logo
P12
5,7 = = = 792
Resposta: D
1. (UNIMES) – 12 professores da Faculdade de Medicina da
UNIMES, sendo 4 de Bioestatística, 4 de Infectologia e 4 de Endo -
crinologia, participam de uma reunião com o objetivo de formar uma
comissão que tenha 9 professores, sendo 3 de cada disciplina. O
número de formas distintas de se compor essa comissão é:
a) 24 b) 36 c) 48 d) 56 e) 64
RESOLUÇÃO:
C4,3 . C4,3 . C4,3 = 4 . 4. 4 = 64
Resposta: E
2. A uma reunião compareceram exatamente 10 casais. Todos os
presentes (exceto maridos e respectivas mulheres) cumprimentaram-se
com um aperto de mãos. O número de apertos de mãos foi:
a) 80 b) 170 c) 180 d) 190 e) 360
RESOLUÇÃO:
C20,2 – 10 = 190 – 10 = 180
Resposta: C
7 . 6 . 5 . 4 . 3!
––––––––––––––
3! 2 . 1
7!
–––––
3!2!
12 . 11 . 10 . 9 . 8 . 7!
––––––––––––––––––
5 . 4 . 3 . 2 . 1 . 7!
12!
––––––
5! . 7!
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT3M207
No Portal Objetivo
MÓDULO 24
COMBINAÇÕES
10 –
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 10
3. (UFSC) – As peças de um dominó são construídas numerando-se
cada uma de suas metades de 0 até 6. Um “dominó” diferente é
construído, numerando cada metade de uma peça de 0 até 7.
Com base nessas informações, é correto afirmar que esse dominó terá
a) 28 peças. b) 36 peças. c) 42 peças,
d) 49 peças. e) 51 peças.
RESOLUÇÃO:
Além das 8 peças com valores iguais, isto é, 00, 11, 22, …, 77 esse dominó
terá mais C8,2 peças.
São, portanto, C8,2 + 8 = 28 + 8 = 36 
Resposta: B 
4. (UFTM) – Num restaurante italiano, todo cliente que pede um prato
de macarrão deve escolher três dentre sete ingredientes adicionais para
serem acrescentados ao seu molho.
a) De quantas maneiras diferentes um cliente pode escolher os três
ingredientes adicionais?
b) Osvaldo considera que camarão e presunto, dois dos ingredientes
adicionais, não “combinam”, não devendo ser colocados juntos em
um mesmo molho. De quantas maneiras diferentes Osvaldo pode
escolher os três ingredientes adicionais, considerando que essa
restrição seja atendida?
RESOLUÇÃO:
a) C7,3 = 35
b) C7,3 – C5,1 = 35 – 5 = 30
1. (INEP – MODELO ENEM) – Em um cubo, com faces em branco,
foram gravados os nú me ros de 1 a 12, utilizando-se o seguinte procedi -
mento: o número 1 foi gravado na face superior do dado, em seguida
o dado foi girado, no sentido anti-horário, em torno do eixo indicado
na figura abaixo, e o número 2 foi gravado na nova face superior,
seguinte, conforme o esquema a seguir.
O procedimento continuou até que foram gravados todos os números.
Observe que há duas faces que ficaram em branco.
Ao se jogar aleatoriamente o dado apresentado, a proba bilidade de que
a face sorteada tenha a soma máxima é
a) b) c) d) e)
RESOLUÇÃO:
Além das duas faces em branco teremos as outras quatro com os números
(1, 5 e 9), (2, 6 e 10), (3, 7 e 11) e (4, 8 e 12) com somas 15, 18, 21 e 24,
respectivamente. A probabilidade de se obter a face com a soma máxima é
p = .
Resposta: A
2. (UFSC) – Um recipiente contém bolas numeradas de 1 a 50.
Supondo que cada bola tenha a mesma probabilidade de ser escolhida,
então a probabilidade de que uma bola sorteada tenha número múltiplo
de 3 e de 4, simultaneamente, é de:
a) 8% b) 10% c) 15% d) 28% e) 36%
RESOLUÇÃO:
Os múltiplos de 3 e 4 entre 1 e 50 são 12, 24, 36 e 48.
A probabilidade pedida é p = = 8%.
Resposta: A
MÓDULO 25
PROBABILIDADE: 
DEFINIÇÃO E UNIÃO DE EVENTOS
1
–––
6
1
–––
4
1
–––
3
1
–––
2
2
–––
3
1
–––
6
4
–––
50
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT3M208
No Portal Objetivo
– 11
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 11
3. (FUVEST) – Escolhem-se, ao acaso, três vértices dis tin tos de um
cubo. A probabilidade de que estes vértices pertençam a uma mesma
face é
a) b) c) d) e)
RESOLUÇÃO:
A é o evento e S, o espaço amostral.
n(A) = 6 . C4,3 = 6 . 4 = 24
n(S) = C8,3 = 56
A probabilidade é P(A) = = 
Resposta: D
4. Dois dados “honestos”, com faces numeradas de 1 a 6 são lançados
simultaneamente. Calcule a probabilidade de que as faces voltadas para
cima apresentem:
a) soma 7 (evento A) b) soma 8 (evento B)
c) produto 12 (evento C) d) soma 7 ou 8 (evento A � B)
e) soma 7 ou produto 12 (evento A � C)
RESOLUÇÃO:
a) P(A) = =
b) P(B) =
c) P(C) = =
d) P(A � B) = P(A) + P(B) pois P(A � B) = 0
P(A � B) = + = 
e) P(A � C) = P(A) + P(C) – P(A � C) =
= + – = = 
1. Em uma comunidade de 1000 pessoas, sendo 600 mulheres e 400
homens, a probabilidade de uma mulher ser fumante é de 10% e a
probabilidade de um homem ser fumante é de 5%. Uma dessas pessoas
é escolhida ao acaso.
Calcule:
a) a probabilidade de essa pessoa ser fumante;
b) a probabilidade de essa pessoa ser mulher, sabendo-se que ela é
fumante.
RESOLUÇÃO:
. 600 = 60
. 400 = 20
a) p = = = 8%
b) p = = = 75%
MÓDULO 26
PROBABILIDADE CONDICIONAL 
E INTERSECÇÃO DE EVENTOS
mulheres homens
fumantes 60 20 80
não fumantes 540 380 920
600 400
1
––
6
6
––––
36
5
––––
36
1
––
9
4
––––
36
11
––––
36
5
––––
36
6
––––
36
2
–––
9
8
––––
36
2
––––
36
4
––––36
6
––––
36
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT3M209
No Portal Objetivo
3
––
7
24
––––
56
10
–––––
100
5
–––––
100
80
––––––
1000
60 + 20
––––––––
1000
60
––––
80
60
––––––––
60 + 20
13
–––
18
3
–––
7
5
–––
14
2
–––
7
3
–––
14
12 –
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 12
2. (UFRN) – Em determinado hospital, no segundo semestre de 2007,
foram registrados 170 casos de câncer, distribuídos de acordo com a
tabela abaixo:
A probabilidade de uma dessas pessoas, escolhida ao acaso, ser mulher,
sabendo-se que tem câncer de pulmão, é
a) b) c) d) 
= 
Resposta: A
3. (MACKENZIE) – Um ambulante tem, para venda, 20 bilhetes do
metrô, dos quais 2 são falsos; comprando-os aleatoriamente, a proba -
bilidade de uma pessoa adquirir 2 bilhetes que não sejam falsos é
a) b) c) d) e)
RESOLUÇÃO:
Se há 18 bilhetes de metrô verdadeiros e 2 falsos, en tão a probabilidade de
se adquirir 2 bilhetes que não sejam falsos é . = 
Resposta: B
4. (AFA) – Uma urna contém 12 peças boas e 5 defei tuosas. Se 3
peças forem retiradas aleatoriamente, sem reposição, qual a
probabilidade de serem 2 (duas) boas e 1 (uma) defeituosa?
a) b) c) d)
RESOLUÇÃO:
1) boa na 1a. retirada: 
2) boa na 2a. retirada: 
3) defeituosa na 3a. retirada: 
Como as duas boas podem ocorrer nas retiradas 1 e 2 ou 1 e 3 ou 2 e 3, num
total de 3 = C3,2 hipóteses diferentes, con cluímos que a probabilidade a ser
calculada é:
p = . . . C3,2 = . . . 3 = 
Resposta: C
 
1. Um dado”honesto”, com faces numeradas de 1 a 6 é lançado cinco
vezes consecutivamente e, em seguida, é feita a leitura da face que fica
voltada para cima. Calcule a probabilidade de, nesse experimento,
resultar:
a) a face 6 na segunda e quinta jogadas;
b) a face 6 só na segunda e quinta jogadas;
c) a face 6 só duas vezes;
d) a face 6 pelo menos uma vez.
RESOLUÇÃO:
a) P = . . . . =
33
–––
34
33
–––
68
3
–––
17
1
–––
12
12
–––
17
11
–––
16
5
–––
15
33
–––
68
5
–––
15
11
–––
16
12
–––
17
5
–––
15
11
–––
16
12
–––
17
153
––––
190
17
–––
19
18
–––
20
37
––––
190
135
––––
380
51
––––
190
153
––––
190
17
–––
19
Câncer de pulmão Outros
tipos de
câncer
Total
fumante não fumante
Homem 54 6 40 100
Mulher 45 5 20 70
3
–––
11
6
–––
17
7
–––
17
5
–––
11
RESOLUÇÃO:
Entre as 54 + 6 + 45 + 5 = 110 pessoas com câncer de pulmão, 45 + 5 = 50
são mulheres. Assim, a probabilidade de uma dessas pessoas, escolhida ao
acaso, ser mulher, sabendo-se que tem câncer de pulmão, é igual a
5
–––
11
50
–––
110
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT3M210
No Portal Objetivo
MÓDULO 27
LEI BINOMIAL DE PROBABILIDADE
1
–––
36
1
–––
6
6
–––
6
6
–––
6
1
–––
6
6
–––
6
– 13
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 13
b) P = . . . . =
2
.
3
c) P = C5,2 .
2 
.
3 
= 10 . 
2
.
3
d) P = 1 –
5
2. (MACKENZIE) – Sempre que joga, um jogador de tênis tem
probabilidade de vencer uma partida. Jogando 4 partidas, a
probabilidade de ele vencer exa tamente duas delas é:
a) b) c) d) e)
RESOLUÇÃO:
A probabilidade de esse jogador de tênis ganhar uma partida qualquer é
, e a de não ganhar é 1 – = . Assim sendo, a probabilidade de
ele ganhar duas das 4 partidas e perder as outras duas é:
C4,2 . 
2
. 
2
= 6 . . = 
Resposta: E
3. Jogando-se dez vezes uma moeda sem vícios, a probabilidade de
ocorrerem três caras e sete coroas é
a) b) c) d) e) 
RESOLUÇÃO:
P = C10,3 .
3
.
7 
= 120 . 
10 
=
= =
Resposta: E
4. (ENEM) – Um casal decidiu que vai ter 3 filhos. Contudo, quer
exatamente 2 filhos homens e decide que, se a proba bilidade fosse
inferior a 50%, iria procurar uma clínica para fazer um tratamento
específico para garantir que teria os dois filhos homens.
Após os cálculos, o casal concluiu que a probabilidade de ter
exatamente 2 filhos homens é
a) 66,7%, assim ele não precisará fazer um tratamento.
b) 50%, assim ele não precisará fazer um tratamento.
c) 7,5%, assim ele não precisará fazer um tratamento.
d) 25%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer um
tratamento.
e) 37,5%, assim ele precisará procurar uma clínica para fazer um
tratamento.
RESOLUÇÃO:
Admitindo-se que para esse casal a probabilidade do filho ser do sexo
masculino (ou feminino) é 50%, a probabilidade deles terem exatamente
dois filhos homens e, claro, uma mulher é
P = C3,2 . 50% . 50% . 50% = 3 . 
3
= = 0,375 = 37,5%
Resposta: E
5
–––
6
1
–––
6
5
–––
6
5
–––
6
1
–––
6
1
–––
6� � �
5
–––
6 �
� 1–––6 � �
5
–––
6 ��
1
–––
6 � �
5
–––
6 �
� 5–––6 �
2––
3
8
–––
27
16
–––
81
2
–––
27
8
–––
81
4
–––
27
1
––
3
2
––
3
2
––
3
8
–––
27
1
––
9
4
––
9)1––3()2––3(
15
––––
128
15
––––
64
7
–––––
1024
1
–––––
1024
15
––––
256
3
––
8
1�––�2
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT3M211
No Portal Objetivo
� 1–––2 � �
1
–––
2 �
120
––––––
1024
15
––––
128
� 1–––2 �
14 –
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 14
– 15
1. Dadas as matrizes A = [7], B = e C = , 
qual o valor de det A + det B + det C?
RESOLUÇÃO:
Sr. Professor, a intenção é aproveitar o exercício para ensinar como se
calculam determinantes de ordens 1, 2 e 3.
det A = 7
det B = 3 . 8 – 5 . 2 = 14
= 3 . 2 . 1 + 5 . 2 . 3 + 2 . 4 . 3 – 3 . 2 . 2 – 3 . 2 . 3 – 1 . 4 . 5 = 10
Assim, det A + det B + det C = 31.
2. (ESPM) – Considere o determinante D = e o determinan-
 
te D’ que se obtém substituindo-se cada elemento de D pela soma dos
outros três. Se D = D’, podemos afirmar que:
a) x = 4 ou x = – 6 b) x = 2 ou x = 4
c) x = 6 ou x = – 4 d) x = – 1 ou x = 5
e) x = – 4 ou x = – 2
RESOLUÇÃO:
Se D = , então, conforme o enunciado, 
D’ = é:
1) D = = x – 6
2) D’ = = 6(x + 5) – (x + 4)(x + 3) = – x2 – x + 18
3) D = D’ ⇒ x – 6 = – x2 – x + 18 ⇔ x2 + 2x – 24 = 0 ⇔ x = – 6 ou x = 4
Resposta: A
3. (UFSCar) – Se o determinante da matriz
A = 
é nulo, então
a) x = – 3 b) x = – c) x = – 1
d) x = 0 e) x = 
RESOLUÇÃO:
det A = x.(– 1).3 + 2.1.2x + 1.(– 1).1 – 1.(– 1).2x – 2.1.3 – 1.(– 1).x ⇔
⇔ det A = – 3x + 4x – 1 + 2x – 6 + x ⇔ det A = 4x – 7 = 0 ⇔ x =
Resposta: E
4. Dê o valor de cada determinante e justifique sua resposta.
a) b)
c) d)
e)
RESOLUÇÃO:
Sr. professor, a intenção é apresentar as propriedades que anulam o
determinante.
a) zero, pois possui uma fila de zeros.
b) zero, pois a primeira e a terceira coluna são iguais.
c) zero, pois as duas primeiras linhas são proporcionais.
d) zero, pois a terceira coluna é uma combinação linear das duas
primeiras.
e) 32, pois = 2 . 2 . 3 + 1 . 4 . 5 = 32
MÓDULO 11
DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES 
DOS DETERMINANTES
� 32
5
8 � �
3
5
2
4
2
2
3
3
1
�
x
3
2
1
x
3
2
1
2 + 3 + 1
x + 2 + 1
x + 3 + 1
x + 2 + 3
x
3
2
1
6
x + 3
x + 4
x + 5
�
x
1
2x
2
– 1
– 1
1
1
3
�
7
–––
4
7
–––
4
7
–––
4
2
9
4
3
1
2
3
1
3
1
5
1
1
2
3
1
3
0
4
3
1
0
2
2
2
0
1
1
1
0
1
3
2a + 3d
2b + 3e
2c + 3f
d
e
f
a
b
c
5
10
w
d
4
8
z
c
3
6
y
b
2
4
x
a
5
2
0
2
0
4
0
1
3
5
2
0
2
0
4
0
1
3
3 4 3
det C = 5 2 3 =
2 2 1
– 3 4 3 +
– 5 2 3 +
– + 
FRENTE 2 – ÁLGEBRA
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 15
5. (FGV) – Considere as matrizes 
A = e B = .
Se o determinante da matriz A é igual a 2, então o determinante da
matriz B é igual a:
a) b) c) – ���3 d) – e) – 
RESOLUÇÃO:
Como det A = 2 temos:
= 2 ⇔ 4 . = 2 ⇔
⇔ = 
Assim, 
det B = = – 3 . = – 3 . = – 
Resposta: D
1. O valor do determinante D = é
a) –543 b) – 362 c) –181 d) 183 e) 362
RESOLUÇÃO:
Prof.: utilize esta questão para comentar o Teorema de Jacobi.
D = =
x (– 2)
x (– 3)
x(–1)
D = = 181 – 724 = – 543
Resposta: A
2. Resolver, em �, a equação
= 0
RESOLUÇÃO:
= =
x(–1)
=
x (– 2)
x (– 3) =
= = 6x – 16x = – 10x = 0 ⇔ x = 0
Resposta: V = {0}
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br)e, em “localizar”,
digite MAT3M212
No Portal Objetivo
�
4
4
4
a
b
c
m
n
p
� �
m
n
p
a
b
c
3
3
3
�
3
–––
2
2
–––
3
3
–––
2
2
–––
3
4
4
4
a
b
c
m
n
p
1
1
1
a
b
c
m
n
p
1
1
1
a
b
c
m
n
p
1
–––
2
m
n
p
a
b
c
3
3
3
1
1
1
a
b
c
m
n
p
1
–––
2
3
–––
2
MÓDULO 12
TEOREMA DE LAPLACE, TEOREMA DE BINET E
PROPRIEDADES COMPLEMENTARES
181
362
543
182
365
550
183
367
550
181
362
543
1
3
7
2
5
7
181
362
543
182
365
550
183
367
550
181
0
0
1
1
4
2
1
1
x + 2
2x + 8
3x + 9
x + 1
2x + 4
3x + 7
x
2x
3x
2
8
9
1
4
7
x
2x
3x
x + 2
2x + 8
3x + 9
x + 1
2x + 4
3x + 7
x
2x
3x
2
8
9
1
4
7
x
2x
3x
2
4
3
1
2
4
x
0
0
16 –
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 16
3. Considere a matriz
M = 
Calcule:
a) Os cofatores dos elementos a22 e a23.
b) O determinante de M.
RESOLUÇÃO:
Sr. Professor, utilize esta questão para ensinar cofatores e o Teorema de
Laplace:
a) A22 = (– 1)
2 + 2 . = 
= (–1)4 . (36 + 24 + 60 – 96 – 27 – 20) = – 23
A23 = (– 1)
2 + 3 . = 
= (–1)5 . (6 + 8 – 16 – 9) = 11
b) det M = 0 . A21 + 5 . A22 + 2 . A23 + 0 . A24 =
= 5 . (– 23) + 2 . 11 = – 93
Respostas: a) – 23 e 11 b) – 93
4. (FUVEST) – Calcule os determinantes
A = e B =
RESOLUÇÃO:
1) A = = 2
2) B = =
= (– 3) . = (– 3) . = (– 3) . 2 = – 6
5. Dadas as matrizes 
A = e B = , os valores de x para que se tenha
det (A . B) = x – 6 são:
a) 1 e 3 b) 2 e 6 c) 3 e 5
d) 4 e 6 e) 5 e 7
RESOLUÇÃO:
det A = 2x – 3
det B = x – 6
det(A . B) = det A . det B = (2x – 3) . (x – 6) = 2x2 – 15x + 18 = x – 6 ⇒
⇒ 2x2 – 16x + 24 = 0 ⇔ x2 – 8x + 12 = 0 ⇔ x = 2 ou x = 6
Resposta: B
 
1. Se A– 1 = é a matriz inversa de 
A = , o valor de x é
a) – 2 b) 1 c) 3 d) 7 e) 10 
RESOLUÇÃO:
A . A– 1 = . =
= = = 1
Assim, 
⇒ x = 7
Resposta: D
�
4
0
2
3
3
2
6
5
1
5
1
0
2
0
3
4
�
4
2
3
3
6
5
2
3
4
4
2
3
1
1
0
2
3
4
1
a
0
0
0
1
0
1
0
–1
0
1
3
4
3
4
1
0
0
a
1
–1
0
1
1
1
0
0
a
1
–1
0
1
1
1
a
0
0
0
1
0
1
0
– 1
0
1
3
4
3
4
1
0
0
a
1
–1
0
1
1
1
a
0
0
1
1
0
– 1
1
�12
3
x��
x
3
1
2�
MÓDULO 13
DEFINIÇÃO, CÁLCULO E 
PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA 
�
3
– ––
2
1
7
––
2
– 2
�
�3x
2
4�
�
3
– ––
2
1
7
––
2
– 2
��3x24�
�01
1
0��
0
x – 6
1
14 – 2x�
	14 – 2x = 0x – 6 = 1
– 17
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 17
2. Determine a inversa da matriz A =
RESOLUÇÃO:
1) det A = 12 + 20 – 3 – 12 – 6 + 10 = 21
2) A11 = (– 1)
1 + 1 = 11
A12 = (– 1)
1 + 2 = 14
A13 = (– 1)
1 + 3 = – 15
A21 = (– 1)
2 + 1 = – 3
A22 = (– 1)
2 + 2 = 0
A23 = (– 1)
2 + 3 = 6
A31 = (– 1)
3 + 1 = 2
A32 = (– 1)
3 + 2 = – 7
A33 = (– 1)
3 + 3 = 3
A’ = 
3)
—
A = (A’)t = 
4) A– 1 = 
—
A = . ⇒
⇒ A– 1 =
3. (UNESP) – Os valores de k para que a matriz 
A = não admita inversa são:
a) 0 e 3 b) 1 e – 1 c) 1 e 2 
d) 1 e 3 e) 3 e – 1 
RESOLUÇÃO:
Para que A = não admita inversa, devemos ter:
det A = = k2 – 3k + 2 = 0 ⇔ k = 1 ou k = 2
Resposta: C
4. O determinante da matriz inversa de A = é
a) b) c) d) e)
RESOLUÇÃO:
det A = = 24 – 20 = 4
det A– 1 = = 
Resposta: C
5. Sendo A e B matrizes inversíveis e de mesma ordem, resolva a
equação A . X = B
RESOLUÇÃO:
A . X = B ⇒ A– 1 . AX = A– 1 . B ⇔ I . X = A– 1 . B ⇔ X = A–1 . B
Resposta: A– 1 . B
3
4
5
2
3
4
3
– 1
1
– 1
1
2
2
4
1
2
2
4
1
– 1
1
3
1
5
3
– 1
5
2
�
2
3
4
1
3
– 1
1
5
2
�
2
3
1
5
2
3
1
3
�
11
– 3
2
14
0
– 7
– 15
6
3
�
�
11
14
– 15
– 3
0
6
2
– 7
3
�
�
11
14
– 15
– 3
0
6
2
– 7
3
�1–––211––––––det A
�
11
–––
21
2
–––
3
15
– –––
21
1
– –––
7
0
2
–––
7
2
–––
21
1
– –––
3
1
–––
7
�
�
1
k
1
0
1
k
1
3
3
�
�
1
k
1
0
1
k
1
3
3
�
1
k
1
0
1
k
1
3
3
�48
3
5�
1
–––
6
1
–––
5
1
–––
4
1
–––
3
1
–––
2
�48
3
5�
1
––
4
1
––––––
det A
18 –
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 18
1. (UNIFESP) – A solução do sistema de equa ções lineares
é:
a) x = – 5, y = – 2 e z = –1 b) x = – 5, y = – 2 e z = 1
c) x = – 5, y = 2 e z = 1 d) x = 5, y = 2 e z = – 1
e) x = 5, y = 2 e z = 1
RESOLUÇÃO:
“Sr. Professor, utilize esta questão para comentar a regra de Cramer.
Comente que para obter apenas uma das incógnitas ou para discutir um
sistema normal, a regra de Cramer é bastante útil.” 
1) D = = – 2
2) Dx = = – 10 ⇒ x = 5
3) Dy = = – 4 ⇒ y = 2
4) Dz = = – 2 ⇒ z = 1
Resposta: E
2. (UEGO) – Joãozinho, ao abrir o cofre em que guardava moedas,
constatou que havia nele 82 moedas, sendo de R$ 0,10, R$ 0,25 e 
R$ 0,50, que totalizavam R$ 20,00. O menino observou que a
quantidade de moedas de R$ 0,10 era o dobro das de R$ 0,25. O
número de moedas de R$ 0,10 no cofre era 
a) 40 b) 36 c) 44 d) 39 e) 42
RESOLUÇÃO:
Sejam d, v e c respectivamente as quantidades de moedas de dez, vinte e
cinco e cinquenta centavos. Conforme o enunciado tem-se:
Desta forma,
D = = 21 
Dd = = 840
e
d = = = 40 moedas
Resposta: A
3. Considere o sistema
para que valores de k o sistema é possível e determinado, possível e
indeterminado e impossível.
RESOLUÇÃO:
D = = k – 2
Para k ≠ 2 temos D ≠ 0 e o sistema é possível e determinado.
Para k = 2 o sistema passa a ser
que é impossível, pois a soma das duas primeiras equações resulta em uma
equação incompatível com a terceira equação.
O sistema nunca é possível e indeterminado.
MÓDULO 14
SISTEMAS LINEARES: 
REGRA DE CRAMER E ESCALONAMENTO
x – 2y – 2z = – 1
x – 2z = 3
y – z = 1�
1
1
0
– 2
0
1
– 2
– 2
– 1
– 1
3
1
– 2
0
1
– 2
– 2
– 1
1
1
0
– 1
3
1
– 2
– 2
– 1
1
1
0
– 2
0
1
– 1
3
1
d + v + c = 82
0,10 . d + 0,25.v + 0,50 . c = 20,00 equivalente a
d = 2v
�
d + v + c = 82
2d + 5v + 10c = 400 
d – 2v = 0
�
1
2
1
1
5
– 2
1
10
0
82
400
0
1
5
– 2
1
10
0
840
––––
21
Dd––––
D
2x + y + 3z = 13
x + y – z = 0
3x + 2y + kz = 17�
2
1
3
1
1
2
3
– 1
k
2x + y + 3z = 13 ⇒ 3x + 2y + 2z = 13
x + y – z = 0
	 
3x + 2y + 2z = 17�
– 19
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 19
4. (UNESP) – Em relação ao seguinte sistema de equações:
a) resolva o sistema para m = 4;
b) encontre o conjunto de valores de m, em relação aos reais, para que
o sistema seja possível e deter minado.
RESOLUÇÃO:
a) Para m = 4 temos:
⇔ ⇔
⇔ ⇔ ⇔
b) O sistema , nas incógnitas x e y, é possível e deter -
minado se, e somente se:
� 0 ⇔ 3m + 4 � 0 ⇔ m �
Respostas: a) ; b) m �
1. Se x, y e z são números reais tais que
então (x + y)z é igual a:
a) 1 b) 8 c) 27 d) 36 e) 49
RESOLUÇÃO:
Professor, a intenção desta questão é mostrar o método do escalonamento.
⇔ ⇔
⇔ ⇔ ⇔ ⇒
⇒ (x + y)z = (1 + 2)3 = 27
Resposta: C
2. (FATEC) – Pelo fato de estar com o peso acima do recomendado,
uma pessoa está fazendo o controle das calorias dos alimentos que
ingere. Sabe-se que 3 colheres de sopa de arroz, 2 almôndegas e uma
porção de brócolis têm 274 calorias. Já 2 colheres de sopa de arroz, 
3 almôn degas e uma porção de brócolis têm 290 calorias. Por outro
lado, 2 colheres de sopa de arroz, 2 almôndegas e 2 porções de brócolis
têm 252 calorias. Se ontem seu almoço consistiu em uma colher de
sopa de arroz, duas almôndegas e uma porção de brócolis, quantas
calorias teve essa refeição?
a) 186 b) 170 c) 160 d) 148 e) 126
RESOLUÇÃO:
Sejam s, a e b as quantidades de calorias contidas respectivamente em uma
colher de sopa de arroz, uma almôndega e uma porção de brócolis.
Nas condições dadas, temos:
⇔ 
Se ontem seu almoço consistiu de uma colher de sopa de arroz, duas
almôndegas e uma porção de brócolis, essa pessoa ingeriu 
44 + 2 . 60 + 22 = 186 calorias.
Resposta: A
3x – 2y = 8
2x + my = 10�
3x – 2y = 8
x + 2y = 5�
3x – 2y = 8
2x + 4y = 10�
13
x = ––––
4
7
y = –––
8
�
13
x = ––––
4
3x – 2y = 8
�3x – 2y = 84x = 13�
3x – 2y = 8
2x + my = 10�
4
– –––
3
3
2
– 2
m
4
– –––
3�	
7
–––
8
13
–––
4��
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT3M213
No Portal Objetivo
x + y + z = 6
x + 2y + 3z = 14
x + 3y + 6z = 25 
�
x + y + z = 6
y + 2z = 8
2y +5z = 19�
x + y + z = 6
x + 2y + 3z = 14
x + 3y + 6z = 25�
x = 1
y = 2
z = 3�
x + y + z = 6
y = 2
z = 3�
x + y + z = 6
y + 2z = 8
z = 3�
2s + a = 148
s + 2a = 164 ⇔
s + a + b = 126
�
3s + 2a + 1b = 274
2s + 3a + 1b = 290 ⇔
2s + 2a + 2b = 252
�
a = 60
s = 44
b = 22
�
– 3a = – 180
s + 2a = 164 ⇔
s + a + b = 126
�
MÓDULO 15
SISTEMAS LINEARES: 
REGRA DE CRAMER E ESCALONAMENTO
20 –
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 20
3. (UEL) – O esquema a seguir representa um circuito elétrico.
As intensidades das correntes elétricas i1, i2 e i3 (em ampères) dos
diversos ramos desse circuito podem ser obtidas por meio do sistema 
É correto afirmar que o valor da intensidade da corrente elétrica i3 em
ampères é:
a) 0,02 b) 0,03 c) 0,04 d) 0,05 e) 0,06
RESOLUÇÃO:
⇒ ⇔
⇔ ⇔ 300i3 = 18 ⇒ i3 = 0,06
Resposta: E
4. (PUC) – Para dar R$ 1,80 de troco a um cliente, o caixa de um
supermercado pretende usar exatamente 20 moedas. Se ele dispõe
apenas de moedas de 5 centavos, 10 centavos e 25 centavos, de quantos
modos distintos ele pode compor tal quantia?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
RESOLUÇÃO:
Sendo x, y e z as quantidades de moedas de R$ 0,05, R$ 0,10 e 
R$ 0,25, respectivamente, tem-se
0,05x + 0,10y + 0,25z = 1,80, com x, y e z ∈ �.
Assim, 
⇒ ⇒
Como y ∈ �, devemos ter 16 – 4z ≥ 0 ⇔ z ≤ 4.
Desta forma, as soluções do sistema são (4; 16; 0), (7; 12; 1), (10; 8; 2), 
(13; 4; 3) e (16; 0; 4).
Portanto, existem 5 modos distintos de compor R$ 1,80 com moedas de 
R$ 0,05, R$ 0,10 e R$ 0,25, usando exatamente 20 moedas.
Resposta: C
2 3
1. Determine a característica da matriz M = � 4 6 �
RESOLUÇÃO:
2 3
M = � 4 6 �p = 1
200i1 + 300i3 = 22
600i2 + 300i3 = 42
i1 + i2 = i3
�
100i1 + 150i3 = 11
100i2 + 50i3 = 7 
i1 + i2 = i3
�
200i1 + 300i3 = 22
600i2 + 300i3 = 42
i1 + i2 = i3
�
100(i1 + i2) + 200i3 = 18
i1 + i2 = i3�
x = 4 + 3z
y = 16 – 4z�
x + y + z = 20
y + 4z = 16�
x + 2y + 5z = 36
x + y + z = 20�
MÓDULO 16
CARACTERÍSTICA, TEOREMA DE 
ROUCHÉ-CAPELLI E SISTEMAS HOMOGÊNEOS
– 21
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:51 Página 21
2. Determine a característica da matriz
M = 
RESOLUÇÃO:
A 3a. coluna é a soma das duas primeiras, a quarta só contém zeros e a
quinta é proporcional à primeira, portanto, a característica de M é a 
mesma da matriz que é 2, pois = 14 � 0.
3. Considere o sistema linear nas incógnitas x, y e z:
a) Encontre o valor de a que torna o sistema im pos sível ou indeter -
minado.
b) Para o valor de a obtido no item anterior o sistema é impossível ou
indeterminado?
RESOLUÇÃO:
a) Para o sistema ser impossível ou indeterminado devemos ter 
D = = 0 e, portanto, – 11a + 44 = 0 ⇔ a = 4
b) Para a = 4 tem-se que a
MI = tem característica 2 pois 
= 11 � 0
Também a matriz
MC = tem característica 2. 
 Portanto, o sistema é possível e indeterminado.
4. O sistema linear 
a) é impossível.
b) admite uma única solução.
c) admite infinitas soluções do tipo (α; 2α; 4– 3α).
d) admite infinitas soluções do tipo (5 + α; 1 – 2α; α).
e) admite apenas duas soluções.
RESOLUÇÃO:
Professor, utilize esta questão para mostrar a importância do teorema de
Rouché-Capelli.
MI = 
p = 2
MC = 
q = 2
Como p = q = 2 < 3, o sistema é possível e indeterminado.
Fazendo z = α tem-se
⇒ ⇒
Observe que (α; 2α; 4 – 3α) não é solução pois 
α + 2α + 4 – 3α = 4 � 6
Resposta: D
�
3
– 1
2
2
4
5
5
3
7
0
0
0
6
– 2
4�
3
– 1
2
4�3– 12
2
4
5�
x – 3y – 2z = – 4
3x + 2y + 5z = 10
ax – y + 3z = 6�
1
3
a
– 3
2
– 1
– 2
5
3
�13
4
– 3
2
– 1
– 2
5
3
�
1
3
– 3
2
�13
4
– 3
2
– 1
– 2
5
3
– 4
10
6
�
x + y + z = 6
x + 3y + 5z = 8�
�11
1
3
1
5�
�11
1
3
1
5
6
8�
x = 5 + α
y = 1 – 2α�
x + y = 6 – α
x + 3y = 8 – 5α�
x + y + α = 6
x + 3y + 5α = 8�
22 –
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 22
5. (UNESP) – Para quais valores de k ∈ � o sistema linear homo -
gêneo: 
será possível e determinado, será possível e indeter minado, será
impossível?
RESOLUÇÃO:
O sistema será possível e determinado se, e somente se,
D = ≠ 0 ⇔ – k2 – 6k + 7 ≠ 0 ⇔ k ≠ – 7 e k ≠ 1
Esse mesmo sistema será possível e indeterminado se, e somente se,
D = = 0 ⇔ k = – 7 ou k = 1
O sistema linear dado, por ser homogêneo, nunca será impossível.
Respostas: Possível e determinado para k ≠ –7 e k ≠ 1.
Possível e indeterminado para k = – 7 ou k = 1.
Impossível, nunca.
1. As idades dos 25 participantes de uma festa, em anos, estão des -
critas a seguir:
16, 15, 18, 14, 12, 18, 15, 16, 18, 12, 15, 14, 16, 15, 18, 16, 18, 16, 15,
14, 16, 15, 14, 16, 14.
Pede-se
a) o rol b) a amplitude c) a distribuição de frequências
d) a moda e) a mediana f) a média
RESOLUÇÃO:
a) rol
12, 12, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 16, 16,
18, 18, 18, 18, 18
b) H = 18 – 12 = 6
c)
d) M0 = 16 e) Md = 15
f) —x = = = 15,44
kx + 2y – z = 0
2x – y + 2z = 0
3x + y + kz = 0
�
k 2 – 1
2 – 1 2 
3 1 k
k 2 – 1
2 – 1 2 
3 1 k
MÓDULO 17
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA – I
xi fi fr f% fa fra f%a
∑
xi fi fr f% fa fra f% a
12 2 0,08 8 2 0,08 8
14 5 0,20 20 7 0,28 28
15 6 0,24 24 13 0,52 52
16 7 0,28 28 20 0,80 80
18 5 0,20 20 25 1,00 100
∑ 25 1,00 100 
386
–––––
25
12 . 2 + 14 . 5 + 15 . 6 + 16 . 7 + 18 . 5
–––––––––––––––––––––––––––––––––
25
– 23
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 23
2. (UNIMES) – O gráfico abaixo representa a distribuição de
frequências das faixas salariais numa pequena empresa:
Com os dados disponíveis, pode-se concluir que a média desses
salários é aproximadamente
a) $ 400 b) $ 600 c) $ 800
d) $ 1000 e) $ 1200
RESOLUÇÃO:
—x ≅ = = 800
Resposta: C
3. (FUVEST) – A distribuição dos salários de uma empresa é dada na
tabela abaixo
Qual é a média e qual é a mediana dos salários dessa empresa?
RESOLUÇÃO:
– (500 . 10 + 1000 . 5 + 1500 . 1 + 2000 . 10 + 5000 . 4 + 10500 . 1)
x = ––––– –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = 2000
10 + 5 + 1 + 10 + 4 + 1
Md = 1500
4. (UFPEL) – Na busca de solução para o problema da gravidez na
adoles cência, uma equipe de orientadores educacionais de uma
instituição de ensino pesquisou um grupo de adolescentes de uma
comunidade próxima a essa escola e obteve os seguintes dados:
Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar, em
relação às idades das adolescentes grávidas, que
a) a média é 15 anos. b) a mediana é 15,3 anos.
c) a mediana é 16,1 anos. d) a moda é 16 anos.
e) a média é 15,3 anos.
RESOLUÇÃO:
a) A moda é MO = 17.
b) A mediana é o valor da média entre o 10.º e o 11.º termo do rol, portanto 
= 16. 
c) A média é
x = = = 15,3
Resposta: E
1. Considere a tabela a seguir, em que cada valor xi apresenta
frequência fi.
Com os dados da tabela, determine:
a) amplitude
RESOLUÇÃO:
H = 11 – 5 = 6
16000
––––––
20
250 . 10 + 750 . 4 + 1250 . 2 + 1750 . 2 + 2250 . 2
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
10 + 4 + 2 + 2 + 2
Salário (em R$) No. de funcionários
500,00
1 000,00
1 500,00
2 000,00
5 000,00
10 500,00
10
5
1
10
4
1
Total 31
Idade (em anos)
Frequência Absoluta de
Adolescentes Grávidas
13 4
14 3
15 2
16 5
17 6
16 + 16
––––––––
2
306
––––
20
4 . 13 + 3 . 14 + 2 . 15 + 5 . 16 + 6 . 17
–––––––––––––––––––––––––––––––––
20
MÓDULO 18
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA – II
xi 5 6 7 8 10 11
fi 1 2 2 3 7 5
24 –
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 24
b) média
RESOLUÇÃO:
– 5 . 1 + 6 . 2 + 7 . 2 + 8 . 3 + 10 . 7 + 11 . 5 180
x = ––––––––––––––––––––––––––––––––––––– = ––––– = 9
1 + 2 + 2 + 3 + 7 + 5 20
c) construção da tabela
RESOLUÇÃO:
d) desvio médio
RESOLUÇÃO:
∑ fi 
 Di 
 34Dm = ––––––––– = –––– = 1,7
n 20
e) variância
RESOLUÇÃO:
∑ fi Di
2 72
s2 = –––––––– = –––– = 3,6
n 20
f) desvio padrão
RESOLUÇÃO:
s = �����3,6 ≅ 1,9
2. (FGV) –Numa pequena ilha, há 100 pessoas que trabalham na única
empresa ali existente. Seus salários (em moeda local) têm a seguinte
distribuição de frequências:
a) Qual a média dos salários das 100 pessoas?
b) Qual a variância dos salários?Qual o desvio pa drão dos salários?
RESOLUÇÃO:
a) Indicando a média desses salários por –s, temos:
–s = = 90 
b) Var(s) = 
Var(s) = 900($)2
O desvio padrão é dado por σ = ��������� Var(s); logo, σ = 30($)
Respostas: a) $ 90,00
b) Variância dos salários: 900,00 ($)2
Desvio padrão: 30,00 ($)
3. (FGV) – Considere n números reais não nulos x1, x2, x3, …, xn.
Em que condição a variância desses números é nula? Justifique.
RESOLUÇÃO:
Sendo –x = , a variância de x1, x2, x3, …, xn é
dada por , que será nula
para x1 = x2 = x3 = … = xn = 
–x
Resposta: para x1 = x2 = x3 = … = xn = 
–x
xi fi Di 
Di
 fi
Di
 Di
2 fiDi
2
5 1
6 2
7 2
8 3
10 7
11 5
∑
xi fi Di 
Di
 fi
Di
 Di
2 fiDi
2
5 1 – 4 4 4 16 16
6 2 – 3 3 6 9 18
7 2 – 2 2 4 4 8
8 3 – 1 1 3 1 3
10 7 1 1 7 1 7
11 5 2 2 10 4 20
∑ 20 34 72
Salários Frequência
$ 50,00 30
$ 100,00 60
$ 150,00 10
30 . 50 + 60 . 100 + 10 . 150
–––––––––––––––––––––––––
30 + 60 + 10
30(90 – 50)2 + 60(90 – 100)2 + 10(90 – 150)2
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
30 + 60 + 10
x1 + x2 + x3 + … + xn
––––––––––––––––––––––
n
(x1 – 
–x)2 + (x2 – 
–x)2 + (x3 – 
–x)2 + … + (xn – 
–x)2
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
n
– 25
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 25
26 –
1. (PUC) – Os pontos A(3;5), B(1; – 1) e C(x; – 16) pertencem a uma
mesma reta, se x for igual a
a) – 5 b) – 1 c) – 3 d) – 4 e) – 2
RESOLUÇÃO:
Os pontos A, B e C pertencem a uma mesma reta ⇔
⇔ = 0 ⇔ x = – 4
Resposta: D
2. (UNESP) – Sejam P = (a;b), Q = (1;3) e R = (–1;–1) pontos do
plano. Se a + b = 7, determine P de modo que P, Q e R sejam colineares.
RESOLUÇÃO:
1) Se P = (a;b), Q(1;3) e R = (– 1; – 1) são colineares, então:
= 0 ⇔ 2a – b + 1 = 0
2) Como a + b = 7, então:
a + b + 2a – b + 1 = 7 + 0 ⇔ a = 2
Assim: 2 . 2 – b + 1 = 0 ⇔ b = 5
Resposta: P = (2; 5)
3. (UNICAMP) – Qual é a área do triângulo ABC, com vértices
A(3;1), B(– 3; 1) e C(5;5)?
RESOLUÇÃO:
AΔABC = = = 12 u.a.
4. (ITA) – A área de um triângulo é de 4 unidades de superfície, sendo
dois de seus vértices os pontos A : (2,1) e B : (3, – 2). Determinar as
coordenadas do terceiro vértice, sabendo que se encontra no eixo das
abscissas.
RESOLUÇÃO:
O triângulo de vértices A(2, 1), B(3; – 2) e C(c, 0); tem área 4, se e somente
se:
= 4 ⇔ 3c – 7 = ± 8 ⇔ c = 5 ou c = – 1/3
Portanto o ponto C tem coordenadas (5; 0) ou – ; 0 .
1. (UFV – MODELO ENEM) – Uma reta r passa pelos pontos 
A(4; 2) e B(2; 4). Determine a equação da reta r.
RESOLUÇÃO:
Seja M(x ; y) outro ponto da reta r. 
Assim, A, B e M estão alinhados ⇔ = 0 ⇔ x + y – 6 = 0
Resposta: x + y – 6 = 0
MÓDULO 11
ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS –
ÁREA DE UM TRIÂNGULO 
3
1
x
5
–1
–16
1
1
1
a
1
– 1
b
3
– 1
1
1
1
3 1 1
 – 3 1 1 
5 5 1
–––––––––––––
2
– 24 
––––––
2
1
–––
3� �
MÓDULO 12
EQUAÇÃO GERAL DA RETA E CASOS PARTICULARES
x
4
2
y
2
4
1
1
1
2 1 1
3 – 2 1 
c 0 1
––––––––––––––
2
FRENTE 3 – GEOMETRIA ANALÍTICA
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 26
2. (UNIFESP-adaptado – MODELO ENEM) – No triângulo APP’
do plano cartesiano, temos A(– 4; 0), P = (4; 2) e P’ o simétrico de P
em relação ao eixo x. A equação geral da reta AP’ é:
a) x + 4y + 4 = 0 b) x + 2y – 8 = 0
c) x – 2y + 1 = 0 d) 2x + y – 6 = 0
e) 3x – 2y – 8 = 0
RESOLUÇÃO:
Sendo P’(4; – 2), a equação geral da reta AP’ é:
= 0 ⇔ – 2x – 4y – 8 – 4y = 0 ⇔
⇔ – 2x – 8y – 8 = 0 ⇔ x + 4y + 4 = 0
Resposta: A
3. (IBMEC) – O gráfico que melhor representa a função real 
f(x) = é:
RESOLUÇÃO:
y = = ⇔
⇔ y = 2, com x ≠ 1 e x ≠ 2
Resposta: E
4. (MACKENZIE) – Os gráficos de x – y – 1 = 0 e y = 2 definem com
os eixos uma região de área:
a) 6 b) c) 4 d) 3 e)
RESOLUÇÃO:
A região definida pelas retas x – y – 1 = 0, y = 2 e os eixos coordenados é a
hachurada abaixo:
Sua área S é igual a:
S = = 4
Resposta: C
x
4
– 4
y
– 2
0
1
1
1
2x2 – 6x + 4
––––––––––––
x2 – 3x + 2
2x2 – 6x + 4
–––––––––––––
x2 – 3x + 2
2(x2 – 3x + 2)
–––––––––––––
x2 – 3x + 2
7
–––
2
5
–––
2
(3 + 1) . 2
––––––––––
2
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT3M215
No Portal Objetivo
– 27
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 27
1. (UNESP) – Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, o
coeficiente angular e a equação geral da reta que passa pelos pontos P
e Q, sendo P = (2; 1) e Q o simé trico, em relação ao eixo y, do ponto
Q’ = (1; 2), são, respectivamente: 
a) ; x – 3y – 5 = 0 b) ; 2x – 3y –1 = 0
c) – ; x + 3y – 5 = 0 d) ; x + 3y – 5 = 0
e) – ; x + 3y + 5 = 0
RESOLUÇÃO:
1) O ponto Q, simétrico de Q’(1;2) em relação ao eixo y, é o ponto 
Q(– 1;2).
2) O coeficiente angular da reta que passa pelos pon tos P(2;1) e Q(– 1;2)
é:
mPQ = = – 
3) A reta r que passa pelos pontos Q(–1;2) e P(2;1) é
= 0 ⇔ x + 3y – 5 = 0
Resposta: C
2. (UFLA – MODELO ENEM) – Seja uma reta r, que no plano
cartesiano passa pelos pontos A(3; 2) e B(5; 4). Seja ainda outra reta s,
que forma um ângulo com r igual a 120°, conforme ilustrado abaixo.
Calcule o ângulo α que s forma com o eixo das abscissas.
RESOLUÇÃO:
1o. ) mr = = 1 ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45°
2o. ) A partir da figura, temos:
α = θ + 60° = 45° + 60° = 105°
Resposta: 105°
3. (MACKENZIE – MODELO ENEM)
O gráfico de y = f(x) está esboçado na figura.
Se = , então é
a) b) –1 c) 2 d) – e) 1
RESOLUÇÃO:
O gráfico y = f(x), esboçado na figura, é uma reta de coeficiente angular 
m = tg 45° = 1 e coeficiente linear h, portanto a equação da reta é:
y = f(x) = 1 . x + h
Sendo = ⇔ = ⇔
⇔ 5h + 25 = 3h + 9 ⇔ h = – 8, 
obtém-se a equação da função y = f(x) = 1 . x – 8
Portanto: = = – 1
Resposta: B
4 – 2
––––––
5 – 3
x
– 1
2
y
2
1
1
1
1
f(4)
––––
4
f(3)
––––
5
f(5)
––––
3
1
–––
2
1
–––
8
3 + h
–––––
5
5 + h
–––––
3
f(3)
––––
5
f(5)
––––
3
4 – 8
––––––
4
f(4)
–––––
4
1
–––
3
2 – 1
–––––––––
– 1 – 2
1
–––
3
1
–––
3
1
–––
3
MÓDULO 13
DECLIVIDADE E EQUAÇÃO REDUZIDA DA RETA
2
–––
3
1
–––
3
28 –
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 28
4. (MACKENZIE) – Se (a;b) é o ponto comum das retas s e t da
figura, ab vale:
a) b) c)
d) e)
RESOLUÇÃO:
1a.) Equação da reta (s): y = – 2
2a.) Equação da reta (t): 
m = tg 30° = (coeficiente angular)
h = 2 (coeficiente linear)
equação: y = m . x + h ⇒ y = . x + 2
3a. ) Se (a; b) é o ponto comum às duas retas, temos:
⇔
Dessa forma:
ab = 
– 2
= 
2
= 
Resposta: E
1. (FEI) – As retas 2x – y = 3 e 2x + ay = 5 são perpendiculares.
Então:
a) a = – 1 b) a = 1 c) a = – 4
d) a = 4 e) a =
RESOLUÇÃO:
Na forma reduzida das equações, resulta: y = 2x – 3 e y = – x + 
Como são perpendiculares: mr =
então: – = – ⇒ a = 4
Resposta: D
2. (FUVEST) – O conjunto dos pontos (x,y), do plano cartesiano que
satisfazem t2 – t – 6 = 0, em que t = 
x – y
, consiste de 
a) uma reta. b) duas retas paralelas. c) quatro retas.
d) uma parábola. e) duas retas concorrentes.
RESOLUÇÃO:
O conjunto dos pontos (x, y) são duas retas paralelas, pois:
1) t2 – t – 6 = 0 ⇔ t = 3 ou t = –2
2) t = | x – y | = – 2 ⇒ ∃/ (x, y)
3) t = | x – y | = 3 ⇔ x – y = 3 ou x – y = – 3
Resposta: B
��3
––––
3
��3
––––
3
b = – 2
12
a = – –––– 
��3
�
b = – 2
��3
b = –––– a + 2
3
�
1
–––
48
��3�– –––––�
12
12�– –––––���3
MÓDULO 14
POSIÇÃO RELATIVA DE DUAS RETAS –
EQUAÇÃO DO FEIXE DE RETAS
1
––
4
5
––
a
2
––
a
– 1
–––––
ms
1
––
2
2
––
a
16
––––
��3
1
–––
32
1
–––
24
1
–––
48
4
–––––
3��3
– 29
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 29
3. Na figura abaixo, os pontos A, B e C estão represen tados em um
sistema de eixos cartesianos ortogonais entre si, de origem O.
A reta que passa por C e é paralela à reta AB é:
a) x + y – 2 = 0 b) x – y + 2 = 0
c) x – y + 1 = 0 d) x – y – 2 = 0
e) 3x – y – 10 = 0
RESOLUÇÃO:
1o.) Sendo A(2; 1) e B(3; 4), temos mAB = = 3, e a reta paralela à 
reta AB tem coeficiente angular igual a 3.
2o.) A reta que passa pelo ponto C(4; 2) e é paralela à reta AB temcoeficiente angular igual a 3, e sua equação é: 
y – 2 = 3 . (x – 4) ⇔ 3x – y – 10 = 0
Resposta: E
4. (FGV) – Considere os pontos A = (1; – 2); B = (– 2; 4) e 
C = (3; 3). A reta que contém a altura do triângulo ABC pelo vértice C
tem equação:
a) 2y – x – 3 = 0 b) y – 2x + 3 = 0
c) 2y + x + 3 = 0 d) y + 2x + 9 = 0
e) 2y + x – 9 = 0
RESOLUÇÃO:
Sendo r a reta que contém a altura do triângulo ABC pelo vér tice C e mAB
e mr, respectivamente, os coe ficientes angulares das retas 
←→
AB e r, temos:
�mAB = = – 2 ⇒ mr = 
r ⊥
←→
AB
Dessa forma, a equação da reta r é:
y – 3 = (x – 3) ⇒ 2y – x – 3 = 0
Resposta: A
1. (FUVEST) – Qual é o raio da circunferência de centro C(– 1; 4) e
tangente à reta 2x – y – 5 = 0?
RESOLUÇÃO:
O raio r da circunferência de centro C(–1;4) e tangente à reta 
2x – y – 5 = 0 é a distância entre o ponto C e a reta.
Assim:
r = = 
Resposta: O raio da circunferência é .
1
–––
2
–2 – 4
–––––––
1 – (–2)
1
–––
2
4 – 1
––––––
3 – 2
MÓDULO 15
DISTÂNCIA DE PONTO A RETA
11����5
–––––––
5
2(– 1) – 4 – 5
–––––––––––––––
����������� 22 + (–1)2
11����5
–––––––
5
30 –
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 30
2. (USF) – Na figura, A e B são pontos da reta r de equação 
3x – 4y + 10 = 0. Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo
equilátero e o ponto C tem coordenadas (2; – 1). O perímetro do
triângulo ABC, em unidades de comprimento, é:
a) ���3 b) 2���3 c) 4���3 d) 6���3 e) 8���3
RESOLUÇÃO:
A altura do triângulo ABC é a distância do ponto C à reta AB, assim:
h = = = 4
Sendo: h = e h = 4, temos: 4 = ⇔ � = 
Portanto, o perímetro do triângulo equilátero é igual a 3 . � = 8 . ���3 .
Resposta: E
3. Um quadrado tem lados nas retas de equações
(r) 3x + 4y – 1 = 0 e (t) 3x + 4y + 19 = 0. A área do quadrado é igual
a:
a) 2 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16
RESOLUÇÃO:
A distância entre as retas
(r) 3x + 4y – 1 = 0 e (t) 3x + 4y + 19 = 0 é igual a:
d = = = 4, que representa o lado do quadrado. 
Portanto, a área do quadrado é: A = 42 = 16
Resposta: E
4. (UNIFESP) – Dada a matriz, 3 x 3, A = , a 
distância entre as retas r e s de equações, respectivamente, det(A) = 0
e det(A) = 1 vale:
a) b) ���2 c) 2 d) 3 e) 3���2 
RESOLUÇÃO:
Sendo:
A = 
Tem-se: det(A) = 0 ⇔ 2x – 2y = 0 ⇔ x – y = 0 (r)
det(A) = 1 ⇔ 2x – 2y – 1 = 0 ⇔ x – y – = 0 (s)
As retas r e s são paralelas e a distância entre elas é:
d = = =
Resposta: A
5. (MACKENZIE) – Um quadrado ABCD, de lado 3, tem os vértices
consecutivos A e B na reta y = x. Se os vértices C e D estão na reta 
y = ax + b, então a . b pode ser:
a) 4���2 b) 2���3 c) 3���2 d) 3���3 e) 2���2
RESOLUÇÃO:
20
–––
5
19 + 1
––––––––––
��������� 32 + 42
�
x
1
– 1
y
1
– 1
1
1
1�
���2
––––
4
�x1– 1
y
1
– 1
1
1
1�
1
–––
2
���2
––––
4
1
–––
2
––––––
���2
1
0 + –––
2
–––––––––––
���������12 + 12
20
––––
5
3 . 2 – 4 . (– 1) + 10
––––––––––––––––––––
��������� 9 + 16
8 . ���3
–––––––
3
� . ���3
–––––––
2
� . ���3
–––––––
2
– 31
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 31
1o.) As retas y = x e y = ax + b são paralelas (contêm os lados opostos 
—
AB e
—
CD do quadrado), portanto a = 1.
2o. ) A distância entre as 2 retas é a medida do lado do quadrado, igual a 3;
assim:
d = 3 ⇒ = 3 ⇔ 
b
 = 3���2 ⇔ b = ± 3���2 
Portanto: a . b = ± 3���2
Resposta: C
1. (UNESP) – A equação da circunferência com centro no ponto 
C = (2; 1) e que passa pelo ponto P = (0; 3) é dada por:
a) x2 + (y – 3)2 = 0 b) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4
c) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 8 d) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 16
e) x2 + (y – 3)2 = 8
RESOLUÇÃO:
Se P(0; 3) está na circunferência de centro C(2; 1), então o raio r dela é 
r = CP = �������������������(2 – 0)2 + (3 – 1)2 = ���8 = 2���2
E sua equação é: (x – 2)2 +(y – 1)2 = 8
Resposta: C
2. (UNIV. PASSO FUNDO – MODELO ENEM) – A equação da
circunferência de centro C, representada no gráfico é:
a) x2 + y2 – 6x + 4y + 9 = 0 b) x2 – y2 + 6x – 4y + 4 = 0
c) x2 + y2 + 6x + 4y + 9 = 0 d) x2 + y2 + 6x – 4y + 9 = 0
e) 3x2 + 2y2 + 6x – 4y = 0
RESOLUÇÃO:
Se a circunferência é tangente ao eixo x, então o raio r = 2.
A circunferência de centro C(– 3; 2) e raio r = 2 tem equação:
(x + 3)2 + (y – 2)2 = 22 ⇔ x2 + y2 + 6x – 4y + 9 = 0
Resposta: D
3. (UFSM) – A equação da circunferência de centro C(2; 1) e tan gente
à reta 3x – 4y + 8 = 0 é:
a) (x2 + 2)2 + (y – 1)2 = 8 b) (x2 – 2)2 + (y – 1)2 = 2
c) (x – 2)2 + (y + 1)2 = 2 d) (x – 2)2 + (y – 1)2 = 4
e) (x – 2)2 – (y – 1)2 = 4
RESOLUÇÃO:
r = dCt = = = 2
Equação da circunferência de C(2; 1) e r = 2:
(x – 2)2 + (y – 1)2 = 4
Resposta: D
4. (UFU) – Ache o valor do número real k, para que a cor da,
determinada pela intersecção da reta y = k . x com a circunferência 
(x – 4)2 + (y – 2)2 = 5, tenha comprimento máximo.
a) 2 b) 3 c) d) e) – 2
RESOLUÇÃO:
A circunferência tem centro C(4; 2) e raio r = ���5 .
A corda tem comprimento máximo quando é o próprio diâmetro, então:
C(4; 2) ∈ à reta y = k . x ⇔ 2 = k . 4 ⇔ k = 
Resposta: C
10
–––
5
|3 . 2 – 4 . 1 + 8|
–––––––––––
���������������32 + (– 4)2
b – 0
––––––––––––––
����������12 + (– 1)2
MÓDULO 16
CIRCUNFERÊNCIA E ELIPSE
1
–––
2
1
–––
4
1
––
2
32 –
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 32
5. (FATEC) – Num sistema de eixos cartesianos ortogonais, con sidere
a circunferência λ e a reta r, de equações 
x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 e 3x + 7y – 21 = 0.
A reta s, que é paralela a r e contém o centro de λ, tem equação
a) 3x + 7y – 2 = 0 b) 3x – 7y – 2 = 0
c) 3x – 7y + 5 = 0 d) 7x + 3y – 2 = 0
e) 3x + 7y – 16 = 0
RESOLUÇÃO:
I) A circunferência λ, de equação x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 ⇔
⇔ (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4, possui centro C(3; – 1) e raio R = 2.
II) A reta s, paralela à reta r, tem equação 3x + 7y + k = 0 e, como contém
o centro de λ, 3.3 + 7.(– 1) + k = 0 ⇒ k = – 2
Logo, a equação de s é 3x + 7y – 2 = 0
Resposta: A
1. (FGV-SP) – Dada a equação x2 + y2 = 14x + 6y + 6, se p é o maior
valor possível de x, e q é o maior valor possível de y, então, 3p + 4q é
igual a
a) 73 b) 76 c) 85 d) 89 e) 92
RESOLUÇÃO:
Da equação da circunferência x2 + y2 – 14x – 6y – 6 = 0, temos como centro
o ponto de coordenadas (7; 3) e raio igual a 8.
Sendo p = 7 + r = 7 + 8 = 15 ( o maior valor de x) e q = 3 + r = 3 + 8 = 11 
(o maior valor de y), temos: 3p + 4q = 3 . 15 + 4 . 11 = 45 + 44 = 89
Resposta: D
2. (FGV – MODELO ENEM) – A circunferência γ da figura seguinte
é tangente aos eixos x e y e tem equação x2 + y2 – 6x – 6y + 9 = 0. A
área da superfície sombreada é
a) 9(π – 1)
b) 81π – 9
c)
d)
e)
RESOLUÇÃO:
A circunferência de equação x2 + y2 – 6x – 6y + 9 = 0 tem centro C(3;3) e
raio 3.
A área S da superfície sombreada é dada por 
S = 32 – ⇔ S = 
Resposta: C
9(4 – π)
––––––––
4
9(9π – 4)
–––––––––
4
6(6 – π)
–––––––––
4
MÓDULO 17
CIRCUNFERÊNCIA E ELIPSE
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT3M216
No Portal Objetivo
9(4 – π)
––––––––
4
π . 32
–––––––
4
– 33
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 33
3. (UNESP) – A equação da elipse de focos F1 = (– 2, 0), F2 = (2, 0)
e eixo maior igual a 6 é dada por:
a) + = 1 b) + = 1
c) + = 1 d) + = 1
e) + = 1
RESOLUÇÃO:
A elipse de focos F1(– 2;0) e F2(2;0) e eixo maior igual a 6 é tal que:
⇒ 9 = b2 + 4 ⇒ b2 = 5
A equação da elipse é dada por:
+ = 1 ⇒ + = 1
Resposta: B
4 (ITA-adaptada) – Uma elipse com cen tro na origem, eixos
contidos nos eixos coordenados, passa pelos pontos (1, 0) e (0, – 2).
Determinar a equação, a excentricidade e a distância focal dessa elipse.
RESOLUÇÃO:
A elipse tem eixo maior vertical (2a = 4), eixo menor horizontal (2b = 2),
portanto: a2 = b2 + f2 ⇒ 4 = 1 + f 2 ⇒ f 2 = 3 ⇒ f = ��3
Portanto:
1) equação reduzida: + = 1
2) excentricidade: e = =
3) distância focal: 2 . f = 2 . ���3
Respostas: + = 1
e =
f = 2 ���3
5. (USF) – As medidas dos lados de um retân gulo são iguais às
medidas do eixo maior e do eixo menor da elipse de equação 
+ = 1. Nes sas condi ções, a diagonal doretângulo mede, 
em u.c.:
a) 8 b) 4 c) ����10 d) 3 e) ���6
RESOLUÇÃO:
A elipse + = 1 tem: a2 = 10 ⇒ a = ����10
b2 = 6 ⇒ b = ���6 
eixo maior: 2a = 2 ����10 = ����40
eixo menor: 2b = 2���6 = ����24
O retângulo de lados ����40 e ����24 tem diagonal
d2 = (����40)2 + (����24)2 = 64 ⇒ d = 8.
Resposta: A
y2
––––
4
x2
––––
1
���3
––––
2
f
–––
a
y2
––––
4
x2
––––
1
���3
––––
2
	f = 2a = 3
a2 = b2 + f2
y2
––––
5
x2
––––
9
y2
––––
b2
x2
––––
a2
y2
–––
15
x2
–––
6
y2
–––
15
x2
–––
9
y2
–––
25
x2
–––
4
y2
–––
5
x2
–––
9
y2
–––
20
x2
–––
10
x2
–––
10
y2
–––
6
x2
–––
10
y2
–––
6
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT3M217, MAT3M218 e MAT3M219
No Portal Objetivo
34 –
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 34
1. Considere a hipérbole de equação – = 1. Obter as 
medidas do eixo transverso, do eixo conjugado e da distância focal.
RESOLUÇÃO:
A partir da equação temos:
a2 = 36 ⇒ a = 6… eixo transverso = 2a = 12
b2 = 25 ⇒ b = 5 … eixo conjugado = 2b = 10
f2 = a2 + b2 ⇒ f2 = 36 + 25 = 61 ⇒ f = �����61
distância focal = 2f = 2 . �����61
2. (CESGRANRIO) – Determinar os focos e esboçar o gráfico da
curva de equação y2 – 4x2 = 16.
RESOLUÇÃO:
y2 – 4x2 = 16 ⇔ – = 1
representa uma hipérbole com focos no eixo y, sendo:
a2 = 16 ⇒ a = 4
b2 = 4 ⇒ b = 2
O gráfico é do tipo: 
Então: f2 = a2 + b2 = 16 + 4 = 20 e f = ����20 = 2���5. Os focos têm coor dena -
das: F1(0; 2���5 ) e F2(0; – 2���5 ).
3. (UNIRP) – Qual é o lugar geométrico dos pontos do plano que são
equidistantes do ponto F(2; 0) e da reta (d) de equação x = – 2.
RESOLUÇÃO:
O L.G. dos pontos equidistantes de F e d (PF = PD), constituem uma
parábola, cuja equação é y2 = 4 . f . x, com f = 2
Portanto: y2 = 4 . 2 . x ⇔ y2 = 8 . x
4. (MACKENZIE) – A equação da parábola que tem vértice no ponto
V(4; 1) e foco F(2; 1) é:
a) (y – 1)2 = – 16 . (x – 4) b) (y – 4)2 = 8 . (x – 1)
c) (y – 1)2 = 2 . (x – 4) d) (y – 2)2 = – 4 . (x – 1)
e) (y – 1)2 = – 8 . (x – 4)
RESOLUÇÃO:
Com base na figura, temos:
(y – 1)2 = – 4 . 2 . (x – 4)
(y – 1)2 = – 8 . (x – 4)
Resposta: E
x2
–––
4
y2
––––
16
MÓDULO 18
HIPÉRBOLE E PARÁBOLA
y2
–––
25
x2
–––
36
– 35
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 35
36 –
FRENTE 4 – GEOMETRIA PLANA E GEOMETRIA MÉTRICA
1. (FGV) – Entre as representações gráficas, a que melhor descreve a
área A de um triângulo equilátero em função do comprimento � do seu
lado é
RESOLUÇÃO:
A área A de um triângulo equilátero de lado � é A = . 
A representação gráfica de A = . �2 é
Resposta: E
2. (UNESP) – A figura representa um triângulo retângulo de vértices
A, B e C, onde o segmento de reta DE é paralelo ao lado AB do
triângulo.
Se AB = 15 cm, AC = 20 cm e AD = 8 cm, a área do trapézio ABED,
em cm2, é
a) 84. b) 96. c) 120. d) 150. e) 192.
RESOLUÇÃO:
Como
—
DE // 
—
AB temos: 
C
^
DE = C
^
AB = 90°
Assim, os triângulos CDE e CAB são semelhantes e, portanto:
= ⇒ = ⇔ DE = 9 cm
Logo, sendo S a área do trapézio ABED, em cen tímetros quadrados, temos:
S = = = 96
Resposta: B
MÓDULO 11
ÁREA DAS FIGURAS PLANAS
�2 . ���3
––––––––
4
���3
–––––
4
DE
––––
AB
CD
––––
CA
DE
––––––
15 cm
12 cm
–––––––
20 cm
(AB + DE) . AD
–––––––––––––––
2
(15 + 9) . 8
––––––––––––
2
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 36
– 37
3. (UNIFESP – MODELO ENEM) – O hexágono cujo interior
aparece destacado em cinza na figura é regular e origina-se da
sobreposição de dois triângulos equiláteros.
Se k é a área do hexágono, a soma das áreas desses dois triângulos é
igual a:
a) k. b) 2k. c) 3k. d) 4k. e) 5k.
RESOLUÇÃO:
Na figura ao lado o triângulo ABC e o triân gulo DEF estão divididos em 9
triângulos equiláteros menores, dos quais o hexágono ocupa seis. Desta
forma, se SABC, SDEF e k, são as áreas, respectivamente, dos triân gulos
ABC, DEF e do hexágono regular, segue:
= = ⇒
⇒ SABC = SDEF = k e SABC + SDEF = k + k = 3k
Resposta: C
4. (FUVEST – MODELO ENEM) – A figura representa sete
hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices
coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então a área
do pentágono hachurado é igual a
a) 3���3 b) 2���3
c) d) ���3
e)
RESOLUÇÃO:
A área S do pentágono hachurado é igual à soma das áreas de dois triân -
gulos equiláteros congruentes de lado 1.
Assim:
S = 2 . ⇔ S = 
Resposta: E
SABC
––––––
k
SDEF
––––––
k
9
–––
6
3
–––
2
3
–––
2
3
–––
2
3���3
–––––
2
���3
––––
2
12 . ���3
––––––––
4
���3
––––
2
Para saber mais sobre o assunto, acesse o PORTAL
OBJETIVO (www.portal.objetivo.br) e, em “localizar”,
digite MAT3M220
No Portal Objetivo
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 37
38 –
1. (UFABC – MODELO ENEM)
As maiores rodas-gigantes do mundo
No início de 2009, serão inauguradas as duas maiores rodas-gi -
gan tes do mundo. Uma em Pequim e a outra em Berlim. Elas su plan -
tarão a Singapore Flyer, a atual recordista em altura.
(Veja; 28.05.2008)
Considerando-se que as alturas indicadas no quadro acima corres pon -
dem ao diâmetro das rodas, e utilizando π = 3,14, pode-se afirmar que
a diferença entre os comprimentos das circunferências das rodas-gi -
gantes de Pequim e Berlim é igual a
a) 63,90 m. b) 72,30 m. c) 87,92 m.
d) 90,03 m. e) 93,40 m.
RESOLUÇÃO:
Sendo CP e CB os comprimentos em metros, das rodas-gigantes de Pequim
e Berlim, respectivamente, temos:
CP – CB = 208π – 180π = 28π = 28 . 3,14 = 87,92
Resposta: C
2. (FUVEST) – Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e
CEA são arcos de circunferências de raio 1. Logo, a área da região
hachurada é
a) 1 – + b) 1 – + 
c) 1 – – d) 1 + – 
e) 1 – – 
RESOLUÇÃO:
Para calcularmos a área S da região assinalada, de vemos calcular a área de
um quadrado de lado 1 e desta área devemos subtrair a área de um
triângulo equilátero de lado 1 e a área ocupada por dois setores circulares
congruentes, com ângulo central de 30° e raio 1.
Assim:
S = 12 – – 2 . . π . 12 ⇔ S = 1 – – 
Resposta: C
Roda-gigante comum Singapore Flyer
Altura 20 metros 165 metros
Inauguração 1893 Março de 2008
Passageiros 50, em média 784
O que se 
vê de cima
Até 6 quilômetros 
de distância
A Malásia e a
Indonésia, a 48
quilômetros
Grande Roda 
de Berlim
Grande Roda 
de Pequim
Altura 180 metros 208 metros
Inauguração 2009 2009
Passageiros 1 440 1 920
O que se vê de
cima 
Tudo em um raio 
de 55 quilômetros
A Grande Muralha, 
a 64 quilômetros
MÓDULO 12
ÁREA DAS FIGURAS CIRCULARES
��3
––––
2
π
–––
3
��3
––––
4
π
–––
6
��3
––––
2
π
–––
3
��3
––––
4
π
–––
6
��3
––––
4
π
–––
3
���3
–––––
4
π
–––
6
30°
–––––
360°
12���3
––––––
4
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 38
3. (FUVEST) – No papel quadriculado da figura abaixo, adota-se
como unidade de comprimento o lado do quadrado hachurado. 
—
DE é
paralelo a 
—
BC. Para que a área do triângulo ADE seja a metade da área
do triângulo ABC, a medida de 
—
AD, na unidade adotada, é
a) 4���2 b) 4 c) 3���3
d) e)
RESOLUÇÃO:
Os triângulos ADE e ABC são semelhantes pelo critério (AA~).
Assim,
=
2
⇔ = ⇔
⇔ (AD)2 = 32 ⇔ AD = ����32 ⇔ AD = 4���2
Resposta: A
4. (FUVEST) – No retângulo ABCD da figura tem-se CD = � e 
AD = 2�. Além disso, o ponto E pertence à diagonal 
—
BD, o ponto F
pertence ao lado 
—
BC e
—
EF é perpendicular a 
—
BD. Sabendo que a área
do retângulo ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF, então 
—
BF
mede
a) ����2 / 8
b) ����2 /4
c) ����2 / 2
d) 3����2 / 4 
e) ����2
RESOLUÇÃO:
1) (BD)2 = (2�)2 + � 2 ⇒ BD = ����5
2) SABCD = 5 . SBEF ⇔ 2 . SDAB = 5 . SBEF ⇔ = (I)
3) Os triângulos BEF e DAB são semelhantes.
Assim: =
2 
(II)
4) De (I) e (II) tem-se finalmente
=
2 
⇔ (BF)2 = 2� 2 ⇔ BF = ����2
Resposta: E
8���3
–––––
3
7���3
–––––
2
SΔADE
––––––––
SΔABC
� AD–––––AB �
1
–––
2
(AD)2
–––––
82
2
–––
5
SBEF
––––––
SDAB
�BF––––BD�
SBEF
––––––
SDAB
�
BF
––––––
����5�
2
–––
5
– 39
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52Página 39
1. (PUC-SP – MODELO ENEM) – Um tanque de uso industrial tem
a forma de um prisma cuja base é um trapézio isósceles. Na figura
abaixo, são dadas as dimensões, em metros, do prisma.
O volume desse tanque, em metros cúbicos, é:
a) 50 b) 60 c) 80 d) 100 e) 120
RESOLUÇÃO:
Ab = m
2 ⇒ Ab = 20m
2
V = Ab . h = 20m
2 . 5m = 100m3
Resposta: D
2. (FMU) – O volume de um prisma hexagonal regular, cuja altura é
10cm e cujo lado da base mede 2cm, é igual a:
a) 120���3 cm3 b) 10���3 cm3 c) 6���3 cm3
d) 120 cm3 e) 60���3 cm3
RESOLUÇÃO:
I) Ab = 6 . = 6���3 cm
2
II) h = 10 cm
III) V = Ab . h
Assim: V = 6���3 . 10 ⇔ V = 60���3 cm3
Resposta: E
3. (UFABC – MODELO ENEM) 
Impacto Ambiental
Hoje, os produtos da moderna tecnologia estão incorporados ao co -
tidiano das pessoas, mas a sua fabricação causa impactos nocivos ao
meio ambiente. É preciso conhecer sua dimensão para controlá-los.
Para fabricar um único microchip de 32 megabytes de memória (figura 1)
usam-se 1,6 kg de combustível fóssil e 72 gramas de substâncias
químicas (Enciclopédia do Estudante, Estadão). É necessária ainda
toda a água contida em um prisma reto de base quadrada (figura 2),
com sua capacidade total preenchida. 
Sabendo-se que a densidade da água, ou massa por unidade de volume, é
de 1g/mL, pode-se concluir que a massa da água usada para fabricar esse
microchip é igual a
a) 400 g. b) 500 g. c) 550 g.
d) 600 g. e) 700 g.
RESOLUÇÃO:
O volume do prisma reto de base quadrada, total mente preenchido com
água, é de 5 cm . 5 cm . 28 cm = 700 cm3 = 0,700 dm3 = 0,7 �
A massa total dessa água é de 1 g/mL . 0,7 � = 1 g/mL . 700 mL = 700 g
Resposta: E
22 . ���3
–––––––
4
(8 + 2) . 4
–––––––––
2
MÓDULO 13
PRISMAS, PARALELEPÍPEDO E CUBO
40 –
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 40
4. (UNESP – MODELO ENEM) – Considere um pedaço de
cartolina retangular de lado menor 10cm e lado maior 20 cm.
Retirando-se 4 quadrados iguais de lados x cm (um quadrado de cada
canto) e dobrando-se na linha pontilhada conforme mostra a figura,
obtém-se uma pequena caixa retangular sem tampa.
O polinômio, na variável x, que representa o volume, em cm3, desta
caixa é:
a) 4x3 – 60x2 + 200x b) 4x2 – 60x + 200
c) 4x3 – 60x2 + 200 d) x3 – 30x2 + 200x
e) x3 – 15x2 + 50x
RESOLUÇÃO:
A caixa retangular sem tampa obtida é um paralelepí pe do reto-retângulo,
cujas dimensões, em cen tímetros, são 20 – 2x, 10 – 2x e x. Assim, o seu
volume V(x) é dado por
V(x) = (20 – 2x) . (10 – 2x) . x ⇔
⇔ V(x) = (4x2 – 60x + 200) . x ⇔ V(x) = 4x3 – 60x2 + 200x
Resposta: A
1. (PASUSP – MODELO ENEM) – Os papiros mostram que os
egípcios antigos possuíam diversos conhecimentos matemáticos. Eles
sabiam que o volume da pirâmide equivale a um terço do volume do
prisma que a contém. A maior pirâmide egípcia, Quéops, construída
por volta de 2560 a.C., tem uma altura aproximada de 140 metros e
sua base é um quadrado com lados medindo aproximadamente 230
metros.
Logo, o volume da pirâmide de Quéops é de aproxima damente (em
milhões de metros cúbicos):
a) 1,2 b) 2,5 c) 5 d) 7,5 e) 15
RESOLUÇÃO:
Sendo V o volume da pirâmide, em metros cúbicos, temos:
V = . Vprisma = . 230
2 . 140 =
= = 2 468 666,66 � 2,5 milhões de metros cúbicos
Resposta: B
2. (FATEC) – Uma pirâmide quadrangular regular de base ABCD e
vértice P tem volume igual a 36���3 cm3.
Considerando que a base da pirâmide tem centro O e que M é o ponto
médio da aresta 
—
BC, se a medida do ângulo P
^
MO é 60°, então a medida
da aresta da base dessa pirâ mide é, em centímetros, igual a
a)
3
������216. b)
3
������324. c)
3
������432.
d)
3
������564. e)
3
������648.
RESOLUÇÃO:
MÓDULO 14
PIRÂMIDES
1
–––
3
1
–––
3
7 406 000
–––––––––
3
– 41
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 41
Sejam a a medida da reta da base e h a medida da altura da pirâmide, em
centímetros.
No triângulo retângulo POM, temos:
tg 60° = ⇒ ���3 = ⇒ h =
Como o volume da pirâmide é 36���3 cm3, temos:
. a2 . h = 36���3 ⇒ . a2 . = 36���3 ⇒ a3 = 216 ⇒ a = 
3
������216
Resposta: A
3. (MACKENZIE – MODELO ENEM) – Uma barraca de lona tem
forma de uma pirâmide regular de base quadrada com 1 metro de lado
e altura igual a 1,5 metro. Das alternativas abaixo, a que indica a menor
quantidade suficiente de lona, em m2, para forrar os quatro lados da
barraca é:
a) 2 b) 2,5 c) 4,5 d) 3,5 e) 4
RESOLUÇÃO:
No triângulo VOM, temos:
(VM)2 = (0,5m)2 + (1,5m)2 ⇔ VM = m
Sendo AL a área lateral da pirâmide, temos:
AL = 4 . = 2 . 1 . = ����10 � 3,1
Assim, a alternativa D é a que indica a menor quan tidade suficiente de
lona.
Resposta: D
4. (UNESP) – Calcular a altura de um tetraedro regu lar de aresta a.
RESOLUÇÃO:
1) AM = 
2) OM = . = 
3) (AO)2 + (OM)2 = (AM)2 ⇔ h2 = ( )2–( )2 ⇔
⇔ h2 = ⇔ h2 = ⇔ h = 
Resposta: 
1. (FATEC – MODELO ENEM) – Um tanque para depósito de
combustível tem a forma cilíndrica de dimensões: 10m de altura e 12m
de diâmetro. Periodicamente é feita a conservação do mesmo,
pintando-se sua superfície lateral externa. Sabe-se que com uma lata de
tinta pintam-se 14m2 da superfície. Nessas condições, é verdade que a
menor quantidade de latas que será necessária para a pintura da
superfície lateral do tanque é:
a) 14 b) 23 c) 27 d) 34 e) 54
RESOLUÇÃO:
a ���3
––––––
2
a ���3
––––––
6
a ���3
––––––
2
1
––
3
a ���3
––––––
6
a ���3
––––––
2
a ���6
––––––
3
6 a2
––––
9
24 a2
–––––
36
a ���6
––––––
3
MÓDULO 15
CILINDROS E CONES
����10 
–––––
2
����10 
–––––
2
(BC) . (VM)
–––––––––––
2
a���3
–––––
2
h
––––
a
––
2
h
––––
a
––
2
a���3
–––––
2
1
–––
3
1
–––
3
42 –
C2_3o_MAT Exer Rose_2013 25/09/12 12:52 Página 42
A área lateral de um cilindro circular reto de raio 6m e altura 10m, em m2,
é: 
Slateral = 2 . π . 6 . 10 = 120 π
A menor quantidade de latas de tinta necessária para a pintura desta
superfície lateral é:
Slateral 120π 120 x 3,14 
n = –––––––– = –––––– ≅ ––––––––––– ≅ 27
14m2 14 14
Resposta: C
2. (UNESP – MODELO ENEM) – A base metálica de um dos
tanques de armazenamento de látex de uma fábrica de preservativos
cedeu, provocando um acidente ambiental. Nesse acidente, vazaram
12 mil litros de látex. Considerando a aproximação π = 3, e que 1 000
litros correspondem a 1 m3, se utilizássemos vasi lha mes na forma de
um cilindro circular reto com 0,4 m de raio e 1 m de altura, a
quantidade de látex derramado daria para encher exatamente quantos
vasilhames? 
a) 12. b) 20. c) 22. d) 25. e) 30. 
RESOLUÇÃO:
1) O volume de cada vasilhame, em metros cúbicos, e supondo π = 3, é: 
V = 3 . (0,4)2 . 1 = 0,48
2) A quantidade de vasilhames para armazenar os 12 m3 de látex é 
12 ÷ 0,48 = 25
Resposta: D
3. (UNESP – MODELO ENEM) – Por ter uma face aluminizada, a
embalagem de leite “longa vida” mostrou-se conveniente para ser
utilizada como manta para subcoberturas de telhados, com a vantagem
de ser uma solução ecológica que pode contribuir para que esse
material não seja jogado no lixo. Com a manta, que funciona como
isolante térmico, refletindo o calor do sol para cima, a casa fica mais
confor tável. Determine quantas caixinhas precisamos para fazer uma
manta (sem sobreposição) para uma casa que tem um telhado
retangular com 6,9 m de com primento e 4,5 m de largura, sabendo-se
que a caixinha, ao ser desmontada (e ter o fundo e o topo abertos), toma
a forma aproximada de um cilindro oco de 0,23 m de altura e 0,05 m
de raio, de modo que, ao ser cortado acompanhando sua altura,
obtemos um retângulo. Nos cálculos, use o valor aproximado π = 3.
RESOLUÇÃO:
1o.) A área S, em metros quadrados, do telhado a ser coberto por essa manta
refletiva é dada por: S = 4,5 . 6,9 = 31,05
2o.) A área A, em metros quadrados, do retângulo obtido na desmontagem
da caixa de leite “longa vida” é dada por: A = 2 . π . 0,05 . 0,23 = 0,069
Assim, o número de embalagens que devem ser des mon tadas para a
confecção da manta é:
= = 450 
Obs.: = 15; = 30 e 15 . 30 = 450
Resposta: 450 caixinhas
31,05
—–––—–
0,069
S
——
A
6,9
—––––
0,23