Lista de Exercicio - Integração

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1 
 UNIFACS – UNIVERSIDADE SALVADOR 
DEAR – Departamento de Engenharia e Arquitetura 
Disciplina: Cálculo Integral 
 
 
1ª Lista de Exercícios – 20011.2 
 
 
I. Conceito de Primitiva. 
1. Use o conceito de primitiva e verifique se as seguintes integrais indefinidas estão corretas. 
 
(a) 
      cxcoslndx xtg
= ln(sec(x)) +C (b) 
  c)x7sen(dx )x7cos(
 
(c)
  cedx
e
x x
x


 
3
3
2
2
2
6
1
 (d)   
 

 c
6
4sen2
d 4sen2)4(cos
3 
(e)
 
   c|tln|lndttln.t
3
 (f) 
  

cxarctg2dx
x1
2
2
 
(g) 
  cedy
y
e y
y (h) sen(3 ) 1
ln |1 cos(3 ) |
1 cos(3 ) 3
t
t C
t

  

 
 
 
2. Determine: 
 a) Uma função f(x) tal que f ´(x) + 6 sen(3x) = 0 e f (0) = 5 
 b) A primitiva F(x) da função f (x) = 
3
22
x
 1)-(2x
 que passa pelo ponto P=(1, 3/2) 
 c) A imagem f 
 
4

, sabendo-se que 
  Cxxxdxx
2x
2
1
cos.sen)f(
 
 
II. Integrais Imediatas 
 Calcule as seguintes integrais imediatas: 
(a) 


 dx
x
1x2x
2
3 (b) 
   dx
x
xxx ] 
3
2
sec6[ 2
 (c) 
  2
2
2
[sen 3 3 ]
1
xx e dx
x
 

 
(d)
dx 
x
1x 2


 (e)
  x3e
dx
 (f) 
  x7cos
dx
2
 
 
 
 
 
 
 
 2 
 
 
III. Integrais Definidas e Cálculo de Área 
 
 1. Calcule as seguintes integrais definidas: 
 
(a) 

3
1 2
23
 dx
x
5x4x2
 
 
(b) 
 
1
2 3
0
 t t t dt
 (c) 
 
6
3
 dx4x 
 
 
2. Determine a área limitada pela parábola y = x
2
 + 1 e pela reta y = –x + 3 . 
 
 
3. Visualize os gráficos abaixo e determine a área da região do plano limitada por essas curvas. 
 
(a) xy = 4 e x + y = 5. (b) y = 2x, y = 2x - x2, x = 0 e x = 2. 
 
(c) y = 2x, y = 1 e y = 2/x 
(d) y = x
3
 – 3x, y = 2x2 
 
(e) y = x
3 
e y=x
2
 + 2x 
 
(f) y = 9/x, y = 9x, y = x 
 
 
 
 
4. Determine o valor das áreas sombreadas nas figuras abaixo. Se possível verifique suas respostas usando áreas 
conhecidas no Ensino Médio (triângulos, trapézios) ou em um programa computacional. 
 
a) b) c) d) 
 
 
 
 
 
IV) Integração por substituição de variáveis: 
 
Resolva as seguintes integrais usando o método de substituição de variáveis: 
1) 
52 xdx
 2)
  ( 0)sen ax dx a
 3) 
 2 3 1
dx
sen x
 4)  cos 5x dx
 
5) 
3 7
dx
x
 6)  2tg x dx
 7) 
2 cossen x x dx
 8) 
2 1x x dx
 
9) 
22 3
x dx
x 

 10) 
2cos 1
dx
x tgx

 11)  ln 1
1
x
dx
x


 12) cos
2 1
x dx
sen x

 
 3 
13) 2
21
arctg x dx
x
 14) 
ln
dx
x x
 15)  2 4 33 2x x x dx  
 16) 
21 2
dx
x
 
17) 
216 9
dx
x

 18) 
24 9
dx
x
 19)  
 
2
2 10
2 9
x
dx
x

 

 20) 
cos (ln )
dx
x
x
 
21) 
  1xx
dx
 22) 
 
dx 
x
xln3

 23) 
  xx ee
dx
 
 
 
 
V) Aplicações 
 
1) Uma partícula move-se ao longo de um eixo s. Use a informação dada para encontrar a função-posição da 
partícula. 
 a) 
3 2v(t) t 2t 1 e s(0) 1   
 
 b) 
a(t) 4cos(2t); v(0) 1; s(0) 3    
 
 
2) Uma partícula move-se com uma velocidade de 
v(t)
m/s ao longo de um eixo s. Ache o deslocamento e a 
distância percorrida pela partícula, durante o intervalo de tempo dado. 
 a) 
v(t) sen(t); 0 t
2

  
. b) 
v(t) cos(t); t 2 .
2

   
 
3) Uma partícula move-se com aceleração 
2m/s
 ao longo de um eixo s e tem velocidade 
0v m/s
, no instante 
t 0
. Ache o deslocamento e a distância percorrida pela partícula durante o intervalo de tempo dado. 
 
 a) 
0a(t) 2; v 3; 1 t 4    
 b) 
0
1
a(t) ; v 2; 0 t 3
5t 1
   

 
4) Um país tem 100 bilhões de m
3
 de reserva de gás natural. Se A(t) denota o total de gás consumido após t anos, 
então dA/dt é a taxa de consumo. Se a taxa de consumo é prevista em 5 + 0,01t bilhões de m
3
 por ano, qual o tempo 
aproximado, em anos, em que as reservas estarão esgotadas? 
 
 
VI) Integrais por Partes:. 
 
 Resolva as integrais abaixo. 
 
1) 
 xdxln
 2)
 dxxe
x
 3)
 dx
x
xln
 4)  xdxsecx 2 
5)
  dxe)x2x(
x2
 6)
 xdxcosx
2
 
 
Use que 
2
x2cos1
xcos2


 
7)
 senxdxe
x
 8)
  dx)e1(x3(
3x5 
(Escreva x
5
 = x
3
.x
2
) 
9) 
 xdxlnx
2
 10) arctgxdx
 11) 
 xdxsec
3
 
12) 
dx
)x1(
x
22
2


; 
xdx
u x;dv
2 2
(1 x )
 

 
 
 
 
 
13) 
 xdx3arctg
 14) 
  senxdx)1x(
2
 15) 
 dxxcosx3
38
 16) 
  xdxln)1x4x16(
3
 
 
 4 
 
 
 
 
VII) Integração por decomposição de frações parciais. 
 
Resolva as integrais abaixo. 
 
 
1) 
 
1x
dx
2 
 2) 
 
6x5x
dx
2 
 3) 
 
x3x
dx
2 
 4) 
 dx
)7x)(1x(
3x2



 
5) 
 dx
x3x
1xx
2
2



 6) 
 dx
4x3x
10x5
2 

 7) 
 dx
1x
2xx
2
2



 8) 
 dx
)2x()1x(
1x
2 

 
9) 
 dx
xx2x
6x20x5
23
2



 10) 
 dx 
x2x
4x2
 23 

 11) 4 2
3 2
3 1
6
x x
dx
x x x
 
 
 12) 
  
2
2
3 7
2 3 1
x x
dx
x x
 
 

 
13) 
2 2
0
dx
a
x a


 14) 
  
9
5 2
x
dx
x x

 
 15) 
 
1
20
2 3
1
x
dx
x



 16) 
  
2
2
1
4 7 12
2 3
x x
dx
x x x
 
 
 
 
 
VIII) Integração de funções racionais quando o denominador possui fatores irredutíveis de 2º grau. 
 
Resolva as integrais abaixo. 
 
1) 
dx
x
x

1
2
4
4 2)  
  
dx
xx
xx



22
2
11
32
 3) 
dx
x
x



416
168
 4) 
2
2 3
9 12 8
x
dx
x x

 
 
5) 2
2
4 3 2
4 4 3
x x
dx
x x
 
 
 6)  
2
5
2 4 3
x
dx
x x

 
 7) 2
3
2 4
4
x x
dx
x x
 

 
 
 
 
IX) Integrais trigonométricas: 
 
Resolva as integrais abaixo. 
1) 
 xdxsen
2
 2) 
 xdxsen
3
 3) 
 xdxxsencos
25
 4) 
2 315sen xcos xdx
 
5) 
sen(3x)cos(5x)dx
 6) 
3 4sen (2x)cos (2x)dx
 7) 
515sen xdx
 8) 
 5cos 3 3x dx
 
 
Obs: Para resolver 5) use a fórmula
))ba(sen)ba(sen)(2/1(bcossena 
 
 
 
X) Cálculo de Área 
 
Calcule a área da região limitada pelas seguintes curvas 
 
 1) y = lnx; x = 2 e o eixo OX; 2) y = xe
x
; y = e e o eixo OY 
 
 
 5 
 
 
 
 
 
XI) Miscelânea 
 
Resolva as seguintes integrais indefinidas pelos métodos de integração vistos: 
 
1) 
 





 dx
x
1
x3cos
e
1
x2
 
2) 
 xdxsen
5
 3) 
 

xln.x
dx
2
 
4) 
 xcos2xdx
 5) 
 xdxxcos
2
 6) 

 1x3x
dx
2
 
7) . 

 dxxe 3x
 8) 
 dxex.
x322
 9) 
 dx
1x6x
2x
3
2


 
10) 
  dxxx 32
2
 11) 



1xx
dx)1x3(
2
 12) xdxtg4 
13) 

 dx3xe 2x
 14) 
   dx xsecxtg 22
 15) 
dx
2x3x
1x2
2 

 
16) 
 
 
dx 
x3cos
x3sen
3 4

 17)



2x1
dx)1x(
 18)  xdxcos3 
19) 

 x2
x2
e2
dxe 
20) 

 4x1
xdx
 21) 

 x2
x
e1
dxe 
22) 

xsen
xdxcos
4
3 
23) 
  dx)3xln(
 24) 
 xdxlnx
 
25) 

 x10
dx
 26)  xdx3cose x2 27) 



dx
x4x
8xx
3
45 
28) 

 )2x()1x(
dx
2
 29) 
dx
xx
x2
2
3


 30) 

 x2
x
e4
dxe 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
 
 
 
Respostas 
 
Respostas 
I. 1.. não : (b) , (d) e (g) 
 
2. (a) 2cos(3x)+3 
(b) 
2
2
1
2 4ln
2
x x
x
 
 (c)
8
)22(  
II. (a) 2 1
2ln
2
x
x C
x
  
 (b) 
5
2
2
2
6 ( )
5 3
x
x tg x C  
 ( c )  
 2
cos 3 3
2
3 2
x
x
e arctg x C

  
 
 (d)
2
ln
2
x
x C 
 (e) 
 3
3
x
e
C



 (f) 
 7
7
tg x
C
 
 
III) 1) a) 10/3; b) 1/70; c) 53/2; 2) 4,5; 3) a) 
15
8ln (2)
2

; b) 
3 4
ln(2) 3

; c) 
3
2ln(2)
4
 
; d) 
71
6
; e) 
37
12
f) 
18ln(3)
; 
4) a) 7/3; b) 8/3; c) 5/2; d) 11/4 
 
IV) 1) 
 
52
5ln 2
x
C
 2) 
 cos ax
C
a
 
 3) 
 cot 3 1
3
g x
C

 
 4) 
 5
5
sen x
C
 5) 
1
ln | 3 7 |
3
x C 
 
 6) 
 
1
ln cos 2
2
x C 
 7) 
3
3
sen x
C
; 8) 
 
3
21 1
3
x C 
; 9) 
21 2 3
2
x C 
 10) 
2 1tgx C 
 11) 
 2ln 1
2
x
C


 
 12) 
2 1senx C 
 13) 
3
3
arctg x
C
 14) 
ln ln x C
 15) 
 
2 4 33
2ln 3
x x
C
 

 16) 
 1 2
2
arctg x C
 
17) 
1 3
3 4
x
arcsen C
 ; 18) 
2 31
ln
12 2 3
x
C
x



 19) 
  2 2ln 2 9 2
3
x
x arctg C
 
    
 
 20) 
 lnsen x C
; 
21) 
2ln ( 1)x C 
; 22) 
4(ln )
4
x
C
; 23) 
xarctg e C
 
 
V) 1) a) 
4 31 2t t t 1
4 3
  
 b) 
cos(2t) t 2  
 2) a) deslocamento=1; distância=1 b) 
deslocamento=-1; distância=3 
 3) a) deslocamento= - 6; distância= 13/2 b) deslocamento = 204/25; distância = 204/25 4) 
aproximadamente 19,62 anos 
 
VI) 1) 
 ln 1x x C 
 2) 
 1xe x C 
 3) 
 2ln 4x x C 
 4) 
ln cosxtg x x C 
 5) 
2 xx e C
 
6) 
    2
1 1
2 cos 2
4 2
x sen x x x C
 
   
 
 7) 
 
1
cos
2
xe senx x C 
 8) 
 
3
6
3 1
2
xx e x C  
 9) 
3 1
ln
3 3
x
x C
 
  
 
 
10) 
21 ln 1
2
x arctg x x C  
 11) 
 
1
sec ln| sec |
2
xtgx x tg x C  
 12) 
 2
1 1
2 21
x
arctg x C
x
  

 
13) 
   2
1
3 ln 9 1
6
x arctg x x C  
 14) 
     2 1 cos 2x x x sen x C   
 15) 
6 3 3 3 32 cos 2x sen x x x sen x C  
 
16) 
     4 2 4 2ln . 4 2x x x x x x x C     
 
 7 
 VII) 1) 
C
x
x



1
1
ln
2
1
 2) 
C
2x
3x
ln 


 3) 
C
x
x

 3
ln
3
1
 4) 
C7xln
6
11
1xln
6
1

 5) 
1 7
ln ln 3
3 3
x x x C   
 
 6) 
2 ln 4 3ln 1x x C   
 7) 
2ln 1 ln 1x x x C    
 8) 
C) |
1x
2x
| ( ln3
1x
2
C|2x|ln3|1x|ln3
1x
2







 
 9) 
C) |
1x
x
| ( ln
1x
9 6





 10) 
C) |
x
2x
| ( ln2
x
2



 11) x + 
2 1 1 11
ln ln 2 ln 3
2 6 2 3
x
x x x C     
 
12) 
C
1x
3
3x2
1x
ln 




 13) 
1
ln
2
x a
C
a x a



 14) 
2ln 5 ln 2x x C   
 15) 
1
2ln 2
2

 16) 
3ln
5
9
2ln
5
27

 
VIII) 1) 
C
1x
1x
ln
2
1
arctgxx2 



 2) 
C
x
xxarctgx 


1
1
1ln1ln 2
 3) 
C
2
x
arctgx2lnx4ln 2 






 4) 
C
2
2x3
arctg
18
13
8x12x9ln
9
1 2 




 

 5) 
C
2
1x2
arctg
24
1
3x4x4ln
8
1
x 2 




 

 
6) 
 2
1
ln 2 4 3 2 2 2 1
4
x x arctg x C     
 
 7) 
 2
1 1
ln ln 4
2 2 2
x
x x arctg C
 
    
 
 
IX) 1) 
C
4
sen2x
2
x

 2) 
Ccosx
3
xcos3

 3) 
C
7
xsen
5
xsen
2
3
xsen 753

 4) 
3 55sen x 3sen x C 
 
5) 
1 1
cos8x cos2x C
16 4

 
 6) 
5 71 1cos 2x cos 2x C
10 14

 
 7) 
3 515cosx 10cos x 3cos x C   
 
8) 
3 51 2 1sen(3 3x) sen (3 3x) sen (3 3x) C
3 9 15

     
 
 
X) 1) 2ln2 – 1; 2) e – 1 
 
XI) 
1) 
Cx2
3
x3sen
2
e x2

  2)


xcos
3
xcos2
5
xcos 35
C 
 
3) 
C
xln
1


 
4) 
C
4
x2cos
2
x2xsen

 5) 
C
8
x2cos
4
x2xsen
4
x2

 6) 
C
53x2
53x2
ln
5
1



 
7) 
C
9
e
3
xe x3x3

 
8) 
C
3
e2
3x

 
9) 
C1x6xln
3
1 3 
 
10) 
C)3x(
3
2 32 
 
11) 
C
3
1x2
arctg
3
3
1xxln
2
3 2 


 
12) 
Cxtgx
3
xtg3

 
 8 
13) 
C
4
e3
2
xe3 x2x2

 14) 
C
3
xtg3

 15) 
C
1x
)2x(
ln
3



 
16) 
3
1
cos(3 )
C
x

 
17) 
Carctgx
2
)x1ln( 2

 18) 
C
3
xsen
senx
3

 
19) 
C
2
)e2ln( x2

 
20) 
Cxarctg
2
1 2 
 21) Cearcsen x  
22) 
C
senx
1
xsen3
1
3


 
 
23) 
Cx)3xln()3x( 
 24) 
Cx
9
4
xlnx
3
2 2
3
2
3

 
 
25) 
C)x10ln( 
 26) 
  Cx3cos2x3sen3
13
e x2

 27)
C
)2x(
)5x(x
lnx4
2
x
4
x
3
5224




 
28) 
C
1x
1
1x
2x
ln 




 29) C1xln2x2x2  30) 
C
2
e
arctg
2
1 x








