Aula IV MA

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4.0 PÓRTICOS 
 Os pórticos podem ser planos ou espaciais. Pórtico plano é um modelo de 
estrutura constituída de barras retas ou curvas situadas em um plano usualmente 
vertical, sob açoes que o solicita nesse plano de maneira que tenha apenas 
esforço normal, esforco cortante e momento fletor. A figura 31 apresenta seis 
configurações de pórticos planos de barras retas. 
 
Figura 31: Pórticos Planos de Barras Retas 
 O Segundo dos pórticos planos da figura 30, chamado aquí de trirotulado, 
costuma ser denominado na literatura de triarticulado. O terceiro desses pórticos 
tem uma rótula interna e um tirante. Pórtico plano constituido de barras em malha 
rentagular que delimitam regiões fechadas, como o ultimo dos pórticos 
representados na figura anterior é denominado quadro em literatura mais antiga. 
Pórtico plano pode ser a idealização de parte plana de uma estrutura 
tridimensnional, como quando se considera, por exemplo, o comportamento 
integrado das vigas e pilares de um mesmo plano vertical de um edificio. 
 A figura 32, mostra configurações de pórticos denominadas vigas 
armadas. Com esas configurações, busca-se reducir o efeito de flexão de uma 
barra horizontal, atraves de tirantes e escoras ou pendurais colocados, 
respectivamente, na parte inferior ou superior da barra. Aos tirantes costuma-se 
aplicar pré esforço de tração para proporcionar maior capacidade portante ao 
conjunto. 
 
Figura 32: Pórticos em configurações de vigas armadas. 
 Outra configuração aporticada relevante é a denominada viga Vierendel 
mostrada na figura 33 e formada pela ligação rígida de barras ortogonais, de 
maneira que constituam um painel retangular alongado de comportamento 
análogo a uma viga. 
 
Figura 33: Pórticos em configurações de vigas Vierendel 
 Em Pórtico Espacial, as barras podem ter Posições quaisquer e ser 
submetidas a quaisquer dos seis esforços seccionais, como no esquema 
simplificado de estrutura de edificio que pode ser observado na figura 34. 
 
Figura 34: Pórticos Espacial 
Os Arcos são casos particulares de pórticos planos de barras curvas, 
como pode ser visto na figura 35. 
 
Figura 35: Arcos 
 4.1 Associação de Pórticos. 
 Quado unimos pórticos simples, os mesmos formam os denominados 
pórticos compostos conforme a figura 36. 
 
Figura 36: Pórticos Compostos 
 O proceso de analise dos pórticos compostos é semelhante ao da Viga 
Gerber, ou seja, é necesario decompor o quadro composto em varios quadros 
simples. A decomposição de forma semelhante ao da viga Gerber sempre ocorre 
nas rótulas. 
 Porém, existe uma diferença básica entre a decomposição de um quadro 
composto e de uma Viga Gerber; 
 Na Viga Gerber a rótula sempre vira apoio do 1° genero para os trechos 
seguintes. 
 No pórtico composto a rótula sempre vira apoio de 2° genero para os 
trechos seguintes. 
Para facilitar o proceso de decomposição de pórticos compostos, sugere-
se seguir o seguinte roteiro: 
1° Passo: Análise sempre inicia pelos apoios de 1° gênero, caso ocorra na 
estrtutura. 
2° Passo: Sempre que existir um apoio do 1° gênero próximo de um tirante ou 
escora, o mesmo fará parte de um quadro (pórtico) biapoiado com articulação 
interna e contraventado (escora ou tirante). Neste caso ocorre a decomposição 
na rótula deste quadro, conforme a figura 37. 
 
Figura 37: Decomposição de um Pórtico Composto 
3° Passo: Sempre que existir um apoio do 1° gênero e que não tenha próximo 
um tirante ou escora, o mesmo fará parte de um quadro biapoiado. A análise 
parte deste ponto e percorre as barras até encontrar a primeira rótula, ponto no 
qual ocorre a decomposição, conforme visto na figura 38. 
 
Figura 38: Decomposição de um Pórtico Composto 
4° Passo: Após a análise dos apoios do 1° gênero, inicia-se a análise dos apoios 
do 2° gênero, neste caso, a análise parte deste ponto (apoio) e percorre as 
barras até encontrar a segunda rótula mais proxima, ponto no qual ocorre a 
decomposição, tal situação pode ser vista na figura 39. 
 
Figura 39: Decomposição de um Pórtico Composto 
 
Obs.: Quando existem dois apoios do 2° gênero sempre haverá uma rótula. 
5° Passo: No caso da estrutura possuir apoio do 3° Gênero (engaste) a análise 
parte deste ponto (apoio) e percorre as barras até encontrar a rótula mais 
proxima, ponto no qual ocorre a decomposição . Conforme a figura 40. 
 
Figura 40: Decomposição de um Pórtico Composto 
Obs.: Se na decomposição a rótula ficar somente sobre a extremidade de uma 
barra de um quadro simples, a mesma não precisa ser representada na 
decomposição. 
 
 4.2 Diagramas de Esforços em Pórticos. 
 Após termos visto procedimentos para a decomposição de porticos 
compostos em porticos simples, o passo seguinte é o calculo dos diagramas de 
esforços dessa estrutura. O processo de cálculo dos diagramas de esforços é 
semelhante ao das vigas simples. Para realizer esta análise deve-se utilizer o 
seguinte procedimento: 
1° Passo: Identificar as seções que devem ser consideradas na análise (Figura 
41): 
 
Figura 41: Identificação das Seções do Pórtico 
 
 Seções sobre os apoios: a, i 
 Seções sob cargas concentradas: h 
 Seções sob cargas momento: c 
 Seções no inicio e final de cargas distribuidas: e, f 
 Seções sobre as Extremidades das barras: b, g 
 Seçoes sobre as rótulas: d 
Obs.: Na maioria dos casos as seções que devem ser consideradas se 
sobrepõem. 
2° Passo: Identificar e calcular as reações de apoio: 
 Apoio a: Reaçao vertical (Ay), e reação horizontal (Ax) 
 Apoio a: Reaçao vertical (Iy), e reação horizontal (Ix) 
As reações de apoio são determinadas pela equações de equilibrio: 
ሾ∑ ܨݔ = 0ሿ 
ሾ∑ ܨݕ = 0ሿ 
ሾ∑ ܯ = 0ሿ Esta equação estabelece que o somatório de momento em 
qualquer seção da estrutura é sempre igual a zero. A mesma é utilizada em 
relação a uma das seções sobre apoio, o que possibilita obter as reações de 
apoio com maior facilidade. Outro ponto relevante que deve ser esclarecido 
é a diferença entre o valor do momento e o somatório do momento emu ma 
determinada seção S de uma estrutura. 
ሾ∑ ܯݏ = 0ሿ Sempre será zero 
ܯݏ → Pode ser zero ou não. 
3° Passo: Determinar o valor dos esforços solicitantes em cada seção 
considerada na análise. 
 A determinação dos esforços solicitantes em cada seção considerada na 
análise permitirá a construção dos diagramas de esforços solicitantes (DEN, 
DEV, DMF). 
Obs.: 
 Para porticos com barras inclinadas, os diagramas de esforços 
solicitantes (DEN, DEV, DMF) são traçados aplicando-se sempre o 
valor do esforço em cada seção de forma perpendicular ao eixo da 
barra, conforme a figura 42. 
 
Figura 42: Esforços Atuantes no Pórticos 
 Para porticos com rótulas existe além das três equações de equilibrio 
ሾ∑ ܨݔ = 0ሿ,ሾ∑ ܨݕ = 0ሿ, ሾ∑ ܯ = 0ሿ; Uma quarta equação: ሾ∑ ܯோó௧௨௟௔ =
0ሿ. Para este tipo de portico as reações de apoio são determinadas de 
forma mais fácil utilizando inicialmente a quarta equação. 
 
Figura 43: Pórtico Rotulado 
 Para porticos contraventados (escora ou tirante), nestes casos as 
barras trabalham como escora ou tirante apresentam apenas esforço 
normal constant ao longo das barras: Q = M = 0. 
 
Figura 44: Esforços Atuantes no Pórticos 
 
Exemplo: 
1) Decomponha os porticos compostos e indique a ordem de resolução. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
2) Determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para 
o quadro apresentado a seguir. 
 
Resolução: 
O 1° Passo é transformar o portico composto em dois simples. 
 
O 2° Passo é calcular as reações de apoio dos porticos simples. 
Pórtico 1: 
ሾ∑ ܨݔ = 0ሿ → ܪ௖ = 0 
ሾ∑ ܨݕ = 0ሿ → ௖ܸ + ௚ܸ = 6 
ሾ∑ ܯܿ = 0ሿ → −(3)(6) + 6 ௚ܸ = 0, ௚ܸ = 3 ݇ܰ = ௖ܸ = 3 ݇ܰPórtico 2: 
Obs.: Para os porticos com rótula as reações são determinadas de forma mais 
fácil uttilizando o somatorio de momento nas rótulas. 
ൣ∑ ܯ௖ ି௜௡௙௘௥௜௢௥ = 0൧ → 4ܪௗ = 0, ܪௗ = 0 
ሾ∑ ܨݔ = 0ሿ → ܪௗ + ܪ௔ − 1 = 0 
ሾ∑ ܨݕ = 0ሿ → ௔ܸ + ௗܸ = ௖ܸᇲ + 5 → ௔ܸ + ௗܸ = 8 
ൣ∑ ܯ௖ ି ௘௦௤௨௘௥ௗ௔ = 0൧ → 4ܪ௔ − 5 ௔ܸ + (2,5)(5) = 0, ௔ܸ = 3,3݇ܰ , ௗܸ = 4,7 ݇ܰ 
 
Cálculo dos Diagramas de Esforços 
Esforço Normal. 
௔ܰ௦ = −3,3 ݇ܰ, ௕ܰ௜ = −3,3 ݇ܰ, ௕ܰௗ = −ܪ௔ + 1 = 0, ௖ܰ௘ = 0, ௗܰ௦ = −4,7 ݇ܰ 
௖ܰ௜ = −4,7 ݇ܰ, ௖ܰ௦ = −3,0 ݇ܰ, ௘ܰ௜ = 3 ݇ܰ, ௘ܰௗ = 0, ௙ܰ௘ = 0, ௚ܰ௦ = −3 ݇ܰ 
௙ܰ௜ = −3 ݇ܰ 
 Esforço Cortante 
ܳ௔௦ = −1 ݇ܰ, ܳ௕௜ = −1 ݇ܰ, ܳ௕ௗ = 3,3 ݇ܰ = 0, ܳ௖௘ = 3,3 − 5 = −1,7 ݇ܰ, ܳௗ௦ = 0 
ܳ௖௜ = 0, ܳ௖௦ = 0, ܳ௘௜ = 0, ܳ௘ௗ = 3 ݇ܰ, ܳ௙௘ = 3 − 6 = −3 ݇ܰ, ܳ௚௦ = 0 
ܳ௙௜ = 0 
Momento Fletor 
ܯ௔௦ = 0, ܯ௕௜ = (1)(4) = 4 ݇ܰ. ݉, ܯ௕ௗ = 4,0 ݇ܰ. ݉ = 0, ܯ௖௘ = 0, ܯௗ௦ = 0 
ܯ௖௜ = 0, ܯ௖௦ = 0, ܯ௘௜ = 0, ܯ௘ௗ = 0, ܯ௙௘ = ௖ܸ(6) − (6)(3) = 0, ܯ௚௦ = 0 
ܯ௙௜ = 0 
DIAGRAMAS ESFORÇOS. 
 
 
3) Determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para 
o portico abaixo. 
 
 
Resolução: 
O 1° Passo é transformar o portico composto em dois simples. 
 
O 2° Passo é calcular as reações de apoio dos porticos simples. 
Pórtico 1: 
ൣ∑ ܯ௘ି௜௡௙௘௥௜௢௥ = 0൧ → 4ܪ௖ = 0, ܪ௖ = 0 
ሾ∑ ܨݔ = 0ሿ → ܪ௖ + ܪ௚ + 8 + 1 = 0 → ܪ௚ = −9 ݇ܰ 
ሾ∑ ܨݕ = 0ሿ → ௖ܸ + ௚ܸ = 0 
ሾ∑ ܯ௘ିௗ௜௥௘௜௧ = 0ሿ → 6 ௚ܸ − 8ܪ௚ + (8)(4) = 0 → ௚ܸ = 6,67 ݇ܰ , ௖ܸ = −6,67 ݇ܰ 
Pórtico 2: 
ൣ∑ ܯ௖ ି௜௡௙௘௥௜௢௥ = 0൧ → 4ܪௗ = 0, ܪௗ = 0 
ሾ∑ ܨݔ = 0ሿ → ܪௗ + ܪ௕ − 2 = 0 → ܪ௕ = 2 ݇ܰ 
ሾ∑ ܨݕ = 0ሿ → ௕ܸ + ௗܸ + ௖ܸᇲ − 10 = 0 → ௕ܸ + ௗܸ = 3,33 ݇ܰ 
ൣ∑ ܯ௖ ି ௘௦௤௨௘௥ௗ௔ = 0൧ → 5 ௕ܸ + (10)(2,5) = 0, ௕ܸ = 5 ݇ܰ , ௗܸ = −1,67 ݇ܰ 
Pórtico 3: 
ሾ∑ ܨݔ = 0ሿ → ܪ௔ − ܪ௕ᇱ = 0 → ܪ௔ = 2 ݇ܰ 
ሾ∑ ܨݕ = 0ሿ → ௔ܸ − ௕ܸᇲ = 0 → ௔ܸ = 5 ݇ܰ 
ሾ∑ ܯ௔ = 0ሿ → 4ܪ௕ᇱ + ܯ௔ = 0 → ܯ௔ − 8 ݇ܰ. ݉ 
 
Cálculo dos Diagramas de Esforços 
Esforço Normal. 
௔ܰ௦ = −5 ݇ܰ, ௕ܰ௜ = −5 ݇ܰ, ௕ܰௗ = −ܪ௕ + 2 = 0, ௖ܰ௘ = 0, ௗܰ௦ = 1,67 ݇ܰ 
௖ܰ௜ = 1,67 ݇ܰ, ௖ܰ௦ = 6,67 ݇ܰ, ௘ܰ௜ = 6,67 ݇ܰ, ௘ܰௗ = −1 ݇ܰ, ௙ܰ௘ = −1 ݇ܰ 
௚ܰ௦ = −6,67 ݇ܰ, ௙ܰ௜ = −6,67 ݇ܰ 
 Esforço Cortante 
ܳ௔௦ = −2 ݇ܰ, ܳ௕௜ = −2 ݇ܰ, ܳ௕ௗ = 5 ݇ܰ = 0, ܳ௖௘ = 5 − 10 = − 5 ݇ܰ, ܳௗ௦ = 0 
ܳ௖௜ = 0, ܳ௖௦ = 0, ܳ௘௜ = 0, ܳ௘ௗ = 6,67 ݇ܰ, ܳ௙௘ = −6,67 ݇ܰ, ܳ௚௦ = 9 ݇ܰ 
ܳ௙௜ = 9 − 8 = 1 ݇ܰ 
Momento Fletor 
ܯ௔௦ = 8 ݇ܰ. ݉, ܯ௕௜ = ܯ௕ௗ = 0, ܯ௖௘ = ܯௗ௦ = 0 
ܯ௖௜ = 0, ܯ௖௦ = 0, ܯ௘௜ = ܯ௘ௗ = 0, ܯ௙௘ = ௖ܸ(6) = 40 ݇ܰ. ݉, ܯ௚௦ = 0 
ܯ௙௜ = 8 ܪ௚ − 10(4) = 40 ݇ܰ. ݉ 
 
DIAGRAMAS ESFORÇOS. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para 
os porticos abaixo. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
 
d)