Aula 2.4

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Conversão de Energia II
Aula 2.4
Máquinas Rotativas
Prof. João Américo Vilela
Departamento de Engenharia Elétrica
Conversão de Energia II
Torque nas Máquinas Síncronas
Anéis coletores de uma máquina 
síncrona
Os anéis coletores da máquina síncrono servem para alimentar o
enrolamento de campo (rotor) com corrente contínua.
Enrolamento de campo no rotor da 
máquina síncrona.
Conversão de Energia II
Torque nas Máquinas Síncronas
Corrente nos enrolamentos do rotor e do estator produzem forças
magnetomotriz. Essa condição corresponde ao surgimento de pólos
magnéticos em ambos o estator e o rotor (veja figura abaixo). O
conjugado é produzido pela interação da força magnetomotriz do estator
(campo girante) com a corrente no rotor.
Conversão de Energia II
O torque pode ser calculado pela relação entre densidade de fluxo e
corrente no condutor, sendo sempre a corrente perpendicular ao fluxo.
iBsenliBF ,α⋅⋅⋅=
Dessa forma a corrente em todos
os fios contribui para o movimento
do motor.
Força Fmmrotor
Torque nas Máquinas Síncronas
Conversão de Energia II
A defasagem entre a Fmm do rotor e do estator interfere no torque, pois
com um ângulo menor que 90º alguns condutores geram torque contrário.
O torque é função do módulo das
Fmm e do ângulo entre elas,
conforme pode ser visto no gráfico
abaixo.
Força
Fmmrotor
Torque nas Máquinas Síncronas
Conversão de Energia II
Como existe uma relação direta entre corrente no rotor e Fmm produzida
pelo rotor. Assim, podemos calcular o torque em função das Fmms do
rotor e estator, conforme equação abaixo.
( )erre senFFkT δ⋅⋅⋅−=
Quando δer é positivo o conjugado é
negativo e a máquina está
funcionando como gerador. De modo
semelhante, um valor negativo de δer
corresponde a um conjugado
positivo é, correspondentemente,
funciona como motor.
Torque nas Máquinas Síncronas
Conversão de Energia II
A constante k na equação do torque é obtida pelo método da co-energia,
ficando a equação de torque da seguinte forma:
( )erre senFFg
lDpT δpiµ ⋅⋅⋅





⋅
⋅⋅⋅
⋅





−=
22
0
Onde:
l = comprimento axial do entreferro;
D = diâmetro médio;
g = comprimento total do entreferro;
Fe = Fmm produzida no estator (composição das três fases), onda senoidal 
espacial.
Fr = Fmm produzida no rotor, onda senoidal espacial. 
δer = ângulo de fase entre os eixos magnéticos em graus elétricos das ondas de 
Fmm do estator e do rotor 
Torque nas Máquinas Síncronas
Conversão de Energia II
Um gerador de 60 [Hz] síncrono trifásico de dois pólos ligado em Y e
rotor cilíndrico tem um enrolamento de campo com Nr espiras distribuídas
e um fator de enrolamento kr. O enrolamento de armadura tem Nfs espiras
por fase e fator de enrolamento ka. O comprimento do entreferro é g, e o
raio médio do entreferro é r. O comprimento ativo do enrolamento de
armadura é l. As dimensões e os dados do enrolamento são:
Exercício
Nr = 68 espiras em série;
Nfs = 18 espiras em série/fase;
r = 0,53 [m];
l = 3,8 [m];
kr = 0,945;
ka = 0,933;
g = 4,5 [cm];
Para uma corrente contínua de campo de Ir = 720 [A] e as correntes no
estator são de 100 A/fase eficaz, calcule:
a) O torque máximo produzido pelo motor nas condições especificadas?
Conversão de Energia II
Torque no motor de Indução
No motor de indução todas as barras do rotor estão em curto circuito.
Campo girante induzindo tensão nas barras do rotor
dt
dNe φ⋅=Campo girante no ângulo Φ = 0.
Fluxo máximo na espira destacada.
Conversão de Energia II
Torque no motor de Indução
Quando o fluxo é máximo a tensão induzida é zero, quando o fluxo é zero
a variação do fluxo é máxima e por consequência a tensão induzida é
máxima.
dt
dNe φ⋅=Campo girante no ângulo Φ = 90.
Conversão de Energia II
Torque no motor de Indução
Rotor com características puramente resistiva
- Corrente em fase com a densidade de fluxo (tensão induzida)
Fmmrotor
Conversão de Energia II
Rotor com elevada reatância indutiva
- Corrente defasada da densidade de fluxo.
Torque no motor de Indução
Fmmrotor
Conversão de Energia II
O campo girante produzido no
estator induz uma tensão nas
barras do rotor girante
também.
Essas barras em curto-circuito
produzem uma corrente que
não esta totalmente em fase
com a tensão induzida devido
a indutância do rotor
O valor de Φ2 é função da
relação entre reatância e
resistência no rotor.
Fmm do rotor está defasada
de mais de 90º graus elétricos
da tensão induzida na barra,
prejudicando o torque do
motor.
Torque no motor de Indução
Conversão de Energia II
Torque no motor de Indução
Conversão de Energia II
A tensão no rotor é induzida pelo campo girante produzido no estator, e
está sempre 90º defasada do campo girante. A corrente pode estar
defasada da tensão induzida devido a característica reativa das barras do
rotor.
( )erre senFFkT δ⋅⋅⋅=
Torque no motor de Indução
Fmmrotor
Fmmestator
( )ψcos⋅⋅⋅= re FFkT
Reescrevendo a equação em função
do ângulo ψ.
Conversão de Energia II
Torque no motor
Pela lei circuital de Ampère o percurso
apresentado na figura “a” representa a
Fmm produzido pela corrente nas barras
do rotor.
Considerando a distribuição de corrente
senoidal a Fmm no percurso apresentado
é:
mmp JdsenJF ⋅=α⋅α⋅= ∫
pi
2
0
2
Onde:
Jm = valor de pico da densidade da lâmina 
de corrente no rotor;
F2p = representa a Fmm por par de pólos;
Conversão de Energia II
m
p
rotor J
F
Fmm ==
2
2
Em lugar do condutor e da corrente que
circula nele, aproximamos para uma
lâmina continua de corrente.
( ) α⋅α⋅=α⋅= dsenJdJi m
O percurso apresentado na figura “a”
envolve dois entreferro. Assim, a Fmm de
pico por pólo (por travessia do entreferro)
é:
Vamos considerar os angulo em graus
elétricos.
Torque no motor de Indução
Conversão de Energia II
A densidade de fluxo é produzida pelo campo
girante do estator. Lâmina de corrente representa a
corrente induzida no enrolamento do rotor.
( )α⋅ψ+α⋅⋅⋅α⋅== dsenJlsenBBilF mme )())((
Considerando uma defasagem ψ entre a densidade de fluxo e a lâmina de
corrente.
Calculo da força elementar (Fe) produzida numa faixa de corrente
elementar do enrolamento de armadura.
Obs. a corrente no motor é perpendicular a densidade de fluxo
Torque no motor de Indução
Conversão de Energia II
O torque elementar é obtido multiplicando a força elementar pelo raio do
motor.
α⋅ψ+α⋅α⋅⋅⋅⋅=⋅= dsensenrlJBrFT mmee )()(
Calculo do torque total desenvolvido na lâmina de corrente sobre um pólo
da distribuição de campo.
∫
pi
α⋅ψ+α⋅α⋅⋅⋅⋅=
0
)()( dsensenrlJBT mmP
Torque no motor de Indução
Conversão de Energia II
Para um motor com p pólos o torque total será:
∫
pi
α⋅ψ+α⋅α⋅⋅⋅⋅⋅=
0
)()( dsensenrlJBpT mm
Utilizando alguns artifícios trigonométricos obtemos:
)cos(
2
ψ⋅pi⋅⋅⋅⋅⋅= rlJBpT mm
A equação é válida para distribuições senoidais da densidade de fluxo e de
densidade de corrente.
Quando o angulo ψ é diferente de zero uma parcela da corrente gera torque
contrário o que produz uma redução do torque total.
Torque no motor de Indução
Conversão de Energia II
Onde:
Ir = corrente de pico no enrolamento do rotor [A];
p = número de pólos;
kr = fator de enrolamento do rotor; 
Nr = número de espiras no enrolamento do rotor.
A distribuição de ampère-condutores (lâmina de corrente) se relaciona
com a Fmm produzida no rotor.
mr JFmm =
Relembrando que o valor de pico da Fmm por pólo é:
Torque no motor de Indução
r
r
rr Ip
NkFmm ⋅⋅⋅=
pi
4
Conversão de Energia II
A equação de torque fica:
Torque no motor de Indução
A relação entre densidade de fluxo produzida no estator e a Fmme do
campo girante produzido no estator.assim:
)cos(
2
ψpi ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= rm FmmlrBpT
HBm ⋅= 0µ gHgBm ⋅⋅=⋅⇒ 0µ em FmmgB ⋅=⋅⇒ 0µ
g
FmmB em
⋅
=
0µ
)cos(
2
0 ψµpi ⋅⋅⋅⋅




 ⋅
⋅⋅= r
e Fmmlr
g
FmmpT
Conversão de Energia II
Reorganizando a equação
Torque no motor de Indução
Considerando que o diâmetro dividido por dois é igual ao raio.
)cos(
2
0 ψpiµ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= re FmmFmmg
lrpT
)cos(
22
0 ψpiµ ⋅⋅⋅
⋅
⋅⋅⋅
⋅= re FmmFmmg
lDpT
Conversão de Energia II
O ângulo entre Fmm do estator e
distribuição de corrente no rotor é ψ.
Defasado de 90º temos a Fmm
produzida no rotor.
Torque no motor de Indução
assim:
)(
2
0
erre senFmmFmmg
lrpT δpiµ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
Fmmrotor
Fmmestator
( )090)cos( += ψψ sen
090+=ψδer
Essa equação é idêntica a equação de torque da máquina síncrona.
Conversão de Energia II
lrB
p mpico
⋅⋅⋅=
4φ
O fluxo máximo produzido pela bobina do estator (Φpico) é dado por:
Isolando a densidade de fluxo e substituído na equação de torque:
Torque no motor de Indução
A partir da equação de torque abaixo
].)[cos(
8
2 mNJpT mpico ψ⋅⋅φ⋅⋅pi=
)cos(
2
ψpi ⋅⋅⋅⋅⋅⋅= rm FmmlrBpT
Conversão de Energia II
Colocando o fluxo por pólo na equação de torque obtemos:
].)[cos(
8
2 mNJpT mpico ψ⋅⋅φ⋅⋅pi=
Onde:
p = número de pólos;
Φpico = fluxo máximo por pólo [Wb];
Jm = valor de pico da lâmina de corrente equivalente que representa uma 
distribuição ideal de ampère-condutor [A/rad];
ψ = ângulo de deslocamento de fase entre o início da lâmina de corrente e o início 
da onda de densidade de fluxo debaixo de um pólo;
Torque no motor de Indução
Conversão de Energia II
A figura abaixo apresenta uma máquina síncrona trifásica em Y de dois pólos e 60 
Hz, essa máquina tem um enrolamento de rotor com um total de 138 espiras em 
série e um fator de enrolamento kr = 1,0. O comprimento do rotor é 1,97 metros. 
a) Calcule a corrente no enrolamento do rotor que é necessária para se obter uma 
componente fundamental de pico de 1,23 [T] de densidade de fluxo no entreferro?
b) Essa máquina síncrona tem um enrolamento trifásico com 45 espiras em série 
por fase. Para as condições de densidade de fluxo do item anterior e velocidade 
nominal, calcule a tensão eficaz gerada por fase com o circuito aberto?
Exercício
Corte longitudinal da máquina síncrona trifásica 
em estudo.