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MATEMÁTICA FINANCEIRA COM HP-12C
Prof. Ésio de Siqueira
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MATEMÁTICA FINANCEIRA COM HP-12C
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Capítulo 1
1. CONCEITOS GERAIS DE JUROS 11
1.1 JUROS 11
1.2. TAXAS DE JUROS 11
1.3. DIAGRAMA FLUXO DE CAIXA 12
1.4. TIPOS DE JUROS 13
1.5. SIMBOLOGIA 14
Capítulo 2
2. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 16
2.1. JUROS SIMPLES 16
2.2. MONTANTE SIMPLES 18
2.3. UTILIZAÇÃO DA HP-12C NO CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES 20
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO CAPITALIZAÇÃO SIMPLES 22
Capítulo 3
3. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA25
3.1. JUROS COMPOSTOS 25
3.2. MONTANTE COMPOSTO 25
3.3. FUNÇÕES FINANCEIRAS UTILIZADAS EM JUROS COMPOSTOS 26
3.4. FÓRMULA PARA DEMONSTRAR OS JUROS COMPOSTOS 33
3.5. JUROS COMPOSTOS COMPARADOS AOS JUROS SIMPLES 34
Capítulo 4
4. TAXAS DE JUROS 40
4.1. JUROS PROPORCIONAIS 40
4.2. TAXAS DE JUROS EQUIVALENTES (JUROS COMPOSTOS) 41
4.2.1. Taxas Equivalentes 41
4.3. TAXAS EFETIVAS E NOMINAIS 43
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4.4. CÁLCULO DO MONTANTE COMPOSTO COM TAXA NOMINAL 44
4.6. COMO PROGRAMAR TAXAS EQUIVALENTES NA HP-12-C 46
4.7. TAXAS E ÍNDICES VARIÁVEIS/ INFLAÇÃO 47
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO JUROS COMPOSTOS 50
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 63
Capítulo 5
5. DESCONTO69
5.1. CONCEITO DE DESCONTO 69
5.2. DESCONTO SIMPLES 70
5.2.1. Desconto Racional - Por Dentro 70
5.2.2. Desconto Comercial - Por Fora 70
5.2.3. Desconto Bancário - Por Fora 71
5.2.4. Outra Forma de Calcular a Taxa Efetiva 74
5.2.5. Exercício com base nas Operações Bancárias 75
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO DESCONTO SIMPLES 77
5.3. DESCONTO COMPOSTO 78
5.3.1. Desconto Comercial - Por Fora 78
5.3.2. Desconto Racional – Por Dentro 79
5.3.3. Assunção de Compromisso 80
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO DESCONTO COMPOSTO 82
Capítulo 6
6. SÉRIES UNIFORMES 84
6.1. SÉRIES DE PAGAMENTOS E RECEBIMENTOS 84
6.2. RENDAS 84
6.3. DEFINIÇÕES 84
6.4. CLASSIFICAÇÃO DE ANUIDADES 84
6.5. MODELO BÁSICO 85
6.6. VALOR ATUAL DO MODELO BÁSICO 86
6.7. MONTANTE DO MODELO BÁSICO 89
6.8. VALOR PRESENTE DE UMA RENDA ANTECIPADA 90
6.9. VALOR PRESENTE DE UMA RENDA DIFERIDA 91
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6.10. VALOR FUTURO DE UMA RENDA ANTECIPADA 91
6.11. VALOR FUTURO DE UMA RENDA DIFERIDA 92
6.12. COEFICIENTES DE FINANCIAMENTO COM HP-12C 92
6.13. CÁLCULO DA TAXA DE JUROS A PARTIR DO COEFICIENTE 95
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO SÉRIES UNIFORMES 106
Capítulo 7
7. FLUXO DE CAIXA 109
7.1. TAXA INTERNA DE RETORNO – IRR 109
7.2. PASSOS PARA INTRODUÇÃO DE UM FLUXO DE CAIXA 110
7.3. REVISÃO DE UM FLUXO DE CAIXA 113
7.4. COMO ALTERAR UM FLUXO DE CAIXA 114
7.5. COMO ALTERAR UM NÚMERO DE OCORRÊNCIAS CONSECUTIVAS
IGUAIS 115
7.6. VALOR PRESENTE LÍQUIDO – NPV 115
Capítulo 8
8. EMPRÉSTIMOS E AMORTIZAÇÕES 124
8.1. SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO – SFA 124
8.2. EXERCÍCIO PRÁTICO COM HP-12 C 125
8.3. ROTINA DO CÁLCULO DA TABELA PRICE 127
8.4. COMO CALCULAR OS DADOS DE UMA LINHA DE ORDEM "t" 128
8.5. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE – SAC 129
8.6. PLANILHAS DE EMPRÉSTIMO COM CARÊNCIA 131
8.7. CUSTO EFETIVO DE UM EMPRÉSTIMO/FINANCIAMENTO 132
Capítulo 9
9. MANUAL DA HP-12C 134
9.1. INTRODUÇÃO 134
9.2. LIGANDO E DESLIGANDO A CALCULADORA 134
9.3. PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS 135
9.4. ADEQUAÇÃO DA MÁQUINA 136
9.4.1. Eliminação de dados armazenados 136
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9.4.2. Trocar o ponto pela vírgula 136
9.4.3. Número de casas decimais no visor 137
9.4.4. Trocar o sinal de um número 137
9.4.5. Adequação da função calendário 138
9.4.6. Anúncio “C” 138
9.5. FUNÇÕES DE LIMPEZA 139
9.6. TESTES 140
9.7. REGISTRADORES DE ARMAZENAMENTO 141
9.7.1. Registro da pilha automática (pilhas operacionais) 141
9.7.2. Registradores de Armazenamento de Dados 143
9.7.2.1. Armazenamento e Recuperação de Números 143
9.7.2.2. Como limpar as memórias 145
9.7.2.3. Operações aritméticas utilizando os registradores 145
9.8. CALCULOS EM CADEIA 145
9.9. PRINCIPAIS FUNÇÕES ALGÉBRICAS 147
9.9.1. Potenciação 147
9.9.2. Inverso de um número 148
9.9.3. Radiciação 148
9.9.4. Logaritmo 149
9.10. FUNÇÕES AUXILIARES 150
9.10.1. Tecla X><Y 150
9.10.2. Tecla R↓ 151
9.10.3. Função RND 151
9.10.4. Função FRAC 151
9.10.5. Função INTG 152
9.11. FUNÇÕES PERCENTUAIS 152
9.11.1. Percentagem de um número 152
9.11.2. Variação percentual 153
9.11.3. Percentagem do total 154
9.12. FUNÇÃO CALENDÁRIO 155
9.12.1. Variação de dias entre duas datas 155
9.12.2. Cálculo de datas futuras e passadas 157
EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE O FUNCIONAMENTO DA CALCULADORA
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A Matemática Financeira tem se constituído, hoje em dia, matéria de muita
procura não somente pelos homens ligados ao mercado financeiro, mas também
pelos empresários de negócio de forma geral.
Erros grosseiros, como o de confundir juros nominativos com juros efetivos,
ou taxas de juros equivalentes com taxas proporcionais, juros descontados com
juros antecipados, são cometidos constantemente, e tem derrubado executivos.
Incorrer em certos erros na Matemática Financeira pode ser fatal.
Determinados erros de Matemática somente seriam explicáveis há 25 ou 30
anos atrás, quando se desconheciam as pequenas calculadoras eletrônicas e se
recorriam às complexas tábuas de logaritmos, tão detestadas nas escolas pelos
que não gostam de matemática. Hoje em dia, o bom entendimento da Matemática
Financeira já se tornou uma realidade com o advento das calculadoras financeiras
e das Planilhas Eletrônicas, assim os erros grosseiros, já não são tão praticados
como antigamente.
A presente apostila tem a finalidade de desenvolver, de forma prática,
questões básicas da Matemática Financeira, com o apoio da calculadora HP-12C.
Aliás, essa calculadora se constitui numa das mais sofisticadas e completas
ferramentas destinadas a facilitar o entendimento dos cálculos financeiros, devido
a sua capacidade de programação e armazenamento de dados, assim como, a
sua forma moderna de calcular, baseada no Sistema RPN (Reverse
PolishNotation), ou seja, Notação Polonesa Reversa, cuja instrução vem sempre
depois do valor, o que permite um cálculo bem mais rápido do que nas demais
calculadoras.
Aliás, a calculadora HP-12C se constitui um fenômeno, pois nos dias de
hoje dificilmente um equipamento eletrônico consegue resistir ao avanço
tecnológico por muito tempo. A HP-12C Foi lançada pela empresa de informática
e tecnologiaestadunidenseHewlett-Packard em 1981. Com mais de trinta anos
essa calculadora consegue ser a mais procurada do mundo, superando em
vendas todas as outras calculadoras modernas do gênero.
RESUMO HISTÓRICO DAS MINI-CALCULADORAS
O aparecimento do Ábaco apareceu em várias civilizações em formas
diferentes. Alguns historiadores afirmam que
o primeiro aparecimento se deu na
Babilônia por volta do século XVII AC. Sendo que ao longo da história houve
desenvolvimentos para facilitar os cálculos. Poderíamos citar a Régua de Cálculo
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inventada logo depois de Napier ter introduzido os logaritmos no século XVI; a
Pascaline inventada por Pascal em 1643; a máquina de calcular de Leibnitz que
apareceu em 1694; a máquina de Diferenças de Babbage, projetada por volta de
1830 que é considerada a antecessora direta do moderno computador digital que
exigia muita precisão na sua fabricação e que por isso somente pode ser
construída no século XX, apenas como curiosidade; o tabulador Hollerith feito
para o Censo americano de 1890; e o Analisador Diferencial de Bush, construído
em 1929 sendo o antecessor do moderno Computador Analógico.
Os Computadores Analógicos e Digitais foram desenvolvidos durante a II
Guerra Mundial e apesar de terem revolucionado os cálculos matemáticos, indo
além das máquinas de calcular não ofereciam facilidades ao público em geral.
Nos anos cinquenta já havia a venda desde Ábacos e Réguas de Cálculo até
Computadores Digitais e Analógicos passando por uma grande variedade de
calculadoras mecânicas e eletromecânicas capazes de fazer as quatro operações
aritméticas e algumas até de imprimir resultados.
Na década de sessenta apareciam várias calculadoras de mesa com
capacidade de armazenar programas internamente e em cartões magnéticos.
Na década de setenta o avanço da micro eletrônica fez aparecer as mini-
calculadoras, inicialmente somente com as quatro operações aritméticas com
desempenho espantoso e rapidez chegando muito próximo as calculadoras de
mesa e aos computadores digitais.
Hoje, existe uma infinidade de calculadoras modernas que não somente
calcula as quatro operações mais realizam cálculos financeiros e científicos da
mais alta complexidade e algumas até são programáveis inclusive imprimindo
resultados. Apesar do avanço da micro-informática as calculadoras continuam
sendo muito procuradas pela facilidade de manuseio e precisão nos cálculos.
RESUMO HISTÓRICO DOS JUROS
A Matemática Financeira sempre foi o grande suporte para compreensão do
comportamento do dinheiro no tempo. Muito antes da existência dos
computadores e das calculadoras eletrônicas de alta resolução, os cálculos
financeiros eram bastante utilizados com o apoio da álgebra financeira. Cálculos
mais complexos como o da taxa de juros de uma série de pagamentos uniformes
ou o complicado cálculo da taxa interna de retorno já eram bastante utilizados nos
projetos financeiros e resolvidos através de tentativas e erros.
Hoje, no mundo globalizado, a Matemática Financeira tem seu papel
fundamental e com o auxílio das calculadoras científicas, principalmente das
calculadoras financeiras, bem como do uso das planilhas eletrônicas, os cálculos
ficam mais fáceis e bastante acessíveis, não somente para o estudante que há
algumas décadas atrás sofriam com tábuas financeiras e tábuas de logaritmos
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para cálculos de coeficientes, mas também para os executivos de uma forma
geral. Com esse ferramental as decisões tornam-se mais fáceis de serem tomadas
e os projetos financeiros podem ser formulados com um maior grau de precisão.
A história está sempre repleta de restrições com relação aos juros ou contra
a usura. Sempre houve preconceito de ordem religiosa, moral e ética com relação
à cobrança de juros. O entendimento dos juros é importante para um completo
domínio do complexo mercado financeiro. “Vamos entender juros a partir da
antiguidade, começando pela interpretação dos versículos 19 e 20 do capítulo 23
de Deuteronômio: Vs. 19 –” Do teu irmão não exigirás juros: nem de dinheiro, nem
de comida, nem de qualquer outra coisa que se empreste a juros. Vs. 20 – Do
estrangeiro podes exigir juros, porém do teu irmão não os exigirás para que o
Senhor teu Deus te abençoe em tudo que puseres a mão na terra na qual
passareis a possuir”.
A interpretação desses versículos teve curiosas consequências: os judeus
(israelitas) consideravam irmãos os descendentes das doze tribos de Jacó. Os
demais seriam estrangeiros. A Igreja Católica mais universalista considerava
“irmãos” todos os seres vivos da terra. Tudo isso explica a predominância do
capital judeu na atividade financeira daquela época até nossos dias. O mais
interessante é que mesmo condenando enfaticamente os juros, a predominância
dos judeus foi compartilhada com os lombardos e outros banqueiros cristãos que
procuravam toda sorte de subterfúgio para esconder a cobrança de juros.
Ao longo da história podemos destacar os seguintes pensamentos:
a) ARISTÓTELES (384 AC – 322 AC): Condena os juros como pior forma
de se ganhar dinheiro e, por considerar a moeda como algo estéril (cuja
única utilidade é aumentar a velocidade das trocas), condena também a
acumulação de dinheiro.
b) DIREITO ROMANO: Base jurídica para a concepção do capitalismo
mercantil do Renascimento era muito mais prático e liberal em relação ao
juro e à acumulação de riquezas;
c) PENSAMENTO GREGO: Irá fornecer a base filosófica à mensagem dos
escolásticos que predominará durante a idade média. Os pensadores
católicos da idade média absorverão completamente a condenação
aristotélica da acumulação de capital e da cobrança de juros;
d) SANTO AGOSTINHO (354 – 430): Acreditava que o comercio
distanciava o homem do seu desejo de encontrar Deus e condenava
explicitamente tanto a acumulação de riquezas como a cobrança de
juros;
e) SÃO TOMÁS DE AQUINO (1226 – 1274): Procurou promover a
reconciliação entre os dogmas católicos sobre a prática econômica e a
realidade do sistema econômico, mas era intransigente quanto à
cobrança de juros;
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f) IDADE MÉDIA: A cobrança de juros tornou-se impossível de se evitar no
regime capitalista. Vários subterfúgios foram desenvolvidos para ocultar
a cobrança de juros: formalmente a quantia a ser paga era idêntica
àquela que se recebia não havendo a cobrança de juro formal. Na
realidade o credor entregava uma quantia menor do que rezava o
contrato ou recebia mais do que o documento determinava. As taxas de
juros da idade média variavam de 5% a 24% ao ano. O nível das taxas
de juros dependia do grau de risco enfrentado pelo emprestador. Há
registros, inclusive, de que os lombardos cobravam juros de até 100% ao
ano. A igreja passou a admitir a mora (damnumemergens) e o juro como
compensação pela perda de oportunidadede lucros por quem empresta
(lucrumcessans). Há também o reconhecimento dos juros como
cobertura dos riscos assumidos pelo emprestador (periculum sortis);
g) LUTERO (1483 – 1546) O mesmo pensamento de São Tomás de
Aquino;
h) CALVINO (1509 – 1564): Admite os empréstimos a juros no nível
religioso, bem como todas as demais características do Sistema
Capitalista: o lucro, o comércio e a acumulação de riquezas. É nesse
novo contexto religioso e no cenário do Renascimento que se inicia o
processo de inversões de capitais mercantis na agricultura
transformando latifundiários em banqueiros e comerciantes. O lucro do
capitalista comerciante é identificado ao interesse nacional.
OS JUROS NA ATUALIDADE
Hoje o juro mais do que nunca continua exercendo seu papel de relevante
importância no mercado financeiro mundial. No Brasil tem como parâmetro a taxa
básica de juros que compreende a menor taxa de juros vigente em uma economia,
e atua como taxa de referência
para todos os contratos. A taxa básica no Brasil é
também conhecida como SELIC definida pelo COMITÊ DE POLÍTICA
MONETÁRIA (COPOM) do Banco Central. É a taxa de juros vigente no mercado
interbancário que é utilizada na aplicação de empréstimos entre bancos para
operações de um dia (overnight). A taxa básica de juros remunera os títulos da
dívida pública e é um relevante instrumento da política monetária e fiscal. A SELIC
é também instrumento do governo para controlar o consumo (custo do crediário) e
o processo inflacionário.
Nos Estados Unidos a taxa básica é controlada pelo Comitê Federal de
Mercado Aberto – FED (Sistema de Bancos Centrais do EUA) com base na
remuneração do FEDERAL FUNDS, que lastreiam empréstimos interbancários.
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Na Europa vigora a taxa preferencial de juros (PRIME RATE) cobrada dos
clientes preferenciais, isto é, aqueles que têm melhores avaliações de crédito. É
determinada pelas condições de mercado como custos bancários, expectativas
inflacionárias, remuneração e outros ativos. A taxa preferencial tende a ser a
referência para todo o setor do mercado financeiro e normalmente tende a ser a
menor taxa do mercado.
De um modo geral a taxa preferencial supera em alguns casos a taxa básica.
Na Inglaterra e na EUROZONA a taxa preferencial é o parâmetro para o mercado
interbancário, funcionando assim como taxa básica. A LIBOR (London
InterbankOffered Rate) remunera os grandes empréstimos entre os bancos
internacionais que operam no mercado londrino e os empréstimos para
instituições governamentais. A EURIBOR (Euro InterbankOffered Rate) é a taxa
utilizada no interbancário da EUROZONA.
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1.CONCEITOS GERAIS DE JUROS
1.1JUROS
Pagamento pelo uso do capital emprestado; Custo do capital de terceiros
colocados à nossa disposição;Remuneração do capital investido; Aluguel do
dinheiro.
A noção de juros decorre do fato de que as pessoas preferem usufruir os
seus bens no presente e não no futuro. Havendo uma preferência temporal para
consumir as pessoas querem uma recompensa que nada mais é do que juros.
1.2.TAXAS DE JUROS
A taxa de juros é a razão entre ganho (juros) e o capital. É um coeficiente
que determina o valor do juro, ou seja, a remuneração do fator capital, utilizado
durante certo período de tempo. As taxas de juros se referem a uma unidade de
tempo (dia, mês, bimestre, semestre, ano, etc.) e podem ser: percentual e
unitária.
(1.1)
Taxa Percentual: "Centos" do capital, ou seja, o valor dos juros para cada
centésima parte do capital.
O capital de R$ 1000 aplicado a 20% a.a rende de juros o final desse período:
Juros= 20 x 1000= R$ 200,00
100
Taxa Unitária: Representa o rendimento de cada unidade de capital em curto
período de tempo.
Juro = 1000 x 0,20 = R$ 200,00
ganho
capital i=
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TAXA
PERCENTUAL
TRANSFORMAÇÃO TAXA UNITÁRIA
2%
9%
10%
15%
180%
2300%
2/100
9/100
10/100
15/100
180/100
2300/100
0,02
0,09
0,10
0,15
1,80
23,0
Ou seja:2% a.m. ou0,02 a.m.
10% a.t. ou0,10 a.t.
180% a.a ou1,80 a.a
Os matemáticos financeiros modernos trabalham, sempre, com a forma
unitária, por simplificar as fórmulas e consequentemente os cálculos.
1.3.DIAGRAMA FLUXO DE CAIXA
Fluxo de Caixa representa entradas e saídas de capital ao longo do tempo.
Chamamos a representação gráfica do Fluxo de Caixa de Diagrama de Fluxo de
Caixa:
Ex.:Entrada de caixa ( + )
0 1 2 3n
Saída de caixa( - )
A linha horizontal representa o tempo, o ponto Zero,o momento inicial, os
demais pontos representam os períodos de tempo (datas). Os vetores apontados
para cima indicam entradas de capital (recebimentos) e os vetores apontados
para baixo indicam saídas ou aplicações de dinheiro.
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1.4.TIPOS DE JUROS
Juros Simples- os juros de cada período são calculados sempre em função do
capital inicial.
Juros Compostos- os juros de cada período são calculados sobre o capital mais
os juros auferidos no período anterior, caracterizando assim uma Progressão
Geométrica (PG).
Ex.:Um aplicador investiu R$ 100 à taxa de 10% a.a. Qual será o saldo devedor
no final dos próximos quatro anos.
Final do
Esc
Capitalização
Simples
Capitalização
Composta
Período Saldo Juros/Ano Sal.Final Saldo Juros/Ano Sal.Final
- 0 - - 100,00 - - 100,00
1º ano 1 100,00 0,1 x 100 =
10
110,00 100,00 0,1 x 100 =
10
110,00
2º ano 2 110,00 0,1 x 100 =
10
120,00 110,00 0,1 x 110 =
11
121,00
3º ano 3 120,00 0,1 x 100 =
10
130,00 121,00 0,1 x 121 =
12,10
133,10
4º ano 4 130,00 0,1 x 100 =
10
140,00 133,10 0,1 x 133,10 =
13,31
146,41
Obs.: SAL. FINAL = Representa o saldo no final de cada ano.
Comparação Gráfica
150
140
130
120
110
100
0 1 2 3 4 ------- n
Juros composto
Juros simples
N = 1 JS = JC
N > 1 JC > JS
N < 1 JC < JS
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Juros Simples - características:
a) Somente o capital inicial rende juros;
b) O dinheiro cresce linearmente ao longo do tempo;
c) O dinheiro cresce em progressão aritmética;
d) Os juros são proporcionais.
Juros Compostos - características:
a) O dinheiro cresce mais rapidamente do que os juros simples;
b) O dinheiro cresce exponencialmente ao longo do tempo;
c) Os juros não são proporcionais.
1.5. SIMBOLOGIA
A simbologia é um sério complicador no estudo da matemática financeira
isto porque não existem símbolos padronizados como, por exemplo, na
matemática pura, na física, na química, etc. Cada autor procura personalizar seus
livros com uma simbologia própria. Assim os símbolos mudam de livro para livro,
de escola para escola de professor para professor. Assim fica difícil para quem
está iniciando os estudos em matemática financeira entender diferentes símbolos
para um mesmo conceito.
Por exemplo é comum encontrar nos livros o símbolo para:
capital: "P", "C", "Co", "VP", ou "PV";
para o montante:"S", "M","VF" ou "PV";
para a taxa:"i", "t", "h"ou uma letra grega como por exemplo "";
para o tempo: "n", "t", etc.
Neste trabalho adotaremos a simbologia das calculadoras financeiras que é
compatível com as Planilhas Eletrônicas. Dessa forma utilizaremos:
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FINANC CIENT
PV P Principal; valor presente, valor aplicado, investimento inicial, etc.
FV S Montante, valor futuro, valor de resgate, etc.
i i Taxa de juros.
N n Número de períodos
INT J Calcula os Juros Simples (HP-12C)
PMT R Prestações, pagamentos ou recebimentos periódicos, etc.
CFj FCJ Fluxo de Caixa de ordem
“j”
CF0 FC0 Fluxo de Caixa Inicial
NJ NJ Número de Fluxos repetido
NPV VPL Valor Presente líquido
IRR TIR Taxa Interna de retorno
Ao longo do estudo utilizaremos outros símbolos complementares utilizados
nos livros mais atualizados.
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2.CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
2.1. JUROS SIMPLES
A capitalização simples é aquela em que a taxa de juros, no final de cada um
dos períodos de capitalização, incide somente sobre o principal.
O valor dos juros é calculado a partir da seguinte expressão:
(2.1)
Fórmulas derivadas:
(2.2)
(2.3)
(2.4)
Exemplos
1. Um capital de R$ 200.000,00 foi aplicado à taxa de 2,25% a .m., no regime de
juros simples, durante um semestre. Qual o valor dos juros acumulados neste
período:
PV = 200.000 i = 2,25% a .m. n = 6 meses
J = PV. i . n
J
i . n
PV =
J
PV . n
i = J = PV. i . n
J
PV . i
n =
Solução:
J = 200.000 x 0,0225 x 6 = 27.000,00
HP-12C→ 200.000 0,0225 6
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2. Uma pessoa tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6%
a.m. durante 10 meses. Ao final do período, calculou em R$ 300.000 o total dos
juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.
J = 300.000 i = 6% a .m. n = 10 meses
3. Um capital de R$ 1.200,00 foi aplicado num fundo de investimento por 12
meses, produzindo um juro de R$ 720,00. Determinar a taxa de juro:
PV = 1200 n = 12 m j = 720,00
OBS: Multiplicamos por 100 por estarmos lidando com taxas unitárias.
4. Um capital de R$ 4.800 foi aplicado à taxa de 3,5% a.m., produzindo juros de
R$ 730,80. Calcular por quanto tempo ficou aplicado o capital:
PV = 4.800 i = 3,5% a.m. j = 730,80
Solução:
n = _730,80 = 4,35
4.800 x 0,035
HP-12C→ 730,80 4.800 0,035
Solução:
PV = 300.000 = 300.000 = 500.000,00
0,06 x 10 0,60
HP-12C→ 300.000 0,06 10
Solução:
i = 720 = 5% a. m.
1.200 x 12
HP-12C→ 720 1200 12 100
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2.2. MONTANTE SIMPLES
O montante representa o capital mais o rendimento (juros) e pode ser
assim representado:
FV = PV + J
FV = PV + PV. i . n
(2.5)
Fórmulas Derivadas:
(2.6)
(2.7)
(2.8)
Solução:
Resposta: 4 meses e ...
Com uma regra de três resolvemos:
1 Mês está para 30 dias assim como 0,35 está para quantos dias?
1 30
0,35 x ou seja, 30 x 0,35 = 10,5
Resposta: 4 meses e 10 dias
FV = PV.(1 + i.n)
FV = PV.(1 + i.n)
FV
(1 + i.n)
PV =
FV
PV
n
i =
– 1
FV
PV
i
– 1
n =
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Exemplos
1. Uma pessoa aplica R$ 8.500,00 a uma taxa de juros linear de 7% a.m. pelo
período de 4 meses. Qual o montante?
PV = 8.500 i = 7% a.m. n = 4 meses
2. Uma operação a juros simples rendeu R$ 9.300. Sabendo-se que a taxa de
juros é de 6% a .m. e o tempo 48 dias determinar o valor do principal.
FV = 9.300 i = 6% a.m. n = 48 dias (48/30)
3. Calcular a taxa de juros mensal em uma operação de juros simples resultado
de aplicação de R$ 12.000, durante 90 dias, que proporcionou um resgate de
R$ 13.260 no seu rendimento:
PV = 12.000 FV = 13.260 n = 90 dias( 3 meses)
Solução:
PV = 9.300 = 8.485,40
1 + 0,06 x 48
30
HP-12C→ 9.300 I 0,06 48 30
Solução:
FV = 8.500.(1+ 0,07 x 4) = 10.880,00
HP-12C→ 8.500 1 0,07 4
Solução:
13.260
i = 12.000= 3,5% a.m.
3
HP-12C → 13.260 12.000 1 3 100
– 1
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4. Qual o tempo necessário para que um capital de R$ 18.800 aplicado a uma
taxa de juros simples de 4,5% a .m proporcione um resgate de R$ 24.510,50.
PV = 18.800 FV = 24.510,50 i = 4,5% a .m.
2.3. UTILIZAÇÃO DA HP-12C NO CÁLCULO DOS JUROS SIMPLES
Para o cálculo dos juros simples a HP-12C tem utilização limitada, pois só
calcula os juros e o montante. Além do mais a introdução do período tem que
ser em dias e a taxa expressa em termos anuais:
INT
tempo valorpresente
taxa de juros
Rotina:
a) limpar os registradores financeiros f FIN
b) Introduzir o período em dias "n"
c) Introduzir a taxa de juros anual "i"
d) Introduzir o principal CHS PV
e) Pressionarf INT para obtenção dos juros calculados na base de um ano de
360 dias.
f) Pressionar (+) para obter o montante.
Solução:
24.510,50
n=18.800= 6,75
0,045
HP-12C → 24.510,50 18.800 1 0,045
Resposta correta: 6 meses e 22 dias.
– 1
n i PV
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Exemplos
1. Uma pessoa aplicou R$ 350.000 a uma taxa de juros simples de 5% a .m, pelo
período de 6 meses.
2. Um empréstimo de R$ 8.000,00, foi concedido por uma empresa a um
funcionário que se prontificou a pagar no final de quatro meses, à taxa de juros
simples de 3% ao mês. Calcular os juros pagos pelo funcionário e montante
utilizado para liquidação dos do débito.
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa a memória financeira
350000
350.000,00 Entra com o valor presente
60
60,00 Entra com a taxa anual
180
180,00 Entra com tempo em dias
105.000,00 Calcula os juros simples
455.000,00 Calcula o montante
103.561,64 Valor dos juros – Ano Civil
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa a memória
financeira
8.000,00
8.000,00 Entra com o valor
presente
3 12
36,00 Entra com a taxa anual
4 30
120,00 Entra com tempo em
dias
960,00 Calcula os juros simples
8.960,00 Calcula o montante
946.85 Valor dos juros – Ano
Civil
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO CAPITALIZAÇÃO SIMPLES
1. Qual a taxa de juros simples que aplicada
a um capital de R$ 300.000,00
gera um montante de R$ 354.000,00 em seis meses?
Resposta: 3% a m.
2. Qual o juro simples total pago pelo empréstimo de R$ 100.000,00 durante
30 dias as taxas variáveis de 1,5% a m. (durante 12 dias); 1,8% a m.
(durante 08 dias) e 2,3% am. (durante 10 dias)?
Resposta: R$ 1.846,67
3. O montante de um capital de R$ 66.000,00 ao final de 14 meses é
determinado adicionando-se R$ 55.440,00 de juros. Calcular a taxa linear
mensal e anual utilizada.
Resposta: 6% a m. 72% a a.
4. Um eletrodoméstico é vendido em quatro pagamentos mensais e iguais.
O primeiro pagamento é efetuado no ato da compra, e os demais são
vendidos em 30, 60 e 90 dias. Sendo de 5% ao mês a taxa linear de juros,
pede-se calcular até que valor interessa adquirir o bem à vista; (valor
percentual).
Resposta: 93,28%
5. Um investidor com certo volume de capital deseja diversificar suas
aplicações no mercado financeiro. Para tanto aplica 60% do capital numa
alternativa de investimento que paga 25,2% a a. pelo prazo de 60 dias. A
outra parte é investida numa conta de capitalização por 30 dias sendo
remunerada pela taxa linear de 2,5% ao mês. O total dos rendimentos
auferidos pelo aplicador atinge R$ 19.520,00. Pede-se calcular o valor de
todo capital investido;
Resposta: R$ 554.545,45
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6. Um título com renda final negociado no mercado financeiro está pagando
27.6% ao ano de juros simples. A alíquota do imposto de renda é de 20%
e incide sobre o valor dos rendimentos, sendo pago no momento da
aplicação. Determinar a taxa anual líquida(após o IR) de rentabilidade do
investidor;
Resposta: 20,92% a. a.
7. Uma aplicação de R$ 150.000,00 é efetuada pelo prazo de 03 meses à
taxa de juros simples de 36% a.a.Que outra quantia deve ser aplicada por
dois meses à taxa linear de 24% a.a. para se obter o mesmo rendimento
financeiro?
Resposta: R$ 337.500,00
8. O valor de resgate de um título é 140% maior que o valor da aplicação.
Sendo de 30% a.a. a taxa de juros simples, pede-se calcular o prazo da
aplicação;
Resposta: 56 meses
9. Se o valor atual de um título é igual a 4/5 de seu valor nominal e o prazo
de aplicação for de 10 meses. Qual a taxa de juros simples mensal
considerada;
Resposta: 2,5% a.m.
10. Um capital aplicado por 8 meses formou um montante de R$ 8.140,00 e
em seguida (no final do oitavo mês) aplicado por mais 15 meses
gerando um novo montante de R$ 10.450. Qual o valor aplicado?
Resposta: 7.069,95.
11. Dois terços de um capital(2/3) foram investidos a 9,8% ao ano e o
restante a 11% ao ano. No fim de três anos a diferença entre os juros
auferidos é de RS 180,00. Qual o valor do capital investido?
Resposta: 2.093,02.
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12. Determinado aparelho custa à vista R$1.000,00, podendo ser vendido
com entrada de 20% mais uma prestação de R$ 856,00 no final de 35
dias. Calcular a taxa de juros simples anual cobrada pela loja.
Resposta: 72% a.a.
13. Qual o prazo que um investidor deve aguardar para ganhar em uma
aplicação o equivalente a 1/5 do seu valor investido, a uma taxa de juros
simples de 16% ao ano.
Resposta: 1 ano e 3 meses
14. Uma empresa contrai um empréstimo de R$ 750.000,00 à taxa de juros
simples de 3,3% ao mês. Em determinada data liquida esse empréstimo
pelo montante de R$ 923.250,00 e contrai nova dívida de R$ 400.000,00
pagando uma taxa linear mais baixa. Este último empréstimo é
resgatado é liquidado dez meses depois pelo montante de R$ 496.000,00.
Calcular: a) o prazo do primeiro empréstimo e o valor dos juros pagos;
b) a taxa de juros simples mensal e anual cobrada no segundo
empréstimo.
Resposta: a) 7 meses; R$ 173.250,00;
b) 2,4% ao mês; 28,8% ao ano
15. Qual o tempo necessário para triplicar um capital aplicado à taxa
á taxa de juros simples de 12% ao trimestre?
Resposta: 16 trimestres e 2 meses.
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3.CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA
3.1. JUROS COMPOSTOS
É aquela que no final de cada período os juros são incorporados ao capital
para renderem juros no período seguinte, ou seja, a taxa de juros incide sobre o
principal acrescido dos juros acumulados no período anterior.
Ex.: 100 a 10% ao período
PERÍODO SALDO INICIAL JUROS SALDO FINAL
0
1
2
3
4
-
100,00
110,00
121,00
133,10
-
10,00
11,00
12,10
13,31
100,00
110,00
121,00
133,10
146,41
Como pode ser observado o crescimento dos juros deixa de ser linear e
passa a ser exponencial. Nos juros compostos não existe a proporcionalidade dos
juros simples o que inviabiliza os cálculos efetuados através de regra de três.
3.2.MONTANTE COMPOSTO
Se formos capitalizar o principal em cada período pelo fator de capitalização
(1+ i), chegaremos a fórmula do montante composto:
FV1 FV2 FV3 FVn
(1+i) (1+i) (1+i) …
0 1 2 3 n
PV
FV1 = PV (1+i)
FV2 = FV1 (1+i) = PV.(1+i)(1+i) = PV (1+i)²
FV3 = FV2 (1+i) = PV.(1+i)²(1+i) = PV (1+i)³
.........................................................................
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FV n = FV n - 1 (1+i) = PV(1+i)
n-1. (1+i) = PV(1+i) n
Considerando FVn = FV temos que:
(3.1)
Fórmulas Derivadas:
(3.2)
(3.3)
(3.4)
3.3.FUNÇÕES FINANCEIRAS UTILIZADAS EM JUROS COMPOSTOS
tempo valor presente valor futuro
taxa de juros pagamentos periódicos
Ao contrário dos juros simples o software dos juros compostos é mais
dinâmico, utilizando as cinco funções, bastando somente compatibilizar tempo e
taxa, o seja, ambos têm que ter a mesma unidade de tempo. Para cálculo dos
juros compostos basta ter três variáveis definidas e uma quarta para definir. Em
alguns que veremos mais na frente lidamos com quatro variáveis definidas e uma
quinta a definir. Vejamos agora como se calcula os juros compostos com a 12C:
FV= PV.(1 + i)n
n i PV PMT FV
FV= PV.(1 + i)n
FV
(1 + i)n
PV =
FV
PV
– 1 i =
n
FV
PV
ln (1+i)
n =
ln
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Exemplos
1. Uma pessoa aplicou R$ 12.000 a taxa de juros compostos de 3% ao mês
durante quatro meses. Calcular o montante e os juros:
2. Uma pessoa aplicou certa quantia em um fundo de renda fixa à taxa de 2% ao
mês, durante 6 meses, e obteve um resgate de R$ 48.000. Calcular o valor
aplicado.
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa a memória financeira
12.000,00
-12.000,00 Entra com o valor do
principal
3
3,00 Entra com a taxa mensal
4
4,00 Entra com tempo em meses
13.506,11 Calcula o montante
1.506,11 Calcula os juros compostos
(FV – PV)
Observe que os dados deste problema foram os mesmos para
o cálculo dos
juros simples. Compare os resultados.
PV
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa a memória financeira
48.000
-48.000,00 Entra com o valor futuro
2
2,00 Entra com a taxa mensal
6
6,00 Entra com tempo em meses
42.622,63 Calcula o investimento inicial
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3. Uma empresa investiu R$ 230.000 durante três meses em um fundo de
investimento e obteve um montante de R$ 242.644,90. Calcular a taxa de juros
compostos envolvida na operação.
4. Uma empresa aplicou R$ 560.000 em um Banco à taxa de juros compostos de
1,5% ao mês e obteve um resgate de R$ 601.485,32. Calcular o tempo da
operação.
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa a memória financeira
230.000
230.000,00 Entra com o valor presente
242.644,90
242.644,90 Entra com o valor de
resgate
3
3,00 Entra com tempo em meses
1,80 Calcula a taxa de juros
Cont. Solução:
É importante observar que a ordem de entrada dos dados não influencia no
resultado. Entretanto, devemos obedecer a convenção do fluxo de caixa:
entrada e saída de capital. Porquanto deve-se entrar com o PV e o FV com
sinais trocados, caso contrário a calculadora não executará o cálculo e
apresentará no visor a mensagem de erro: ERROR 5 ( falha na convenção
de caixa).
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa a memória financeira
560.000
-560.000,00 Entra com o valor presente
601.485,32
601.485,32 Entra com o valor de resgate
1,5
1,50 Entra com a taxa mensal
5,00 Calcula o tempo
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Cont. Solução:
Este resultado não corresponde à realidade, ou seja, não está correto, pois se
pressionarmos a função FV, novamente, vamos verificar que o montante se
altera e o mostrador da calculadora vai acusar um valor de R$ 603.279,04, o
que demonstra que o resultado cinco, obtido no cálculo, está arredondado
para mais. A calculadora vai sempre apresentar um cálculo alterado quando o
fator tempo for fracionário. Esta é uma das poucas deficiências de nossa
calculadora HP-12C. Neste caso aconselhamos o seguinte:
a) Calcular o tempo pelo método científico, ou seja, através de logaritmos.
b) Ou transformar a taxa na menor unidade de tempo, no caso, em dia, pelo
método exponencial e calcular a quantidade de dias para transformar em
outra unidade de tempo.
O método científico (algébrico) é o mais exato, portanto vamosresolver nosso
problema através de logaritmos:
Considerando afórmula do montante: FV = PV ( 1 + i )n temos que:
FV/PV = (1 + i)n
Utilizando-se a propriedade matemática dos logaritmos de que o logaritmo de
uma potência é igual ao expoente multiplicado pelo logaritmo da base, temos:
ln (FV/PV) = n.ln (1 + i) onde n = ln (FV/PV) / ln (1 + i ) portanto:
n = ln(601.485,32 / 560.000) / ln (1 + 0,015) = 4,8 .
Daí temos um resultado de 4 meses e 24 dias ( os dias são calculados
multiplicando-se a fração do mês 0,80 pela quantidade de dias do mês,
considerando ano comercial, ou seja 30 dias).
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5. Uma fundação aplicou R$1.500.000 em um certificado de depósito bancário –
CDB, a uma taxa pré-fixada de 1,4% ao mês, pelo prazo de 38 dias. Calcular:
a) Valor do resgate bruto
b) Imposto de renda
c) Resgate líquido
Outros exemplos comparando-se o cálculo algébrico como financeiro.
1. Qual o montante de uma aplicação no total de R$ 175.000, pelo período de 3
meses a uma taxa de 2% a .m, no regime de juros compostos:
PV = 175.000 i = 2% a .m. n = 3 meses
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa a memória financeira
1.500.000
-1.500.000,00 Entra com o valor presente
1,4
1,40 Entra com a taxa
38 30
1,27 Entra com tempo
1.526.649,48 Calcula o resgate bruto
26.649,48 Calcula o rendimento bruto
20
5.329,90 Calcula o imposto de renda
- 21.319,59 Calcula o valor do
rendimento líquido
1.521.319,59 Calcula o valor do resgate
líquido
CHS
PV
Solução:
HP-12C → 175.000 1,02 3
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2. Qual a taxa de juros mensal que aplicada durante 120 dias , em um capital R$
88.000 rende R$ 95.366,14?
PV = 88.000 FV = 95.366,14 n = 120 dias ( 4 meses)
Cont. Solução:
HP-12C →ROTINA FINANCEIRA
Limpa o visor
175000 Principal
3 Introduz o período
2 Introduz a taxa
185.711,40 Valor do montante
EXCEL →= VF (2%; 3; 0; -175.000; 0) 185.711,40
Solução:
HP-12C → 95.366,14 88.000 4 1 100
HP-12C →ROTINA FINANCEIRA
95.366,14
88.000
4
2,03
EXCEL →= TAXA (4; 0; -88.000; 95.366; 4; 0)
– 1
4
i = =2,03% a.m. 95.366,14
88.000,00
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32
3. Qual o prazo de aplicação necessária para um capital de R$ 750.000, a uma
taxa de juros compostos de 1,8% a. m produzir o montante de R$ 839.662,38.
PV = 750.000 FV = 839.662,38 i = 1,8% a .m
Solução:
Ou seja,06 meses e 10 dias
HP-12C→839.662,38 750.000 1,018
HP-12C →ROTINA FINANCEIRA
Limpa registradores financeiros
839.662,38 Introduz o montante
750.000 Introduz o principal
1,8 Introduz a taxa
7 Tempo
Obs.: Se pressionarmos a tecla FV para ver qual o montante produzido em
n=7 vamos verificar que o período não é correto, pois conforme vemos no
cálculo algébrico a resposta correta é 6 meses e 10 dias. A HP-12C sempre
arredonda para maior. No cálculo do período aconselhamos a solução pelo
método algébrico (através de logaritmos) ou utilizando a taxa equivalente
diária (estudada no terceiro capítulo desta apostila).
n = = = 6,33
839.662,30
750.000,00
ln (1+0,018)
ln
0,112927
0,01784
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33
4. Um aplicador investiu R$ 200.000, pelo período de 8 meses à taxa de juros
compostos de 28% a .a. Calcular o montante da operação.
PV = 200.000 n = 8 i = 28% a . a
3.4.FÓRMULA PARA DEMONSTRAR OS JUROS COMPOSTOS
J = FV – PV
J = PV( 1+i ) n - PV
(3.5)
Solução:
FV = 200.000 (1 + 0,28) 8/12= 235.778,02
HP-12C → 200.000 1,28 8 12
HP-12C →ROTINA FINANCEIRA
Limpa registradores financeiros
200.000 Introduz o principal
28 Introduz a taxa
8 12 Introduz o período
235.778,02
Obs.: Caso a máquina estivesse sem o anúncio "c" no "display" o resultado
teria um valor maior uma vez que quando o período for fracionário a
calculadora interpola linearmente e efetua o cálculo da parte fracionária no
regime de juros simples. Experimente tirar o anúncio "c" da calculadora
pressionando as teclas (STO e EEX) e pressione FV. O resultado do montante
passa a ser R$ 237.333,33. Chamamos a atenção para que o anúncio "c"
fique sempre aceso no visor da calculadora. Para recolocá-lo basta repetir a
operação STO EEX.
EXCEL →= VF (2%; 3; 0; -175.000; 0) 185.711,40
J= PV.[(1 + i)n – 1]
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3.5. JUROS COMPOSTOS COMPARADOS AOS JUROS SIMPLES
Façamos a comparação de uma aplicação de R$ 20.000,00 à taxa de
2%a.m.
Período em dias/mês
Montante Simples
FV = PV(1 + in)
Montante Composto
FV = PV (1+i)n
5 dias
15 dias
25 dias
30=1mês
3 meses
4 meses
5 meses
20.066,67
20.200,00
20.333,33
20.400,00
21.200,00
21.600,00
22.000,00
20.066,11
20.199,01
20.332,78
20.400,00
21.224,16
21.648,64
22.081,62
Daí comprovamos que quando "n" for menor que 1 período ( período da
taxa) os juros simples são maiores que os juros compostos. Quando "n" for igual a
1 os juros compostos são iguais aos juros simples e quando "n" for maior do que 1
os juros compostos são maiores do que os juros simples.
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35
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE JUROS COMPOSTOS
PROBLEMA 01
Um empresário efetuou um pagamento a um Banco de R$ 400.000, referente
ao valor de um empréstimo contraído há dois anos. A taxa de juros foi de 4,5%
ao mês. Calcular o valor do empréstimo.
PROBLEMA 02
Uma determinada loja financia um bem de consumo durável no valor de R$
1.600, sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 5.251,21
no final de 27 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja?
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa Registradores.
400.000
400.000,00 Valor Futuro.
24 24,00 Prazo (meses).
4,5 4,5 Taxa Mensal.
-139.081,39 Valor Emprestado.
NOTAS
1. A calculadora HP - 12C foi concebida segundo o conceito de fluxo de caixa;
assim sendo, às entradas de caixa está associado o sinal (+) e às saídas de
caixa o sinal ( - ). Portanto, essa resposta, com sinal negativo, apenas indica
que R$ 139.081,39 é uma saída de caixa e R$ 400.000,00 uma entrada de
caixa (problema enfocado do ponto de vista do banco.
2. Ao invés de pode-se usar também
.
3. É importante lembrar que a função REG apaga os registradores.
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PROBLEMA 03
Qual o prazo necessário para que um empréstimo de R$ 88.000 possa ser
quitado em um único pagamento de R$ 150.000 sabendo-se que a taxa é de
32,25% ao ano.
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores.
16000
16.000,00 Valor do Financiamento
52512.15 52.512,15 Valor futuro
27 27,00
Prazo do Financiamento
(em meses)
4,50 Taxa mensal
PMT
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
88.000
-88.000,00 Valor do Empréstimo
150.000 110.624,65 Valor do Resgate
32,25 32,25 Taxa anual
2,00 Prazo anos
Obs.: Esta resposta não corresponde à realidade, uma vez que o prazo
correto é 1,9 que corresponde a um ano, dez meses e 26 dias. Para tanto é
necessário aplicar o logaritmo:
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PROBLEMA 4
Qual o montante correspondente a uma aplicação de R$ 200.000, pelo prazo de
16 meses, a uma taxa de 1,8% ao mês.
Cont. Solução:
TECLA VISOR SIGNIFICADO
150.00,00 Recupera o valor de resgate
88.000,00 Recupera valor do empréstimo e
troca sinal
1,704545 Razão entre FV e PV
0,533298 Logaritmo da razão
100 1
1,3225 Recupera a taxa e transforma
em fator
0,279524 Calcula o logaritmo do fator
1,907882 Prazo fracionado em ano
Aplicar a regra de três:
1/12 = 0,9/x ... x= 10 meses
1/30 = 0,89/x ... x= 27 dias
Resposta:1ano 10
meses e27 dias
Obs.: Quando se trata de prazo devem-se utilizar os recursos do logaritmo,
pois a calculadora arredonda a resposta, o que pode acarretar distorções
significativas no cálculo.
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
200.000
200.000,00 Valor da Aplicação
16
16,00 Prazo (em meses)
1,8
3,39 Taxa mensal
-266.069,10 Valor do Montante
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PROBLEMA 5
Um título deverá ser resgatado por R$ 250.000 no seu vencimento, o que
ocorrerá dentro de sete meses. Sabendo-se que o rendimento desse título é de
48% ao ano, determinar o seu valor presente.
PROBLEMA 6
Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês.
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
250.000
-250.000,00 Valor de resgate
48
48,0 Taxa anual
7 12
0,5833 Prazo (em fração de ano)
198.893,54 Valor presente
Obs: O indicador “C” deve estar aceso no lado direito do visor, caso contrário a
calculadora fará interpolação linear (quando o tempo for menor do que o prazo
da taxa) e o cálculo será alterado para maior. Utilize a função STO EEX para
posicionar o “C”.
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
1.02
1,02 Forma o fator
12 1
0,27 Taxa anual (forma unitária)
100
26,82 Taxa anual (percentual)
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PROBLEMA 7
Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano.
Essas questões (6 e 7) serão melhor compreendidas após o estudo do
capítulo destinado a taxas de juros (IV).
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
1.60103
1,60103 Forma o fator
12
1,04 Fator mensal
1 100
4,00 Taxa Mensal (percentual)
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4. TAXAS DE JUROS
4.1.JUROS PROPORCIONAIS
São as taxas de juros simples cujo crescimento é linear, ou seja, cresce em
linha reta (progressão aritmética).
Ex.: 60% a.a. corresponde a 5% a.m.
Cálculo: 60/12 = 5
0,5% a.m. corresponde a 6% a.a.
Cálculo: 0,5 x 12 = 6
As taxas de juros simples são, como vimos, proporcionais e também
equivalentes, pois uma ou mais taxas aplicadas em um mesmo capital, por um
mesmo período de tempo rendem um mesmo montante.
Exercícios
1. Calcular a taxa anual equivalente a 2% a.d.
Resp. 720% a.a.
2. Calcular a taxa diária equivalente a 9% a.b.
Resp. 0,15 % a.d.
3. Calcular a taxa diária equivalente a 6% a.m.
Resp. 0,2% a.d.
4. Calcular a taxa para 58 dias equivalente a 10% a.m.
Resp. 19,33% em 58dias
5. Calcular a taxa para 90 dias equivalente 8% a.s.
Resp.4% a.t.
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6. Calcular a taxa anual equivalente a 0,0041% a.d.
Resp. 1,476% a.a.
7. Calcular a taxa mensal equivalente a 28% em 196 dias
Resp. 4,28% a.m.
Obs.: Nos juros simples a taxa equivalente é também proporcional.
4.2. TAXAS DE JUROS EQUIVALENTES (JUROS COMPOSTOS)
4.2.1.Taxas Equivalentes
Duas ou mais taxas são equivalentes no regime de juros compostos quando
aplicadas em um mesmo capital no mesmo período rendem o mesmo montante.
Como vemos a definição é idêntica à equivalência de taxas na capitalização
simples, entretanto é bom lembrar que nos juros compostos o comportamento da
taxa é exponencial não cabendo, portanto a prática de dividir e multiplicar taxas.
60% a.a. corresponde a 3,994411% a.m.
Extrair a raiz 12 do fator 1,60 diminuir 1 e multiplicar por 100.
Vejamos com a HP-12C: 60 enter 100 divide 1 + 12 1/x Yx 1 - 100 x
0,5% a.m. corresponde a 6,17% a.a.
Eleve o fator 1,005 a potência 12 diminuir 1 e multiplicar por 100.
Vejamos com a HP-12C: 0,5 enter 100 divide 1+ 12 Yx 1 - 100x
(4.1)
Onde:
iq = taxa que quero
it= taxa que tenho
q = tempo que quero
t = tempo que tenho
i q= (1 + i t)
q/t
-1
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EXERCÍCIOS
1. Calcular as taxas equivalentes:
a) 3% a.m. equivalente à taxa anual Resp. 42,58% a.a.
b) 50% a.a. equivalente ao bimestre Resp. 6,99% a.b.
c) 0,5% a.m. equivalente ao semestre Resp. 3,04% a.s.
d) 0,0048% a.d. equivalente ao ano Resp. 1,74% a.a.
e) 15% ao semestre equivalente ao ano Resp. 32,25% a.a
f) 4% a. t. equivalente ao quadrimestre Resp. 5,37% a. q.
g) 10% a. s. equivalente em 211 dias Resp. 11,83% em 211 dias
h) 1% em 12 dias equivalente em 180 dias Resp. 16,10% a. s
i) 8% a. q. equivalente em 28 dias Resp. 1,81% em 28 dias
j) 50% em 400 dias equivalente ao ano Resp. 44,04% a.a.
k) 70% em 700 dias equivalente em 3 dias Resp. 0,2277% em 3 dias
l) 20% ao ano equivalente ao dia Resp. 0,05% a. d.
m) 0,067 em 4 dias equivalente ao semestre Resp. 3,06% ao semestre
n) 21,75% ao ano equivalente ao mês Resp. 1,65% a.m.
o) 30% ao equivalente ao semestre Resp. 14,02% a.s.
p) 1,5% em 45 dias equivalente ao mês Resp. 1% a.m.
q) 8% ao dia equivalente em 15 dias Resp. 217,22% em 15 dias
r) 60% ao ano equivalente ao trimestre Resp. 12,47% a.t.
s) 115.000% a.a. equivalente ao mês Resp. 79,92% a.m.
t) 80% a.m. equivalente ao ano Resp. 115.583,14% a.a
u) 0,88% ao mês equivalente ao ano Resp. 11,09% a.a.
v) 1,08% ao mês equivalente ao trimestre Resp. 3,28% a.t.
w) 29% ao ano equivalente ao mês Resp. 2,14% a.m.
x) 6% ao ano equivalente ao mês Resp. 0,49% a.m.
y) 8% ao mês equivalente ao ano Resp. 151,82% a.a.
z) 0.0058 ao dia equivalente em dois anos Resp. 4,26% em 2 anos
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CURIOSIDADE
As taxas acima retratam as diversas fases da realidade da economia brasileira e
mundial. As mais baixas representam épocas de inflação baixa como a que
estamos vivendo na época do Real e as mais altas representam a época da
inflação galopante como aquelas registradas no governo de Sarney. Outras,
entretanto, não espelham a realidade, mas servem para mostrar como as taxas se
comportam em termos de tamanho.
4.3. TAXAS EFETIVAS E NOMINAIS
Quando o período da taxa é diferente dos períodos de capitalização.
Ex.: 6% a.a. capitalizado mensalmente
2,8% ao mês capitalizado diariamente
Cálculo da taxa Efetiva a partir da taxa nominal:
(4.2)
j = taxa nominal
k = períodos de capitalização
i = taxa efetiva
Obs.:Lembre-se o resultado tem que ser multiplicado por 100
6% ao ano capitalizado mensalmente (Poupança)
i = ( 1 + 0,06/12)¹² - 1 = 6,17% a.a.
2,8% a.m. capitalizado diariamente
i = ( 1 + 0,028/30)³º - 1 = 2,83% a.m.
Caso queiramos encontrar uma taxa Nominal a partir da taxa efetiva
utilizamos a fórmula abaixo, que é a transformação algébrica da fórmula da taxa
efetiva:
(4.3)
i = (1 + j/k )
k
- 1
j =k. [(1 + i )
1/k
- 1]
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44
Lembrem-se: A taxa efetiva é aquela cujo período de capitalização coincide com
o período da taxa. Como exemplo, podemos citar todas as taxas dos exercícios
anteriores onde não se fala em períodos de capitalização.
4.4. CÁLCULO DO MONTANTE COMPOSTO COM TAXA NOMINAL
Podemos calcular o montante composto utilizando a seguinte fórmula:
(4.4)
Exemplo
1. Um empréstimo de R$ 7.000,00 foi concedido para pagamento em só vez no
final de um ano e meio, à taxa negociada foi de 60% ao ano com capitalização
mensal. Calcular o valor no ato da liquidação:
FV =PV. (1 + j/k )
k.n
-
1]
Solução:
Algébrica: FV = 7.000.(1+0,60/12)12 x 1,5 = 16.846,33
{ 7000 E 0,60 E 1 + 12 E 18 : Yx X }
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa a memória financeira
7000
7.000,00 Entra com o valor presente
60 12
5,00 Entra com a taxa mensal
12 1,5
18,00 Períodos de capitalização
16.846,33 Calcula
16 455.000,00 Calcula o montante
103.561,64 Valor dos juros – Ano Civil
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EXERCÍCIOS DE EQUIVALÊNCIA ENVOLVENDO TAXAS NOMINAIS E
EFETIVAS
a) Calcular a taxa efetiva anual equivalente à:
1) 24% a.a. com capitalização mensal
2) 28% a.a. com capitalização trimestral
3) 21% a.a. com capitalização quadrimestral
4) 40% a.a. com capitalização semestral
5) 30% a.a. com capitalização anual
b) Calcular a taxa Nominal a partir da taxa Efetiva:
6) 90% a.a. equivalente a taxa Nominal c/ cap. Mensal
7) 60% a.a. equivalente a taxa nominal c/cap. Trimestral
8) 30% a.s. equivalente a taxa Nominal c/cap. Bimestral
9) 3% a.m. equivalente a taxa Nominal c/cap. Diária
c) Calcular ainda:
10) 60% a.a. c/cap. Mensal equiv. Taxa anual c. cap. trimestral
11) 40% a.a. c/cap. Trimestral equiv. Taxa anual com cap. Quadrimestral
12) 30% a.s. c/cap. Bimestral equiv. Taxa trimestral com cap. Mensal
13) 38% a.a. c/cap. Quadrimestral equivalente a taxa efetiva mensal
14) 58% a.a. c/cap. Mensal equivalente a taxa efetiva anual.
15) 8% a.m. c/cap. Quinzenal equiv. A taxa trimestral c/cap. Mensal
16) Qual a taxa de juros simples equivalente à taxa de 48% a.a. com
capitalização trimestral durante o prazo de 2 anos?
17) Taxa anual efetiva equivalente a 12% a.a. c/cap. Mensal
18) Taxa efetiva semestral equiv. A 6% a.a. com cap. Trimestral
19) 28% a.a. equivalente aos
seguintes períodos:
a) Mensal
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b) Bimestral
c) Trimestral
d) Quadrimestral
e) Semestral
f) 8 meses
g) 15 dias
h) 1.000 dias
i)01 dia
j) 98 dias
k) 211 dias
4.6.COMO PROGRAMAR TAXAS EQUIVALENTES NA HP-12-C
EXECUTANDO O PROGRAMA
Taxa que tem
Tempo que quer dividido pelo tempo que tem(q/t)
entra no módulo de programação da calculadora
limpa a memória de programação
recupera a taxa de juros
100 1
sai do módulo de programação da calculadora
recupera o tempo e eleva
1 100
subtrai 1 e multiplica por 100
sai do módulo de programação da calculadora
+
R/S
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4.7. TAXAS E ÍNDICES VARIÁVEIS/ INFLAÇÃO
Operações financeiras que envolvem taxas de juros diferentes como, por
exemplo, a poupança que todo mês apresenta uma taxa de juros variável em
função da inflação. Também variam mês a mês os diversos índices de preço
como INPC, INCC, IGP-DI, IGP-M além de parâmetros fiscais como UFIR e
outros.
Fórmula para o cálculo das taxas variáveis acumuladas:
(4.5)
Leia-se: produtório das taxas variáveis
Exemplos
1. Em determinada época a poupança apresentou as seguintes taxas de
jurosmensal: Janeiro: 1,08 - fevereiro: 1,21 - março: 1,34.Calcular a
taxa acumulada do primeiro trimestre:
2. Um investidor aplicou em fundo de poupança R$ 10.000,00 às taxas de 1,03%,
2,01%, 1,8% e 1,667% nos quatro meses da aplicação. Qual o montante
resgatado no final do quadrimestre?
Solução:
iac = ( 1+ 0,0108) ( 1+ 0,0121) ( 1+ 0,0134) - 1 = 3,67 %
Caso queiramos calcular o montante com taxas variáveis utilizamos a
seguinte fórmula:
FV = PV . 𝜋. (1 + it)
n
t=1
Solução:
Aplicando-se a fórmula:
FV = 10.000 . ( 1 + 0,0103) . ( 1 + 0,0201) . ( 1 + 0,018) . ( 1+ 0,01667) =
FV = 10.666,47
iac = 𝜋(1 + it) - 1
n
t=1
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48
TAXA REAL ( r )
TAXA APARENTE (i)
TAXA DE INFLAÇÃO (I)
Podemos afirmar que: ( 1 + i ) = ( 1 + r ) . ( 1 + I )
Por dedução podemos calcular a taxa aparente (ganho aparente):
Taxa Aparente:
(4.6)
Taxa Real:
(4.7)
Taxa de Inflação:
(4.8)
A taxa real considera os efeitos inflacionários do período considerado. Para
obtê-la se faz necessário expurgar a perda ou ganho inflacionário decorrente do
processo da alta geral dos preços. A taxa real representa a taxa de juros acima da
inflação paga ou ganha em uma operação. Ela pode ser positiva ou negativa
dependendo se a taxa de inflação excedeu ou não a taxa efetiva. A taxa de
inflação é a razão entre a taxa aparente e a taxa real.
i = (1 + r).(1 + I) - 1
(1 + i)
(1 + I)
r = - 1
(1 + i)
(1 + r)
I = - 1
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49
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Uma aplicação rende juros reais de 6% a.a. capitalizados mensalmente. Qual a
taxa de juros efetivas anual ganha pela aplicação e qual a taxa de rendimento
anual real se a taxa de inflação foi de 4,8%.
Dados:i = 6
12
2. Durante um trimestre a inflação apresentou as seguintes taxas: 3% ; 1,95% e
1,98%. Sabendo-se que no mesmo período uma aplicação apresentou taxa de
4%, calcular o ganho ou prejuízo real em termos percentuais e a taxa média da
inflação.
Dados:i = 4% a t.
Solução:
i = 1 + . (1 + 0,048) – 1 =
i = 1,005 x 1,048 - 1 = 11,26%. aa
Significa dizer que a taxa aparente da operação é: 11,26% a.a.
Solução:
I1 = 3,00
I2 = 1,95
I3 = 1,98
Onde:
Significa dizer que a aplicação apresentou uma taxa real negativa, ou seja,
houve um prejuízo real de – 2,88% no trimestre.
Taxa média de inflação é simplesmente a descapitalização da taxa trimestral
de inflação para a taxa mensal que corresponde a média geométrica:
Im = [ (1 + 0,03) (1 + 0,0195) ( 1 + 0,0198)] 1/3 – 1 = 2,3% ao mês
0,06
12
12
(1 + i )
π (1 + it )
r = n
t=1
(1 + 0,04 )
(1 + 0,03).(1+ 0,0195).(1+ 0,0198)
r = = - 2,88%
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50
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO JUROS COMPOSTOS
1. Admita que uma empresa irá necessitar de R$ 330.000 em 11 meses e R$
470.000,00 em 14 meses. Quanto deverá ela depositar hoje numa
alternativa de investimento que oferece uma taxa efetiva de rentabilidade
de 80% a.a.
Resposta: R$ 429.281,49
2. Uma taxa efetiva de juros quadrimestrais é utilizada em um investimento
gerando um total de juros, ao final de 2 anos, igual a 270% do valor do
capital aplicado. Determinar essa taxa de juros.
Resposta: 24,3656% a.q. :. 92,3538% a.a.
3. Uma pessoa deve a outra a importância de R$ 1.200,00. Para a liquidação
da dívida propõe as seguintes condições de pagamento: R$ 350,00 ao
final de 2 meses; R$ 400,00 ao final de 4 meses; R$ 170,00 ao final de sete
meses e o restante ao final de um ano. Sendo de 9% am a taxa de juros
cobrada no empréstimo pede-se calcular o último pagamento.
Resposta: R$ 1.487,95.
4. Um investidor depositou num banco um valor a juros compostos.
Sabendo-se que após 6 meses tinha um saldo de R$ 2.859,80 e, passados
mais cinco meses, o saldo passou a R$ 3.096,02, calcule quanto foi
aplicado.
Resposta: R$ 2.600,00
5. Uma determinada mercadoria foi adquirida em quatro pagamentos
bimestrais de R$ 140.000,00. Alternativamente, esta mesma mercadoria
poderia ser adquirida pagando-se 20% de seu valor de entrada e o
restante ao final de um semestre. Sendo de 72% a.a. a taxa nominal de
juros com capitalização mensal a ser considerada nesta operação pede-
se calcular o valor da prestação vencível ao final do semestre.
Resposta: R$ 478.920,20
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6. Quanto um investidor pagaria hoje por um título de valor nominal de R$
900.000,00 com vencimento para daqui a um semestre. Sabe-se que esse
investidor está disposto a realizar a aplicação somente se auferir uma
rentabilidade efetiva de 120% a.a.
Resposta: R$ 606.779,88
7. Uma loja está oferecendo uma mercadoria no valor de R$ 90.000,00 com
desconto de 12% para pagamento a vista. Outra opção de compra é pagar
os noventa mil após 60 dias sem desconto. Calcular o custo efetivo
mensal de venda a prazo.
Resposta: 6,6% a.m.
8. Uma pessoa adquiriu um equipamento por R$ 2.000,00 a vista, mais duas
prestações iguais de R$ 2.000,00 cada uma. Estas prestações foram
pagas um e dois meses após a compra. Suponha a taxa de juros de 5%
a.m. O equipamento ficou em estoque e não sofreu depreciação. Calcule o
preço de venda do equipamento seis meses após sua aquisição para que
não haja lucro nem prejuízo nessa transação.
Resposta: R$ 7.663,77
9. Uma Fundação aplicou R$ 100.000,00, sendo uma parte no Banco A à
taxa de 4% a.m. e a outra parte no Banco B a taxa de 6% a.m. O prazo de
aplicação foi
mesmo, ou seja 10 meses. Se após esse tempo os
montantes forem iguais nos dois bancos, quais os capitais aplicados e
qual o valor de cada montante?
Resposta: PV(A) 54.747,70 PV(B) 45.252,30
FV(A) 81.039,91 FV(B) 81.039,97
10. O BANFCAP empresta a uma empresa determinada quantia que deverá
ser liquidada no final do nono mês pelo valor de R$ 1.304.773,18.
Determinar o valor que deve ser abatido no ato da contratação, uma vez
que a empresa deseja limitar esse pagamento final em R$ 1.200.000,00,
sabendo-se que o Banco opera no regime de juros compostos, à taxa de
3% a.m.
Resposta: R$ 80.299,91
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11. O capital de R$ 40.000,00 é aplicado é aplicado durante seis meses e
rende R$ 19.000,00 de juros compostos. Se a aplicação fosse de 8 meses,
qual seria o montante.
Resposta: R$ 67.160,82
12. Uma dívida de 20.000,00 vencível em 60 dias foi negociada com dois
pagamentos iguais para 90 e 120 dias. Se a negociação é realizada à taxa
de 60% ao ano, com capitalização mensal, qual o valor de cada parcela.
Resposta: R$ 10.756,10
13. Uma aplicação do capital PV foi efetuada à taxa de juros compostos de
6% ao mês, por dez meses. A que taxa mensal de juros simples devemos
aplicar o PV, pelo mesmo prazo, para obter o mesmo montante.
Resposta: 7,91% ao mês
14. Um investidor aplicou R$ 20.000,00, durante quatro anos à taxa nominal
de 14% ao ano com capitalização semestral. Ao término desse período
somente os juros ganhos foram reaplicados por 15 meses á taxa nominal
de 12% ao trimestre capitalizada mensalmente. Qual o rendimento dessa
última operação?
Resposta: R$ 11.504,53.
15. Uma pequena empresa tomou um empréstimo. O primeiro por três meses
a juros compostos de 5% ao mês e o segundo por dez meses a juros
compostos de 4% ao mês. Sabendo-se que pagou ao todo R$ 11.181,14 de
juros, qual o valor do primeiro empréstimo, sabendo-se que ele foi igual a
metade do segundo.
Resposta: R$ 10.000,00
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53
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS ENVOLVENDO EQUIVALÊNCIADE CAPITAIS
1. ANA CARLA tem condições de aplicar seu dinheiro a 3,5% AM no
mercado de capitais. Se um amigo lhe pedir emprestado R$ 12.000,00 por
um ano, quanto deverá devolver para que sua aplicação seja equivalente
neste período?
Achar o Valor Futuro: FV
2. ANDREZA possui em seus haveres dois títulos de R$ 4.000,00 e R$
5.000,00, com vencimento para 180 e 360 dias. Pretendendo comprar uma
máquina industrial, procura descontar os títulos em um Banco. A gerente
GABRIELA que é sua amiga avisa-lhe que a taxa nominal é de 30%AA,
contudo a capitalização é mensal. ANDREZA aceita as condições do
Banco, pois o valor a receber é igual ao preço da máquina. Qual é o seu
valor?
Solução:
12.000 3,5 12 → 18.182,82
CHS PV i n
PV = 12.000,00
Fv=?
0 n=12
Solução:
Trata-se de uma operação de desconto composto com a taxa nominal
capitalizada mensalmente: 30/12=2,5% AM. Somente podemos dividir taxa
de juros compostos nessa situação em que o período da taxa é diferente do
período de capitalização. 30% AA c/c mensal é nominal; 2,5% AM já é a taxa
efetiva mensal.
12.0003,5 12 → 18.182,82
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54
3. Para viajar a negócio daqui a um ano CATARINA vende o seu carro hoje e
um terreno a 6 meses aplicando o dinheiro em uma instituição que paga
40%AA. O carro será vendido por R$ 30.000,00 e o terreno por
R$250.000,00, sendo que na viagem ela pretende gastar R$ 300.000,00
incluindo despesas de viagem e a compra de equipamentos para sua
indústria. Que saldo poderá deixar aplicado?
Cont. Solução:
Solução: Somar o valor
atual dos títulos
4.000 2,5 6 → 3.449,19
5.000 12 → 3.717,78
3.449,19 + 3.717,78= 7.166,97
Observem que não foi necessário entrar com as funções FIN e i, pois apenas
substituímos as variáveis alteradas: PV e n.
12.0003,5 12 → 18.182,82
CHS i n PV
CHS n PV
4000 5000
0 6 12
Solução:
30.000 250.000 300.000
0 6 meses 12 meses
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55
4. MARCELA comprou uma enciclopédia, sem dar nada de entrada sob
condições de pagá-la em quatro parcelas quadrimestrais de R$ 1.000,00.
Como opção, o gerente da livraria lhe propôs uma entrada de R$ 1.500,00
e o saldo para 1 ano. De quanto será este saldo, se a taxa de juros for de
3% AM?
Solução:
Cont. Solução:
Taxa: 40% AA Taxa efetiva anual que poderá ser convertida para mensal.
Nesse caso pode-se, também, se trabalhar com a fração do ano: Solução da
questão:
30.000 40 1 → 42.000,00
250.000 6 12 → 295.803,99 +
337.803,99
300.000 X><Y - →37.803,99 (valor que poderá ficar aplicado no final de um
ano)
CHS PV i
CHS PV
1.000
0 1 2 3 4
1.500 X
0 n = 1 ano
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56
5. O preço de um terreno é de R$ 50.000,00 ou R$ 60.000,00 a prazo. No
segundo caso o comprador deverá dar 20% como entrada e o restante em
duas parcelas iguais semestrais. Se a taxa de juros de mercado for de
30%AA. Qual será a melhor opção?
À vista: 50.000
À prazo: 60.000
20% de entradas: 12.000
Mais duas prestações de 24.000
Taxa: 30% ao ano
Cont. Solução:
1.000
1,03 4 1 100 4 →
3.002,44 →1.500
[1.502,44] 3 12 → 2.142,12
A taxa dada é 3% AM, nesse caso para a primeira opção teremos que convertê-la
para quadrimestre. Para segunda opção trabalha-se com a taxa mensal
Solução:
24.000
2
1,30 2 1 100 [14,02...]
12.000 24.000 24.000
0 6 12
60.000
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6. FLÁVIO aplicou R$ 100.000,00 em um Banco que paga 25% AA.
Pretendendo retirar o montante na época da colheita (6 meses) para evitar
problemas de capital de giro. Entretanto, decorridos 3 meses ele
necessitou de dinheiro, retirando então R$ 30.000,00. Que saldo poderá
retirar na época da colheita?
Cont. Solução:
(Acha a taxa semestral)
[39.510] 12.000 + [51.510,93]
Resp. A melhor opção é a compra à vista, tem o menor valor atual.
Taxa efetiva:
50.000 12000
24.000 2 17,10% a.s.
1,1710 2 1 100 → 37,12% a.a. (Taxa efetiva anual)
Solução:
100.000 25 3 12
→ [105.737,13] 30.000 [75.737,13] 25
3 12
→ 80.082,26
0 3 6 meses
100.000
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7. RACHEL deve R$ 2.000,00 hoje e R$ 5.000,00 para 1 ano. Propõe a seu
credor refinanciamento de sua dívida, comprometendo-se a liquidá-la em
3 parcelas semestrais iguais, vencendo a primeira em 6 meses. De quanto
serão as parcelas, se a taxa contratada for de 20% ao ano?
Solução:
1ª Opção:
5.000 20 1
→ [4.166,67] 2.000 → 6.166,67
2ª Opção:
6.166,67 3 1,20 2
1 100
→ 2.459,85. Valor das prestações da 2ª opção
X X X
0 6 12 18
5.000
2.000
0 1 ano
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8. MARLY vendeu um carro para LAURA pelo preço de R$ 50.000,00. Quanto
às condições de pagamento, MARLY disse que LAURA pagar-lhe-ia na
medida do possível, sendo os juros de 40% ao ano. Os pagamentos
efetuados foram: R$ 5.000,00 (terceiro mês), R$ 10.000,00 (quinto mês),
R$ 20.000,00 (sexto mês). No fim do décimo segundo mês a compradora
diz querer saldar o seu débito total. Qual o valor do acerto final?
Solução:
5.000 40 3 12
→ 4.596,61
10.000 5 12 ; → 8.691,87 +
20.000 6 12 ; → 16.903,09 + →
30.191,57
50.000 X><Y – [19.808,43] 40 1
→ 27.731,80
20.000 X = ?
10.000
5.000
0 3 5 6 12
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9. Uma dívida de R$ 150.000,00 para 12 meses e de R$ 300.000,00 para 24
meses foi transformada em 4 parcelas iguais semestrais, vencendo a
primeira a 6 meses. Qual é o valor das parcelas se considerarmos a taxa
de 25% ao ano?
Solução:
Dívida original:
150.000 25 1 ; → 120.000
300.000 2 ; → 192.000 + → 312.000
Dívida renegociada:
312.000 4 1,25 2 1
100 [11,80...] ; → 102.296,12
300.000
150.000
0 12 24 meses
X X X X
0 6 12 18 24
312.000
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10. Se uma instituição financeira paga 20% ao ano, quanto deverei depositar,
trimestralmente para, ao fim do quarto depósito, possuir R$ 10.000,00?
11. O preço à vista de uma casa é de R$ 500.000,00. O vendedor facilita a
transação, propondo o seguinte esquema: R$ 100.000,00 como entrada,
duas parcelas semestrais de R$ 200.000,00 e um pagamento final de R$
157.010,59. Se a taxa contratada for de 3% AM, quando será o último
pagamento?
Solução:
10.000,00 4 1,2 3 12
1 100 [4,66...]
→ 2.331,76
FV = 100.000,00
0 6 12 18 24
Solução:
500.000 100.000 [400.000] valor financiado
200.000 3 6 ; → 167.496,85
100.000 200.000 200.000 157.010,59
0 6 12 n=?
500.000
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12. A loja ENSINOANTES vende um aparelho de som por R$ 600,00 à vista,
ou a prazo em 3 pagamentos mensais de R$ 200,00 e uma pequena
entrada. A taxa de juros adotada pela loja é de 7% ao mês. De quanto
deve ser a entrada?
Cont. Solução:
12 ; → 140.275,98 + [307.772,83]
400.000 X><Y – [92.227,17] ; 157.010,59 3
→ 18 meses ou 1 ano e 6 meses
Solução:
200 3 7 ; → [524,86]
600,00 X><Y – 75,14
200,00 200,00 200,00
0 1 2 3
600,00
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63
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO EQUIVALÊNCIADE CAPITAIS
1. Uma nota promissória cujo valor nominal é $ 200.000,00 vence dentro de
dois meses. O devedor propõe a troca por outra promissória a vencer
dentro de cinco meses. Qual deve ser o valor nominal da nova
promissória, para que os capitais sejam equivalentes à taxa 4% a. m?
Resposta: 224.972,80
2. O preço a vista de um fogão é de $ 1.500,00. Se eu pagar hoje a quantia de
$ 450.00 e mais $ 600.00 dentro de três meses, quanto deveria pagar
dentro de seis meses para liquidar a dívida? Suponha taxa de 5% a.a m.
Resposta: 712,53
3. Um Banco emprestou ao Sr. Jaime a quantia de $ 250.000,00 para ser paga
com juros compostos de 5% a.m, após quatro meses. Passados três
meses, o Sr. Jaime pagou $ 200.000,00 da dívida, prometendo liquidar o
restante dois meses após. Qual o valor dessa última parcela?
Resposta: 98.570,39
4. Humberto adquiriu uma moto por $ 25.000,00. No mesmo dia dessa
aquisição, seu amigo Marcelo propõe comprar-lhe a moto pelo mesmo
preço, mas de maneira parcelada. Ele pagaria $ 15.000,00 a vista, $
10.000,00 dois meses depois e daria uma terceira parcela no final do
quarto mês. Qual deverá ser o valor dessa Quarta parcela? Sabe-se que
taxa de juros cobrada é de 5% a.m.
Resposta: 1.130,10
5. Débora comprou um equipamento por $ 340.000,00 e, no mesmo dia,
recebeu
proposta para vender o equipamento nas seguintes condições: $
240.000,00 à vista mais uma parcela de $ 100.000,00 no final do segundo
mês e outra de $30.746,10 no final do sexto mês. Sabendo-se que a taxa
de juros é de 10% a.m, verifique-se se haverá algum ganho nessa
transação.
Resposta: Nenhum
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64
6. Certa empresa propõe a venda de um equipamento nas seguintes
condições: $200.000,00 a vista mais duas parcelas desiguais, uma de $
133.100,00 no final do terceiro mês e outra de $ 161.051,00 no final do
quinto mês. Você está interessado em pagar tudo mais rapidamente e faz
a seguinte contraproposta: duas parcelas iguais, uma no final do primeiro
mês e outra no final do quarto mês. Qual deverá ser o valor de cada
parcela, sendo a taxa de juros de 10% a.m?
Resposta: 251.240,00
7. Uma imobiliária propõe a seus clientes dois planos de venda que ela
chama de planos A e B.
Plano A: Entrada de $ 25.000,00 mais duas parcelas desiguais, uma de
$86.821,87 no final do terceiro mês e outra de $ 91.162,97 no final do quarto
mês.
Plano B: Três parcelas iguais no final do primeiro, segundo e terceiro meses
respectivamente. Sendo de 5% a.m a taxa cobrada pela empresa, qual deverá
ser o valor de cada parcela?
Resposta: 64.261,50
8. Qual deverá ser o valor de x para que os dois conjuntos de capitais sejam
iguais? Suponha taxa de juros de 5% a.m e despreze os centavos.
Resposta: 53.780,00
X X
0 1 2 3 4
50.000 28.941 30.388
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9. Um equipamento é vendido por $ 50.000.00 a vista ou por duas prestações
mensais iguais no final do segundo e quarto meses respectivamente. Qual
o valor de cada uma dessas prestações se a taxa de juros é de 10% a.m?
Resposta: 33.124,45
10. Um televisor é vendido por $ 1.200,00 a vista ou por duas prestações
iguais, sem entrada, uma no final do primeiro mês e outra no final do
quarto mês. Sendo a taxa de juros de 5% a.m, calcule o valor de cada
prestação.
Resposta: 676,02
11. A que taxa de juros anual $ 5.000,00 no final do ano 2 equivale a $
12.000,00 no final do ano 4 ?
Resposta: 54,9193% ao ano
12. A que taxa de juros anual $ 10.000,00 no final do ano 1 é igual a $
15.735,19 no final do ano 4 ?
Resposta: 16,31% ao ano
13. Abaixo estão representados três capitais ao longo do tempo. Esses
capitais podem ser igualados por determinada taxa de juros. Calcule essa
taxa.
Resposta: 20% ao ano
14. A empresa Alfa examina a compra de um equipamento junto à Heckt e
verifica que ele é vendido nas seguintes condições: $ 31.334,10 a vista
mais uma parcela de $ 13.230,00 no final do segundo mês e outra de
$25.525,63 no final do quinto mês. Contudo, a empresa Heckt aceita
contrapropostas. A Alfa propõe, então, um novo plano que consiste no
pagamento de três parcelas iguais no final do primeiro, terceiro e quarto
25.000 43.200 89.597,52
0 1 4 8
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66
meses respectivamente. Sendo a taxa de juros de 5% a.m, qual deve ser o
valor de cada uma dessas parcelas para que haja equivalência de
capitais?
Resposta: 24.000,00
15. Um negociante compra hoje mercadorias no valor de $ 1.000.000,00
pagando 30% a vista e comprometendo-se a pagar $ 300.000,00 no final de
quatro meses. Que pagamento deve ainda ser feito no final de oito meses
se a taxa cobrada é de 5% a.m?
Resposta: 306.736,32
16. A Stromboli, fabricante de bens de capital, adquiriu um equipamento por
$ 4.000,00, pagando 20% à vista e comprometendo-se a pagar $ 1.341,00
no final do sexto mês. No décimo mês, ela deverá liquidar o restante da
dívida. Sendo a taxa de juros de 5% a.m. calcule a última parcela a ser
paga.
Resposta: 3.582,47
17. Ache a equivalência de capitais abaixo tomando como data de referência
o período 5 e supondo taxa de juros de 4% a. m . . Despreze os centavos.
Resposta: 4.000
CONSIDERAR
A DATA
FOCAL 5
300,00 X=?
0 4 8
700.000
3.288 4.867
0 5 10
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18. Uma empresa toma emprestada a quantia de $ 250.000,00
comprometendo-se a restituí-la no final de 12 meses com juros de 48% ao
ano compostos mensalmente. Após seis meses, a empresa propõe pagar
$200.000,00 imediatamente e o saldo no final do décimo mês, desde que
com taxa de juros mais baixa. A proposta foi aceita à taxa de 3% a.m,
porque os riscos diminuíram. Qual o valor do saldo a ser pago?
Obs.: No sexto mês há uma renegociação da dívida, sendo aceita a proposta
de uma nova taxa de juros que passa a vigorar imediatamente. O mês 10
torna-se o mês de referência para os meses 6 e 12 .
Resposta: 152.179,59
19.Uma empresa toma emprestada a quantia de $ 1.500.000,00
comprometendo-se a restituí-la no final de 20 meses com juros de 36%
a.a capitalizados mensalmente. No final do oitavo mês, o devedor propõe
pagar imediatamente $ 800.000,00 e o restante dentro de quatro meses,
desde que a taxa de juros mensal passe a ser de 2,5%%. A proposta foi
aceita imediatamente. Calcule o saldo a ser pago.
Resposta: 1.340.489,09
20 .Um negociante comprou mercadorias cujas faturas de $ 120.000,00,
$150.000,00 e $ 200.000,00 vencem respectivamente dentro de dois, quatro
e oito meses. O devedor propõe pagar uma única fatura no valor de $
598.809,00. Supondo taxa de juros composta de 5% a.m. , quando deve ser
efetuado o pagamento ?
200,00 X=?
0 6 10 12
250.000
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120.000 150.000 200.000
0 2 4 8
Resposta: dez meses
21. Um varejista faz a seguinte proposta a um de seus fornecedores a quem
deve certa quantia em dinheiro. Pagamentos de $ 25.000,00, $ 40.000,00 e
$ 80.000,00 vencíveis dentro de 2, 6 e 10 meses, respectivamente, ou um
único pagamento de $146.664,00. Suponha taxa de juros de 2% a.m.
Quando deve ser efetuado o pagamento único?
Resposta: Dentro de oito meses
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69
5. DESCONTO
5.1. CONCEITO DE DESCONTO
É a diferença entre o valor nominal do título e o valor no ato do resgate
antecipado (valor descontado).
(5.1)
A operação de desconto é muito utilizada quando a empresa necessita
negociar com um banco o pagamento antecipado de um título, para obter
capital
de giro. Em geral os títulos que sofrem descontos a curto prazo são as Nota
Promissórias, Duplicatas, cheques pré-datados, etc. A primeira é o título de
crédito tal que seu emitente se obriga a pagar, na data do vencimento o valor
nominal. A Segunda, Duplicata, são títulos vinculados a operações de venda de
bens ou serviços que casos os títulos são negociados com os bancos em troca do
valor descontado (valor líquido = valor nominal - desconto). Os cheques pré-
datados hoje estão sendo largamente descontados em FACTORING ou Banco.
As operações de desconto, tanto para juros simples quanto para juros
compostos, podem ser assim classificadas:
POR DENTRO (Racional): Trata-se do desconto matemático onde os juros
incidem sobre o valor presente (valor líquido).
POR FORA(Comercial ou Bancário): Trata-se de um desconto irracional, pois a
taxa de desconto incide sobre o valor futuro(ValorNominal do título), acarretando
assim em pagamento antecipado dos juros o que gerauma taxa efetiva maiordo
D = FV – PV
PV
FV
D
0
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70
que a taxa da negociação(taxa de desconto) . Os Bancos e Factorings, aplicam o
desconto bancário simples.
5.2.DESCONTO SIMPLES
5.2.1. Desconto Racional - Por Dentro
O desconto simples "por dentro" é o juro simples do valor líquido.
ou (5.2)
A diferença entre o valor nominal e valor atual: Dr = FV – PV
(5.3)
(5.4)
5.2.2.Desconto Comercial - Por Fora
O desconto comercial "por fora" é o juro simples do valor nominal a uma taxa
chamada de taxa de desconto, durante um prazo de antecipação do resgate.
(5.5)
0 n
FV
Dr
PV
Dr = PV . i . n
Dc = FV . d . n
FV - PV
(1 + in)
Dr =
FV . i . n
(1 + in)
Dr =
PV
FV
Dc
0
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O valor descontado (valor líquido) é: PV = FV - Dc .: PV = FV - FVin
(5.6)
5.2.3.Desconto Bancário - Por Fora
Podemos dizer que o desconto bancário é igual ao desconto comercial
acrescido dos acessórios financeiros cobrados pelo banco (IOF,
Comissões,taxas, etc.):
Db = Dc + FV . h
Db = FV . i . n + FV . h
(5.7)
Onde "h" representa a percentagem das despesas (acessórios financeiros).
Obs.: As taxas podem ser diárias ou determinadas para o período do
desconto.
O valor descontado (valor líquido) pode ser assim deduzido:
PV = FV - DB
PV = FV - FV ( i . n . + h )
(5.8)
No DESCONTO POR DENTRO os juros incidem sobre o valor líquido do
título enquanto que no DESCONTO POR FORA os juros incidem sobre o valor
nominal do título.
Mesmo sem levar em conta as taxas cobradas pelo banco o DESCONTO
POR FORA apresenta um valor líquido menor, pois os juros são cobrados
antecipadamente acarretando uma taxa efetiva maior que a taxa de desconto.
PV = FV .(1 – dn)
Db = FV .(d.n + h)
PV = FV .(1 - i.n - h)
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Exemplos
Temos os seguintes elementos:
FV = 100 (valor do título)
d = 10% (taxa de desconto)
i = taxa efetiva?
n = 2 meses (período do desconto)
*h = 1,5% no período ( total dos acessórios financeiros)
*Somente para o Desconto Bancário.
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
a) Cálculo do Desconto Racional
Dr = = = = 16,67
- Cálculo do Valor Líquido:
FV - Dr = 100 - 16,67 = 83,33
- Taxa Efetiva (por se tratar de desconto racional é igual a da negociação:
i = = = 10% ao mês
Obs.: nesse caso a taxa efetiva é a mesma da taxa de desconto
b) Cálculo do Desconto Comercial
- Cálculo do Desconto:
Dc = FV . d . n = 100 x 0,1 x 2 = 20
FV . i . n 100 x 0,1 x 2 20
(1 + i . n) (1 + 0,1 x 2) 1,2
FV100
PV 83,33
n 2
– 1
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- Valor Líquido:
PV = 100 - 20 = 80
- Taxa Efetiva:
d = = = 12,5% ao mês
d = taxa de desconto = taxa da negociação
i = taxa efetiva (taxa definitiva que representa o real custo da operação)
Obs.: A taxa efetiva (i) nesse caso é maior do que a taxa da negociação (d)
c)Desconto Bancário
- Cálculo do Desconto:
DB = FV (d . n + h ) = 100 ( 0,1 x 2 + 0,015 ) = 21,50
- Cálculo do Valor Líquido:
PV = 100 - 21,50 = 78,50
- Cálculo da Taxa Efetiva:
d = = = 13,50% ao mês
Obs.: Como no caso anterior a taxa efetiva é maior do que a taxa da negociação e
maior do que a taxa efetiva do DC por conta das despesas financeiras.
FV100
PV 80
n 2
– 1
FV100
PV 78,50
n 2
– 1
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Observe que:Dr<Dc<Db.
Considerando "i " como taxa efetiva e "d " como taxa de desconto, podemos
através da equivalência entre Desconto Racional e Desconto Comercial
determinar fórmulas mais práticas para cálculo das taxas, independentemente de
se conhecer os valores da operação:
5.2.4.Outra Forma de Calcular a Taxa Efetiva
(5.9)
Considerando “d” como taxa de desconto:
(5.10)
(5.11)
(5.12)
Considerando a taxa de desconto de 10% a.m., conforme exemplo anterior.
Ex.:
i = = = 12,50% ao mês (taxa efetiva)
FV.i.n
(i +i.n)
= FV.d.n
i
(1 + i.n)
d =
d
(1 – d.n)
i =
0,1 0,1
(1 – 0,1x2) 0,8
2
Dr = Dc
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5.2.5.Exercício com base nas Operações Bancárias
1. Um Banco comercial realiza suas operações de desconto de títulos a juros
simples, com uma taxa de desconto por fora de 3,3% ao mês e cobra uma taxa
de despesas financeiras na ordem de 0,693% ao semestre. Uma empresa
descontou um título de R$ 88.000,00 com vencimento para 68 dias.
Determinar:
a) Desconto Comercial;
b) Despesas Financeiras;
c) Desconto Bancário;
d) Valor Líquido creditado na conta do cliente;
e) A taxa efetiva do período;
f) Taxa mensal de juros simples;
g) Taxa efetiva mensal de juros compostos;
h) Taxa efetiva anual de juros compostos.
i) Taxa de juros compostos anual com cap. diária(taxa nominal)
Solução:
a) Dc = FV.i.n = 88.000 x 0,033 x 68/30 = 6.582,40
b) DF = FV.h.n = 88.000 x 0,00693 x 68/180 = 230,38
c) Db = Dc +DF = 6.582,40 + 230,38 = 6.812,78
d) VL = PV = FV – Db = 88.000 - 6.812,78 = 81.187,22
e) Iep = FV/PV – 1 = 88.000/81.187,22 – 1 = 8,39% ao.período(68
dias)
f) Ijsm = iep x 30 /n = 8,39 x 30/68 = 3,7% a.m.
g) Ijca = (1 + iep)
360/d – 1 = 1,0839360/68 – 1 = 53,20% ao ano
h) J = m[ (1 + i )1/n – 1] = 360[(1+0,5320) 1/360 - 1] = 42,68% ao ano com cap.
anual
Determinação de taxa de juros compostos com o software financeiro da HP-
12C:
88.000
0 n = 68
81.187,22
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Cont. Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa a memória financeira
88.000
88.000,00 Introduz o valor do título
81187,22
81.187,22 Introduz o valor líquido
68 360
0,19 Introduz o tempo
53,20 Acha a taxa efetiva
FORMA PRÁTICA DE RESOLVER E ARMAZENAR OS DADOS DO
PROBLEMA
TECLA VISOR SIGNIFICADO
88.000
88.000 Armazena o vr. do título
em FV e entra
0,033 68 30
1
6.582,40 Calcula o Dc e armazena
em R1
0,00693
68 180 2
230,38 Calcula Desp. Financ e
armazena em R2
3
6.812,78 Calcula o Db e armazena
em R3
X><Y
4
81.187,22 Recupera o FV e acha o
valor líquido e arm. R4
X><Y 1
100 5
8,39 Acha a taxa efetiva do
períodoarm. R5
68 30 6
3,7 Acha a taxa mensal de
juros simples arm R6
5 100 1 360
68 1 100
7
53,20 Acha a taxa de juros comp.
Anual e armazena no R7
100 1 360 1
360 100 8
42,68 Calcula a taxa Nom. c/c
diária e arm. R8
+
+
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO DESCONTO SIMPLES
1. Um banco desconta um título no valor de R$ 180.000,00, 50 dias antes do
seu vencimento. Nesta operação o banco cobra 48% ao ano de taxa de
desconto por fora e 0,8% de despesas financeiras. Calcular o valor líquido
liberado e a taxa mensal efetiva de juros compostos.
Resposta: R$ 166.560 e 4,77% ao mês
2. Um título com valor de resgate de R$ 120.000,00 é descontado
comercialmente a uma taxa de 2,8%a.m (já incluído o IOF). Sabendo-se
que o valor líquido recebido por seu proprietário foi de R$ 118.320, na
data do desconto, pergunta-se quantos dias faltavam para o resgate do
título.
Resposta: n = 0,5 meses ou 15 dias
3. Se o Banco X oferece uma taxa de desconto por fora de 2,8% para um
prazo de 60 dias e o banco Y oferece uma taxa de desconto por fora de
2,78% ao mês para um prazo de 90 dias, qual banco está cobrando a
maior taxa efetiva mensal de juros compostos.
Resposta: 2,92% ao mês (Banco X)
2,95% ao mês (Banco Y)
4. A taxa de desconto por fora anunciada pelo um Banco é de 27,6% ao ano.
Determinar a taxa efetiva mensal e anual composta dessa operação
admitindo-se um prazo de desconto de: a) 1 mês; b) b) 2 meses; c) 3
meses.
Resposta: a) 2,35% ao mês; 32,15% ao ano.
b) 2,38% ao mês;32,65% ao ano.
c) 2,41% ao mês; 33,11% ao ano.
5. Um banco recebe de uma empresa três duplicatas para desconto, no
valor nominal de R$ 20.000,00, R$ 45.000,00 e R$ 70.000,00, cada.As
duplicatas foram descontadas 40 dias, 70 dias e 105 dias, antes do
vencimento.Sendo 18% ao ano a taxa de desconto simples por fora,
calcular: a) desconto comercial; b) valor líquido creditado na conta da
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empresa; c) taxa de juros efetiva mensal dessa operação, utilizando o
prazo médio ponderado; d) Taxa interna de retorno da operação.
Resposta: a) R$ 5.650,00; b) R$ 129.350; c) Taxa de juros efetiva mensal;
d) taxa Interna de retorno: 1,6% ao mês.
6. Uma empresa, com problemas de liquidez, recorre a um banco para
descontar um título no valor de R$ 190.000,00, faltando 41 dias para seu
vencimento. A operação foi realizada com a taxa de desconto por fora de
49% ao ano. O banco cobrou também uma taxa referente as despesas
financeiras de 0,189% sobre o valor nominal do título. Calcular a taxa
efetiva mensal de juros composto.
Resposta: 4,44% ao mês.
5.3. DESCONTO COMPOSTO
É utilizado basicamente em operações de longo prazo e igualmente ao
desconto simples pode ser classificado como por dentro e por fora .O desconto
composto por fora não tem uso no Brasil, ao contrário do desconto simples,
enquanto desconto composto por dentro é largamente utilizado em operações de
longo prazo, pois é o próprio juro composto
5.3.1. Desconto Comercial - Por Fora
Cálculo sobre o valor nominal do título (FV).
O valor atual (PV) poderá ser calculado como se o seu valor nominal (FV)
sofresse "n" descontos comerciais sucessivos, um para cada período que falta
para o seu vencimento, todas as taxas i.
PV1 = FV ( 1 - i )
PV2 = PV1 ( 1 - i ) = FV ( 1 - i ) ( 1 - i ) = FV ( 1 - i )²
PV3 = FV ( 1 - i )² ( 1 - i ) = FV ( 1 - i )³
.
.
.
PVn = FV ( 1 - i )n - ¹ . ( 1 - i )
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Valor Atual (5.13)
Dc = FV – FV( 1- i ) n
Desconto Comercial (5.14)
5.3.2. Desconto Racional – Por Dentro
Calculando sobre o valor atual do título:
FV
(1 + i)
FV
(1 + i)2
FV
(1 + i)3
.
.
.
FV
(1 + i)n
Valor Atual Racional(5.15)
ou (5.16)
(5.17)
PV = FV .(1 – i)n
Dc = FV .[1 – (1 – i)n]
PV1 =
PV2 =
PV3 =
PVn =
FV
(1 + i) n
PVn =
FV
(1 + i) n
Dr = FV –
1
(1 + i) n
Dr = FV 1 –
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5.3.3. Assunção de Compromisso(Caso particular do desconto composto)
Trata-se de uma operação de curto prazo (mínimo de 3 dias). O banco
assume os compromissos do cliente. A empresa que assumir o compromisso
financeiro e disporantecipadamente dos recursos para saldar esta obrigação,
poderá ao invés de aplicar o recurso até a data do vencimento, quitá-lo com
antecedência, obtendo assim um desconto que irá corresponder a um ganho
superior aos possíveis rendimentos provenientes de outras operações do
mercado financeiro.
A Assunção de Compromisso não é considerada uma aplicação financeira,
mas sim uma simples transferência de obrigações e recursos, sendo assim não
existe a incidência de I.O.F. De acordo com a Lei 8.088/90, somente os fatos
geradores a seguir suportam a incidência do I.O.F.:
♦ Operações de Crédito
♦ Operações de Câmbio
♦ Operações de Seguro
♦ Operações relativas a títulos e valores mobiliários
Exemplo
1. Uma empresa tem um compromisso com a folha de pagamento no dia
25/05/94no valor de CR$ 7.000.000,00. Em 15/05/94 negocia com determinado
banco um deságio (desconto), trazendo a valor presente.
Solução:
a) Operação iniciada com uma operação na rede bancária.
b) O banco realiza uma projeção de C.D.I.
c) A empresa negocia com o banco o percentual do CDI oferecido que varia
de 90% a 100% do CDI / Over. Dependendo do banco
e das condições de
mercado.
d) Após combinar a taxa, fecha-se a operação utilizando-se os seguintes
cálculos:
- cálculo dos dias: 15/05 a 25/05 = 7 dias úteis
- cálculo do deságio:
FV
idu
3000
D = FV –
1 +
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Cont. Solução:
D = FV .[1 - (1 + i/3000)-du]
- Aplicação: (considerando uma taxa CDI /Over = 2,3%)
(*) D = deságio
D = 7.000.000 [1 - (1 + 2,3 / 3000)7]
D = 37.451,74
Mesmo exercício com a hp- 12c:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa a memória financeira
7000000
7.000.000,00 Entra com o valor presente
2,3 30
0,076666 Entra com a taxa diária
7
7,00 Entra com os dias
6.962.548,27 Calcula o valor líquido
X><Y
37.451,73 Valor do crédito
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO DESCONTO COMPOSTO
1. Um título com valor nominal de R$ 3.500,00 é negociado através de uma
operação de desconto composto "por fora" três meses antes do seu
vencimento. A taxa de desconto adotada atinge 5% a.m. Pede-se
determinar o valor descontado, o desconto e a taxa de efetiva da
operação.
Resposta: D = 499,19; A = 3.000,82 I = 5,26% a.m.
2. Calcular o desconto por fora de um título de R$ 50.000,00 pagável em dois
anos, a taxa de 20% a.a., com capitalização semestral.
Resposta: D= 17.195,00
3. Um título foi descontado num banco, a uma taxa de desconto racional
composto de 3,6% ao semestre. Qual será a taxa de desconto por fora
composto equivalente para este tempo?
Resposta: i = 3,4749
4. Um título de Valor Nominal igual a R$ 8.600,00 é negociado em um Banco
48 dias antes do seu vencimento através de uma operação de desconto
composto “por fora” e proporcionou um valor líquido de R$ 8.083,11.
Qual é a taxa de desconto da operação?
Resposta: 3,8% am
5. Uma duplicata foi descontada à taxa de 2,4% am, cinco meses antes do
seu vencimento. Sabendo-se que a operação produziu um desconto
composto “por fora” de R$ 3.900,00, calcular o valor nominal do título.
Resposta: 34.097,89
6. Um título de R$ 9.000,00 proporcionou ao seu portador um valor líquido
de R$ 6.800,00, descontado “por dentro” à taxa de 3% am. Qual o prazo
de antecipação que foi descontado esse título?
Resposta: 9 meses e 14 dias
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7. Qual o valor do desconto composto racional de uma duplicata de R$
350.000,00, a vencer no prazo de 6 meses a uma taxa de desconto
composto de 4% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra ainda uma taxa
de 1,2% referente às despesas financeiras, calcular o a taxa que
representa o verdadeiro custo financeiro da operação.
Resposta: 4,2%
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6. SÉRIES UNIFORMES
6.1. SÉRIES DE PAGAMENTOS E RECEBIMENTOS(Rendas Certas ou
Anuidades)
6.2.RENDAS
Quando fazemos uma aplicação financeira o Capital (PV) pode ser pago ou
recebido de uma só vez ou através de uma sucessão de pagamentos ou
recebimentos.
a) Capitalização: Constituição de um capital em uma data futura.
b) Amortização: Pagamento de uma dívida.
6.3.DEFINIÇÕES
Seja uma série de pagamentos:
PMT1 n1
PMT2 n2
PMT3 n3
.
.
.
PMTnNn
6.4.CLASSIFICAÇÃO DE ANUIDADES
a) Imediatas: termos exigíveis a partir do primeiro período (postecipadas ou
antecipadas);
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b) Diferidas: termos exigidos a partir de uma data (postecipadas ou
antecipadas) que não seja o primeiro período.
Quanto à periodicidade podem ser:
a) Periódicos: todos os períodos iguais;
b) Não periódicos: os períodos não são iguais entre si.
6.5.MODELO BÁSICO
...
0 1 2 3 n - 1 n
O diagrama representa uma série de pagamentos periódicos e postecipados.
Exemplo
1. Uma pessoa comprou uma geladeira para pagar em 4 prestações mensais de
R$ 350,00, sem entrada. As prestações serão pagas a partir do mês seguinte
ao da compra e o vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros
compostos de 8% ao mês. Qual o preço da geladeira à vista?
O preço da geladeira à vista corresponde à soma dos valores atuais das
prestações na data focal zero, calculadas a taxa de 8% ao mês.
PMT + PMT + PMT + PMT
(1,08)(1,08)2(1,08)3(1,08)4
1 + 1 + 1 + 1
(1,08)(1,08)2(1,08)3(1,08)4
PV = 350,00 ( 0,9259 + 0,8573 + 0,7938 + 0,7350)
PV = 350,00 x 3,3120 = 1.159,24
PV =
PV = PMT.
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6.6.VALOR ATUAL DO MODELO BÁSICO
...
0 1 2 3 n - 1 n
Desenvolvimento das fórmulas algébricas:
1 + 1 + 1 . . . PMT
(1 +i) (1 +i )2 (1 +i)3 (1 +i)n
Colocando-se PMT em evidência:
1 + 1 + 1 ... 1
(1 +i) (1 +i )2 (1 +i)3 (1 +i)n
Colocando-se a soma entre os colchetes, como sendo:
1 + 1 + 1 ... 1
(1 +i) (1 +i )2 (1 +i)3 (1 +i)n
Temos:
(6.1)
PV =
PV = PMT.
a =
n i
PV = PMT . a
n i
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Valor de é obtido pela soma dos termos de uma PG com as seguintes
características:
(6.2)
Termo a1 = ( 1 + i )
-1
n-ésimo termo an = ( 1 + i )
-n
razão . q = ( 1 + i )-1
(1 + i) -1 - (1 + i)-n . (1 + i) -1
1 - (1 + i)-1
(1 + i) -1 - [1 - (1 + i)- n ]
1 - (1 + i)-1multiplicando por (1 + i) o num e denominador:
(1 + i)-1 (1 + i) - (1 + i)- n (1 +i)-1 (1 + i)
(1+i) - (1 + i) . (1 + i)-1
(1 + i)0 - [1 - (1 + i) - n ]
(1 + i) - (1 + i)0
1 - (1 + i)-n
(1 + i) - 1
1 - (1 + i)- n
1 + i - 1
1 - (1 + i)- n
i Multiplicando-se o numerador e o denominador por (1 + i) n
a
n i
a1 – an .q
1 – q
Sn =
a =
n i
a =
n i
a =
n i
a =
n i
a =
n i
a =
n i
a =
n i
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(1 + i)n - (1 + i)- n (1 + i)n
(1 + i)n . i
(1 + i)n - (1 + i)0 (1 + i)n - 1
(1 + i) n . i (1 + i)n . i
(6.3)
Como PV = PMT . temos que:
(6.4)
Repetindo o problema da geladeira:
Exemplo anterior:
n = 4
i = 8%
PMT = 350
(1,08)4 - 1
(1,08)4 x 0,08
0,360489
0,108839
PV = 350 x 3,312127 = 1.159,24
a =
n i
a = =
n i
(1+i)n – 1
(1+i)n . 1
a =
n i
a
n i
PV
a
n i
PMT =
a =
4 18
a = = 3,312127
n i
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6.7.MONTANTE DO MODELO BÁSICO
Aplicação de "n" parcelas iguais a PMT periódicas e postecipadas, a uma
taxa de juros "i" referida ao mesmo período de termos.
PMT
. ..
0 1 2 3 n -1 n
O montante "FV" é o resultado da soma de cada um dos termos a taxa de
juros "i" na data focal "n". Admitamos fazer esta soma a partir do termo de n-
ésima ordem (último termo) e até o termo de 1ª ordem (primeiro termo):
FV = PMT + PMT(1 + i) + PMT(1 + i)2 +PMT(1 + i)3 + . . .+PMT (1 + i)n - i
Colocando-se PMT em evidência, temos:
FV = PMT . [1 + (1 + i) + (1 + i)2 + . . . + (1 + i)n-1]
Logo:
(6.5)
A fórmula do é obtida a partir da soma dos termos de uma progressão
geométrica:
a1 - an . q
1 - q
a1 - an . q
1 - q
FV = PMT .S
n i
S
n i
SPG =
S =
n i
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a1 = 1
an = (1 + i)
n-1
razão q = (1 + i)
Substituindo-se:
1 – (1 + i) n-1. (1 + i)
1 - (1 + i)
1 – (1 + i) n
1 - (1 + i)
1 – (1 + i) n
– i
Multiplicando-se o numerador e o denominador por ( -1 ):
(1 + i) n– 1
i
(6.6)
6.8.VALOR PRESENTE DE UMA RENDA ANTECIPADA
...............................
0 1 2 3 n - 1 n
S =
n i
S =
n i
S =
n i
S =
n i
(1+i)n – 1
i
S =
n i
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Fórmula PV = PMT . . (1 + i)
(6.7)
Utilizando-se as calculadoras eletrônicas digita-se a tecla
6.9.VALOR PRESENTE DE UMA RENDA DIFERIDA
PMT PMTPMTPMT
m = 3
0 1 2 3 4 5 6 . . . n
m = simboliza períodos de carência
PV = PMT . . (1 + i)- m
(6.8)
6.10.VALOR FUTURO DE UMA RENDA ANTECIPADA
FV
.......................
0 1 2 3 n -1 n
PV
a
n i
(1+i)n – 1
(1+i)n . 1
PV = PMT x (1+i)
a
n i
(1+i)n – 1
(1+i) . i
PV = PMT x (1+i)-m
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FV = PMT . . (1 + i) ou;
(6.9)
6.11.VALOR FUTURO DE UMA RENDA DIFERIDA
m = 4FV
0 1 2 3 4 5 6 . . . n
PV
m = simboliza períodos de carência
Basta utilizar a fórmula básica:
FV = PMT . (6.10)
Obs:. A carência não influi no valor futuro.
6.12. COEFICIENTES DE FINANCIAMENTO COM HP-12C
O Coeficiente de Financiamento de uma série de prestações é representado
por um fator financeiro constante que multiplicado pelo Valor presente (valor à
vista) calcula o valor das prestações.
Esse tipo de coeficiente é muito utilizado na prática e indica simplesmente o
S
n i
(1+i)n – 1
i
FV = PMT x (1+i)
S
n i
(1+i)n – 1
i
FV = PMT x
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valor das prestações para cada unidade decapital envolvida na operação.
Vejamos os coeficientes mais utilizados na prática comercial e bancária:
a) Séries Postecipadas (end):
Como o coeficiente de financiamento é a própria prestação para cada
unidade monetária envolvida, vamos considerar 1 como Valor Presente, ou seja,
PV = 1.
Exemplo
1. Uma concessionária financia suas vendas parceladas de automóveis em 24
prestações a uma taxa de 1,2% ao mês. Calcular o coeficiente de
financiamento:
b) Série Antecipada (Beg):
Nesse caso a calculadora deve ser posicionada para cálculo de prestações
antecipadas, ou seja, com as parcelas sendo pagas no início de cada período.
Para tanto a função BEGIN deve estar acesa no visor da calculadora, bastando
acionar g BEG.
Exemplo
1.Uma loja de departamento oferece seus eletrodomésticos financiados em 36
prestações mensais, iguais, consecutivas e antecipadas à taxa de 3,3% ao
mês. Calcular o coeficiente financeiro.
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa a memória financeira
6
0,000000 Fixa seis casas decimais
1
- 1,000000 Entra com o principal
1,02
1,020000 Entra com a taxa de juros
2
24,000000 Entra com o número de prestações
0,047186 Calcula o valor da prestação
(coeficiente)
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Solução:
c) Séries Diferidas (com carência):
Diz-se que uma série é diferida (carência) quando as prestações
começam a ser vencidas após o final do primeiro período de capitalização.
Exemplo
1.Uma loja vende equipamentos agrícolas com quatro meses de carência. Em
uma venda parcelada em 10 prestações iguais e consecutivas, a loja exige uma
taxa de juros de 4,2% ao mês. Qual o coeficiente do financiamento da loja
considerando que o primeiro pagamento é exigido no final do quinto mês
(quatro meses de carência)?
PMT PMTPMTPMTPMTPMTPMTPMTPMTPMT
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
PV = 1
FV = 1,178883 (que se transforma em PV para o Cálculo do coeficiente)
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa a memória financeira
6
0,000000 Fixa seis casas decimais
0,000000 Posicionamento para prestações
antecipadas
1
- 1,000000 Entra com o principal
3,3
3,300000 Entra com a taxa de juros
36
36,000000 Entra com o número de prestações
0,046348 Calcula o valor da prestação
(coeficiente)
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6.13. CÁLCULO DA TAXA DE JUROS A PARTIR DO COEFICIENTE
É muito comum uma empresa oferecer ao seu cliente determinada taxa
e no
momento da negociação o cliente constatar que a propaganda é enganosa, pois a
taxa implícita no coeficiente de financiamento, utilizada pelos seus vendedores, é
maior do que a taxa propagada e oferecida. Vamos ver como se extrai a taxa do
coeficiente de financiamento.
Levando-se em conta que o coeficiente é a própria prestação, como vimos
nos itens anteriores, fica fácil calcular a taxa:
Exemplo
1.Uma concessionária de automóvel oferece um plano de financiamento para 36
prestações mensais, iguais, postecipadas, à taxa de 1%, utilizando o coeficiente
de 0,034960 para cálculo das parcelas.
Cont. Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa a memória financeira
6
0,000000 Fixa seis casas decimais
0,000000 Posicionamento para
prestações postecipadas
1
- 1,000000 Entra com o principal
4,2
4,200000 Entra com a taxa de juros
4
4,000000 Entra com os períodos de
carência
1,178883 Calcula o valor futuro no final
da carência
-1,178883 Transforma o Valor Futuro no
novo Valor Presente para
cálculo do coeficiente
10
10,000000 Número de parcelas do
financiamento
4,2
4,200000 Entra com a taxa
0,146796 Coeficiente para dez
prestações mensais a partir
da carência
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Solução:
O cliente cuidadoso, que sabe operar uma calculadora financeira,
facilmente descobre que pode está sendo enganado e realiza a seguinte
operação:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa a memória financeira
6
0,000000 Fixa seis casas decimais
1
- 1,000000 Entra com o principal
0,034960
0,034960 Entra com o coeficiente da
concessionária
36
36,000000 Entra com o número de
prestações
f 2
1,30 Calcula a taxa implícita no
coeficiente
Observe que o coeficiente da loja se refere a uma taxa de 1,3% e não de
1% oferecida ao cliente. O certo seria a concessionária incorporar despesas
administrativas na taxa e oferecer a taxa efetiva.
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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE SÉRIES UNIFORMES
PROBLEMA 01
Quanto terá no final de três anos uma pessoa que aplicar R$ 400,00 por mês,
durante esse prazo, em um "Fundo de Renda Fixa", à taxa de 1,5% ao mês?
PROBLEMA 02
Quanto um empresário terá de pagar mensalmente a um banco, durante 2 anos
para liquidar um empréstimo de R$ 800.000,00 a uma taxa de 50,4% ao ano
com capitalização mensal?
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
36
36,00 N de aplicações mensais
400
-400,00 Valor das aplicações
mensais
1,5
1,50 Taxa mensal
18.910,39 Valor do montante
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
24
24,00 N de aplicações mensais
800.000
800.000,00 Valor do empréstimo
50,4 12
4,2 Taxa mensal
53.549,36 Valor das parcelas
mensais
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PROBLEMA 03
Qual o prazo necessário para que aplicações trimestrais de R$ 5.000 possam
acumular R$ 67.060,45 à taxa de 2% ao mês?
PROBLEMA 04
A que taxa mensal devo aplicar Cr$ 16.000 por ano para que tenha um
montante de R$ 731.889 no final de 10 anos?
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
5000
-5.000,00 Vr. das prestações
trimestrais
2 100 1 3
1 100
6,1208 Taxa trimestral
equivalente
67.060,45
67.060,45 Montante no final do
prazo
11,00 N de prestações
trimestrais
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
16.000
16.000 Valor da aplicação anual
731889
731.889,00 Valor do montante
10
10,00 Nº de aplicações anuais
31,426412 Taxa anual
100 1
1,31426412 Forma o fator
12 1 100
2,3% Taxa mensal
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PROBLEMA 05
Um empréstimo de R$ 30.000 é concedido por uma instituição financeira para
ser liquidado em 12 prestações iguais, mensais e consecutivas. Sabendo-se
que a taxa de juros é de 3,5% ao mês, calcular o valor da prestação.
PROBLEMA 06
Determinar a que taxa anual foi firmada uma operação de empréstimo de R$
100.000, para ser liquidada em 18 prestações mensais, iguais e consecutivas
de R$ 7.270,87.
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
30.000
30.000,00 Valor do empréstimo
12
12,00 Nº de prestações mensais
3,5
3,50 Taxa mensal
-3.104,52 Valor da prestação
mensal
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
100.000
-100.000,00 Valor do empréstimo
18
18,00 Nº de prestações Mensais
7270,87
7.270,87 Valor das prestações
mensais
3,00 Taxa mensal (%)
100 1
1,03 Forma o fator
12 1
0,43 Taxa anual de (forma
unitária)
100
42,58 Taxa anual (forma
percentual)
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PROBLEMA 07
Um aplicador depositou anualmente R$ 1.000 num fundo de poupança em
nome do seu filho, a juros de 19,6% ao ano.O primeiro depósito foi feito no dia
em que o filho completou 1 ano e o último por ocasião do 18º aniversário. O
dinheiro continuou depositado até o dia que o filho completou 21 anos, ocasião
em que o montante foi sacado.Quanto recebeu o filho do aplicador?
PROBLEMA 08
Uma dívida foi paga em 10 pagamentos mensais, sendo as cinco primeiras
prestações iniciais de R$ 5.000 cada e as cinco prestações restantes de R$
10.000 cada uma. Sabendo-se que essa aplicação proporcionará um
rendimento de 2,75% ao mês, calcular o saldo acumulado de capital mais juros
no final do 10° mês.
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
1.000
1.000,00 Valor dos depósitos anuais
19,6
19,6 Taxa anual de Juros
18
18,00 Nº de depósitos
122.808,15 Montante acumulado até o
18º ano
-122.808,15 Limpa reg. fin e conserva
visor
3
3,00 Prazo entre 18º e 21º
meses
19,6
6,00 Taxa anual de juros
210.097,43 Montante sacado pelo filho
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PROBLEMA 09
Um casal pretende se casar dentro de 12 meses. Comoentendem ser
aconselhável adquirir à vista todos os móveis necessários pretendem fazer
aplicações mensais cujo montante deverá ser sacado 3 meses antes do
casamento, para as compras necessárias:
a) essa aplicação deverá render 1,5% ao mês;
b) o montante desejado é de R$ 15.000,00 (valor que os mesmos estimam para
os móveis daqui a 9 meses)
c) casal já aplicou hoje R$ 3.000,00.
Indaga-se: Qual o valor de cada uma das 9 aplicações mensais, iguais e
consecutivas, necessárias para totalizar um montante de R$ 15.000,00, no final
de 9 meses?
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa reg, financeiros
10
10,00 Nº de aplicações mensais
5.000
5.000,00 Valor de 10 aplicações
mensais
2,75
2,75 Taxa mensal de juros
56,663,82 Montante das 10 aplicações
5
26.413,34 Montante das cinco
prestações restantes
83.077,16 Montante final no 10º Mês.
Obs.:Para o cálculo do montante das cinco aplicações iguais de R$
5.000,00 não houve necessidade de fazer 2.75 e 5.000 pois
esses valores já se encontravam armazenados em e em .
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PROBLEMA 10
Um veículo foi financiado em 24 prestações iguais e consecutivas, conforme
dados abaixo:
a) valor do veículo: R$ 25.000
b) Entrada 20% sobre o valor do veículo : R$ 5.000,00
c) Taxa de juros: 2,2% ao mês.
d) Prazo: 24 meses (mesmo número de prestações)
Calcular o valor das prestações
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
financeiros
3.000
3.000,00 Entra com o valor da
aplicação inicial
15.000
15.000,00 Entra com o montante
desejado
9
9,00 Quantidade de aplicações
mensais
1,5
1,50 Entra com a taxa de juros
1.210,32 Valor de cada uma das
aplicações mensais
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
24
20,00 Nº de prestações Iguais
25.000 5.000
-20.000,00 Valor financiado
2,2
4,00 Taxa mensal de Juros
1.081,53 Valor das prestações
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PROBLEMA 11
Um banco empresta R$ 70.000 para serem liquidados em prestações mensais
de R$ 7.372,35 cada uma. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada na
operação é de 45,6% ao ano com capitalização mensal, calcular o número de
prestações.
PROBLEMA 12
Qual o valor de um empréstimo que pode ser liquidado em 16 prestações
mensais à taxa de 3,5% ao mês sendo as seis primeiras prestações de R$
3.000,00 e as 10 últimas prestações de R$ 4.500,00?
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
70.000
-70.000,00 Valor do empréstimo
45,6 12
3,80 Taxa efetiva
7.372,35
7.372,35 Prestações mensais
12 Número de prestações
mensais
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
3,5
3,50 Taxa mensal de Juros
6
6,00 Nº de prestações
3.000
3.000,00 Valor das prestações
Iniciais
-15.985,66 Vr. presente das 6
primeiras prestações
0
15.985,66 Troca o sinal e armazena
10
10,00 Nº de Prestações
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PROBLEMA 13
Quanto terei de aplicar mensalmente, a partir de hoje, para acumular no final de
36 meses um montante de R$ 300.000, sabendo que o rendimento firmado é de
34,489% ao ano, e que as prestações são iguais e consecutivas e em número
de 36?
Cont. Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
4.500
4.500,00 Vr. das 10 últimas
prestações
-37.424,72 Valor Presente
-37.424,72 Armazena o vr. presente
em FV
3,5
3,50 Taxa mensal de Juros
6
6,00 Nº de meses
30.445,04 Vr. presente das 10 últimas
prestações na data do
empréstimo
0
46.430,70 Valor do empréstimo
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
1.34489
1,34 Forma o fator
12
1,03 1 +taxa mensal unitária
1 100
2,50 Taxa mensal (forma percentual)
2,50 Pagamentos antecipados
3000
300.000,00 Valor do montante
36
36,00 Nº de aplicações mensais
-5.107,77 Valor das aplicações mensais
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PROBLEMA 14
Quantas aplicações mensais de R$ 1.000 são necessárias para obter um
montante de R$ 33.426,47, sabendo-se que a taxa é de 3% ao mês e que a
primeira aplicação é feita no ato da assinatura do contrato e a última 30 dias
antes do resgate daquele resgate valor?
PROBLEMA 15
Um "Fundo de Renda Fixa" assegura, a quem aplicar 60 parcelas iguais e
mensais de R$ 500 o resgate de um montante de R$ 58.166,29 no final do 60º
mês sabendo-se que a primeira aplicação é feita na data do contrato, calcular a
taxa de rendimento proporcionada pelo fundo.
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
0,00 Calc. Posicionada para
pagtosantecipados -BEGIN
100
1.000,00 Valor das aplicações mensais
33426.47
33.426,47 Valor do montante
3
3,00 Taxa Mensal de Juros
23,00 Nº de aplicações mensais
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
60
60,00 Nº de aplicações mensais
500
-500,00 Valor das aplicações mensais
58166.29
58.166,29 Valor do montante
2,00 Taxa mensal paga pelo fundo
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106
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ENVOLVENDO SÉRIES UNIFORMES
1. Até que ponto a taxa de mercado é mais rentável financeiramente na
aquisição de bens e serviços à vista com uma bonificação ou desconto
de 10% sobre o valor da compra, quando existe a opção a prazo na
condição de (1+4) pagamentos sem juros?
Resposta: I= 5,56% ao mês
2. Calcular fatores ou coeficientes financeiros que serão aplicados sobre o
preço à vista de mercadorias ou de financiamentos realizar objetivando
com isso, a determinação de prestações mensais. A taxa de juro implícita
nos coeficientes deverá ser de 2% a.m. para os prazos a seguir:
a) 3 meses Resposta: 0,346755
b) 4 meses Resposta: 0,262624
c) 12 meses Resposta: 0,094560
d) 24 meses Resposta: 0,052871
e) 36 meses Resposta: 0,039233
3. Uma mercadoria é vendida à vista por R$ 500.000,00 ou na condição a
prazo: Entrada correspondente a 40% do valor à vista seguida de 4
prestações trimestrais iguais de R$ 200.000,00. Nestas condições quais
as taxas trimestral, mensal e anual cobradas?
Resposta: i = 55,166%a.t.= 15,77% a.m. = 479,7% a.a.
4. Uma loja estabeleceu um coeficiente de 0,328705 para suas vendasà
prazo, mediante quatro parcelas mensais postecipadas. Sabendo-se que
a loja cobrauma taxa de 5% sobre o valor financiado, a título de despesas
administrativas e contabilizada no ato da efetivação da venda, pergunta-
se: qual a taxa efetiva mensal de financiamento?
Resposta: i = 14,4% a.m.
5. Considerando a questão anterior, se os pagamentos forem antecipados,
na condição de um mais quatro pagamentos, qual a taxa efetiva mensal?
Resposta: I= 38,55% a.m.
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107
6. Uma mercadoria é vendida mediante quatro prestações de R$ 40.000,00;
R$ 30.000,00; R$ 20.000,00 e R$ 10.000,00, vencíveis a 1, 3, 9 e 12 meses,
respectivamente, a partir da data atual. Considerando que o lucro
estimado corresponde a uma taxa de juros de 11,5% a.m., determinar até
que preço é válido adquirir a mercadoria na condição à vista.
Resposta: 67.733,28
7. Se o proprietário da mercadoria da questão anterior cobrar R$ 60.000,00
pelo produto, que taxa mensal estará pagando aquele que optar pela
compra a prazo?
Resposta: I= 16,4756% a.m.
8. Durante 12 meses são depositadas quantias postecipadas mensais de R$
10.000,00 em fundo de investimento que oferece uma taxa de 10% a.m.
Determinar o valor da quantia mensal que poderemos retirar durante 6
meses (com a primeira retirada se realizando ao final do vigésimo quinto
mês) de forma que nada reste de saldo na data da última retirada mensal.
Resposta: 154.096,50
9. Qual o valor da octogésima parcela de juros de um financiamento
firmado com uma instituição bancária em 240 meses, à taxa de juros
compostos de 36% a.a. com capitalização mensal, para um capital de R$
90.000,00? Informar o saldo devedor da parcela imediatamente posterior.
Resposta: J80= 2.679,07; SD81 = 89.255,38
10. Um automóvel é vendido através do seguinte plano: R$ 20.000,00 de
entrada e mais dez prestações mensais de R$ 2.000,00. Se a taxa de juros
de mercado for de 2% a.m., que preço máximo estaríamos disposto a
pagar pelo veículo na condição à vista?
Resposta: 37.965,17
11. Uma empresa possui um fluxo de caixa com um desembolso de R$
20.000,00 no início do primeiro ano, um desembolso de R$ 20.000,00 no
fim do primeiro ano, e dez entradas líquidas anuais e consecutivas de R$
10.000,00 a partir do fim do segundo ano, inclusive. A uma taxa de 18%
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108
ao ano, obtenha o valor atual desse fluxo de caixa, no fim do primeiro
ano. (AFTN)
Resposta: R$ 1.340,86
12. Um eletrodoméstico será pago por meio de uma entrada e doze
prestações mensais iguais e consecutivas. Se cada prestação for igual a
10% do valor à vista, sendo a primeira paga ao término de um período de
quatro meses, considerando-se uma taxa de juros efetiva de 4% ao mês,
qual o percentual sobre o valor à vista que deverá ser pago como
entrada? (TCI).
Resposta: 16,567%
13. Uma máquina tem um preço de 2.000.000,00, podendo ser financiada com
10% de entrada e o restante em prestações trimestrais , iguais e
sucessivas. Sabendo-se que a financiadora, cobra juros compostos de
28% ao ano, capitalizados trimestralmente e que o comprador está
pagando R$ 205.821, por trimestre, em quanto tempo será o vencimento
da última prestação? (AFTN)
Resposta: 3 anos e 6 meses.
14. Um banco emprestou recursos a uma empresa com o seguinte esquema
de pagamento: primeiro pagamento: R$ 10.000, após dois meses, e o
segundo de R$ 12.000,00, oito meses após o primeiro. Na data de
vencimento da primeira parcela, por não dispor de recursos, o devedor
propôs repactuar sua dívida da seguinte forma: pagamento de R$
6.000,00, após quatro meses e o saldo, quatro meses após a primeira
parcela . Se a taxa de juros considerada para repactuação da dívida foi de
24% ao ano, com capitalização mensal, qual o valor da segunda parcela?
(AN.ORÇ. RJ)
Resposta: R$ 17.222,00.
15. Foi feita uma aplicação de renda anual em 12 termos iguais a R$
20.000,00, diferida de quatro anos. Considerando apenas a taxa de juros
compostos de 9% ao ano, qual o valor dessa renda? (FISCAL –
TRANSP.URBANOS)
Resposta: 101.456,77
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109
7. FLUXO DE CAIXA
7.1. TAXA INTERNA DE RETORNO - IRR
É a taxa de juros (desconto) que iguala em determinado momento do tempo o
valor presente das entradas (recebimentos) com o das saídas (pagamentos)
previstas de caixa. A identidade da Taxa Interna de Retorno é identificada da
forma seguinte:
(7.1)
Exemplo 1
Vejamos um primeiro exemplo para obtenção da Taxa Interna de Retorno de um
Fluxo de Caixa:
Investimento Inicial (Cfo) = $100.
1a. entrada: $ 10;
2a. entrada: $ 30;
3a. entrada: $ 50;
4a. entrada: $ 40.
50
30 40
10
CFo 100
CFj
(1 + i )j
n
j=1
∑ Cfo =
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110
7.2.PASSOS PARA INTRODUÇÃO DE UM FLUXO DE CAIXA
a) Pressione (limpa todos os registradores de armazenamento);
b) Introduz-se o Fluxo de Caixa Inicial, pressionando se negativo e
. Se não existir fluxo inicial pressionar0 ;
c) Introduz-se o valor do próximo fluxo e pressiona-se .Se não
houver fluxo de caixa pressiona-se 0 ;
d) No caso do fluxo de caixa e repetir por mais de um período (n vezes),
pressionar (representa número de ocorrências iguais e
consecutivas);
e) Proceder da mesma forma até que todos os fluxos de caixa estejam
inseridos.
Vejamos ao exercício anterior:
TECLA VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa os registradores
100
- 100,00 Fluxo de caixa inicial
10
10,00 Introduz 1º. Grupo
30
30,00 Introduz 2º. Grupo
50
50,00 Introduz 3º.Grupo
40
40,00 Introduz 4º.Grupo
9,52 Calcula a Taxa Interna de
Retorno
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Exemplo 2
Agora vamos calcular um fluxo com períodos irregulares, conforme diagrama
abaixo:
CF12 = 1.700
CF4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
CFo = 1.200
TECLA VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa os registradores
1200
-1.200,00 Fluxo de caixa inicial
0
0,00 Introduz 1º. grupo de
FLX CX
3
3,00 Vezes que o fluxo se
repete
40
40,00 Introduz 2º. grupo
0
0,00 Introduz 3º. grupo
7
7,00 Vezes que o fluxo se
repete
1700
1.700,00 Introduz 4º. grupo
3,20 Calcula a Taxa Interna
de Retorno
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Exemplo 3
CF36 = 1.300
CFo = 60
0 15 36
CF15 = 1.300
TECLA VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa os registradores
60
60,00 Fluxo de caixa inicial
0
0,00 Introduz 1º. grupo de
FLX CX
14
14,00 Vezes que o fluxo se
repete
1300
1.300,00 Introduz 2º. grupo
0
0,00 Introduz 3º. grupo
20
7,00 Vezes que o fluxo se
repete
1300
1.300,00 Introduz 4º. grupo
ERROR 3 A calculadora não pôde
concluir
Por se tratar de uma situação na qual o cálculo da taxa é muito
complexo, podendo envolver múltiplas respostas ou raízes, a calculadora
apresenta uma mensagem de erro (ERROR 3).
Nesse caso faz-se necessário tomar as seguintes providências:
Estima-se uma
taxa de juros (no nosso caso vamos introduzir na calculadora a
taxa 18).
Introduza 18 em e em seguida 22,65%
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113
7.3. REVISÃO DE UM FLUXO DE CAIXA
A instrução g Cfo armazena o valor do Fluxo de Caixa inicial no registro Ro,
a instrução g Cfj armazena os Fluxos de Caixa nos registradores disponíveis R1,
R2, R3, ..., Rn. O número do Fluxo de Caixa é acumulado no registro "n".
Vejamos o Fluxo de Caixa abaixo:
CF2 = 420 CF10 = 450
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
CFo = 400 CF8 400
TECLA VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa os registradores
400
- 400,00 Fluxo de caixa inicial
0
0,00 Introduz 1º. Grupo de
FLX CX
420
420,00 Introduz 2º. grupo
3
3,00 Vezes que o fluxo se
repete
0
0,00 Introduz 3º. grupo
3
7,00 Vezes que o fluxo se
repete
400
400,00 Introduz o 4º. grupo
0
0,00 Introduz o 5º. grupo
450
450,00 Introduz o 6º. grupo
48,05 Calcula a Taxa Interna
de Retorno
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114
Como revisar:
TECLA VISOR SIGNIFICADO
0
- 400,00 Fluxo de Caixa Inicial
1
0,00 1º. grupo
2
420,00 2º. grupo
3
0,00 3º. grupo
4
-400,00 4º. grupo
5
0,00 5º. grupo
6
450,00 6º. grupo
n
6,00 Número de grupos de
Flxs. de Caixa
7.4.COMO ALTERAR UM FLUXO DE CAIXA
a) Introduz-se o valor do fluxo a ser alterado no visor;
b) Armazena ;
c) Introduz-se o índice do registrador contendo o valor do fluxo de caixa a ser
alterado.
Vamos alterar o 4º grupo de fluxo de caixa para -500
500 4
47,44 %a.p. (Nova IRR)
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115
7.5.COMO ALTERAR UM NÚMERO DE OCORRÊNCIAS CONSECUTIVAS
IGUAIS
a) Armazenar o índice do montante desse fluxo de caixa (o valor de j) no
registro "n";
b) Introduz-se no visor o número de vezes consecutivas que o valor do f.
caixa ocorre;
c) Pressionar ;
d) Recompor o valor original no registrador "".
Vamos alterar o número de ocorrências consecutivas de segundo grupo do
fluxo de caixa anterior para cinco e calcular a nova taxa interna de retorno.
TECLA VISOR SIGNIFICADO
2 N Índice a ser alterado
5 g Nj Número de vezes
6 n Recompõe o valor original de n
59,07 Taxa Interna de Retorno
7.6.VALOR PRESENTE LÍQUIDO – NPV
Permite a tomada de decisão baseada no valor presente líquido, que é a
soma de todos os valores existentes no fluxo de caixa, trazidos a valor presente
para uma determinada taxa de juros.
O método do valor presente líquido consiste em calcular o valor presente
líquido (NPV) do fluxo de caixa (saldo das entradas e saídas de caixa) do
investimento que está sendo analisado usando a taxa de atratividade.
Caso o valor encontrado (NPV) seja igual à zero, a taxa do rendimento (i)
coincide com a taxa de atratividade (ia).
Caso o valor encontrado (NPV) seja positivo, esse valor representa o
quanto a renda do investimento excede a renda esperada de taxa ia, ou seja, a
taxa de renda que o investimento proporciona, ultrapassa a taxa de atratividade.
Neste caso o investimento interessa ao investidor.
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116
Caso o valor encontrado (NPV) seja negativo, esse valor representa o
quanto falta para que a renda do investimento atinja a renda ou seja, a taxa de
renda que o investidor proporciona é menor que a taxa de atratividade. Neste
caso o investimento não interessa ao investidor. A identidade de cálculo do NPV é
expressa da seguinte forma:
(7.2)
Resumo:
NPV = 0 i = ia
NPV > 0 i > ia
NPV < 0 i < ia
Exemplo
1. Considerando uma taxa de 6,2% a.m. qual é o melhor retorno para uma
aplicação de R$ 500.000:
a) Receber 700.000 no fim de 6 meses
b) Receber 2 parcelas trimestrais de R$ 330.000
c) Receber 3 parcelas bimestrais de R$ 210.000
d) Receber 6 parcelas mensais de R$ 100.000
Utilizando-se as funções de fluxo de caixa da HP - 12C:
Item CF0 CF1 CF2 CF3 CF4 CF5 CF6 NPV
a)
b)
c)
d)
500.000
500.000
500.000
500.000
-
-
-
100.000
-
-
210.000
100.000
-
330.000
-
100.000
-
-
210.000
100.000
-
-
-
100.000
700.000
330.000
210.000
100.000
-12.077,39
5.532,57
-2337,08
-11.342.41
CFj
(1 + i )j
NPV = – Cfo
n
j=1
∑
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Como utilizou-se as funções da HP -12C:
a)
TECLA VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa os registradores
500000
- 500.000,00 Fluxo de caixa inicial
0
0,00 Introduz 1º. grupo de FLX CX
5
5,00 Vezes que o fluxo se repete
700000
700.000,00 Introduz 2º. grupo
6,2
6,20 Introduz a taxa de juros
-12.077,39 Acha Valor Presente Líquido
b)
TECLA VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa os registradores
500000
- 500.000,00 Fluxo de caixa inicial
0
0,00 Introduz o 1º. Grupo de FLX CX
2
2,00 Vezes que o fluxo se repete
330000
330.000,00 Introduz o 2º. grupo
0
0,00 Introduz o 3º. grupo
2
2,00 Vezes que o fluxo se repete
330000
330.000,00 Introduz o 4º. grupo
5.532,57 Acha o Valor Presente Líquido
c)
TECLA VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa os registradores
500000
- 500.000,00 Fluxo de caixa inicial
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0
0,00 Introduz 1º. grupo de FLX CX
210000
210.000,00 Introduz o 2º. grupo
0
0,00 Introduz o 3º. grupo
210000
210.000,00 Introduz o 4º. grupo
0
0,00 Introduz o 5º. grupo
210000
210.000,00 Introduz o 6º. grupo
2.237,08 Acha Valor Presente Líquido
d)
TECLA VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa os registradores
500000
- 500.000,00 Fluxo de caixa inicial
100000
100.000,00 Introduz 1º. grupo de FLX CX
6
6,00 Vezes que o fluxo se repete
-11.342,41 Acha Valor Presente Líquido
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119
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS SOBRE TAXA INTERNA DE RETORNO E VALOR
PRESENTE LÍQUIDO
PROBLEMA 01
Determine a taxa interna de retorno correspondente a um empréstimo de R$
100.000 a ser liquidado em três pagamentos mensais de R$ 30.000, R$ 50.000,
e R$ 40.000.O fluxo de caixa correspondente a essa operação, tomando-se
como referência o doador de cursos, é representado como segue:
PROBLEMA 02
Um equipamento no valor de R$ 70 milhões é integralmente financiado, para
pagamento em sete parcelas mensais, sendo as três primeiras de R$ 10
milhões, as duas seguintes de R$ 15 milhões, a 6ª de R$ 20 milhões e a 7ª de
R$ 30 milhões. Determinar a taxa interna de retorno dessa operação.
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa Registradores
100000
-100.000,00 Valor do Empréstimo
30000
30.000,00 Valor do 1º Pagamento
50000
50.000,00 Valor do 2º Pagamento
40000
40.000,00 Valor do 3º Pagamento
9,26 Taxa Interna de Retorno
Mensal
Em que significa Fluxo de Caixa do Momento Zero (Fluxo de
Caixa Inicial ) e , Fluxo de Caixa de Ordem j (sendo j = 1,2,3,...).
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PROBLEMA 03
Um construtor adquire uma motoniveladora pelo sistema de crédito para
pagamento em seis prestações mensais de R$ 73.570. Sabendo-se que o valor
financiado foi de R$ 245.000 e que a primeira prestação será paga no final do
5º mês (quatro meses de carência), determinar a taxa de juros cobrada pela
loja.
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
70
-70,00 Valor do financiamento
10
10,00 Valor dos fluxos do 1º grupo
3
3,00 Nº de vezes que este valor
se repete
15
15,00 Valor dos Fluxos do 2º grupo
2
2,00 Nº de Vezes que este valor
se repete
20
20,00 Valor do fluxo do 3º grupo
30
30,00 Valor do fluxo do 4º grupo
10,40 Taxa interna de retorno
mensal
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
245000
245.000,00 Valor financiado
0
0,00 Valor dos fluxos do 1º grupo
4
4,00 Nºocorrências iguais
73570
-73.570,00 Valor dos fluxos do 2º grupo
6
6,00 Nº ocorrências iguais
8,30 Taxa mensal de juros .
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121
PROBLEMA 04
Um banco credita R$ 180.530 na conta de um cliente referente ao desconto de
três duplicatas de valores R$ 52.600, R$ 63.400 e R$ 93.570 com prazos de 42,
57 e 85 dias, respectivamente. Determinar a taxa mensal de juros cobrada
nessa operação, calculada de acordo com o regime de capitalização composta.
Neste caso há necessidade de trabalhar com fluxos de caixa diários. Como o
banco somente terá o primeiro recebimento no 42º dia após a operação, isto
significa que durante 41 dias o banco nada receberá e, portanto, teremos de
considerar 41 fluxos iguais à zero, entre o vencimento da 1º e da 2º duplicatas
teremos mais 14 fluxos iguais a zero e assim por diante. A solução desse
problema é obtido como segue:
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
180530
-180.530,00 Valor líquido do desconto
0
0,00 Vr. fluxos do primeiro grupo
41
41,00 Nº de ocorrências iguais
52600
52.600,00 Valor dos fluxos do 2º grupo
0
0,00 Valor dos fluxos do 3º grupo
14
14,00 Nº de ocorrências iguais
63400
63.400,00 Valor do flluxo do 4º grupo
0
0,00 Valor dos Fluxos do 5º
grupo
27
27,00 Nº de ocorrências iguais
93570
93570,00 Valor do fluxo do 6º grupo
0,23 Taxa diária de Juros (em %)
100 1
1,00 1 + a taxa diária de juros
30 1
0,07 Taxa mensal(forma decimal)
100
7,09 Taxa mensal de Juros
(em %)
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PROBLEMA 05
Um empréstimo de R$ 22.000 será liquidado em três prestações mensais e
sucessivas de R$ 12.000, R$ 5.000 e R$ 8.000. Considerando-se uma taxa de
juros de 7% ao mês, calcular o valor presente líquido.
PROBLEMA 06
Uma máquina industrial é financiada em 18 prestações mensais, iguais e
sucessivas de R$ 325.000,00 e mais três prestações semestrais (prestação-
reforço ou prestação-balão) de R$ 775.000,00, R$ 875.000,00 e R$ 975.000,00.
Calcular o valor financiado, sabendo-se que a taxa cobrada pela financeira foi
de 8,7% ao mês (já incluso o Imposto sobre de Operações de Crédito IOC).
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
22000
-22.000,00 Valor do empréstimo
12000
12.000,00 Valor do primeiro
pagamento
500
5.000,00 Valor do 2º pagamento
8000
8.000,00 Valor do 3º pagamento
7
7,00 Taxa mensal de juros
112,53 Valor presente líquido
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa registradores
0
0,00 Fluxo inicial
325000
325.000,00 Vr. fluxo do primeiro grupo
5
5,00 Nº de ocorrências iguais
1100000
1.100.000,00 Valor do fluxo do 2º grupo
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Cont. Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
325000
325.000,00 Valor do fluxo do 3º grupo
5
5,00 Nº de fluxos iguais
1200000
1.200.000,00 Valor do fluxo do 4º grupo
325000
325.000,00 Valor dos fluxos do 5º grupo
5
5,00 Nº de ocorrências iguais
1300000
1.300.000,00 Valor do fluxo do 6º grupo)
8,7
8,70 Taxa mensal
3.911.995,93 Valor financiado
NPV
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124
8. EMPRÉSTIMOS E AMORTIZAÇÕES
8.1. SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO – SFA
(Conhecido também como Sistema da Tabela Price ou Tabela Price)
Consiste em um Plano de Amortização de uma divida em prestações
periódicas, iguais e sucessivas dentro do conceito de termos vencidos, que o
valor de cada prestação, ou pagamento é composto por duas parcelas distintas:
Uma de juros e outra de capital (chamada amortização).
Vejamos como se calcula:
a) Calcula-se as prestações com base na mesma fórmula usada para série de
pagamento com termos vencidos (ou postecipados), isto é:
PMT = PV . ; ou com os passos da HP-12C: →
b) A parcela de juros é obtida multiplicando-se a taxa de juros (diária, mensal,
trimestral, semestral, anual...) pelo saldo devedor existente no período
imediatamente anterior.
i . Pvt - 1; ou com os passos da HP-12C:1
c) A parcela de amortização é determinada pela diferença entre o valor da
prestação e o valor da parcela de juros:
PMT - J; ou com os passos da HP-12C:
d) O saldo devedor é determinado pela diferença entre o saldo devedor
imediatamente anterior e a parcela de amortização:
PVt - 1 –AMORTIZAÇÃO; ou com os passos da HP-12C
a
n i
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125
8.2.EXERCÍCIO PRÁTICO COM HP-12 C
Considerando os seguintes parâmetros:
Dados: PV = 1000
n = 10
i = 10%
Calcular:
Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa a memória financeira
1000
-1.000,00 Entra com o valor do principal
10
3,00 Entra com a taxa de juros
10
10,00 Entra com tempo
162,75 Calcula a prestação que é
constante
1
100,00 Calcula os juros da 1ª. Linha
62,75 Calcula a amortização da 1ª.
Linha
-937,25 Calcula o saldo devedor da 1ª.
Linha
1
93,73 Calcula os juros da 2ª. Linha
69,02 Calcula a amortização da 2ª.
Linha
-868,23 Calcula o saldo devedor da 2ª.
Linha
1
86,82 Calcula os juros da 3ª. Linha
75,92 Calcula a amortização da 3ª.
Linha
-792,30 Calcula o saldo devedor da 3ª.
Linha
.
.
.
.
.
.
.
.
.
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126
Cont. Solução:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
28,25 Calcula os juros da 9ª. Linha
134,50 Calcula a amortização da 9ª.
Linha
147,95 Calcula o saldo devedor da 9ª.
Linha
1
14,80 Calcula os juros da 10ª. Linha
147,95 Calcula a amortização da 10ª.
Linha
0,00 Calcula o saldo devedor da 10ª.
Linha
Para somar basta calcular a prestação novamente procedendo como
segue:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa a memória financeira
1000
-1.000,00 Entra com o valor do principal
10
3,00 Entra com a taxa de juros
10
10,00 Entra com tempo
162,75 Calcula a prestação que é
constante
1
627,50 Soma os juros
1.000,00 Soma a amortização
1.627,50 Soma as prestações
Obs. Pode haver um resíduo no saldo devedor< 0,07 que pode variar de
calculadora para calculadora. A tabela Price calculada com Excelsempre
zera o saldo devedor mesmo com uma quantidade grande de prestações
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127
8.3. ROTINA DO CÁLCULO DA TABELA PRICE
ROTINA DO CÁLCULO COM A HP-12C - TABELA PRICE
PRIMEIRO PASSO
SEGUNDO PASO
TERCEIRO PASSO
QUARTO PASSO
Calcula-se os
Juros
1
Calcula-se
a Amortização
Calcula-se o
Saldo devedor
Calcula-se as
Prestações
Cont. Solução:
TABELA PRICE:
t S/DEVEDOR AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.000,00
937,25
868,23
792,31
708,80
616,93
515,88
404,72
282,45
147,95
0,00
-
62,75
69,02
75,92
83,51
91,87
101,05
111,16
122,27
134,50
147,95
-
100,00
93,73
86,82
79,23
70,88
61,69
51,59
40,47
28,25
14,80
-
162,75
162,75
162,75
162,75
162,75
162,75
162,75
162,75
162,75
162,75
TOTAL 1.000,00 627,45 1.627,45
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8.4. COMO CALCULAR OS DADOS DE UMA LINHA DE ORDEM "t"
Calcular os juros a amortização e o saldo devedor da sétima parcela (t=7):
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa a memória financeira
1000
-1.000,00 Entra com o valor do principal
10
3,00 Entra com a taxa de juros
10
10,00 Entra com tempo
162,75 Calcula a prestação que é
constante
6
492,35 Calcula a soma até a parcela
anterior (6ª)
1
51,59 Calcula os juros da 7ª. parcela
111,16 Calcula amortização da 7ª.
Parcela
404,69 Calcula o saldo devedor da 7ª.
parc.
Calcule a trigésima parcela de juros e o saldo devedor de um financiamento no
valor de 300.000,00, parcelado em 36 meses a taxa de juros de 2% a.m.:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa a memória financeira
300000
-300.000,00 Entra com o valor do principal
2
3,00 Entra com a taxa de juros
36
10,00 Entra com tempo
11.769.85 Calcula a prestação
29
117.500,22 Calcula a soma até a parcela
anterior (29ª)
1
1.523,49 Calcula os juros da 30ª. parcela
65.928,03 Calcula o saldo devedor da 30ª.
parc.
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129
8.5.SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE –SAC
O SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE ou Sistema SAC, tem como
principal característica a constância das amortizações periódicas, ao contrário do
Sistema Price, quando as prestações crescem exponencialmente à medida que o
prazo aumenta. É de fundamental importância no Brasil devido a sua ampla
utilização no Sistema Financeiro de um modo geral.
Vejamos como se calcula:
a) Calcula-se a amortização dividindo-se o valor do principal pelo número de
parcelas:
(8.1)
b) Em seguida calcula-se o saldo devedor subtraindo-se do saldo devedor
anterior a parcela de amortização:
(8.2)
c) Os juros são calculados multiplicando-se a taxa da operação pelo saldo
devedor anterior:
(8.3)
d) As prestações representam a soma dos juros com a amortização:
(8.4)
EXERCÍCIO PRÁTICO
Considerando-se os mesmos parâmetros da Tabela Price:
PV = 1000
i = 10%
N = 10
A = PV
n
SD = SDt-1 – A
J = SDt-1 . i
PMT = Jt + A
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SISTEMA SAC
T Saldo devedor Amortização Juros Prestações
00 1000 - - -
01 900 100 100 200
02 800 100 90 190
03 700 100 80 180
04 600 100 70 170
05 500 100 60 160
06 400 100 50 150
07 300 100 40 140
08 200 100 30 130
09 100 100 20 120
10 0 100 10 110
SOMA 1000 550 1550
Comentários:
a) Como podemos observar as amortizações são constantes e ao contrário da
tabela Price as prestações são variáveis e decrescentes.
b) Na metade do prazo de amortização a parcela de pagamento do Sistema SAC
se aproxima em grandeza da prestação paga pelo Sistema Price.
c) Assim como Sistema Price, o Sistema SAC é utilizado em larga escala na
maioria dos países, com a vantagem de ter cálculos bem mais fáceis do que os
realizados no Sistema Price.
COMPARAÇÃO ENTRE AS TABELAS
SAC PRICE
t S.DEV AMORT JUROS PMT t S.DEV AMORT JUROS PMT
0 1000 - - - 0 1.000,00 - - -
1 900 100 100 200 1 937,25 62,75 100,00 162,75
2 800 100 90 190 2 868,23 69,02 93,73 162,75
3 700 100 80 180 3 792,31 75,92 86,82 162,75
4 600 100 70 170 4 708,80 83,51 79,23 162,75
5 500 100 60 160 5 616,93 91,87 70,88 162,75
6 400 100 50 150 6 515,88 101,05 61,69 162,75
7 300 100 40 140 7 404,72 111,16 51,59 162,75
8 200 100 30 130 8 282,45 122,27 40,47 162,75
9 100 100 20 120 9 147,95 134,50 28,25 162,75
10 0 100 10 110 10 0,00 147,95 14,80 162,75
SOMA 1.000 550 1550 SOMA 1.000,00 627,50 1.627,50
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131
8.6.PLANILHAS DE EMPRÉSTIMO COM CARÊNCIA
a) Valor do Financiamento: 80.000
b) Taxa de juros ; 5% am
c) Prazo de Amortização: 5 meses
d) Prazo de carência: 3 meses
e) Juros acumulados na carência
t Saldo
devedor
Amortização Juros Prestações
0 80.000,00 0 0 0
1 84.000,00 0 0 0
2 88.200,00 0 0 0
3 92.610,00 0 0 0
4 75.849,92 16.760,08 4.630,50 21.390,58
5 56,251,84 17.598,08 3.792,50 21.390,58
6 39.773,85 18.477,99 2.912,53 21.390,58
7 20.371,96 19.401,89 1.988,69 21.390,58
8 0,02 20.371,98 1.018,60 21.390,58
SOMA 92.610,02 14.342,88 106.952,90
DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA DA TABELA
PMT= 21.390,58
0 1 2 3 4 5 6 7 8
PV = 80.000
PV3 = 92.610,00
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132
8.7. CUSTO EFETIVO DE UM EMPRÉSTIMO/FINANCIAMENTO
Quando um empréstimo ou financiamento é concedido cobrando-se apenas
a taxa de juros, sem nenhum adicional, essa taxa é considerada efetiva porque
representa o custo definitivo da operação. Entretanto, é comum os empréstimos e
financiamentos serem concedidos com despesas adicionais como taxas de
abertura de crédito, taxas administrativas, despesas financeiras, despesas com
aposição de placa, com o projeto e outras despesas eventuais. Para tanto se faz
necessário calcular o Custo Efetivo da Operação, que expressará quanto
realmente
custou o dinheiro envolvido no projeto.
Vejamos o exemplo abaixo:
1. Um empréstimo de R$ 470 mil foi negociado para ser pago em 6 prestações
anuais a uma taxa de de 13% ao ano. O banco ainda cobra uma taxa de
abertura de 3,8% sobre o valor do empréstimo e despesas administrativas de
2,0 % ao ano sobre o saldo devedor. Com base na Tabela Price. Construir a
Planilha de Financiamento e calcular a taxa efetiva da operação,
t Saldo
devedor
amort juros Despesas
Administ.
Tx.
abertura
Prestação
Fluxo de
caixa
0 470,0 17,9 (452,1)
1 413,5 56,5 61,1 9,4 0 117,6 127,0
2 349,7 63,8 53,8 8,3 0 117,6 125,9
3 277,6 72,1 45,5 7,0 0 117,6 124,6
4 196,1 81,5 36,1 5,6 0 117,6 123,2
5 104,0 92,1 25,5 3,9 0 117,6 121,5
6 -0,1 104,1 13,5 2,1 0 117,6 119,7
soma 470,1 235,5 36,3 14,1 705,6 IRR=16,5%
CUSTO EFETIVO DO EMPRÉSTIMO
TECLA VISOR SIGNIFICADO
0,00 Limpa os registradores
452,1
- 452,1 Valor líquido do empréstimo
127,0
127,00 Introduz 1º. fluxo de caixa
125,9
125,00 Introduz 2º. fluxo de caixa
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133
124,6
124,60 Introduz 3º fluxo de caixa
123,2
123,20 Introduz 4º. fluxo de caixa
121,7
121,50 Introduz 5º. fluxo de caixa
119,7
119,70 Introduz o 6ºfluxo de caixa
16,5 Taxa Interna de Retorno
O custo efetivo do empréstimo foi 16,5% ao ano uma taxa superior à taxa firmada
na assinatura do contrato 13% ao ano.
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134
9. MANUAL DA HP-12C
9.1. INTRODUÇÃO
A calculadora HP-12C é uma ferramenta indispensável para os profissionais
e estudantes da área financeira. Essa calculadora tem se constituído um
fenômeno de venda em todo o mundo, apesar de ter mais de 20 anos no mercado.
A própria HEWLETT PACKARD tem lançado modelos mais modernos de
calculadoras financeiras, mas nenhuma conseguiu desbancar o modelo HP-12C
que continua firme e muito procurada devido a sua praticidade e portabilidade.
9.2. LIGANDO E DESLIGANDO A CALCULADORA
A função permite ligar e desligar a calculadora. Caso a máquina fique
ligada e não foi desligada manualmente entre 8 e 17 minutos, sem que alguma
tecla seja acionada, desligar-se-á automaticamente.
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135
9.3. PRINCIPAIS CARACTERÍSTICAS
A calculadora HP-12C opera com o sistema RPN(Reverse PolishNotation),
ou seja, Notação Polonesa Reversa, onde primeiro são introduzidos os dados,
separados pela tecla e em seguida os operadores, processo
diferenciado do Sistema Algébrico.
Exemplo: 2 + 6
Sistema Algébrico: 2 + 6 =
Sistema RPN: 2 6 +
O processo RPN permite a solução de cálculos extensos com muito mais
rapidez e simplicidade.
A HP-12C está equipada com um sistema de memória contínua que mantém
os dados armazenados mesmo com a calculadora desligada.
Uma tecla pode ter até três funções diferentes reconhecidas pelos
caracteres: Branco(face superior), Amarelo(função acima da tecla) e Azul(face
inferior da tecla).
Função Amarela
Função Branca(principal)
Função Azul
Para utilizarmos as funções amarelas e azuis devemos pressionar antes a
tecla de prefixo correspondente:
Amarela Azul
Se uma tecla de prefixo for acionada por engano basta pressionar a tecla
ou .
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136
9.4. ADEQUAÇÃO DA MÁQUINA
A calculadora HP-12C tem que ser adequada a nossa linguagem, pois é
vendida com a notação americana. Para adequação se faz necessário eliminar
todos os dados armazenados;
9.4.1. Eliminação de dados armazenados
a) Desligue a calculadora: Tecla ;
b) Pressione a tecla , mantendo-a pressionada;
c) Pressione a tecla mantendo-a pressionada.
d) Solte
e) Solte
Aparecerá no visor a mensagem PrError.
Desligando e ligando a máquina aparecerá no visor 0,00. Com essa operação a
calculadora ficou limpa como saiu da fábrica.
9.4.2. Trocar o ponto pela vírgula
Se colocarmos o valor de quatro milhões na calculadora e digitarmos
vamos observar que o mesmo terá a seguinte configuração:
4,000,000.00. Esse é o modelo americano que utiliza o ponto para separar a parte
fracionária da parte inteira de um número. Para adequarmos a calculadora para o
sistema brasileiro procederemos a troca do ponto pela vírgula:
a) Desliga a calculadora: Tecla ;
b) Pressionar a tecla , mantendo-a pressionada;
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137
c) Pressione a tecla mantendo-a pressionada.
f) Solte ;
g) Solte
O número agora é 4.000.000,00 no formato brasileiro.
9.4.3. Número de casas decimais no visor
Para acionarmos o número de casa decimais no visor, basta acionarmos a
função e em seguida o número de casas decimais desejadas:
Exemplo:
Função
Número de
casas decimais
desejadas
Visor Significado
1 0,0 Fixou em uma casa decimal
2 0,00 Fixou em duas casas decimais
9 0,000000000 Fixou em nove casas decimais
- - - -
0 0, Fixou em 0 casas decimais
9.4.4. Trocar o sinal de um número
Tecla utilizada para trocar o sinal de um número
Ex. 4.500 → − 4.500
2.600 → − 2.600
- 600 → 600
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138
9.4.5. Adequação da função calendário
Quando no visor da máquina não estiver acesa a função D.MY (day,
monthandyear) que quer dizer dia, mês e ano a calculadora somente fará os
cálculos de data através do sistema americano, ou seja: M.DY (month,
dayandyear) que quer dizer mês, dia e ano conforme se usa no Brasil. Para
adequarmos a calculadora a notação brasileira basta acionar a função
(tecla quatro função azul).
Obs.: Quando no visor da HP-12C não constar nenhuma notação de data significa
dizer que a mesma está operando com o sistema americano.
(O assunto referente à função calendário será aprofundado no item 9.12 desta
apostila)
9.4.6. Anúncio “C”
Quando estiver sendo utilizada a capitalização composta o anúncio “C”
deve estar aceso na parte inferior direita do visor. Dessa forma a calculadora
adota o regime de capitalização composta na parte fracionária do período. Caso
contrário a HP-12C usa a chamada convenção linear, ou seja, calcula no regime
de capitalização composta os períodos inteiros e calcula no regime de
capitalização simples os períodos fracionários, o que distorce o resultado. Para
colocar o anúncio “C”, basta pressionar as teclas e . Para retirar
a função basta repetir a operação. É importante que o anúncio “C” esteja sempre
aceso na máquina. O assunto será aprofundado no capítulo que trata de
capitalização composta.
Visor com adequação ao sistema brasileiro
h
p
0,00
D.MY C
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139
9.5. FUNÇÕES DE LIMPEZA
Chave de funções amarelas referentes à limpeza:
CLEAR
Σ PRGM FIN REG PREFIX
CLx (limpa somente o visor)
FUNÇÕES DE LIMPEZA DA CALCULADORA
HP-12C
FUNÇÕES SIGNIFICADO
Clx Apaga somente o visor
Apaga os registradores estatísticos e as pilhas
operacionais
Apaga a memória de programação(quando no
módulo de programação)
Apaga a memória financeira e conserva o visor
Apaga tudo menos a memória de programação
Limpa os prefixos RCL, STO ou GTO, pressionando
antes f ou g
A máquina somente será totalmente limpa se repetirmos a operação
constante do item 9.4.1.
9.6. TESTES
A HP-12C possui três programas de testes que asseguram maior
confiabilidade ao seu uso:
1º Teste:
a) Desligue a calculadora
b) Pressione a tecla e mantenha a pressão;
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140
c) Pressione a tecla ;
d) Libere ;
e) Libere ;
f) Aparecerá no visor a palavra RUNNING significando que o programa teste está
em execução. Após aproximadamente 15 segundos o visor apresentará:
2º Teste:
a) Desligue a calculadora;
b) Pressione a tecla e mantenha a pressão;
c) Pressione a tecla ;
d) Libere ;
e) Libere – aparecerá quatro tracinhos;
f ) Pressione todas as teclas da esquerda para direita e de cima para baixo. A
tecla deverá ser pressionada tanto na terceira linha como na quarta
linha A cada tecla pressionada os tracinhos deverão se movimentar. Quando a
última tecla for pressionada aparecerá no meio do visor o número 12.
3º Teste
a) Desligue a calculadora;
b) Pressione a tecla e mantenha a pressão;
h
p
-8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,
USER f g BEGIN GRAD D.MY C PRGM
12
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141
c) Pressione a tecla ;
d) Libere ;
e) Libere ;
f) É semelhante ao primeiro teste, diferindo apenas na duração que é
indeterminada. Para interrupção desse teste, pressione qualquer tecla e após 15
segundos aproximadamente o teste cessará.
9.7. REGISTRADORES DE ARMAZENAMENTO
A calculadora HP-12C armazena números em memórias chamadas de
registradores distribuídas de acordo com suas funções:
9.7.1.Registro da pilha automática (pilhas operacionais)
Referenciados como X, Y, Z e T e mais um, chamado deLASTxusado para
armazenar o último número mostrado antes da execução da última operação.
LASTx
VISOR
A pilha X armazena a informação contida no visor;
A pilha Y é aquela que opera diretamente com a pilha X;
As pilhas Z e T são utilizadas basicamente para retenção automática de
resultados intermediários em cálculos mais complexos.
Exemplo
Efetuar o cálculo: 5 + 6
T
Z
Y
X
h
p
-8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,
USER f g BEGIN GRAD D.MY C PRGM
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T 0 0 0 0
Z 0 0 0 0
Y 0 5 5 0
X 5 5 6 11
5 ENTER 6 +
Observe que quando se dar um ENTER a calculadora copia a informação do
registrador X no registrador Y.
Vejamos um cálculo mais complexo:
Exemplo
Efetuar o cálculo: [(8 x 4) + (6 x 7)] ÷ 2 = 37
T 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Z 0 0 0 0 0 32 32 0 0 0 0
Y 0 8 8 0 32 6 6 32 0 74 0
X 8 8 4 32 6 6 7 42 74 2 37
8 E 4 X 6 E 7 X + 2 :
É importante entender que não podemos dar mais de três ENTER
consecutivos. Quatro ENTER consecutivos inviabiliza uma operação, pois a
primeira informação será perdida. Ex. vamos registrar nas pilhas operacionais os
números 20, 30, 40 e 50, consecutivamente:
20 informação perdida
T 0 0 0 0 0 20 20 30
Z 0 0 0 20 20 30 30 40
Y 0 20 20 30 30 40 40 60
X 20 20 30 30 40 40 60 60
20 E 30 E 40 E 60 E
Aprofundaremos a questão quando estudarmos o item referente ao Cálculo
em Cadeia.
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143
9.7.2.Registradores de Armazenamento de Dados
Além da memória automática, a calculadora HP-12C tem 20 memórias para
armazenar dados manualmente. São os registros designados de R0a R9eR.0 a R.9
R0
R.0
R1 R.1
R2 R.2
R3 R.3
R4 R.4
R5 R.5
R6 R.6
R7 R.7
R8 R.8
R9 R.9
9.7.2.1.Armazenamento e Recuperação de Números
Para armazenar um número qualquer que esteja no visorbasta seguir a
seguinte rotina:
Pressione
Digite o número do registro: de 0 a 9 para os registradores R0 a R9.
de .0 a .9 para os registradores R.0 a R.9
Para recuperar basta digita (recuperar) e depois o número do registro
Exemplo
Armazenar (estocar) os números 40, 50, 2000, 35.000 e 12 nos
Registradores R1, R6, R.0, R.1 e R9 respectivamente.
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Solução:
ARMAZENAMENTO RECUPERAÇÃO
NÚMERO OPERAÇÃO ENDEREÇO RECUPERAÇÃO ENDEREÇO NÚMERO
40
1
R1
1
R1 40
50
6
R6
6
R6 50
2.000
.0
R.0
.0
R.0 2.000
35.000
.1
R.1
.1
R.1 35.000
12
9
R9
9
R9 12
IMPORTANTE: O número de registradores de armazenamento disponível pode
diminuir em função da quantidade de programas contidos na calculadora.
Para se saber o número de memórias disponíveis para uso basta pressionar
(tecla 9) . Se a calculadora não contiver nenhum programa aparecerá a
indicação P-08 r-20no visor. Esta indicação demonstra que a calculadora possui 8
passos de programação tomados (padrão da máquina) e os 20 registradores
existentes estão livres para uso.
A calculadora HP-12C possui 99 linhas de programação, sendo que cada
memória, se necessário, é convertida em sete novos passos de programação:
Exemplo
Capacidade máxima de programação: 99;
Padrão interno da calculadora: 8 passos de programação (sem interferir na
quantidade de memórias disponíveis);
Cada memória pode ser convertida em 7 passos de programação;
Número de memórias que podem ser convertidas em passos: 13 (pois 13 x 7 =
91);
Total de memórias disponíveis a qualquer momento: 7 (0 a 6)
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145
9.7.2.2.Como limpar as memórias
Para limpar uma única memória basta armazenar 0 no endereço desejado.
Exemplo
0 4. O conteúdo da memória 4 foi substituído por 0.
Para limpar todos os registradores de uma só vez devemos pressionar
(conforme vimos no CAPÍTULO 5).
9.7.2.3.Operações aritméticas utilizando os registradores
Os cálculos só poderão ser efetuados utilizando-se os registradores:
0 – 4. Vamos escolher o registrador R3para efetuar a seguinte operação
matemática: [(1.000 + 2.000) x 2 -500] ÷ 5
NÚMERO TECLA OPERADOR ENDEREÇO SIGNIFICADO
1.000
3 Estoca 1.000 em R3
2.000
3 Soma 2.000 ao conteúdo
de R3
2
3 Multiplica o resultado por
2
500
3 Subtrai 500 do valor
acumulado em R3
5
3 Divide o saldo por 5
3 Recupera o conteúdo de
R3 1.100
9.8. CALCULOS EM CADEIA
a) Exemplo de Cálculo Simples:
80 x 30 =
80 ENTER 30 X
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DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
80
80 O número registrado em X (visor)
foi
copiado em Y
30
2.400 O número digitado em X multiplicou o valor
de Y
b) Outro exemplo:
40 + 30 -20 + 60 – 5 =
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
40
40 Iniciamos a operação
30
70 Saldo após a soma
20
50 Saldo após a subtração
60
110 Saldo após a soma
5
105 Resultado da operação
c) Cálculos mais complexos:
(70 X 3) + (40 X 2 + 20) =
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
70 3
210 Resultado do primeiro
parêntese
40 2 20
100 Resultado do segundo
parêntese
310 Resultado final (soma dos
dois parênteses)
d) Cálculos mais complexos (outro exemplo):
[(20 x 4 ) + (70 : 2 )] x 6
[5 + (4 x 5) ]
IMPORTANTE: Temos que observar as regras da matemática, resolvendo-se
primeiro os parênteses e dando-se prioridade às potências e às raízes, às
multiplicações e divisões, na ordem que se encontram. Por fim realizam-se as
adições e subtrações, também na ordem que se encontram.
= 27,60
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Linguagem RPN 20 E 4 X 70 E 2 ÷ + 6 X 4 E 5 X 5 + ÷
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
20 4
80 Resultado do primeiro
parêntese
70 2 6
690 Resultado do numerador
4 5 5
25 Resultado do denominador
27,60 Resultado final
e) Cálculos mais complexos:
{4 x 3 [( 6 + 2 ) X ( 5 + 3 ) – 8 ( 4 + 3 )]} =
Linguagem RPN 6 E 2 + 5 E 3 + X 4 E 3 +8 X – 3 X 4 X
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
6 2
8 Resultado do primeiro
parêntese
5 3
8 Resultado do segundo
parêntese
64 Multiplica os dois
parênteses
4 3
7 Resultado do terceiro
parêntese
8
8 Resultado do colchete
3 4
96 Resultado final
9.9.PRINCIPAIS FUNÇÕES ALGÉBRICAS
9.9.1.Potenciação
4 3 = 4 x 4 x 4 = 64 Como resolver: 4 E 3 YX
Por que ? Vamos entender através das pilhas operacionais.
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T 0 0 0 0
Z 0 0 0 0
Y 0 4 4 0
X 4 4 3 64
4 E 3 YX
Observe que a base ocupa a pilha Y e o expoente ocupa a pilha X (visor).
9.9.2.Inverso de um número
A Função ao ser pressionada calcula o inverso de um número contido
no visor:
Exemplo
Digite o número e em seguida a função
4 0,25
8 0,125
10 0,10
9.9.3.Radiciação
Operação inversa da potenciação
Exemplo
43 = 64 portanto 641/3 = 4 ou 64
Como calcular na HP: 64 3 4
3
MATEMÁTICA FINANCEIRA COM HP-12C
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149
Outros exemplos:
1.296 1.296 4 6
32 32 2
O cálculo da raiz quadrada é mais Simples: Basta digitar o número e
pressionar .
Exemplo
Calcular a raiz quadrada de: 144 e 900
144 144 12
900 900 30
Podemos observar que o cálculo da raiz quadrada envolve somente a pilha X, ao
contrário da raiz enésima que envolve também a pilha Y.
9.9.4. Logaritmo
A Calculadora HP-12C possui a função (Logaritmo Neperiano) cuja
base é 2,718281828459, que também é chamado de Logaritmo Natural, cujo autor
foi John Neper(1550-1617).
4
5
MATEMÁTICA FINANCEIRA COM HP-12C
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150
Exemplo
Achar o Logaritmo Neperiano dos seguintes números 1.000, 800 e 35.
1.000 6,907755
800 6,684611
35 3,555348
A calculadora não tem função específica para o cálculo do logaritmo base
10, entretanto este logaritmo pode ser calculado com base na seguinte regra: O
LogarítmoNeperiano de um número dividido pelo LogarítmoNeperiano de 10 é
igual ao Logaritmo base 10.
1.000
10
Como calcular: 1000 10 10
9.10. FUNÇÕES AUXILIARES
9.10.1. Tecla
Permuta os valores das memórias X (visor) e Y
T 0 0 0 0
Z 0 0 0 0
Y 0 400 400 600
X 400 400 600 400
400 ENTER 600 X <
> Y
= 3
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9.10.2.Tecla
Promove a troca nos conteúdo das quatro memórias transitórias:
O conteúdo da memória X é transferido para a memória Y
O conteúdo de Y é transferido para Z
O conteúdo de Z é transferido para T
O conteúdo de T para X e assim sucessivamente.
9.10.3. Função
Permite eliminar as casas decimais da memória X que não aparecem no visor
mediante o critério de arredondamento matemático.
Exemplo
150 8,5= 150 8,5 17,64705882 (8 casas decimais).
Caso se queira arredondar com critério matemático para duas casas decimais,
basta fixar 2 casas decimais (f 2) e em seguida executar a função . O visor
vai indicar o número 17,65, mas, se voltarmos a fixar em 8 casas decimais, o visor
apresentará a seguinte configuração: 17,65000000. Se quisermos recuperar o
número anterior basta executar a função (que recupera a última
informação antes da operação).
9.10.4. Função
Permite extrair a parte fracionária de um número. Vamos tomar como exemplo o
número 17,64705882.
Basta executar a função que o número perde a sua parte inteira e
apresenta no visor somente a fração: 0,64705882.
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152
9.10.5.Função
Ao contrário de , extrai a parte inteira do número.
Utilizando-se como exemplo o mesmo número do item anterior: 17,64705882.
Basta executar a função que o número perde sua parte fracionária e
apresenta no visor somente: 17,00000000.
9.11. FUNÇÕES PERCENTUAIS
9.11.1.Percentagem de um número
A função calcula o percentual de um número.
Exemplo
1. 20% de 88.000
15% de 36.800
80% de 600.000
2. Um carro no valor de R$ 25.000 foi comprado à vista com 15% de desconto. O
valor da compra sofreu um acréscimo de 6% referente a despesas com frete,
seguro e outros custos indiretos de aquisição. Calcular o valor efetivamente
pago à concessionária:
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
88.000 20
17.600,00 Calcula 20% de 88.000
36.800 15
5.520,00 Calcula 15% de 5.520
600.000 80
480.000,00 Calcula 80% de 480.000
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
25.000 15
21.250,00 Valor à vista do carro
6
22.525,00 Valor efetivamente pago
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3.Um equipamento no valor de R$ 96.000 foi comprado com 12% de desconto.
Sobre o valor líquido foram descontadas despesas referentes a impostos e
outros custos cujas taxas percentuais correspondem respectivamente a 6% e
4%. Calcular o valor efetivo da compra:
9.11.2.Variação percentual
Calcula a variação percentual entre dois números:
Exemplo
1. Um carro foi comprado por R$ 28.000 e foi vendido por R$ 32.000. Qual foi o
lucro (variação percentual positiva):
2. Uma casa foi comprada por R$ 120.000 e foi vendida por R$ 98.000, qual foi o
prejuízo da operação:
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
96.000 12
84.480,00 Valor da compra menos o
desconto
1
84.480,00 Valor armazenado em R1
(valor líquido)
6 2
89.548,00 Valor acrescido do
imposto – Armazena em
R2
1
84.480,00 Recupera o Valor líquido
4
3.379,20 Calcula os outros custos
2
92.928,00 Recupera o valor
acumulado e soma
RCL
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
28.000
28.000,00 Valor do carro
32.000
14,29 Percentagem referente ao lucro
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9.11.3.Percentagem do total
Calcula a percentagem de um número com relação ao total ou a distribuição
percentual de vários números com relação ao total.
Exemplo
1. Uma fatura no valor de R$ 9.700 apresenta no rodapé uma despesa de R$ 375.
Que percentual corresponde este valor com relação ao valor original da fatura:
2. O capital de uma empresa foi dividido em quotas:R$ 600.000, distribuídos da
seguinte forma: R$ 100.000, R$ 200.000 e R$ 300.000. Calcular o percentual
de cada quota:
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
120.000
120.000 Valor da compra
98.000
- 18,33 Percentagem negativa referente ao
prejuízo
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
9.700
9.700,00 Valor original da fatura
375
3,87 Percentagem referente à despesa
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
600.000
600.000,00 Valor do capital social
100.000
16,67 16,67% do valor total
0,00 Limpa o visor
200.000
33,33 33,33% do valor total
0,00 Limpa o visor
300.000
50,00 50% do valor total
Obs.: A soma dos percentuais tem que dar 100%
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9.12. FUNÇÃO CALENDÁRIO
A função calendário calcula as seguintes informações:
a) Número real de dias entre duas datas. Fornece também o número de dias
baseado no ano comercial (360 dias);
b) Data futura ou passada, correspondente a um número fixo de dias, tomando-se
como base uma data de referência;
c) Dia da semana correspondente a uma data futura ou passada.
As informações acima podem ser obtidas para datas entre 15 de outubrode
1.582 e 25 de novembro de 4.046.
data anterior data de referência data posterior
parâmetros para o cálculo das datas
Adequação da máquina para cálculo de datas:
Limpar a calculadora (registradores)
Tabular a calculadora para 6 casas decimais: (f6) XX,XXXXXX.
São necessários dois dígitos para dias e meses e quatro dígitos para ano.
Adequar a calculadora à notação brasileira, acendendo no visor a notação
(dia, mês e ano).
9.12.1.Variação de dias entre duas datas
Permite calcular a variação de dias entre duas datas.
△DYS
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Exemplo
1. Uma pessoa nasceu em 04 de fevereiro de 1974, calcule quantos dias viveu até
23 de julho de 2005.
Curiosidade: Para transformar os dias em anos basta dividir 11.492 por 365
dias. O resultado dá 31,48, ou seja, 31 anos e uma fração do de 0,48.
Multiplicando-se 0,48 por 12 teremos 5,82. Ou seja, a pessoa tem
aproximadamente 31 anos e 6 meses.
Veja como calculamos com a HP-12C:
11.492 365 31,48 0,48 12 X 5,82
2. Calcular quantos dias são decorridos entre 13 de maio de 1888 e 13 de maio de
1988.
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
6
0,000000D.MY Estabelece notação brasileira e
fixa 6 casas
04.021974
4,021974 Introduz a data de nascimento
23.072005 23.072005 Introduz a data de referência
11.492 Quantidade de dias entre as
duas datas
△DYS
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
6
0,000000D.MY Estabelece notação brasileira e
fixa 6 casas
13.051888
13,051888 Introduz a data da Lei Áurea.
13.051988 13,051988 Introduz a data do centenário
36.524 Quantidade de dias entre as duas
datas
△DYS
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157
3. Uma pessoa aplicou certo valor em 30-03-2005 e no dia 05-05-2005 resgatou o
capital mais os juros. Calcular por quantos dias o capital esteve aplicado.
9.12.2. Cálculo de datas futuras e passadas
Permite calcular datas futuras ou passadas com base nos dias decorridos entre as
mesmas, inclusive calcula o dia da semana a que se refere a data, mostrando um
código no canto direito do visor.
O cálculo de datas, mostrando o dia da semana, obedece a seguinte tabela:
Exemplo
1. No dia 20-06-2005 uma pessoa assinou uma duplicata cujo vencimento se dará
com 99 dias. Calcule a data do vencimento.
DIA DA SEMANA CÓDIGO
SEGUNDA-FEIRA 1
TERÇA-FEIRA 2
QUARTA-FEIRA 3
QUINTA-FEIRA 4
SEXTA-FEIRA 5
SÁBADO 6
DOMINGO 7
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
6
0,000000D.MY Estabelece notação brasileira
e fixa 6 casas
30.032005
30,032005 Introduz a data de
nascimento
05.052005 05.052005 Introduz a data de referência
36 Quantidade de dias da
aplicação
△DYS
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158
2. Há 120 dias tomei um empréstimo cujo vencimento se deu em 30-07-2005.
Qual a data que a operação foi contraída?
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
6
0,000000D.MY Estabelece notação brasileira e
fixa 6 casas
20,062005
20,062005 Introduz a data da assinatura do
compromisso
99 99 Introduz a quantidade de dias
27.09.2005 2 Fornece a data e dia da semana
(terça-feira)
Veja como a data é expressa no visor:
Terça-feira
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
6
0,000000D.MY Estabelece notação brasileira e
fixa 6 casas
30,072005
30,072005 Introduz a data do vencimento
120
120 CHS Introduz a quantidade de dias
(sinal negativo)*
1.04.2005 5 Fornece a data e dia da
semana (sexta-feira)
Quando a data for passada troca-se o sinal (CHS)
h
p
27.09.2005 2
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3. Uma pessoa nasceu em 02-01-2002. Calcular o dia da semana referente a esta
data:
4. Qual o dia da semana que se deu as seguintes datas históricas:
Independência do Brasil - 07 de setembro de 1822
Proclamação da República – 15 de novembro de 1889
Dia do Fico – 09 de janeiro de 1822
Golpe Militar de 1964 – 31 de março de 1964
Morte de Getúlio Vargas – 24 de agosto de 1954
Solução:
DIGITE MOSTRADOR SIGNIFICADO
6
0,000000D.MY Estabelece notação brasileira e
fixa 6 casas
02,012002
02,012002 Introduz a data de nascimento
0 0 Introduz a quantidade de dias
02,012002 3 Fornece a data e dia da semana
(quarta-feira)
Agora procure saber o dia da semana que você nasceu!
Solução:
DIGITE MOSTRADOR
SIGNIFICADO
07,091822 0
SABADO Independência
15,111889 0
SEXTA-FEIRA Proclamação
da República
09,011822 0
QUINTA-FEIRA Dia do Fico
31,031964 0
TERÇA-FEIRA Golpe Militar
24,081954 0
SEGUNDA
FEIRA
Morte de
Getúlio
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EXERCÍCIOS COM CÁLCULO EM CADEIA
Nº EXPRESSÃO RESP
01 ( 4 X 8) ÷ 3 10,67
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
4 8 3
Nº EXPRESSÃO RESP
02 6 ÷ 3 + (8 -3) ÷ 5 3
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
6 3 8 3 5
Nº EXPRESSÃO RESP
03 40[(18 – 6 ) ÷ 6] 80
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
40 18 6 6
Nº EXPRESSÃO RESP
04 [(25 + 30) (18 – 9)] ÷ 7 70,71
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
25 30 18 9 7
Nº EXPRESSÃO RESP
05 (60 + 40) ÷2 50
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
60 40 2
Nº EXPRESSÃO RESP
06 4 -2 0,06
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
4 2
Nº EXPRESSÃO RESP
07 4,86 12.230,59
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
4,8 6
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161
Nº EXPRESSÃO RESP
08 (3÷6)3 0,13
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
3 6 3
Nº EXPRESSÃO RESP
09 702,5 40.996,34
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
70 2,5
Nº EXPRESSÃO RESP
10 3 ¼ 1,32
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
3 4
Nº EXPRESSÃO RESP
11 2251/2 15
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
225 2
Nº EXPRESSÃO RESP
12 27.0001/3 30
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
27.000 3
Nº EXPRESSÃO RESP
13 50.6251/4 15
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
50.625 4
Nº EXPRESSÃO RESP
14 (82)1/4 2,83
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
8 2 4
Nº EXPRESSÃO RESP
15 [(1+0,07)6 -1] ÷ [(1+0,07)6.0,07] 4,77
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
1,07 6 1 1,07 6 0,07
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162
Nº EXPRESSÃO RESP
16 [(1 +0,03)4 -1] ÷ 0,03 4,18
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
1,03 4 1 0,03
Nº EXPRESSÃO RESP
17 [(1+20,3÷100)45/30-1].100 31,95
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
1 20,3 100 45 30 1 100
Nº EXPRESSÃO RESP
18 [(4+14÷100).(4+2÷3)7-1] ÷100 1.995,48
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
4 14 100 2 3 4 7 1
100
Nº EXPRESSÃO RESP
19 (4+15÷100).(8+1/5)3 2.288,18
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
4 15 100 8 5 3
Nº EXPRESSÃO RESP
20 LN 1,5035 ÷ LN 1,03567 11,64
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
1,5035 1,03567
Nº EXPRESSÃO RESP
21 400.(1+8÷100)5 x 3 1.268,87
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
400 8 100 1 5 3
Nº EXPRESSÃO RESP
22 8.800.(1+2,8÷300)6 9.304,44
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
8.800 2,8 300 1 6
Nº EXPRESSÃO RESP
23 (1+0,03).{[(1+0,03)4-1] ÷[(1+0,03)4.0,03]} 3,82861
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163
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
1,03 1,03 4 1 1,03 4 0,03
Nº EXPRESSÃO RESP
24 (8+3X5+6X7) ÷40 65
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
8 3 5 6 7
Nº EXPRESSÃO RESP
25 5300(1+0,015)6 5.795,25
SEQUÊNCIA COM A HP-12C :
5300 1,015 6
EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE O FUNCIONAMENTO DA CALCULADORA
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164
HP 12-C
1.Cite quatro vantagens para utilização da HP-12C.
2.Como liga e desliga a HP-12C?
3.Como podemos saber se a pilha está fraca?
4.Descreva 3 testes para sabermos se a HP-12C está funcionando
normalmente.
5.Como chamamos os elementos que aparecem no visor após o teste?
6.Qual a mensagem que aparece no visor quando a calculadora não está
funcionando bem?
7.O Código 34 representa que tecla?
8.Qual código da tecla X?
9.Quais são os registros aritméticos da HP-12C?
10.Explique a finalidade das funções f e g?
11.Qual a importância do anúncio “C” no visor da calculadora?
12.Quando a máquina é ligada pela primeira vez o que aparece no visor?
13.Como altear a representação do ponto para vírgula evice-versa.
14.Qual o critério de arredondamento utilizado pela HP-12C?
15.Digite o número 8,86473 e pressione f 2. O que acontece com as demais
casas que não aparecem no visor?
16.Qual a tecla que troca o sinal um número?
17.O que significa limpar literalmente a máquina?
18.Como podemos extrair a parte inteira de um número?
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165
19.Após a utilização da função RND o que acontece comas casas decimais
além da precisão estabelecida?
20. Quantos registradores de memória a calculadora possui?
21. O que se entende por pilha operacional?
22. Qual a diferença entre memória automática e memóriamanual!
23. O que acontece com a calculadora quando o anúncio “C” não estiver
aceso no visor?
MATEMÁTICA FINANCEIRA COM HP-12C
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166
Assaf Neto, Alexandre. Matemática Financeira e Suas Aplicações. São Paulo.
2ª edição. Ed. Atlas.
César, Benjamin. Matemática Financeira (Série Provas e Concursos). Rio de
Janeiro. Impetus – 2.000.
Ferreira, Roberto Gomes. Matemática Financeira Aplicada. 6ª. Ed. Ed. Atlas,
São Paulo - 2008
Lapponi, Juan Carlos. Matemática Financeira. São Paulo. 1ª edição. Lapponi
Treinamento e Editora Ltda.
Mathias, WashingtonFranco; Gomes, José Maria. Matemática Financeira. 2ª.Ed.
Ed. Atlas, São Paulo.
Puccini, Abelardo de Lima. Matemática Financeira. Rio de Janeiro. 5ª Edição.
Ed. Saraiva .
Siqueira, Ésio – Manual da Calculadora HP-12C aplicado à Matemática
Financeira – (apostila – FCAP/UPE).
Tosi, Armando José. Matemática Financeira com Ênfase em produtos
Bancários. São Paulo. Atlas.
Vieira Sobrinho, José Dutra. Matemática Financeira. São Paulo. 5ª Edição.
Ed.Atlas.Mais conteúdos dessa disciplina
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- 3) Represente as regioes do plano que satisfazem as desigualdades abaixo: ˜ a) 1 < x 6 3; b) 2 < y < 4; c) 2 < x 6 5 e y = 3; d) 1 6 x < 3 e 2 6 y ...