Matemática Financeira com HP 12C

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Publicação editada e distribuída pela Administração Regional do SENAC de São Paulo 
 
 
 
Elaboração 
Anisio Costa Castelo Branco 
 
 
 
 
 SENAC-SP 2003 
É vedada a reprodução total ou parcial desta obra sem autorização expressa do SENAC-SP 
 
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Matemática Financeira com HP 12C
Sumário 
 
1. FUNÇÕES BÁSICAS DA HP-12C ...................................................................................................................................... 4 
1.1 TECLA [ON]............................................................................................................................................................... 4 
1.2 TECLA [ . ] ................................................................................................................................................................. 4 
1.3 TESTES DE FUNCIONAMENTO............................................................................................................................. 4 
1.3.1 TESTE Nº 1 (USANDO AS TECLA [ON] E [X])....................................................................................................... 5 
1.3.2 TESTE Nº 2 (USANDO AS TECLA [ON] E [+]). ...................................................................................................... 5 
1.3.3 TESTE Nº 3 (USANDO AS TECLAS [ON] E [:])...................................................................................................... 6 
1.4 TECLADO .................................................................................................................................................................. 7 
1.4.1 A TECLA [F]............................................................................................................................................................... 7 
1.4.2 TECLA [G].................................................................................................................................................................. 8 
1.4.3 TECLADO BRANCO ................................................................................................................................................. 8 
1.5 LIMPEZA DE REGISTRO ......................................................................................................................................... 8 
1.5.1 LIMPEZA TOTAL ( USANDO AS TECLAS [ON] E [-] ) ......................................................................................... 8 
1.5.2 LIMPEZA DO VISOR................................................................................................................................................ 8 
1.5.3 LIMPEZA DOS REGISTROS ESTATÍSTICOS (“ 0 ” A “ 6 ”) ................................................................................ 9 
1.5.4 LIMPEZA DE PROGRAM......................................................................................................................................... 9 
1.5.5 LIMPEZA DOS REGISTROS FINANCEIROS ......................................................................................................... 9 
1.5.6 LIMPEZA DE TODOS OS REGISTROS................................................................................................................... 9 
1.6 TECLA [CHS] OU CHANGE SIGNAL .................................................................................................................... 10 
1.7 TECLA [STO] OU (STORE)..................................................................................................................................... 10 
1.8 TECLA [RCL] OU (RECOLL).................................................................................................................................... 10 
1.9 TECLA [YX].............................................................................................................................................................. 10 
1.9.1 POTENCIAÇÃO: ..................................................................................................................................................... 11 
1.9.2 RADICIAÇÃO : ........................................................................................................................................................ 11 
1.10 TECLA [1/X]............................................................................................................................................................ 11 
1.11 TECLA [%T] E [X><Y]............................................................................................................................................. 12 
1.12 TECLA [∆%] ............................................................................................................................................................ 13 
1.13 TECLA [%]............................................................................................................................................................... 14 
1.14 CÁLCULO EM CADEIA .......................................................................................................................................... 14 
2. FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA..................................................................................................... 16 
2.1 CONCEITOS BÁSICOS .......................................................................................................................................... 16 
2.2 DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIAS BÁSICAS...................................................................................................... 16 
2.3 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA....................................................................................................................... 17 
2.4 APRESENTAÇÃO DAS TAXAS ............................................................................................................................ 17 
2.5 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO ........................................................................................................................... 18 
3. JUROS SIMPLES.............................................................................................................................................................. 20 
3.1 OPERAÇÕES DE JUROS SIMPLES...................................................................................................................... 20 
3.2 JUROS EXATO E JURO COMERCIAL.................................................................................................................. 25 
3.3 EXERCÍCIOS SOBRE JUROS SIMPLES .............................................................................................................. 26 
3.4 EXERCÍCIOS DE REFORÇO ................................................................................................................................... 27 
 
 
 
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Matemática Financeira com HP 12C
4. JUROS COMPOSTOS ...................................................................................................................................................... 30 
4.1 CONCEITOS DE JUROS COMPOSTOS ............................................................................................................... 30 
4.2 VALOR FUTURO (FV) OU MONTANTE (M)........................................................................................................ 31 
4.3 DIFERENÇA ENTRE OS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS................................................................ 31 
4.4 FUNÇÃO “C” NA HP 12C, TECLAS [STO] E [EEX] ............................................................................................ 32 
4.5 VALORPRESENTE (PV) OU CAPITAL (C) ........................................................................................................... 33 
4.6 PRAZO (N) .............................................................................................................................................................. 34 
4.7 FUNÇÃO [FRAC] E [INTG]..................................................................................................................................... 35 
4.8 TAXAS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS ............................................................................................. 36 
4.9 EXERCÍCIOS SOBRE JUROS COMPOSTOS....................................................................................................... 37 
4.10 EXERCÍCIOS DE REFORÇOS................................................................................................................................. 37 
5.OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS ........................................................................................................................... 41 
5.1 TAXAS EQUIVALENTES :...................................................................................................................................... 41 
5.1.1 PROGRAMA PARA TAXA EQUIVALENTE COM HP 12C .................................................................................. 42 
5.2 TAXA OVER EQUIVALENTE.................................................................................................................................. 43 
5.3 TAXA ACUMULADA DE JUROS (COM TAXAS VARIÁVEIS): .......................................................................... 45 
5.4 TAXA MÉDIA DE JUROS ...................................................................................................................................... 46 
5.5 TAXA REAL DE JUROS ......................................................................................................................................... 47 
5.6 EXERCÍCIOS SOBRE TAXAS JUROS .................................................................................................................. 48 
6. DESCONTOS ..................................................................................................................................................................... 50 
6.1 DESCONTO RACIONAL SIMPLES OU “POR DENTRO”. .................................................................................. 50 
6.2 DESCONTO BANCÁRIO, OU COMERCIAL OU “POR FORA” ........................................................................... 51 
6.3 OPERAÇÕES COM UM CONJUNTO DE TÍTULOS:............................................................................................ 51 
6.3.1 PRAZO MÉDIO DE UM CONJUNTO DE TÍTULOS ............................................................................................. 52 
6.4 DESCONTO COMPOSTO ...................................................................................................................................... 53 
6.5 EXERCÍCIOS SOBRE DESCONTO ........................................................................................................................ 55 
7. SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS ..................................................................................................................... 56 
7.1 VALOR PRESENTE DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTO “POSTECIPADA”...................................................... 56 
7.2 VALOR D PRESTAÇÃO DE UMA SÉRIE “POSTECIPADA” .............................................................................. 57 
7. CÁLCULO DA TAXA DE UMA SÉRIE DE PAGAMENTO UNIFORME “POSTECIPADA”.............................. 59 
7.5 SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS “ANTECIPADOS”................................................................................ 59 
7.5.1 FÓRMULAS PARA SÉRIE DE PAGAMENTOS ANTECIPADOS ....................................................................... 59 
7.5.1.1 FÓRMULA DO VALOR PRESENTE....................................................................................................................... 59 
7.5.1.2 FÓRMULA DA PRESTAÇÃO ................................................................................................................................. 60 
7.6 VALOR FUTURO DE UMA SÉRIE UNIFORME .................................................................................................... 60 
7.7 EXERCÍCIO SOBRE SÉRIES DE UNIFORME DE PAGAMENTOS..................................................................... 61 
8. SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS E FINANCIAMENTOS............................................................ 63 
8.1 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC) .......................................................................................... 63 
8.2 SISTEMA PRICE (OU FRANCÊS) DE AMORTIZAÇÃO ...................................................................................... 64 
9. APLICABILIDADE DA MATEMÁTICA FINANCEIRA ................................................................................................... 65 
9.1 TAXA INTERNA DE RETORNO (IRR) E VALOR PRESENTE LÍQUIDO (NPV) .................................................. 65 
9.2 VALOR DA PRESTAÇÃO DE LEASING................................................................................................................ 67 
9.3 FORMAÇÃO DO PREÇO DE VENDA PELO CONCEITO DO VALOR ATUAL .................................................... 68 
BIBLIOGRAFIA...................................................................................................................................................................... 69 
 
 
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Matemática Financeira com HP 12C
 
1. FUNÇÕES BÁSICAS DA HP-12C 
Neste capítulo serão abordadas as principais funções da calculadora HP-12C, ou seja, 
estaremos mostrando os conceitos básicos relevantes ao desenvolvimento da matemática 
financeira. 
1.1 TECLA [ON] 
Tem a função de ligar e desligar a calculadora, porém, se a calculadora permanecer ligada sem uso, 
será desligada automaticamente entre 7 e 8 minutos aproximadamente. 
1.2 TECLA [ . ] 
Esta tecla permite que a calculadora opere em dois padrões de moeda, o brasileiro e padrão dólar. 
Vamos considerar o seguinte exemplo: 
R$ 1.425,56 (padrão brasileiro) 
US$ 1,425.56 (padrão dólar) 
Esta conversão será feita da seguinte forma: 
a) mantenha a calculadora desligada; 
b) pressione a tecla [.] e segure; 
c) pressione a tecla [ON] e solte. 
Se a calculadora estiver no padrão brasileiro passara para o padrão do dólar e vice-versa. 
1.3 TESTES DE FUNCIONAMENTO 
A calculadora HP-12C possui três testes de verificação quanto ao seu funcionamento, uma espécie 
de controle de qualidade, que permite ao usuário uma maior confiabilidade do produto. 
 
 
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Matemática Financeira com HP 12C
1.3.1 TESTE Nº 1 (usando as tecla [ON] e [x]). 
Procedimentos: 
1) mantenha calculadora desligada; 
2) pressione a tecla [ON] e segure; 
3) pressione a tecla [x] e segure; 
4) solte a tecla [ON]; 
5) solte a tecla [x]. 
Ao final do procedimento aparecerá no visor a palavra “running” piscando, significando que 
a calculadora está executando o TESTE Nº 1. E em alguns segundos aparecerá no visor o seguinte: 
 
 
 
Se aparecer a mensagem “ERRO 9” significa que a calculadora precisa de reparos, mas se o 
resultado for exatamente o resultado do TESTE Nº 1, a calculadora estará pronta para o uso. 
1.3.2 TESTE Nº 2 (usando as tecla [ON] e [+]). 
Procedimento: 
1) mantenha a calculadora desligada; 
2) pressione a tecla [ON] e segure; 
3) pressione a tecla [+] e segure; 
4) solte a tecla [ON]; 
5) solte a tecla [+]; 
6) pressione e solte qualquertecla, exceto a tecla [ON]. 
 
- 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 
USER f g BEGIN GRAND D.MY C PRGM 
 
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Matemática Financeira com HP 12C
Na verdade o TESTE Nº 2 é muito semelhante ao TESTE Nº 1, diverge na duração de execução, que é 
indeterminado, portanto, para completar o teste é necessário cumprir o procedimento nº “6”, logo 
após aparecerá o seguinte: 
 
 
 
Se você pressionar a tecla [ON] o teste será interrompido. 
1.3.3 TESTE Nº 3 (usando as teclas [ON] e [:]) 
Procedimento: 
1) mantenha a calculadora desligada; 
2) pressione a tecla [ON] e segure; 
3) pressione a tecla [:] e segure; 
4) solte a tecla [ON]; 
5) solte a tecla [:]. 
6) Pressione todas as teclas da esquerda para direita , de cima para baixo, ou seja, a 
1ª tecla a ser pressionada será a tecla [n] e a última será a tecla [+]. Lembre-se, 
deve-se pressionar todas as teclas inclusive a tecla [ON] e a tecla [enter] será 
pressionada duas vezes, tanto na linha 3, bem como na linha 4. 
Após o procedimento concluído , aparecerá no visor o nº “12”, assim como nos testes anteriores, a 
calculadora estará pronta para o uso. Mas se procedimento não for realizado corretamente, aparece 
à expressão “ERRO 9”. Neste caso a calculadora necessita de conserto. 
- 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 
USER f g BEGIN GRAND D.MY C PRGM 
 
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Matemática Financeira com HP 12C
1.4 TECLADO 
O teclado da calculadora HP-12C, é multiuso, ou seja, uma mesma tecla poderá ser utilizada de três 
maneiras. 
1.4.1 A TECLA [f]{ XE "1.4.1 A TECLA [f]" } 
A tecla [f] (amarelo) possui duas funções básicas: 
 1ª função: pressionado a tecla ou prefixo [f] poderemos acessar todas as funções 
em amarelo da calculadora; 
 2ª função: pressionado a tecla ou prefixo [f] seguida de um número, será 
apresentado à quantidade casas decimais a ser mostrada no visor. 
Veja o exemplo: 
Digite o número 2,428571435 e siga os procedimentos: 
Procedimento 
(teclas) 
Visor 
[f] e [9] 2,428571435 
[f] e [8] 2,42857144 
[f] e [7] 2,4285714 
[f] e [6] 2,428571 
[f] e [5] 2,42857 
[f] e [4] 2,4286 
[f] e [3] 2,429 
[f] e [2] 2,43 
[f] e [1] 2,4 
[f] e [0] 2, 
[f] e [9] 2,428571435 
 
 
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Matemática Financeira com HP 12C
1.4.2 TECLA [g]{ XE "1.4.2 TECLA [g]" } 
Através da tecla ou prefixo [g] é possível acessar todas as funções em AZUL. 
1.4.3 TECLADO BRANCO{ XE "1.4.3 TECLADO BRANCO" } 
Todas as teclas possuem em sua superfície informações em branco, na verdade tudo o que é 
mostrado em branco nas teclas, não necessita de função auxiliar, como vimos para funções em 
amarelo e azul. 
1.5 LIMPEZA DE REGISTRO{ XE "1.5 LIMPEZA DE REGISTRO" } 
Apresentaremos as principais formas de executar a limpeza dos registros ou informações, que são 
armazenadas no teclado ou memórias da calculadora. 
1.5.1 LIMPEZA TOTAL ( usando as teclas [on] e [-] ){ XE "1.5.1 LIMPEZA TOTAL ( usando as 
teclas [on] e [-] )" } 
Procedimento: 
1) mantenha a calculadora desligada; 
2) pressione a tecla [ON] e segure; 
3) pressione a tecla [-] e segure; 
4) solte a tecla [ON]; 
5) solte a tecla [-]. 
Após a execução desta seqüência de procedimentos, deve aparecer a expressão “PR ERROR” 
indicado que todos os dados armazenados nos registros inclusive os programas foram apagados, ou 
seja, a calculadora ficará zerada. Portanto, devemos tomar muito cuidado ao executar este 
procedimento. 
1.5.2 LIMPEZA DO VISOR{ XE "1.5.2 LIMPEZA DO VISOR" } 
A utilização desta função é muito simples, basta pressionar a tecla [CLx] e o visor será limpo. 
 
 
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Matemática Financeira com HP 12C
1.5.3 LIMPEZA DOS REGISTROS ESTATÍSTICOS (“ 0 ” a “ 6 ”){ XE "1.5.3 LIMPEZA DOS 
REGISTROS ESTATÍSTICOS (\“ 0 \” a \“ 6 \”)" } 
Com a seqüência de teclas [f] [∑] estaremos processando a limpeza dos registros estatísticos, ou 
seja, estaremos limpando os registros armazenados nas teclas [1], [2], [3], [4], [5] e [6]. 
1.5.4 LIMPEZA DE PROGRAM{ XE "1.5.4 LIMPEZA DE PROGRAM" } 
Procedimento: 
1) pressionar [f] [P/R] para entrar no modo de programação; 
2) pressionar [f] [PRGM] para limpar o programa; 
3) pressionar [f] [P/R] ou [ON] para sair do modo de programação. 
Este procedimento se faz necessário, devido a grande dificuldade de elaboração de um programa, ou 
seja, um programa não pode ser destruído sem a menor proteção. 
1.5.5 LIMPEZA DOS REGISTROS FINANCEIROS{ XE "1.5.5 LIMPEZA DOS REGISTROS 
FINANCEIROS" } 
Registros Financeiros: 
a) [n] prazo; 
b) [ i ] taxa; 
c) [PV] Present Value ou Valor Presente; 
d) [PMT] Periodic Payment ou Prestação; 
e) [FV] Future Value ou Valor Futuro. 
A limpeza dos registros é feita através da seqüência de teclas [f] [FIN]. 
1.5.6 LIMPEZA DE TODOS OS REGISTROS{ XE "1.5.6 LIMPEZA DE TODOS OS REGISTROS" } 
Com seqüência de teclas [f] [REG] é possível apagar todos os registros, ou seja, de “ 0 ” a “ 9 ”, e “.0 
” a “.9 ” e os registros financeiros, ficando apenas os programas sem serem apagados. 
 
 
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Matemática Financeira com HP 12C
1.6 TECLA [CHS] ou CHANGE SIGNAL{ XE "1.6 TECLA [CHS] ou CHANGE SIGNAL" } 
Esta tecla serve basicamente para trocar o sinal de um número, ou seja, trocar o sinal negativo para 
o positivo e vice-versa. 
1.7 TECLA [STO] ou (STORE){ XE "1.7 TECLA [STO] ou (STORE)" } 
Esta serve para guardamos valores nas memórias. A HP possui 20 memórias diretas; “0” a “9” = 10 e 
“.0” a “.9” = 10. 
Para introduzir um número na memória é muito simples. 
Vamos considerar que o numero 145 deve ser guardado na memória, e que decidimos guardar na 
memória “5” . Como fazer?. 
Procedimento: 
1) digite o número 145; 
2) digite [STO]; 
3) digite [5]. 
1.8 TECLA [RCL] ou (RECOLL){ XE "1.8 TECLA [RCL] ou (RECOLL)" } 
Esta tecla serve para recuperar os números guardados nas memórias. Vamos verificar sua aplicação 
com base nos dados do item 1.7. 
Procedimento: 
1) digitar [RCL]; 
2) digitar [5]. 
1.9 TECLA [YX]{ XE "1.9 TECLA [YX]" } 
Esta tecla pode ser utilizada tanto pra efetuarmos operações de potenciação e como de radiciação. 
 
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Matemática Financeira com HP 12C
1.9.1 Potenciação:{ XE "1.9.1 Potenciação" } 
 
 
 
 
 
1.9.2 Radiciação :{ XE "1.9.2 Radiciação \:" } 
 
 
 
 
 
1.10 TECLA [1/x]{ XE "1.10 TECLA [1/x]" } 
Esta tecla é normalmente utilizada para demonstrar o inverso de um número. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 1,056 
 
1,05 [ENTER]
6 [yx] 
1,340096... 
 
a) 23 
 
2 [ENTER] 
3 [yx] 
8 
c) 1,045 270/360 
 
1,045 [ENTER] 
270 [ENTER] 
360 [:] [yx] 
1,033564... 
a) 9 = 9
1
2 
 
9 [ENTER] 
1 [ENTER] 
2 [:] [yx] 
3 
b) 275 3 = 27 
3
5 
 
27 [ENTER] 
3 [ENTER] 
5 [:] [yx] 
7,224674... 
c) ( , )1 0 630 + 360 = 1,6 36030 
 
1,6 [ENTER] 
360 [ENTER] 
30 [:] [yx] 
281,474977... 
a) 1/8 
 
8 [1/x] 
0,125 
b) 1,05 112 
 
1,05 [ENTER] 
12 [1/x] [yx] 
1,0004074 
 
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Matemática Financeira com HP 12C
1.11 TECLA [%T] e [x><y]{ XE "1.11 TECLA[%T] e [x><y]" } 
A tecla [%T] é usada para calcular o percentual de um total, e a tecla [x><y] recupera o valor base 
de cálculo. 
a) Uma pessoa possui os seguintes gastos mensais: 
• moradia R$ 450,00 
• educação R$ 500,00 
• combustível R$ 150,00 
• alimentação R$ 200,00 
• lazer R$ 250,00 
 Total R$ 1.550,00 
Determinar quanto representa percentualmente cada valor em relação ao total dos gastos. 
Solução: 
 1.550 [ENTER] 
450 [%T] 29,03% 
[x><y] 500 [%T] 32,26% 
[x><y] 150 [%T] 9,68% 
[x><y] 200 [%T] 12,90% 
[x><y] 250 [%T] 16,13% 
 100,00% 
 
 
 
 
 
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Matemática Financeira com HP 12C
1.12 TECLA [∆%]{ XE "1.12 TECLA [∆%]" } 
Esta tecla nos ajuda a calculamos a diferença percentual entre dois números. 
a) Considere que um produto possui um preço de R$ 132,75 em jan/XX, em fev/XX o preço desse 
produto passou para R$ 155,71. Qual foi o percentual de aumento desse produto? 
Dados: 
Preço em jan/XX: R$ 132,75 
Preço em fev/XX: R$ 155,71 
Solução: 
132,75 [ENTER] 
155,71 [∆%] 
17,30% 
b) No mês de março/XX o preço do produto passou para R$ 141,00. Qual foi o percentual de 
desconto? 
Dados: 
Preço fev/XX: R$ 155,71 
Preço mar/XX: R$ 141,00 
Solução 
155,71 [ENTER] 
141,00 [∆%] 
-9,45% 
 
 
 
 
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Matemática Financeira com HP 12C
1.13 TECLA [%]{ XE "1.13 TECLA [%]" } 
Esta tecla serve exclusivamente para o calculo de percentagem. 
a)Calcular 5% de R$ 10.450,00 
Solução: 
10.450 [ENTER] 
5 [%] 
R$ 522,50 
1.14 CÁLCULO EM CADEIA{ XE "1.14 CÁLCULO EM CADEIA" } 
a) soma 
25,82 + 1.852,25 + 156,68 = 2.034,75 
25,82 [ENTER] 1852,25 [+] 156,68 [+] 2.034,75 [STO] 1 
a) subtração 
250 – 91,82 – 5,81 = 152,37 
250 [ENTER] 91,82 [-] 5,81 [-] 152,37 [STO] 2 
b) multiplicação 
21 x 18,41 x 1,0562 = 408,34 
21 [ENTER] 18,41 [x] 1,0562 [x] 408,34 [STO] 3 
c) divisão 
1.750,25 : 1,08 = 1.620,60 
1.750,25 [ENTER] 1,08 [:] 1.620,60 [STO] .5 
 
 
 
 
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Matemática Financeira com HP 12C
d) adição, subtração, multiplicação e divisão 
(memória 1) – (memória 2) x (memória 3) : (memória .5) 
[RCL] 1 
[RCL] 2 [-] 
[RCL] 3 [x] 
[RCL] .5 [:] 
474,30 
Observação: 
 As demais funções e teclas da calculadora HP-12C, serão demonstradas com 
aplicações práticas dos conceitos de matemática financeira. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática Financeira com HP 12C
2. FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA FINANCEIRA{ XE "2. FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA 
FINANCEIRA" } 
2.1 CONCEITOS BÁSICOS{ XE "CONCEITOS BÁSICOS" } 
A matemática financeira tem como objetivo básico estudar a evolução do valor do dinheiro no 
tempo. (prof. Carlos Shinoda). 
A matemática financeira visa estudar as formas de evolução do dinheiro com tempo nas 
aplicações e pagamentos de empréstimo (prof. Samuel Hazzan e Prof. José Nicolau Pompeu). 
A matemática financeira tem como objetivo principal à transformação e manuseio de fluxos de 
caixa, com a aplicação das taxas de juros de cada período, para se levar em conta o valor do 
dinheiro no tempo (prof. Abelardo de Lima Puccini). 
A matemática financeira tem como objetivo principal, estudar o valor do dinheiro em função do 
tempo. (prof. Anísio Costa Castelo Branco). 
2.2 DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIAS BÁSICAS{ XE "2.2 DEFINIÇÕES E TERMINOLOGIAS 
BÁSICAS" } 
CAPITAL ( C ) ou VALOR PRESENTE ( VP ) ou Presente Value ( PV ) ou PRINCIAL ( P ): é o recurso 
financeiro transacionado na data focal zero de uma determinada operação financeira. 
Algumas palavras ou expressões, também podem ser associadas a este conjunto de definições 
apresentadas, como por exemplo: investimento inicial, valor aplicado, etc. 
JURO ( J ): é a remuneração obtida a partir do capital de terceiros. Esta remuneração pode ocorrer a 
partir de dois pontos de vista: 
a) de quem pagar: neste caso, o juro pode ser chamado de despesa financeira, custo, prejuízo, etc. 
b) de quem recebe: podemos entender como sendo; rendimento, receita financeira, ganho, etc. 
TAXA ( i ): é o coeficiente obtido da relação dos juros ( J ) com o capital ( C ), que pode ser 
representado em forma percentual ou unitária. A terminologia “ i “ vem do inglês interest, que 
significa juro. 
 
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Matemática Financeira com HP 12C
 
 
PRAZO ou TEMPO ou PERÍODOS ( n ): é o tempo necessário que um certo capital ( C ) aplicado a uma 
taxa ( i ) necessita para produzir um montante ( M ) . Neste caso, o período pode ser inteiro ou 
fracionário, vejamos um exemplo: 
a) período inteiro : 1 dia; 1 mês comercial ( 30 dias ), 1 ano comercial ( 360 dias ), etc. 
b) período fracionário: 3,5 meses, 15,8 dias, 5 anos e dois meses, etc. 
Podemos também considerar como período inteiro, quando usamos a expressão do tipo: 1 período de 
15 dias, 1 período de 30 dias, etc. 
MONTANTE ( M ) ou VALOR FUTURO ( VF ) ou Future Value ( FV ) ou SOMA ( S ): é a quantidade 
monetária acumulada resultante de uma transação financeira após um determinado período de 
tempo. 
2.3 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA{ XE "2.3 DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA" } 
Definimos fluxo de caixa como movimentação de recursos monetários (entradas e saídas de caixa) 
de uma empresa ou de uma transação financeira em especial, dentro de um período de tempo. 
(+) entradas 
 
 
 tempo (n) 
 (-) saídas 
2.4 APRESENTAÇÃO DAS TAXAS{ XE "2.4 APRESENTAÇÃO DAS TAXAS" } 
As taxas podem ser apresentadas de duas formas, a forma percentual e decimal ou unitária, veja um 
exemplo. 
 
 18
Matemática Financeira com HP 12C
EXEMPLO Nº 1 : Faça a transformação das seguintes taxas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO{ XE "2.5 REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO" } 
Podemos definir como regime de capitalização os métodos pelos quais os capitais são remunerados. 
Os regimes de capitalização podem ser “SIMPLES” e “ COMPOSTO” ou método de capitalização 
linear e exponencial, respectivamente. Vejamos um exemplo; 
EXEMPLO Nº 2 : Seja um capital de R$ 1.000,00 aplicado a uma taxa de 10% a.m. durante 3 meses. 
Qual o valor acumulado no final de cada período pelos regimes de capitalização simples e 
composta? 
 
Taxa 
percentual 
Taxas decimal 
ou Unitária 
25% 
5% 
1,5% 
0,5% 
 0,025 
 0,02 
 0,0018 
 15 
- Na HP-12C, poderemos usar as
taxas na forma percentual. 
 
- Nas fórmulas, somente poderemos
usar as taxas na forma decimal ou
unitária. 
 
 19
Matemática Financeira com HP 12C
Regime de Capitalização Simples 
n Capital 
Aplicado 
Juros de cada período Valor 
Acumulado 
1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00 
2 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.100,00 + R$ 100,00 = R$ 1.200,00 
3 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.200,00 + R$ 100,00 = R$ 1.300,00 
DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃOSIMPLES 
 M = R$ 1.300,00 
 
 C . i = R$ 100,00 C . i = R$ 100,00 C . i = R$ 100,00 
 
C = R$ 1.000,00 
Regime de Capitalização Composta 
n Capital 
Aplicado 
Juros de cada período Valor 
Acumulado 
1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00 
2 R$ 1.100,00 R$ 1.100,00 x 10% = R$ 110,00 R$ 1.100,00 + R$ 110,00 = R$ 1.210,00 
3 R$ 1.210,00 R$ 1.210,00 x 10% = R$ 121,00 R$ 1.210,00 + R$ 121,00 = R$ 1.331,00 
 
 
 20
Matemática Financeira com HP 12C
DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 M = R$ 1.331,00 
 
 C . i = R$ 100,00 M1 . i = R$ 110,00 M2 . i = R$ 121,00 
 
C = R$ 1.000,00 
3. JUROS SIMPLES{ XE "3. JUROS SIMPLES" } 
Podemos entender como juros simples, o sistema de capitalização linear, conforme foi demonstrado 
no item 2.3 (regimes de capitalização). 
No Brasil, a aplicabilidade dos sistemas de capitalização simples ocorre basicamente nas situações 
em que os períodos não são inteiros. 
3.1 OPERAÇÕES DE JUROS SIMPLES 
Faremos várias operações envolvendo juros simples, ou seja, efetuaremos cálculos de juros, capital, 
taxa e montante. Para melhor facilitar a compreensão, dividimos as fórmulas em três grupos. 
Nº 1º Grupo de Fórmulas Significado 
1 J = FV – PV Fórmula de juros 
2 FV = PV + J Fórmula do montante ou valor futuro 
3 PV = FV – J Fórmula do capital ou valor presente 
 
 
 
 
 21
Matemática Financeira com HP 12C
EXEMPLO Nº 3 : Qual o valor dos juros resultante de uma operação onde foi investido um capital de 
R$ 1.250,18, e que gerou um montante de R$ 1.380,75? 
Dados: 
PV = R$ 1.250,18 
FV = R$ 1.380,75 
J = ? 
EXEMPLO Nº 4 : Uma aplicação obteve um rendimento líquido de R$ 78,25 durante um determinado 
tempo, qual foi o valor resgatado, sabendo-se que a importância aplicada foi de R$ 1.568,78? 
Dados: 
J = R$ 78,25 
PV = R$ 1.568,78 
FV = ? 
EXEMPLO Nº 5 : Qual o valor do investimento de gerou um resgate de R$ 1.500,00, sabendo-se que o 
rendimento deste investimento foi de R$ 378,25? 
Dados: 
FV = R$ 1.500,00 
J = R$ 378,25? 
PV = ? 
 
Nº 2º Grupo de Fórmulas Significado 
4 J = PV x i x n Fórmula de juros simples 
5 PV = J / i x n Fórmula do capital ou valor presente 
6 i = J / PV x n Fórmula da Taxa 
7 n = J / PV x i Fórmula do prazo 
 
 
Solução 2: HP 12C 
 
1380,75 [ENTER] 
1250,18 [-] 
R$ 130,57 
Solução 2: HP-12C 
 
1568,78 [ENTER] 
78,25 [+] 
R$ 1.647,03 
Solução 2: HP 12C 
 
1500 [ENTER] 
378,25 [-] 
R$ 1.121,75 
Solução 1: 
 
J = 1.380,75 – 1.250,18 
J = R$ 130,57 
 
Solução 1: 
 
FV = 1.568,78 + 78,25 
FV = R$ 1.647,03 
Solução 1: 
 
PV = 1.500,00 – 378,25 
PV = R$ 1.121,75
 
 22
Matemática Financeira com HP 12C
EXEMPLO Nº 6 : Determine o juro obtido com um capital de R$ 1.250,23 durante 5 meses com a taxa 
de 5,5% ao mês. 
Dados: 
PV = R$ 1.250,23 
n = 5 meses ou 150 dias 
i = 5,5% a.m. 
 
 
 
EXEMPLO 7: Qual foi o capital que gerou rendimentos de R$ 342,96 durante 11 meses, a uma taxa de 
2,5% a.m? 
Dados: 
PV = ? 
i = 2,5% ao mês 
n = 11 meses 
J = R$ 342,96 
EXEMPLO Nº 8 : Pedro pagou ao Banco Panamericano S/A a importância de R$ 2,14 de juros por 
um dia de atraso sobre uma prestação de 537,17. Qual foi a taxa mensal de juro aplicado pelo banco? 
Dados: 
J = R$ 2,14 
n = 1 dia 
PV = R$ 537,17 
i = ? 
Solução 2: HP 12C 
 
1250,23 [ENTER] 
0,055 [x] 
5 [x] 
R$ 343,81 
Solução 3: HP 12C 
 
1250,23 [ENTER] 
5,5 [%] 
5 [x] 
R$ 343,81 
Solução 4: HP 12C 
 
[f] FIN 
1250,23 [CHS] [PV] 
150 [n] 
66 [i] 
[f] INT 
R$ 343,81 
Solução 2: HP 12C 
 
342,96 [ENTER] 
0,025 [ENTER] 
11 [x] [:] 
R$ 1.247,13 
Solução 2: HP 12C 
 
2,14 [ENTER] 
537,17 [ENTER] 
1 [x] [:] 
100 [x] 
30 [x] 
11,95% a.m. 
Solução1: 
J = 1.250,23 x ,055 x 5 
J = R$ 343,81 
Solução 1: 
 
i = 2,14 / 537,17 x 1 
i = 2,14 / 537,17 
i = 0,003984 x 100 
i = 0,3984% ao dia 
imensal = 0,3984 x 30 
imensal = 11,95% ao 
mês 
Solução 1:
 
PV = 342,96 / 0,025 x 11 
PV = 342,96 / 0,275 
PV = R$ 1.247,13 
 
 23
Matemática Financeira com HP 12C
EXEMPLO Nº 9 : Durante quanto tempo foi aplicado um capital de R$ 1.500,00 que gerou rendimentos 
de R$ 351,00 com uma taxa de 1,8% ao mês? 
Dados: 
n = ? 
PV = R$ 1.500,00 
i = 1,8% ao mês 
J = R$ 351,00 
 
Nº 3º Grupo de Fórmulas Significado 
8 FV = PV ( 1 + i x n ) Fórmula do montante ou valor futuro 
9 PV = FV / ( 1 + i x n ) Fórmula do capital ou valor presente 
10 i(ac) = { ( FV / PV ) –1} x 100 Fórmula da taxa acumulada 
EXEMPLO Nº 10 : Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 105.000,00 aplicados em um CDB 
de 90 dias, a uma taxa de 1,92% ao mês. 
Dados: 
FV = ? 
PV = R$ 105.000,00 
i = 1,92% ao mês 
n = 90 dias ou (3 meses) 
FV = R$ 111.048,00 
 
 
 
Solução 2: HP-12C 
 
351,00 [ENTER] 
1500 [ENTER] 
0,018 [x] [:] 
13 meses 
Solução 2: HP-12C 
 
105000 [ENTER] 
1 [ENTER] 
0,0192 [ENTER] 
3 [x] [+] [x] 
R$ 111.048,00 
Solução 3: HP-12C 
 
[f] FIN 
105000 [CHS] [PV] 
90 [n] 
1,92 [ENTER] 12 [x] [ i ] 
[f] INT [+] 
R$ 111.048,00 
 
Solução 4: HP-12C 
 
105000 [ENTER] 
1,92 [%] 3 [x] [+] 
R$ 111.048,00 
Solução 1:
 
n = 351 / 1.500 x 0,018 
n = 351 / 27 
n = 13 meses 
Solução 1: 
 
FV = 105.000 ( 1 + 0,0192 x 3 
) 
FV = 105.000 ( 1 + 0,0576) 
FV = 105.000 ( 1,0576 ) 
 
 24
Matemática Financeira com HP 12C
EXEMPLO Nº 11 : Determine o valor da aplicação em um Título de Renda Fixa, cujo valor de resgate 
bruto foi de R$ 84.248,00 por um período de 3 meses, sabendo-se que a taxa da aplicação foi de 1,77% 
ao mês. 
Dados: 
PV = ? 
FV = R$ 84.248,00 
i = 1,77% ao mês. 
n = 3 meses 
PV = 84.248 / ( 1,0531 ) 
PV = R$ 80.000,00 
 
 
EXEMPLO Nº 12 : Joaquim emprestou R$ 15,00 de Salim. Após 6 meses, Salim resolveu cobrar sua 
dívida. Joaquim efetuou um pagamento de R$ 23,75 a Salim. Qual foi a taxa de juros acumulados 
nesta operação? Qual foi a taxa mensal de juros? 
Dados: 
PV = R$ 15,00 
FV = R$ 23,75 
n = 6 meses 
i(ac) = ? 
imensal = ? 
Solução 2: HP 12C 
 
84248 [ENTER] 
1 [ENTER] 
0,0177 [ENTER] 
3 [x] [+] [:] 
R$ 80.000,00 
Solução 2: HP-12C
 
23,75 [ENTER] 
15 [:] 
1 [-] 100 [x] 
58,33% a.p. 
 
6 [:] 
9,72% a.m. 
Solução 3: HP-
12C 
 
15 [ENTER] 
23,75 [∆%] 
58,33% a.p. 
 
6 [:] 
9,72% a.m. 
Solução 1: 
 
PV = 84.248 / ( 1 + 0,0177 x 3 ) 
PV = 84.248 / ( 1 + 0,0531 ) 
 
Solução 1: 
 
i(ac) = {(23,75/15) –1} x 100 
i(ac) = {1,5833 –1} x 100 
i(ac) = 0,5833 x 100 
i(ac) = 58,33% a.p. ou (ao
semestre) 
imensal = 58,33 : 6 
imensal = 9,72% a.m. 
 
 25
Matemática Financeira com HP 12C
3.2 JUROS EXATO E JURO COMERCIAL 
Quando falamos em juro exato, estamos na verdade nos referindo aos dias do calendário, ou 
seja, devemos considerar a quantidade de dias existente em cada mês. Como por exemplo: janeiro 
(31 dias), fevereiro (28 ou 29 dias), desta forma, um ano pode ter 365 ou 366 dias. 
Nocaso do juro comercial devemos considerar sempre um mês de 30 dias, e sendo assim, 
um ano comercial vai ter sempre ter sempre 360 dias. 
 
EXEMPLO Nº 13 : Uma prestação no valor de R$ 1.500,00 venceu em 01/02/01 sendo quitada em 
15/03/01, com a taxa de 60% ao ano. Determine os juros exato e comercial pago nesta operação. 
Dados: 
PV = R$ 1.500,00 
i = 60% ao ano 
Vencimento da Prestação: 01/02/01 
Data do Pagamento: 15/03/01 
a) J.E. = ( 1.500 x 0,6 x 42 )/ 365 = R$ 103,56 
b) J.C. = ( 1.500 x 0,6 x 42 )/360 = R$ 105,00 
 
Obs: espaço livre para o docente trabalhar com as funções de datas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 2: HP-12C
 
1500 [ENTER] 
0,6 [x] 
42 [x] [365] [:] 
R$ 103,56 
 
1500 [ENTER] 
0,6 [x] 
42 [x] [360] [:] 
R$ 105,00 
Solução:
 
[f] 6 
01.022001 [ENTER] 
15.032001 [g] [∆DYS]
 
 26
Matemática Financeira com HP 12C
3.3 EXERCÍCIOS SOBRE JUROS SIMPLES 
 
Considerar o ano comercial ( 360 dias) 
1) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$ 5.000,00, pelo prazo de 5 meses, sabendo-
se que a taxa cobrada é de 3,5% ao mês? 
Resposta: R$ 875,00 
2) Um capital de R$ 12.250,25, aplicado durante 9 meses, rende juros de R$ 2756,31. Determine a taxa 
correspondente. 
Resposta: 0,025 ou 2,5% ao mês 
3) Uma aplicação de R$ 13.000,00 pelo prazo de 180 dias obteve um rendimento de R$ 1.147,25. Pergunte-se: 
Qual a taxa anual correspondente a essa aplicação? 
Resposta: 0,049028% ao dia ou 17,65% ao ano 
4) Sabendo-se que os juros de R$ 7.800,00 foram obtidos com uma aplicação de R$ 9.750, à taxa de 8% ao 
trimestre, pede-se que calcule o prazo. 
Resposta: 10 trimestres ou 2,5 anos 
5) Qual o capital que, à taxa de 2,8% ao mês, rende juros de R$ 950,00 em um ano? 
Resposta: R$ 2.827,38 
6) Um empréstimo de R$ 21.749,41 é liquidado por R$ 27.612,29 no final de 152 dias. Calcular a taxa mensal de 
juros. 
Resposta: 5,32% ao mês 
7) Calcular o valor dos juros e do montante de uma aplicação de R$ 21.150,00, feita de 3,64% ao mês, pelo 
prazo de 72 dias. 
Resposta: J = R$ 1.847,66 e FV = R$ 22.997,66 
8) Calcular o valor futuro da aplicação de um capital de R$ 7.565,01, pelo prazo de 12 meses, à taxa de 2,5% 
ao mês. 
Resposta: R$ 9.834,51 
9) Determinar o valor presente de um título cujo valor de resgate é de R$ 56.737,59, sabendo-se que a taxa de 
juros é 2,8% ao mês e que faltam 3 meses para o seu vencimento. 
Resposta: R$ 52.340,95 
10) Em quanto tempo um capital aplicado a 2,95% ao mês dobra o seu valor? 
Resposta: 33 meses e 27 dias 
 
 
 27
Matemática Financeira com HP 12C
 3.4 EXERCÍCIOS DE REFORÇO 
OS EXERCÍCIOS DE REFORÇOS TÊM COMO OBJETIVO PRINCIPAL, COMPLEMENTAR OS EXEMPLOS APRESENTANDOS 
EM SALA DE AULA E OS EXERCÍCIOS PRATICADOS PELOS ALUNOS. 
1) Determinar quanto renderá um capital de R$ 60.000,00 aplicado à taxa de 24% ao ano, durante 
sete meses. 
Resposta: R$ 8.400,00 
2) Um capital de R$ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de R$ 11.200,00. Determinar a 
taxa anual. 
Resposta: 60% ao ano. 
3) Durante 155 dias, certo capital gerou um montante de R$ 64.200,00. Sabendo-se que a taxa de 
juros é de 4% ao mês, determinar o valor do capital aplicado. 
Resposta: R$ 53.204,42 
4) Qual o valor dos juros contidos no montante de R$ 100.000,00, resultantes da aplicação de certo 
capital à taxa de 42% ao ano., durante 13 meses? 
Resposta: R$ 31.271,48 
5) Qual o valor a ser pago, no final de cinco meses e 18 dias, correspondente a um empréstimo de 
R$ 125.000,00, sabendo-se que a taxa de juros é de 27% ao semestre? 
Resposta: R$ 156.500,00 
6) Em quanto tempo um capital de R$ 800,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de 
R$ 1.000,00? 
Resposta: R$ 250 dias ou 8,333 meses 
7) Um capital de R$ 50.000,00 foi aplicado do dia 19/06/X1 e resgatado em 20/01/X2. Sabendo-se que 
a taxa de juros da aplicação foi de 56% ao ano, calcular o valor dos juros, considerando-se o número 
de dias efetivos entre as duas datas. 
Resposta: R$ 16.722,22 
8) Uma empresa aplicou R$ 2.000,00 no dia 15/07/XX e resgatou essa aplicação no dia 21/07/XX por 
R$ 2.018,00. Qual foi a taxa mensal de rendimento proporcionada por essa operação? 
Resposta: 4,5% ao mês. 
 
 28
Matemática Financeira com HP 12C
9) Calcular o valor do capital que, aplicado à taxa de 50,4% ao ano, durante dois anos e três meses, 
produz um montante de R$ 600.000,00. 
Resposta: R$ 281.162,14 
10) Ao fim de quanto tempo o capital de R$ 40.000,00, aplicado à taxa de 5% ao mês, produz R$ 
18.600,00 de juros? 
Resposta: 9,3 meses, ou 279 dias 
11) Obteve-se um empréstimo de R$ 10.000,00, para ser liquidado por R$ 14.675,00 no final de 8 meses e 
meio. Qual a taxa de juros anual cobrada nessa operação? 
Resposta: 66% ao ano. 
12) Em quanto tempo um capital aplicado a 48% ao ano dobra o seu valor? 
Resposta:2,0833 anos ou 25 meses. 
13) A que taxa de juros um capital aplicado durante 10 meses rende juros igual à ¼ do seu valor? 
Resposta: 2,5% ao mês. 
14) Um capital emprestado gerou R$ 96.720,00 de juros. Sabendo-se que o prazo da aplicação foi de 13 
meses e a taxa de juros de 6% ao mês, calcular o valor do montante. 
Resposta: R$ 220.720,00 
15) Em quantos dias um capital de R$ 270.420,00 produzirá juros de R$ 62.304,77 a uma taxa de 5,4% ao 
mês? 
Resposta: 128 dias. 
16) Determinar o capital necessário para produzir um montante de R$ 798.000,00 no final de um ano e 
meio, aplicado a uma taxa de 15% ao trimestre. 
Resposta: R$ 420.000,00 
17) A aplicação de R$ 35.600,00 gerou um montante de R$ 58.028,00 no final de nove meses. Calcular a 
taxa anual. 
Resposta: 84% ao ano. 
18) Certo capital aplicado gerou um montante de R$ 1.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao 
mês e o prazo de oito meses, calcular o valor dos juros. 
Resposta: R$ 285,71 
 
 
 
 
 29
Matemática Financeira com HP 12C
19) Determinar o montante correspondente a uma aplicação de R$ 450.000,00, por 225 dias, à taxa de 
5,6% ao mês. 
Resposta: R$ 639.000,00 
20) Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6,2% ao mês, por 174 dias, produziu um 
montante de R$ 543.840,00. 
Resposta: R$ 400.000,00 
21) Um título de renda prefixada foi adquirido por R$ 80.000,00 e resgatado por R$ 117.760,00 no final 
de oito meses. Calcular a taxa mensal de juros. 
Resposta: 5,9% ao mês. 
22) Em que prazo uma aplicação de R$ 500.000,00 possibilita o resgate de R$ 614.000,00 à taxa de 
7,2% ao mês? 
Resposta: 3,167 meses ou 95 dias. 
23) A que taxa anual devo aplicar um capital de R$ 275.000,00 para obter juros de 177.320,00 no final 
de 186 dias? 
Resposta: R$ 124,8% ao ano. 
A lista de exercícios de reforço, foi extraída do livro do professor José Dutra Vieira 
Sobrinho (MATEMÁTICA FINANCEIRA, 5ª edição, Editora Atlas). 
 
 
 30
Matemática Financeira com HP 12C
4. JUROS COMPOSTOS{ XE "4. JUROS COMPOSTOS" } 
4.1 CONCEITOS DE JUROS COMPOSTOS{ XE "4.1 CONCEITOS DE JUROS COMPOSTOS" } 
Podemos entender os juros compostos, como sendo o que popularmente chamamos de juros sobre 
juros. Mas na verdade os juros são calculados tomando como base o montante, conforme estamos 
demostrando no diagrama de fluxo de caixa abaixo. 
 Observe novamentea demonstração do regime de capitalização composta. Matematicamente, o 
cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros. 
Regime de Capitalização Composta 
N Capital 
Aplicado 
Juros de cada período Valor 
Acumulado ou Montante 
1 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00 x 10% = R$ 100,00 R$ 1.000,00 + R$ 100,00 = R$ 1.100,00 
2 R$ 1.100,00 R$ 1.100,00 x 10% = R$ 110,00 R$ 1.100,00 + R$ 110,00 = R$ 1.210,00 
3 R$ 1.210,00 R$ 1.210,00 x 10% = R$ 121,00 R$ 1.210,00 + R$ 121,00 = R$ 1.331,00 
DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA PARA O 
REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA 
 M = R$ 1.331,00 
 
C . i = R$ 100,00 M1 . i = R$ 110,00 M2 . i = R$ 121,00 
 
C = R$ 1.000,00 
 
 
 31
Matemática Financeira com HP 12C
4.2 VALOR FUTURO (FV) ou MONTANTE (M){ XE "4.2 VALOR FUTURO (FV) ou MONTANTE (M)" } 
 
 
EXEMPLO Nº 14: Calcular o montante de um capital de R$ 5.000,00, aplicado à taxa de 4% ao mês, 
durante 5 meses. 
Dados: 
FV = ? 
PV = R$ 5.000,00 
i = 4% ao mês 
n = 5 meses 
 
4.3 DIFERENÇA ENTRE OS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS{ XE "4.3 DIFERENÇA ENTRE 
OS JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS" } 
EXEMPLO Nº 15: Calcular o montante de um capital de R$ 50.000,00, aplicado à taxa de 15% ao mês, 
para 29 dias, 30 dias e 31 dias, pelos regimes de juros simples e juros compostos. 
Juros Simples 
a. n = 29 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 29 ) = R$ 57.250,00 ( J. Simples > J. Compostos ) 
 30 
b. n = 30 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 30 ) = R$ 57.500,00 ( J. Simples = J. Compostos ) 
 30 
c. n = 31 dias; FV = 50.000 (1 + 0,15 x 31 ) = R$ 57.750,00 ( J. Simples < J. Compostos ) 
 30 
 
FV = PV ( 1 + i ) n
Solução 1 
 
FV = 5.000 ( 1 + 0,04) 5 
FV = 5.000 ( 1,04 ) 5 
FV = 5.000 (1,216653...) 
FV = R$ 6.083,26 
Solução 2 : HP 12C 
 
5000 [ENTER] 
1 [ENTER] 
0,04 [+] 
5 [yx] [x] 
R$ 6.083,26 
Solução 3 : HP 12C 
 
[f] FIN 
5000 [CHS] [PV] 
4 [i] 
5 [n] 
[FV] 
R$ 6.083,26 
 
 32
Matemática Financeira com HP 12C
 
Juros Compostos 
a) n = 29 dias; FV = 50.000 (1 ,15) 29/30 = R$ 57.232,75 
b) n = 30 dias; FV = 50.000 (1 ,15) 30/30 = R$ 57.500,00 
c) n = 31 dias; FV = 50.000 (1 ,15) 31/30 = R$ 57.768,50 
4.4 FUNÇÃO “C” na HP 12C, teclas [STO] e [EEX]{ XE "4.4 FUNÇÃO \“C\” na HP 12C, teclas 
[STO] e [EEX]" } 
Com a seqüência de teclas [STO] [EEX] aparecerá no visor da calculadora HP 12C a letra “C”. Se a 
letra “C” não estiver aparecendo no visor, a HP-12C faz esse cálculo com base na chamada 
“convenção linear”, em que os juros são calculados de acordo com o regime de capitalização 
composta para períodos inteiros e de acordo com o regime de capitalização simples para períodos 
fracionários. Vamos comprovar: 
 
EXEMPLO Nº 16: Calcular o valor futuro de uma aplicação de R$ 1.450.300,00, aplicado à taxa de 15% 
ao ano, durante 3,5 anos. 
Dados: 
PV = R$ 1.450.300,00 
i = 15% ao ano 
n = 3,5 anos. 
 
 
 
 
 
Solução 1: 
 
FV = 1.450.300 (1 + 0,15) 3,5 
R$ 2.365.376,56 
Usando a HP 12C com “C” no
visor. 
 
[f] FIN 
1450300 [CHS] [PV] 
15 [i] 
3,5 [n] 
FV 
R$ 2.365.376,56
Usando a HP 12C sem “C” no
visor. 
 
[f] FIN 
1450300 [CHS] [PV] 
15 [i] 
3,5 [n] 
FV 
R$ 2.371.154,39
 
 33
Matemática Financeira com HP 12C
Observe que existe uma diferença de R$ 5.777,83, vejamos o por quê? 
1º PASSO: determinar o valor futuro para o período de 3 anos (período inteiro) pelo regime de juros 
compostos. 
FV (3 anos) = 1.450.300 (1,15) 3 = R$ 2.205.725,01 
2º PASSO: determinar o valor dos juros correspondentes a meio ano (período fracionário) pelo 
regime de juros simples. 
J (meio ano) = ( 2.205.725,01 x 0,15 x 180 ) / 360 = R$ 165.429,38 
3º PASSO: determinar o valor futuro total (3,5 anos) 
 
FV (3,5 anos) = R$ 2.205.725,01 + R$ 165.429,38 = R$ 2.371.154,39 
 
 
4.5 VALOR PRESENTE (PV) OU CAPITAL (C){ XE "4.5 VALOR PRESENTE (PV) OU CAPITAL (C)" } 
 
 
EXEMPLO Nº 17: No final de dois anos, o Sr. Carlos deverá efetuar um pagamento de R$ 2.000,00 
referente ao valor de um empréstimo contratado na data de hoje, mais os juros devidos, 
correspondentes a uma taxa de 4% ao mês. Pergunta-se: Qual o valor emprestado? 
Dados: 
FV = R$ 2.000,00 
i = 4% ao mês 
n = 24 meses 
PV = ? 
 
 
Solução 1: 
 
PV = 2.000 / (1 + 0,04) 24 
PV = 2.000 / (1,04) 24 
PV = 2.000 / 2,563304... 
PV = R$ 780,24 
Solução 2: 
 
PV = 2.000 x 1 / (1 + 0,04) 24 
PV = 2.000 x 1 / (1,04) 24 
PV = 2.000 x 1 / 2,563304... 
PV = 2.000 x 0,390121... 
PV = R$ 780,24 
Solução 3: HP-12C
 
2000 [ENTER] 
1 [ENTER] 
0,04 [+] 
24 [yx] [:] 
R$ 780,24
Solução 4: HP-12C
 
[f] FIN 
2000 [CHS] [FV] 
4 [i] 
24 [n] 
PV 
R$ 780,24
PV = FV / ( 1 + i ) n 
 
 34
Matemática Financeira com HP 12C
 
4.6 PRAZO (n){ XE "4.6 PRAZO (n)" } 
 ou 
 ou n = 
 
EXEMPLO Nº 18: Em que prazo um empréstimo de R$ 24.278,43 pode ser liquidado em um único 
pagamento de R$ 41.524,33, sabendo-se que a taxa contratada é de 3% ao mês. 
Dados: 
n = ? 
PV = R$ 24.278,43 
FV = R$ 41.524,33 
i = 3% ao mês 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n = LN(FV) LN(PV)LN(1 i)
−
+ 
 
LN( )
LN(1 i)
FV
PV
+
Solução 1: 
 
n = LN(41.524,33) – LN(24.278,43) 
 LN (1,03) 
n = 10,634035... – 10,097344... 
 0,029559... 
 
n = 0,536691... 
 0,029559... 
n = 18,156731... meses 
Solução 2:
 
n = {LN(41.524,33) / LN(24.278,43)} 
 LN (1,03) 
n = LN (1,710338) 
 LN (1,03) 
 
n = 0,536691... 
 0,029559... 
n = 18,156731... meses 
Solução 3: (HP 12C)
 
41.524,33 [g] LN 
24.278,43 [g] LN [-] 
1,03 [g] LN [:] 
n = 18,156731... 
Solução 4: (HP 12C) 
 
41.524,33 [ENTER] 
24.278,43 [:] [g] LN 
1,03 [g] LN [:] 
n = 18,156731... 
Solução 5: HP-12C
 
[f] FIN 
41524,33 [CHS] [FV] 
24278,43 [PV] 
3 [i] 
[n] 
19 meses 
 
 35
Matemática Financeira com HP 12C
4.7 FUNÇÃO [FRAC] e [INTG]{ XE "4.7 FUNÇÃO [FRAC] e [INTG]" } 
Através da função [FRAC] é possível eliminar a parte inteira de um número e manter a parte a parte 
fracionária. 
Através da função [INTG] é possível eliminar a parte fracionária de um número e manter a parte 
inteira. 
Vamos comprovar: 
Tomando como base o EXEMPLO Nº 18, temos que o prazo foi de 18,156731...meses, observe que 
existe uma parte fracionária, que neste caso representa a quantidade de dias. Para calculamos a 
quantidade de dias, basta multiplicar a parte fracionária por 30 (mês comercial). 
Solução Única. 
Estando com o número 18,156731... no visor da calculadora HP 12C, observar o procedimento a 
seguir: 
[g] FRAC 30 [x] 
4,701928 dias 
no caso de dias, poderemos arredondar o número para maior, então poderemos dizer que a resposta 
do EXEMPLO Nº 18, seja 18 meses e 5 dias. 
Para o mesmo EXEMPLO Nº 18, poderemos eliminar a parte fracionária e ficar com a parte inteira, 
fazendo a seqüência teclas: [g] INTG. 
 
 36
Matemática Financeira com HP 12C
4.8 TAXAS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOSEXEMPLO Nº 19: A loja “Arrisca tudo” financia a venda de uma mercadoria no valor de R$ 10.210,72, 
sem entrada, para pagamento em uma única prestação de R$ 14.520,68 no final de 210 dias. Qual a 
taxa mensal cobrada pela loja? 
Dados: 
i = ? 
PV = R$ 10.210,72 
FV = R$ 14.520,68 
n = 210 dias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i ={ ( )FVPV QQ/QT – 1} x 100 
Onde: 
QQ = Quanto eu Quero 
QT = Quanto eu Tenho 
Solução 1: 
 
i = {(14.520,68 / 10.210,72 ) 30/210 – 1} x 100 
i = {(1,422101...) 0,142857 – 1} x 100 
i = {1,051592 – 1} x 100 
i = {0,051592} x 100 
i = 5,16% ao mês. 
Solução 2: HP-12C
 
14520,68..........................
10210,72 [:] 
30 [ENTER] 210 [:] [yx] 
1 [-] 100 [x] 
5,16% ao mês 
Solução 3: HP-12C
 
10210,72 [CHS] [PV] 
14520,68 [FV] 
7 [n] 
[i] 
5,16% ao mês. 
 
 37
Matemática Financeira com HP 12C
4.9 EXERCÍCIOS SOBRE JUROS COMPOSTOS{ XE "4.9 EXERCÍCIOS SOBRE JUROS COMPOSTOS" 
} 
1) Determinar o montante, no final de 10 meses, resultante da aplicação de um capital de R$ 
100.000,00 à taxa de 3,75% ao mês. 
Resposta: R$ 144.504,39 
2) Uma pessoa empresta R$ 80.000,00 hoje para receber R$ 507.294,46 no final de dois anos. Calcular 
as taxas mensal e anual desse empréstimo. 
Resposta: 8% ao mês, ou 151,817% ao ano. 
3) Sabendo-se que a taxa trimestral de juros cobrada por uma instituição financeira é de 12,486%, 
determinar qual o prazo em que um empréstimo de R$ 20.000,00 será resgatado por R$ 36.018,23. 
Resposta: 5 trimestres (ou 15 meses). 
4) Quanto devo aplicar hoje, à taxa de 18,00% ao ano, para ter R$ 1.000.000,00 ao final de 19 meses? 
Resposta: R$ 769.461,37 
 
4.10 EXERCÍCIOS DE REFORÇOS{ XE "4.10 EXERCÍCIOS DE REFORÇOS" } 
1) Uma empresa obtém um empréstimo de R$ 700.000,00 que será liquidado, de uma só vez, no final 
de dois anos. Sabendo-se que a taxa de juros é de 25% ao semestre, calcular o valor pelo qual esse 
empréstimo deverá ser quitado. 
Resposta: R$ 1.708.984,38 
2) Em que prazo uma aplicação de 374.938,00, à taxa de 3,25% ao mês, gera um resgate de R$ 
500.000,00. 
Resposta: 9 meses 
 
 
 
 38
Matemática Financeira com HP 12C
 
3) Um terreno está sendo oferecido por R$ 4.500,00 à vista ou R$ 1.500,00 de entrada e mais uma 
parcela de R$ 3.500,00, no final de 6 meses. Sabendo-se que no mercado a taxa média para aplicação 
em títulos de renda prefixada gira em torno de 3,5% ao mês (taxa líquida, isto é, com o Imposto de 
Renda já computado), determinar a melhor opção para um interessado que possua recursos 
disponíveis para comprá-lo. 
Resposta: A melhor opção é comprá-lo a prazo 
4) A que taxa de juros um capital aplicado pose ser resgatado, no final de 17 meses, pelo dobro do 
seu valor? 
Resposta: 4,162% ao mês. 
5) Em quanto tempo um capital pode produzir juros iguais a 50% do seu valor, se aplicado a 3,755% 
ao mês. 
Resposta: 11 meses. 
6) A aplicação de certo capital, à taxa de 69,588% ao ano, gerou um montante de R$ 820.000,00 no 
final de 1 ano e 3 meses. Calcular o valor dos juros. 
Resposta: R$ 396.288,79 
7) Qual é mais vantajoso: aplicar R$ 10.000,00 por 3 anos, a juros compostos de 3% ao mês, ou 
aplicar esse mesmo valor, pelo mesmo prazo, a juros simples de 5% ao mês? 
Resposta: Aplicar a juros compostos de 3% ao mês. 
8) No fim quanto tempo um capital, aplicado à taxa de 4% ao mês, quadruplica o seu valor: 
a) no regime de capitalização composta; (Resposta: 35,35 meses) 
b) no regime de capitalização simples. (Resposta: 75 meses) 
9) Qual o montante produzido pela aplicação de R$ 580,00, à taxa de 17,5% ao ano, pelo prazo de 213 
dias? 
Resposta: 638,07 
 
 39
Matemática Financeira com HP 12C
 
10) Qual o valor do capital, que aplicado à taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias, produziu um 
montante de R$ 5.000,00? 
Resposta: R$ 3.584,32 
11) A aplicação de R$ 211.009,90 proporcionou um resgate de R$ 322.033,58 no final de seis meses. 
Determinar as taxas mensal e anual dessa operação. 
Resposta: 7,3% ao mês e 132,91% ao ano. 
12) Certa aplicação rende 0,225% ao dias. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro da 
sua aplicação? 
Resposta: 308,41dias ou 309 dias 
13) A aplicação de R$ 280,00 proporcionou um rendimento de R$ 240,00 no final de 208 dias. 
Determinar a taxa diária, mensal, trimestral e anual de juros. 
Resposta: 0,2981% a.d; 9,3392% a.m; 30,7156% a.t. e 191,9505% a.a. 
14) Em 154 dias uma aplicação rendeu 21,43%. Calcular as taxas mensal e anual equivalente. 
Resposta: 3,85% a.m. e 57,44% a.a. 
15) Um banco cobra 20% a.a. de juros (além da correção monetária) numa operação de capital de 
giro. Quanto cobrará para uma operação em 182 dias? (considerar o ano como sendo 360 dias). 
Resposta: 9,66% a.p. 
16) Quanto uma pessoa resgatará no final de 93 dias se aplicar R$ 2.000,00 à taxa de 15% ao ano? E 
qual a taxa mensal equivalente? 
Resposta: R$ 2.073,53 e 1,17% a.m. 
17) Um certificado de Depósito Bancário (CDB) equivalente a 500 dólares rende juros de 15% ao ano. 
Sendo o seu prazo de 243 dias, calcular o valor de resgate (em dólar), antes do Imposto de Renda. 
Resposta: US$ 549,47 
 
 40
Matemática Financeira com HP 12C
18) Qual foi a taxa mensal de juros apurada por um investidor, para uma aplicação de R$ 10.000,00 
efetuada no dia 13 de março de 2001, cujo valor de resgate em 08 de junho de 2001 foi de R$ 
10.968,42? 
Resposta: 3,24% a.m. 
19) Qual é o número de dias necessário para que uma aplicação de R$ 1.000,00 produza um valor de 
resgate de R$ 3.000,00, se a taxa de juros contratual for de 4,8% ao mês? 
Resposta: 703 dias 
20) Um título de renda fixa é emitido com um prazo de dois meses e valor de resgate de R$ 10.000,00. 
Determinar seu valor de emissão para que seja garantida ao investidor uma rentabilidade de 10% ao 
ano, no regime de juros compostos. 
Resposta: R$ 9.842,40 
Os exercícios dos itens 4.9 e 4.10 foram parcialmente extraídos e adaptados , do livro do 
professor José Dutra Vieira Sobrinho, Matemática Financeira, 5ª edição, Editora Atlas e 
dos Professores Samuel Hazzan e José Nicolau Pompeu, Matemática Financeira – 
métodos quantitativos, 4ª edição, Editora Atual. 
 
 41
Matemática Financeira com HP 12C
5. OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS{ XE "5. OPERAÇÕES COM TAXAS DE JUROS" } 
No mercado financeiro e nas operações bancárias e comerciais, a palavra taxa é empregada de 
várias formas, ou seja, vários conceitos são abordados em várias situações. Mostraremos as 
aplicabilidades das taxas de juros do pondo vista da matemática financeira. 
5.1 TAXAS EQUIVALENTES :{ XE "5.1 TAXAS EQUIVALENTES \:" } 
 As taxas são equivalentes se, quando aplicadas a um mesmo capital, por um mesmo período, 
geram o mesmo rendimento. 
 
 
Onde: 
i(EQ) = Taxa Equivalente; ic = Taxa Conhecida; QQ = Quanto eu Quero; QT = Quanto eu Tenho. 
EXEMPLO Nº 20: Calcular a equivalência entre as taxas. 
Taxa Conhecida Taxa Equivalente para: 
a) 79,5856% ao ano 1 mês 
b) 28,59% ao trimestre 1 semestre 
c) 2,5% ao mês 105 dias 
d) 0,5% ao dia 1 ano 
e) 25% (ano comercial) 1 ano exato (base 365 dias) 
 
 
 
 
 
i(eq) ={ ( 1 + ic)
QQ/QT – 1} x 100 
Solução 1: 
 
a) i(EQ) = { ( 1 + 0,7958) 
30/360 – 1} x 100 = 5% ao mês 
b) i(EQ) = { ( 1 + 0,2859)180/90 – 1} x 100 = 65,35% ao semestre 
c) i(EQ) = { ( 1 + 0,025) 
105/30 – 1} x 100 = 9,03% ao período 
d) i(EQ) = { ( 1 + 0,005) 
360/1 – 1} x 100 = 502,26% ao ano 
e) i(EQ) = { ( 1 + 0,25) 
365/360 – 1} x 100 = 25,39% ao ano (exato) 
 
 42
Matemática Financeira com HP 12C
 
 
 
 
 
5.1.1 Programa para taxa equivalente com HP 12C{ XE "5.1.1 Programa para taxa equivalente 
com HP 12C" } 
[ f ] [ P/R ] 
[ f ] [ PRGM ] 
[ X<> Y] 
[ : ] 
[ X<> Y] 
[ 1 ] 
[ 0 ] 
[ 0 ] 
[ : ] 
[ 1 ] 
[ + ] 
[ x<>y ] 
[ yx ] 
[ 1 ] 
[ - ] 
[ 1 ] 
[ 0 ] 
[ 0 ] 
[ x ] 
[ f ] [ P/R ] 
Solução 2 (HP 12C) 
 
a) 1,7958 [ENTER] 30 [ENTER] 360 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 5% ao mês 
b) 1,2859 [ENTER] 180 [ENTER] 90 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 65,35% ao trimestre 
c) 1,025 [ENTER] 105 [ENTER] 30 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 9,03% ao período 
d) 1,005 [ENTER] 360 [ENTER] 1 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 502,26% ao ano 
e) 1,25 [ENTER] 365 [ENTER] 360 [:] [YX] 1 [-] 100 [X] 25,39% ao ano (exato)
 
 43
Matemática Financeira com HP 12C
UTILIZANDO O PROGRAMA 
27 [ENTER] (27% ao ano) 
360 [ENTER] (ano comercial) 
30 [R/S] ( mês comercial) 
2,01% a.m. 
 
 
 
5.2 TAXA OVER EQUIVALENTE 
: A taxa over equivalente, é uma taxa usada pelo mercado financeiro para determinar a rentabilidade 
por dia útil, normalmente é multiplicada por 30 (conversão de mercado financeiro). Nas empresas em 
geral, é utilizada para escolher a melhor taxa para investimento. 
 
 
Onde: 
TOE = taxa over equivalente 
ic = taxa de juros conhecida 
QQ = nº de dias efetivos da operação 
QT = nº de dias referente à taxa conhecida ( ic ) 
ndu = nº de dias úteis no período da operação. 
 
Este programa foi extraído do livro do professor Carlos Shinoda, matemática financeira para usuários
do Excel, 2ª edição, editora Atlas. 
 
TOE ={ [( 1 + ic) QQ/QT ] 1/ ndu - 1} x 3.000 
 
 44
Matemática Financeira com HP 12C
EXEMPLO Nº 21: Calcular a taxa over equivalente para uma taxa de 80% ao ano, para uma aplicação 
de 30 dias, considerando 19 dias úteis. 
Dados: 
ic = 80% 
QQ = 30 dias 
QT = 360 dias 
ndu = 19 dias 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 1 
 
TOE ={ [ ( 1 + 0,80) 30 / 360 ] 1 / 19 - 1 } x 3.000 
TOE ={ [ ( 1 ,80) 0,083333.... ] 0,052632 - 1 } x 3.000 
TOE ={ [ 1 ,050202... ] 0,052632 - 1 } x 3.000 
TOE ={ 1 ,002581... - 1 } x 3.000 
TOE = 0,002581... x 3.000 
TOE = 7,74% ao mês. 
Solução 2: HP 12C 
 
1 [ENTER] 0,8 [+] 
30 [ENTER] 360 [:] [yx ] 
19 [1/x] [yx] 
1 [-] 3000 [x] 
7,74% ao mês 
Solução 3: HP 12C
 
100 [CHS] [PV] 
80 [i] 
30 [ENTER] 360 [:] [n] 
[FV] 
100 [-] (5,02% a.p) 
 [i] 
1 [ENTER] 19 [:] [n] 
 [FV] 
100 [-] (0,258134 % a.d.u.) 
30 [x] (7,74% a.m) 
 
 45
Matemática Financeira com HP 12C
5.3 TAXA ACUMULADA DE JUROS (com taxas variáveis):{ XE "5.3 TAXA ACUMULADA DE 
JUROS (com taxas variáveis)\:" } 
A taxa acumulada de juros com taxas variáveis e normalmente utilizada em situações de correções 
de contratos, como por exemplo atualização de alugueis, saldo devedor da casa própria, etc. 
 
 
EXEMPLO Nº 22: Com base na tabela abaixo, calcular a variação do IGPM-FGV acumulada durante 
os meses de jan/2001 a maio/2001. 
Últimas variações dos índices de inflação: 
 IGPM+FGV INPC+IBGE IGPDI+FGV IPC+FIPE IPCA+IBGE 
Maio/2000 - -0,05 0,67 - 0,01
Junho/200 0,85 0,30 0,93 0,18 0,23
Julho/2000 1,57 1,39 2,26 1,40 1,61
Agosto/2000 2,39 1,21 1,82 1,55 1,31
Setembro/2000 1,16 0,43 0,69 0,27 0,23
Outubro/2000 0,38 0,16 0,37 0,01 0,14
Novembro/2000 0,29 0,29 0,39 -0,05 0,32
Dezembro/2000 0,63 0,55 0,76 0,25 0,59
Janeiro/2001 0,62 0,77 0,49 0,36 0,57
Fevereiro/2001 0,23 0,49 0,34 0,11 0,46
Março/2001 0,56 0,46 0,80 0,51 0,38
Abril/2001 1,00 0,84 1,13 0,61 0,58
Maio/2001 0,86 - - 0,17 -
Acumulado no ano 3,31 2,60 2,79 1,79 2,00
Acumulado 12 meses 11,04 7,07 11,16 5,52 6,61
Dados: 
IGMP (jan/2001) = 0,62% 
IGMP (fev/2001) = 0,23% 
IGMP (mar/2001) = 0,56% 
IGMP (abr/2001) = 1,00% 
IGMP (mai/2001) = 0,86% 
i(ac) = [(1 + i1) x (1 + i2) x (1 + i3) ... (1 + in) – 1] x 100 
 
 46
Matemática Financeira com HP 12C
 
 
 
 
 
5.4 TAXA MÉDIA DE JUROS{ XE "5.4 TAXA MÉDIA DE JUROS" } 
A taxa média de juros tem como base teórica, o conceito de estatística da média geométrica. É 
normalmente usada para calcular a média de um conjunto de taxas. 
 
 
Onde, n = número de taxas analisadas. 
EXEMPLO Nº 23: Com base nos dados do EXEMPLO Nº 22, calcular a taxa média. 
Dados: 
IGMP (jan/2001) = 0,62% 
IGMP (fev/2001) = 0,23% 
IGMP (mar/2001) = 0,56% 
IGMP (abr/2001) = 1,00% 
IGMP (mai/2001) = 0,86% 
 
 
 
 
 
Solução 1: 
 
i(ac) = [(1 + 0,0062) x (1 + 0,0023) x (1 + 0,0056) x (1 + 0,01) x (1,0086) – 1] x 100
i(ac) = [(1 ,0062) x (1,0023) x (1,0056) x (1,01) x (1,0086) – 1] x 100 
i(ac) = [1 ,033113... – 1] x 100 
i(ac) = [0 ,033113...] x 100 
i(ac) = 3,31% ao período. 
Solução 2: HP-12C
 
1 ,0062 [ENTER] 
1,0023 [x] 
1,0056 [x] 
1,01 [x] 
1,0086 [x] 
1 [-] 100 [x] 
3,31% ao período. 
i(média) = {[(1 + i1) x (1 + i2) x (1 + i3) ... (1 + in) ] 1/ n – 1 }x 100 
Solução 2: HP-12C
 
1 ,0062 [ENTER] 
1,0023 [x] 
1,0056 [x] 
1,01 [x] 
1,0086 [x] 
5 [1/x] [yx] 
1 [-] 100 [x] 
0,65% ao mês.
Solução 1: 
 
i (média) = [(1 + 0,0062)x(1 + 0,0023)x(1 + 0,0056)x(1 + 0,01)x(1,0086)] 
1 / 5 –1 x 100 
i(média) = [(1 ,0062) x (1,0023) x (1,0056) x (1,01) x (1,0086)] 
1 / 5 –1 x 100 
i(média) = [1 ,033113... ] 
0,2 –1 x 100 
i(média) = 0,0065... x 100 
i(média) = 0,65% ao mês. 
 
 47
Matemática Financeira com HP 12C
5.5 TAXA REAL DE JUROS{ XE "5.5 TAXA REAL DE JUROS" } 
A taxa real juro nada mais é do que a apuração de ganho ou perda em relação a uma taxa de 
inflação ou custo de oportunidade. 
 
 
EXEMPLO Nº 24: Uma aplicação durante o ano de 2000 rendeu 9,5% ao ano, sabendo-se que a taxa 
de inflação do período foi de 5,8% ao ano. Determine a taxa real de juro. 
Dados: 
ir = ? 
ijuros = 9,5% ao ano 
iinflação = 5,8% ao ano 
 
 
ir = [(1 + ijuros ) / ( 1 + iinflação )] – 1 x 100 
Solução 1: 
 
ir = [(1 + 0,095 ) / ( 1 + 0,058)] – 1 x 100 
ir = [(1,095 ) / ( 1,058)] – 1 x 100 
ir = [1,034972...] – 1 x 100 
ir = 0,034972... x 100 
ir = 3,50% ao ano. 
Solução 2: HP12C 
 
1 [ENTER] 0,095 [+] 
1 [ENTER] 0,058 [+] [:] 
1 [-] 100 [x] 
3,5% ao ano. 
 
 48
Matemática Financeira com HP 12C
5.6 EXERCÍCIOS SOBRE TAXAS JUROS{ XE "5.6 EXERCÍCIOS SOBRE TAXAS JUROS" } 
1) Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês. 
Reposta: 26,82% ao ano 
2) Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano. 
Resposta: 4% ao mês.] 
3) Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia. 
Resposta: 101,22% ao ano. 
4) Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos. 
Resposta: 5% ao trimestre 
5) Uma determinada revista de informações financeira apresentou os seguintes taxas de CDI’s: Fev 
= 2,11%; Mar = 2,18%; Abr =1,69%; Mai = 1,63%; Jun = 1,60% e Jul = 1,69% para o ano de 1998. 
Pergunta-se: 
a) Qual a taxa média no período? (Resposta: 1,82% ao mês) 
b) Qual a taxa acumulada no período? (Resposta: 11,41% ao período) 
6) Suponhamos que uma empresa contrate um financiamento de capital de giro no valor de R$ 
80.000,00 por 3 meses, tendo que pagar no final R$ 94.340,57. Qual a taxa média desta aplicação? 
Resposta: 5,65% ao mês. 
 
 49
Matemática Financeira com HP 12C
7) O senhor “Dúvida”, pretende investir R$ 6.500.000,00 em uma aplicação no “Banco dos 
Palmeirenses S/A” que paga 45,5% ao ano por 30 dias corridos e correspondentes a 21 dias úteis, 
Suponha que o “Banco dos Corinthianos S/A” pague 45% ao ano por 33 dias corridos e 
correspondentes a 22 dias úteis. Você foi contratado como Gerente Financeiro(a), e encontra-se em 
período de experiência. Na sua opinião, qual dos dois seria o melhor para o aplicador? 
Resposta: Melhor taxa é do Banco dos Corinthianos 
8) Se o preço de um produto de dezembro de 1998 foi de R$ 3.000,00 e em janeiro de 1999 foi de R$ 
3.300,00, o índice de preço correspondente foi de: 
Resposta: 10% ao período. 
9) Suponha que no mês base o preço médio de uma cesta básica seja de R$ 50,00 e nos três meses 
subseqüente seja R$ 60,00, R$ 75,00 e 88,50, respectivamente. Obter a inflação acumulada. 
Resposta: 77% ao período. 
10) Um capital foi aplicado por 1 ano, à taxa de juros de 21% ao ano, e no mesmo período a inflação 
foi de 19% ano. Qual a taxa real de juros? 
Resposta: 1,68% ao ano. 
 
 
 
 
 
 50
Matemática Financeira com HP 12C
6. DESCONTOS{ XE "6. DESCONTOS" } 
A operação desconto pode ser descrita como sendo o custo financeiro do dinheiro pago em 
função da antecipação de recurso. 
6.1 DESCONTO RACIONAL SIMPLES ou “POR DENTRO”.{ XE "6.1 DESCONTO RACIONAL 
SIMPLES ou \“POR DENTRO\”." } 
 
 
Onde: 
DR = Desconto Racional; VN = Valor Nominal; VA = Valor Atual. 
EXEMPLO Nº 25: Um título de valor nominal R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu 
vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional? 
Dados: 
VN = R$ 25.000,00 
n = 2 meses 
i = 2,5% ao mês. 
DR = ? 
 
 
 
 
 
 
 
DR = VN - VA VA = VN / (1 + i . n) DR = VN x i x n / (1 + i . n) 
Solução 1
 
DR = 25.000 x 0,025 x 2 
 (1 + 0,025 x 2) 
 
DR = 1.250 
 1,05 
 
DR = R$ 1.190,48 
 
VA = 25.000 – 1.190,48 
VA = R$ 23.809,52 
 
 51
Matemática Financeira com HP 12C
6.2 DESCONTO BANCÁRIO, ou COMERCIAL ou “POR FORA”{ XE "6.2 DESCONTO BANCÁRIO, ou 
COMERCIAL ou \“POR FORA" } 
 
Onde: 
DB = Desconto Bancário; VN = Valor Nominal; VL = Valor Líquido. 
EXEMPLO Nº 26: Um título de valor nominal R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu 
vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto bancário? 
Dados: 
VN = R$ 25.000,00 
n = 2 meses 
i = 2,5% ao mês. 
DB = ? 
EXEMPLO Nº 27: Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses antes 
do seu vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra 1% a título 
de despesas administrativas e que o IOF é 0,0041% ao dia sobre o valor do título, obter o valor 
recebido pelo portador do título. Uma outra alternativa seria tomar um empréstimo com a taxa liquida 
de 2,8% ao mês. Qual a melhor opção? 
Dados: 
VN = R$ 25.000,00 
n = 2 meses 
i = 2,5% ao mês 
iADM = 1% 
(IOF) = 0,0041% ao dia 
i= 2,8% a.m (empréstimo) 
 
Se considerarmos que o PV seja R$ 23.438,50 e FV = 25.000,00, 
então teremos: 
i = 25.000 – 23.438,50 = 1.561,50 = =0,0312x100 3,12% ao mês 
25.000 x 2 50.000
DB = VN . i . n VL = VN - DB
Solução 1
 
DB = 25.000 x 0,025 x 2 
DB = R$ 1.250,00 
 
VL = 25.000 – 1.250 
VL = R$ 23.750,00 
Solução 1 
 
VL = VN – DB - DIOF -DADM 
a) DB = 25.000 x ,025 x 2 = R$ 1.250,00
b) DADM = 25.000 x 01 = R$ 250,00 
c) DIOF = 25.000 x 0,000041 x 60 = R$ 61,50 
 
VL = 25.000 – 1.250 – 250 – 61,50 
VL = R$ 23.438,50 
VL = ? 
DB =? 
DIOF =? 
DADM =? 
 51
 
Ou seja, na verdade o empréstimo seria a melhor opção. 
6.3 OPERAÇÕES COM UM CONJUNTO DE TÍTULOS:{ XE "6.3 OPERAÇÕES COM UM CONJUNTO 
DE TÍTULOS\:" } 
EXEMPLO Nº 28: Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas 
num banco à taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa? 
 Borderô de Cobrança 
Duplicata Valor (R$) Prazo 
(vencimento) 
A 2.000,00 30 dias 
B 4.000,00 65 dias 
C 8.000,00 82 dias 
 
Solução 1 
DPL nº A: DB = (2.000 x 0,03 x 30) / 30 = R$ 60,00 
DPL nº B: DB = (4.000 x 0,03 x 65) / 30 = R$ 260,00 
DPL nº C: DB = (8.000 x 0,03 x 82) / 30 = R$ 656,00 
 Total R$ 976,00 
Valor Líquido Recebido: R$ 14.000 – 976,00 = R$ 13.024,00 
 
 
 
 
 52
Matemática Financeira com HP 12C
6.3.1 Prazo Médio de um conjunto de títulosErro! Indicador não definido. 
 
 
EXEMPLO Nº 29: Com base nos dados do EXEMPLO Nº 28, e utilizando-se do conceito do prazo 
médio, achar o valor líquido . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim temos: 
DB = (14.000 x 0,03 x 69,714286...) / 30 
DB = R$ 976,00 
VL = 14.000 – 976,00 = R$ 13.024,00 
Pm = ( VN1 . n1 + VN2 . n2 + ... + VNn . nn )/ ( VN1 + VN2 + ... + VNn )
Solução 2: HP 12C 
 
[f] ∑ 
 
30 [ENTER] 2.000 [∑+]
65 [ENTER] 4.000 [∑+]
82 [ENTER] 8.000 [∑+]
[g] [XW] 
69,714286 dias 
 
0,03 [x] 14.000 [x] 
30 [:] 
R$ 976,00 
 
[CHS] 14.000 [+] 
R$ 13.024,00 
Solução 1: 
PM = (2.000 x 30) + (4.000 x 65) + (8.000 x 82) 
 2.000 + 4.000 + 8.000 
PM = 60.000 + 260.000 + 656.000 
 2000 + 4.000 + 8.000 
PM = 976.000 
 14.000 
PM = 69,714286 dias.. 
 
 53
Matemática Financeira com HP 12C
6.4 DESCONTO COMPOSTOErro! Indicador não definido. 
O Desconto composto é aquele que a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor 
futuro. 
 
 e 
Onde: DC = Desconto composto. 
EXEMPLO Nº 30: Uma duplicata no valor de R$ 18.000,00, 120 dias para o seu vencimento, é 
descontada a uma taxa de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcular o 
valor líquido creditado na conta e o valor do desconto concedido. 
Dados: 
FV= R$ 18.000,00 
n = 120 dias (4 meses) 
i = 2,5% ao mês 
PV = ? 
DC = ? 
PV = FV (1 – i)n 
Solução 1
 
PV = 18.000 (1 – 0,025) 4 
PV = 18.000 (0,975) 4 
PV = 18.000 x 0,903688 
PV = R$ 16.266,38 
 
DC = 18.000 – 16.266,38 
DC = R$ 1.733,62 
Solução 1: HP-12C 
 
18.000 [ENTER] 
1 [ENTER] 
0,025 [-] 4 [yx] [x] 
R$ 16.266,38 
 
[CHS] 18.000 [+] 
R$ 1.733,62 
DC = FV -PV 
 
 54
Matemática Financeira com HP 12C
6.4.1 Relação em taxas de desconto simples e composto{ XE "6.4.1 Relação em taxas de 
desconto simples e composto" } 
EXEMPLO Nº 31: Efetuar o desconto de uma duplicata de R$ 100,00 na taxa de desconto fixa de 5% 
ao mês e calcular a taxa real simples e composta. 
 
Prazo em dias Prazo em meses 
Desconto 30 60 90 120 180 10 12 15 19 20 
Desconto 5 10 15 20 30 50 60 75 95 100 
Líquido 95 90 85 80 70 50 40 25 5 0 
Taxa mensal 
simples 
5,26 5,56 5,88 6,25 7,14 10,0 12,5 20,0 100,0 0 
Taxa mensal 
composta 
5,26 5,41 5,57 5,74 6,12 7,18