momento angular(1)

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MOMENTO ANGULAR
Rotação de corpos extensos e não-sólidos
Galáxia de Andrômeda Furacão
Momento de inércia para densidade constante
 Se pegarmos nossos resultados para o momento de inércia e assumirmos 
que a densidade é constante, obtemos
 O momento de inércia para densidade constante 
 A massa para densidade constante 
 Resultado final
Rotação de um eixo em torno do centro de massa
 Podemos usar a fórmula que acabamos de derivar
para calcular o momento de inércia de um corpo com relação à rotação de um 
centro de massa
 Normalmente escolhemos o sistema de coordenadas que torne o cálculo o 
mais fácil possível
Alguns momentos de inércia
Cilindro sólido
Girando em torno
de um eixo de 
simetria
Também descreve 
um disco sólido
Cilindro oco
Girando em torno
de um eixo de 
simetria
Também descreve 
uma roda
Cilindro sólido girando 
perpendicular ao eixo de simetria
Cálculo de II em um cilindro oco (1)
 Vamos derivar os momentos de inércia de uma roda, um cilindro oco ou um 
disco oco girando em torno de seu eixo de simetria
 Considere um cilindro oco com
 Densidade constante 
 Raio externo R1
 Raio interno R2
 Altura h
 Veremos que h é simplificada
 Uma roda, um cilindro oco ou um 
disco oco terão a mesma forma 
em seu momento de inércia
Cálculo de II em um cilindro oco (2)
 Escolhemos as coordenadas cilíndricas para este problema
 O elemento da diferencial do volume em coordenadas cilíndricas
 Nas coordenadas cilíndricas, r = r

 Agora calculemos a massa do cilindro oco
Cálculo de II em um cilindro oco (3)
 Para a massa obtemos
 Para a densidade podemos escrever:
Cálculo de II em um cilindro oco (4)
 Agora calcule I
 Insira o resultado da densidade
 E finalmente obtemos
Momento de inércia para outras formas geométricas
Bloco retangular
Girando em torno
do centro
Esfera sólida
Girando em torno 
de um eixo 
passando pelo 
seu centro
Casca esférica fina
Girando em torno 
de um eixo 
passando pelo seu 
centro
Exemplo: energia cinética rotacional da Terra
Questão: Qual é a energia cinética rotacional da Terra?
Resposta:
Momentos de inércia
 Cilindro sólido
 Anel cilíndrico
 Cilindro oco
 Haste
 Esfera sólida
 Esfera oca
 Bloco retangular
Questão: Qual é a forma comum?
Momento angular
 Já discutimos o momento linear
 Agora apresentamos o equivalente rotacional, o momento angular
 Usaremos o símbolo L para representar o momento angular
 Começamos definindo o momento angular de uma partícula pontual
 O módulo do momento angular é dado por
Direção do momento angular
 Podemos definir a direção do momento angular usando a regra da mão direita
 O momento angular é sempre perpendicular ao vetor momento e ao 
vetor coordenado
Derivada temporal de L
 Agora vamos tomar a derivada temporal do momento angular
 Vemos que
 E lembre-se de que
 Então obtemos
L de um sistema de partículas pontuais
 Podemos generalizar nosso resultado para uma única partícula em um sistema 
de n partículas
 Novamente, tomamos a derivada temporal para obter a relação com o torque
Momento angular e velocidade angular 
Neste caso, embora a origem não 
esteja no centro do movimento 
circular, temos simetria ( duas 
massas ao invés de uma) que 
permite que o momento angular 
resultante seja paralelo a 
velocidade angular.
Quando não há simetria, e a origem do sistema 
de coordenadas usado não está no centro do 
movimento circular, o vetor momento angular 
não é paralelo a velocidade angular.
Conservação do momento angular
Ao encolher os braços, a pessoa reduz o momento de inércia. Desta forma a 
velocidade angular aumenta, pois sem torques externos o momento angular se 
conserva.
d L⃗
dt
=0
Quando 
 Mostra apenas que os módulos de L e I são os mesmos
 Comece com a definição de momento angular para um conjunto de partículas 
pontuais e tome o módulo absoluto
 Distâncias fixas (objeto sólido): todas as partículas giram com a mesma 
velocidade angular em torno do eixo de rotação
 Relação entre as quantidades lineares e circulares:
Movimento de precessão.
A força peso produz um torque, tentando virar a roda na vertical. Esse torque 
produz uma variação no momento angular descrita nos vetores abaixo. A 
variação do momento angular altera o eixo de rotação. Essa influencia continua, 
e o torque da força peso acaba fazendo a roda descrever um círculo.
Demonstração (2):
 Módulo do produto vetorial:
 Inserindo ambos os resultados anteriores na equação do momento angular:
= I
Regra da mão direita para o momento angular
 Começamos definindo o momento angular de uma partícula pontual
 O módulo do momento angular é dado por
 Momento angular e torque:
 Para corpos rígidos (e somente para eles):
Revisão: momento angular
Exemplo: morte de uma estrela
Questão: Se o núcleo de ferro de uma estrela morrendo gira inicialmente com 
uma frequência de rotação f0 = 3,20 s-1, e se o seu raio decresce durante o 
colapso por um fator de 22,7, qual é a velocidade angular do núcleo de ferro no 
fim do colapso (assumindo que o núcleo de ferro é uma esfera uniforme antes 
do colapso e uma esfera uniforme após o colapso)?
Resposta:
Precessão 
 Gire um pião e observe como ele fica de pé
 O eixo de rotação se move ao redor da vertical. Por quê?
Precessão (2)
Qual a frequência de precessão?
A frequência de 
precessão é 
inversamente 
proporcional à 
frequência de rotação
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