LISTA DE CALCULO 3

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Universidade Federal do Piauí
Departamento de Matemática
Prof. José Francisco de Oliveira
Cálculo II
LISTA 3
1. Seja u = f(x+ at, y + bt), para a, b ∈ R. Prove que
∂u
∂t
= a
∂u
∂x
+ b
∂u
∂y
.
2. Seja y = g(x), x ∈ D diferenciável tal que f(x, g(x)) = 0 para todo x ∈ D. Mostre que
g′(x) = −
∂f
∂x (x, g(x))
∂f
∂y (x, g(x))
para todo x ∈ D com ∂f∂y (x, g(x)) 6= 0.
3. A energia consumida por uma resistor elétrico é dado P = V
2
R watts. Se V = 100 volts e R = 10
ohms, calcule o valor aproximado da variação ∆P em P quando V decresce 0, 2 volt e R aumenta de
0, 01 ohm.
4. A altura de um cone é h = 20 cm e o raio da base r = 12 cm. Calcule o valor aproximado para a
variação ∆V no volume quando a altura h aumenta 2 mm e r decresce 1 mm.
5. Suponha que y = y(x) seja diferenciável e dada implicitamente pela equação
x = F (x2 + y, y2)
onde F (u, v) é suposta diferenciável. Expresse dydx em termo de x, y e das derivadas parciais
∂F
∂u e
∂F
∂v
de F .
6. A voltagem V em um circuito elétrico simples decresce lentamente à medida que a pilha se descarrega.
A resistência R aumenta lentamente com o aumento do calor do resistor. Use a Lei de Ohm, V = IR,
para achar como a corrente I está variando no momento em que R = 400 Ω, I = 0, 08A, a taxa de
variação da voltagem é de −0, 01V/s e a resistência varia 0, 03Ω/s.
7. A pressão P (em quilopascals), o volume V (em litros) e a temperatura T (kelvins) de um mol de gás
ideal estão relacionado por meio da fórmula PV = 8, 31T . Encontre a taxa de variação do volume
quando a pressão é de 20kPa e a temperatura é de 320K sabendo que a pressão é aumentada à taxa de
0, 05kPa/s e a temperatura é elevada à taxa de 0, 15K/s.
8. A temperatura T em uma bola de metal é inversamente proporcional à distância do centro da bola,
que tomamos como a origem. A temperatura no ponto (1, 2, 2) é de 120◦.
(a) Determine a taxa de variação de T em (1, 2, 2) e em direção ao ponto (2, 1, 3).
(b) Mostre que em qualquer ponto da bola a direção de maior crescimento na temperatura é dada
por um vetor que aponta para a origem.
9. Considere v = (1, 1) e f(x, y) = x2 + y2. Calcule a taxa de variação de f no ponto (2, 2) e na direção
de v. A direção de v é a de maior crescimento?
10. Ache os pontos de máximos e mínimos locais da função dada.
(a) f(x, y) = x2 + 3xy + 4y2 − 6x+ 2y
(b) f(x, y) = x3 + 2xy + y2 − 5x
(c) f(x, y) = 1
x2
+ 1y + xy, x > 0 e y > 0
(d) f(x, y) = x4 + y4 − 2x2 − 2y2
11. Método do mínimos quadrados: Dados n pares de números reais (a1, b1), (a2, b2), · · · , (an, bn)) com
n ≥ 3, em geral não existirá uma função afim f(x) = αx + β cujo gráfico passe por todos esses n
pontos. Porém, podemos determinar f de modo que a soma dos quadrados dos erros f(ai) − bi seja
mínimo. Determine α e β para que a soma
E(α, β) =
n∑
i=1
|f(ai)− bi|2
seja mínima.
12. Determine a reta que melhor se aproxima os pontos (0, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), (−1, 0) e (1, 2) simultane-
amente.
13. Determinado produto apresenta uma demanda y (em milhares) quando o preço, por unidade é x (em
R$ reais). Foram observados os seguintes dados:
x 5 6 7 8
y 100 98 95 94
.
(a) Determine a reta que melhor ajusta os dados observados.
(b) Faça uma previsão para a demanda quando o preço por unidade for 10 reais.
14. Ache (x, y) com x2 + 4y2 ≤ 1 que maximiza a soma 2x+ y.
15. Suponha que T (x, y) = 4 − x2 − y2 represente uma distribuição de temperatura no plano. Seja A ={
(x, y) ∈ R2 | x ≥ 0, y ≥ 0 e 2y + x ≤ 4}. Determine o ponto de maior e de menor temperaturas em
A. Calcule as temperaturas máxima e mínima em A.
16. Ache o ponto do plano x+ 2y − z = 4 que se encontra mais próximo da origem.
17. Ache o ponto da reta x+ 2y = 1 cujo produto das coordenadas seja máximo.
18. Ache os extremantes de f(x, y) = xy no conjunto compacto A =
{
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}.
19. Ache os valores máximos e mínimos da função f(x, y, x) = x2+y2+z2 sujeita à restrição x4+y4+z4 = 1.