7.1. Determinação de raízes de uma função polinomial.

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UCS - CCET - PRÉ-CÁLCULO
 Vamos lembrar alguns resultados da Matemática que estão
relacionados com a determinação das raízes de uma função
polinomial:
1) Teorema Fundamental da Álgebra: Todo polinômio de grau n, n ≥ 1, tem exatamente
n raízes reais ou complexas.
2) Teorema da Decomposição: Todo polinômio
px = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 +. . .+a1x + a0 pode ser escrito na forma fatorada
px = anx − x1x − x2. . . x − xn, em que x1, x2, . . . , xn são as raízes de px.
Assim, por exemplo:
O polinômio px = x3 − 2x2 − x + 2 possui as raízes 1,−1 e 2 (verifique!). Dessa
forma, px pode ser fatorado e escrito como px = x − 1x + 1x − 2.
O polinômio px = 3x2 − 3x − 36 possui as raízes −3 e 4 (verifique!). Dessa forma,
px pode ser fatorado e escrito como px = 3x + 3x − 4.
 Pode ser difícil determinar as raízes de um polinômio de grau maior que 2. Entretanto,
conhecida uma das raízes do polinômio, pode-se usá-la para reduzir o grau do
polinômio e, assim, determinar as outras raízes. Aqui também é interessante lembrar de
mais um resultado importante relativo a polinômios. Veja:
3) Se fx = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 +. . .+a1x + a0 tem todos os coeficientes inteiros,
com a0 ≠ 0, então, se pq é uma raiz racional de fx, p é um divisor inteiro de a0 e q é
um divisor inteiro de an.
Veja, por exemplo, que as possíveis raízes racionais de fx = 3x3 + 4x2 − 5x − 2 podem
ser determinadas usando o resultado acima. Nesse caso, p é um divisor inteiro de
a0 = −2, isto é, p pode ser ±1, ±2; de forma semelhante, q é um divisor inteiro de an = 3,
isto é, q pode ser ±1, ±3. Assim, se fx tem raízes racionais, elas devem estar entre os
quocientes pq , isto é, entre ±1, ±
1
3 , ±2 e ±
2
3 . Na p. 116, o Demana mostra que as
raízes racionais da f são 1, − 13 e −2 (verifique!).
Agora, como exemplo, vamos determinar as raízes de um polinômio de grau maior
do que 2 e, com elas, determinar sua forma fatorada.
⇛ Consideremos fx = x3 − 2x2 − x + 2
1) Determinamos suas possíveis raízes racionais:
p pode ser ±1, ±2 e q pode ser ±1. Então, as possíveis raízes racionais pq de fx são:
±1 e ±2.
2) Por tentativa, isto é, fazendo a substituição desses valores no lugar de x em fx,
obtemos que 2 é uma raiz de fx (veja: 23 − 2. 22 − 2 + 2 = 0). Nesse caso, fx deve ser
divisível por x − 2.
3) Vamos fazer a divisão direta de fx por x − 2:
1
x3 −2x2 −x +2 x −2
−x3 +2x2 x2 −1
−x +2
x −2
0
Então, por enquanto, x3 − 2x2 − x + 2 = x − 2x2 − 1.
4) Como a divisão feita em (3) é exata (resto zero), as outras raízes de fx devem ser
raízes do quociente x2 − 1 que, facilmente, determinamos como sendo 1 e − 1.
5) Assim, a forma fatorada de fx é
x3 − 2x2 − x + 2 = x − 2x2 − 1 = x − 2x − 1x + 1
Veja o gráfico de fx, onde podemos confirmar que suas raízes são, de fato, 2, 1 e −1.
-2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
Obs.: A divisão feita em (3) pode ser abreviada por meio do dispositivo prático de
Briot-Ruffini.
1) Já determinamos, por tentativa, uma raiz de fx: 2. O esquema inicial é o seguinte:
1 −2 −1 2 ← coeficientes de fx ordenado e completo
2
2) Repetimos o primeiro coeficiente, abaixo dele mesmo.
1 −2 −1 2
2 1
3) Multiplicamos a raiz 2 pelo coeficiente que acabamos de repetir 1, somamos o
resultado com o próximo coeficiente e o colocamos abaixo dele.
1 −2 −1 2
2 1 0
4) Multiplicamos a raiz 2 por este último valor obtido, somamos o resultado com o
próximo coeficiente e o colocamos abaixo dele.
1 −2 −1 2
2 1 0 −1
5) Seguimos o mesmo procedimento até não restar mais coeficientes.
1 −2 −1 2
2 1 0 −1 0
O último valor obtido na linha debaixo é o ”resto da divisão” (zero) e os demais valores
2
obtidos ali são os coeficientes do quociente da divisão, sempre com grau igual a uma
unidade a menos que o polinômio que estamos dividindo. Nesse caso, grau 2 (fx tem
grau 3). Então, o quociente é 1x2 + 0x − 1, ou seja, x2 − 1, como havíamos obtido pelo
processo direto.
 Veja na p. 114 do Demana a divisão que o autor faz, usando o processo direto e o
dispositivo de Briot Ruffini.
 Mais um exemplo: vamos fatorar a função gx = 3x3 + 4x2 − 5x − 2.
1) raízes racionais possíveis: ±1, ± 13 , ±2 e ±
2
3
2) raiz por substituição: 1
3) divisão de 3x3 + 4x2 − 5x − 2 por x − 1:
3 4 −5 −2
1 3 7 2 0
4) iniciando a fatoração: 3x3 + 4x2 − 5x − 2 = x − 13x2 + 7x + 2
5) determinamos as raízes de 3x2 + 7x + 2 = 0.
Usando a fórmula de Báskara obtemos x = −2 e x = − 13
6) completando a fatoração:
gx = 3x3 + 4x2 − 5x − 2 = x − 1. 3x + 2 x + 13 = x − 1x + 23x + 1
Obs.: A multiplicidade de uma raiz de um polinômio está diretamente relacionada com o
número de vezes que ela aparece na fatoração daquele polinômio. Por exemplo,
fx = 2x − 23x + 12x − 3 tem 3 raízes: 2 com multiplicidade três, −1 com
multiplicidade dois e 3 que é uma raiz simples. Veja que fx tem grau igual a 6 (soma
das potências dos fatores de decomposição).
Exercício 1
Escreva uma equação de 3o grau cujas raízes são : −1; 1 e 2.
Exercício 2
Considere a equação x3 + 6x2 + 13x + m = 0.
(a) Determine m, sabendo que −2 é uma de suas raízes.
(b) Determine as demais raízes dessa equação.
Exercício 3
A respeito da equação x − 25x − 12x + 34 = 0, determine:
3
(a) suas raízes e as respectivas multiplicidades;
(b) seu grau;
(c) seu conjunto solução.
Exercício 4
Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, determine o quociente e o resto da divisão de
fx = x4 − 21x2 − 10x − 1 por gx = x − 5.
Exercício 5
Determine o polinomio de grau 3, com coeficiente principal 2, e com −1, 3 e −5 como
raízes.
4