Lista1_resolucao

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UCS - CCET - Pré-Cálculo
Exercícios Complementares - Lista 1 - chave de correção
(1) Apenas observando o gráfico concluímos:
a) Df = −8; 11
b) Imf = −4; 5
c) As raízes da função são x = −4 e x = 5. 5.
d) f é crescente para x no intervalo 2; 7; f é decrescente para x no intervalo −5; 2; f é constante para
x nos intervalos −8;−5 ou 7; 11
e) fx > 0 para x nos intervalos −8;−4 ou 5. 5; 11
f) fx < 0 para x no intervalo−4; 5. 5
g) A função tem um extremo. Ele é mínimo e vale −4. O ponto mínimo da f é 2,−4.
h) f−5. 3 = 2; f0 = −3. 5; f7. 1 = 5; e f 64. 5  = 5.
(2) Apenas observando o gráfico concluímos:
a) Df = −3; 5
b) Imf = −3; 4
c) f é crescente para x nos intervalos −3;−2 ou 0; 3.
d) fx = 0 para x = −3, x = −1, x = 1 ou x = 5.
e) fx < 0 para x no intervalo −1; 1
f) O valor máximo absoluto da função é 4; ele ocorre em x = 3 e o ponto de máximo absoluto da f é
3, 4.
g) O valor mínimo absoluto da função é −3; ele ocorre em x = 0 e o ponto de mínimo absoluto da f é
0,−3.
(3)
a) O gráfico dessa função é uma reta que passa pelos pontos dados.
b) Primeiro, determinamos o coef. angular: m = 2 − 1
−1 − 0 = −1
Com isso e um dos pontos, por exemplo, o 0, 1, determinamos a equação: y − 1 = −1x − 0 , ou
seja, fx = −x + 1.
c) Para obter o zero da função, fazemos fx = 0. No caso, −x + 1 = 0, de onde obtemos x = 1.
Portanto, a raiz ou zero da função é x = 1.
d) A função é decrescente, uma vez que o coef. angular é −1.
e) fx = −2  −x + 1 = −2  x = 3. Portanto, fx = −2 para x = 3.
(4)
a) As duas grandezas variáveis no problema são o "valor arrecadado por dia" e o "número de clientes
sem hora marcada por dia". O "valor arrecadado por dia" varia em função do "número de clientes sem hora
marcada por dia".
b) A fórmula matemática que fornece o "valor arrecadado em um dia" em função de x, pode ser
definida da seguinte maneira: V = 6 × 12 + x × 10, ou seja, Vx = 10x + 72.
c) Se o cabeleireiro atendeu 16 clientes, 6 deles tinham hora marcada e, portanto, restaram, 10 clientes
sem hora marcada. Agora, é só substituir x = 10 na equação que define Vx. Obtemos V = 10 × 10 + 72, ou
seja, V = 172. Portanto, o cabeleireiro arrecadou R$172,00 nesse dia.
d) Se foram arrecadados R$212,00, temos 10x + 72 = 212, donde x = 14. Assim, foram atendidos 14
clientes sem hora marcada e 6 clientes com hora marcada, totalizando 20 pessoas.
(5)
a) Determinamos dois pontos cujas coordenadas satisfazem a equação dada e traçamos a reta que passa
por eles.
1
-3 -2 -1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
b) O coeficiente angular da f é 1, o que significa que " a cada unidade de variação em x, o y varia em
1 unidade".
c) O coeficiente linear da f é − 12 e ele significa que o gráfico da função intersepta o eixo y no ponto
cuja ordenada é esse valor, isto é, no ponto 0,− 12 .
(6)
a) fx = −x2 + 4x − 4
∙ f é côncava para baixo
∙ vértice: 2, 0
xv =
−4
2−1 = 2  yv = −2
2 + 4 × 2 − 4 = 0
∙ eixo de simetria: é a reta de equação x = 2
∙ pontos de intersecção com o eixo x: 2, 0
−x2 + 4x − 4 = 0  x = 2
∙ ponto de intersecção com o eixo y: 0,−4
Nesse caso, podemos escolher outros dois pontos para auxiliar na construção do gráfico, uma vez que
temos apenas um ponto de intersecção com o eixo x (o vértice). Escolhemos um valor que seja menor que o
xv e um maior do que ele. Por exemplo, 1,−1 e 3,−1.
O gráfico fica:
-2 0 2 4 6
-10
-8
-6
-4
-2
x
y
Além disso, Df = R e Imf = −∞; 0.
b) gx = 2x2 − x + 1
∙ f é côncava para cima
∙ vértice: 14 ,
7
8
xv =
−−1
2 × 2 =
1
4  yv = 2
1
4
2
− 14 + 1 =
1
8 −
1
4 + 1 =
7
8
∙ eixo de simetria: é a reta de equação x = 14
∙ pontos de intersecção com o eixo x: não tem
2x2 − x + 1 = 0  x ∉ R
∙ ponto de intersecção com o eixo y: 0, 1
Nesse caso, podemos escolher outros dois pontos para auxiliar na construção do gráfico, uma vez que não
há intersecção com o eixo x. Escolhemos um valor que seja menor que o xv e um maior do que ele. Por
exemplo, 1, 2 e −1, 4.
2
O gráfico fica:
-2 -1 1 2
1
2
3
4
5
x
y
Além disso, Df = R e Imf = 78 ;+∞ .
(7)
Primeiro, se a função é do 2º grau, ela tem a forma y = ax2 + bx + c, em que a, b e c são constantes a
determinar. Observando o gráfico, escolhemos 3 pontos pelos quais ele passa. No caso, usaremos os pontos
0, 5,1, 0 e 5, 0. Substituindo na equação as coordenadas desses pontos, obteremos um sistema de 3
equações com as 3 variáveis a determinar: a, b e c.
0, 5: c = 5
1, 0: a + b + c = 0
5, 0: 25a + 5b + c = 0
Resolvendo o sistema
c = 5
a + b + c = 0
25a + 5b + c = 0
. obtemos: a = 1, b = −6 e c = 5.
Portanto, a equação que define a função cujo gráfico foi apresentado é y = x2 − 6x + 5.
Observando o gráfico, percebemos que a função tem um valor mínimo (parábola côncava para cima) que
ocorre no xv = 3. Esse valor mínimo é −4 (pois yv = 32 − 6 × 3 + 5).
(8)
-4 -2 2 4 6
-8
-6
-4
-2
2
x
y
a) hx = −2x2 − 1
Obtemos o gráfico de hx deslocando o gráfico da f , 1 unidade para baixo.
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6
-8
-6
-4
-2
2
x
y
b) hx = −2x − 32
Obtemos o gráfico de hx deslocando o gráfico da f , 3 unidades para a direita.
3
(9)
Gx = 3x − 12 =
3x − 1
2 se
3x − 1
2 ≥ 0
− 3x − 12 se
3x − 1
2 < 0
=
3x − 1
2 se x ≥
1
3
−3x + 1
2 se x <
1
3
Baseados nessa definição, o gráfico fica:
-3 -2 -1 1 2 3 4
2
4
6
x
y
O ponto de mínimo da G é 13 , 0 .
(10)
-4 -2 2 4
-2
2
4
x
y
a) F1x = |x| + 2
Deslocamos o gráfico da f, 2 unidades para cima.
-4 -2 2 4
-2
2
4
x
y
b) F2x = |x − 1|
Deslocamos o gráfico da f, 1 unidade para a direita.
-4 -2 2 4
-2
2
4
x
y
c) F3x = |x + 2| − 1
Deslocamos o gráfico da f, 2 unidades para a esquerda e, a partir dali, 1 unidade para baixo.
(11)
4
-2 2 4
-4
-2
2
4
6
x
y
A parte "positiva ou nula"do gráfico apresentado fica igual no gráfico da f; a parte "negativa" do gráfico
apresentado sofre uma reflexão em relação ao eixo dos x (isto é, trocamos o sinal das imagens negativas).
Df = R e Imf = R+ = 0;+∞
(12)
-1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
x
y
Para valores de x entre −1 e 1, x6 < x4. Por isso, o gráfico a ser construído fica abaixo do gráfico de
fx = x4 para x ∈ −1; 1.
Para valores de x menores que −1 ou maiores que 1, x6 > x4. Por isso, o gráfico a ser construído fica acima
do gráfico de fx = x4 para x ∈ −∞;−1 ∪ 1;+∞.
Além disso, para x = −1, x = 0 e x = 1 as imagens da g são iguais às imagens da f.
(13)
-4.0 -3.5 -3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Deslocamos o gráfico da f, 2 unidades para a direita e, a partir dali, 3/4 de unidade para cima para construir
o gráfico da F.
A assíntota horizontal da F é a reta de equação y = 34 e, a assíntota vertical da F é a reta de equação x = 2.
(14)
5
(a)
1 1 -6 8 6 -9
-1 1 -5 3 9 0
3 1 -6 9 0
3 1 -3 0
1 0
Portanto, os zeros da f são x = 1, x = −1 e x = 3.
(b) Como 1 e −1 são raízes simples e 3 é uma raiz dupla e, considerando ainda que o coeficiente principal
(o do termo de maior grau) é 1, a forma fatorada da f é fx = x − 1x + 1x − 32.
(c) Considerando que 1 e −1 têm multiplicidade ímpar e que 3 tem multiplicidade par, o gráfico deve
"cortar" o eixo x onde x = 1 ou x = −1 e, deve "encostar" no eixo x onde x = 3. Além disso, fica fácil
perceber que f0 = −9.
-2 2 4
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y
( )
-2 2 4 6
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
x
y( X )
-2 2 4
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
( )
(15)
(a)
-1 1 0 -3 -2
-1 1 -1 -2 0
2 1 -2 0
1 0
Portanto, os zeros da f são x = −1e x = 2.
(b)Como 2 é raíz simples e −1 é raiz dupla e, considerando ainda que o coeficiente principal (o do termo de
maior grau) é 1, a forma fatorada da f é fx = x + 12x − 2.
(c) O gráfico fica:
-3 -2 -1 1 2 3
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
6
(16)
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
Observa-se que −1 é uma raiz de multiplicidade ímpar e 1 é raiz de multiplicidade par. Como o grau da
função é 3, x = −1 tem multiplicidade 1 e x = 1 tem multiplicidade 2. Então, para começar,
fx = x + 1x − 12. Observamos, também pelo gráfico, que f0 = −1, o que exige uma adequação do
coeficiente do termo de maior grau. Para que f0 = −1 devemos ter 0 + 10 − 12 = −1, o que exige que
x + 1x − 12 seja multiplicada por −1. Então, fx = −x + 1x − 12.
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Observa-se que −1, 1 e 3 são todas raízes de multiplicidade ímpar. Como o grau da função é 3, as três
raízes têm multiplicidade 1. Então, para começar, fx = x + 1x − 1x − 3. Observamos, também pelo
gráfico, que f0 = −6, o que exige uma adequação do coeficiente do termo de maior grau. Para que
f0 = −6 devemos ter 0 + 10 − 10 − 3 = −6, o que exige que x + 1x − 1x − 3 seja multiplicada por
−2. Então, fx = −2x + 1x − 1x − 3.
-4 -2 2
-4
-2
2
4
x
y
Observa-se que 1 é uma raiz de multiplicidade ímpar e −2 é raiz de multiplicidade par. Como o grau da
função é 3, x = 1 tem multiplicidade 1 e x = −2 tem multiplicidade 2. Então, para começar,
fx = x − 1x + 22. Observamos, também pelo gráfico, que f0 = −2, o que exige uma adequação do
coeficiente do termo de maior grau. Para que f0 = −2 devemos ter 0 − 10 + 22 = −2, o que exige que
x − 1x + 22 seja multiplicada por 12 . Então, fx =
1
2 x − 1x + 2
2
.
7