ondas Equacoes

Prévia do material em texto

1. A equação para o MHS 
 
Quando o movimento de um corpo descreve uma trajetória, e a partir de um certo 
instante começa a repetir esta trajetória, dizemos que esse movimento é periódico. O 
tempo que o corpo gasta para voltar a percorrer os mesmos pontos da trajetória é 
chamado de período. 
No nosso cotidiano existem inúmeros exemplos de movimento periódico, tais como 
o pêndulo de um relógio ou um sistema massa - mola, quando um desses conjuntos 
descrevem um vai e vem em torno das suas posições de equilíbrio. 
Considerando um sistema massa - mola que obedeça à Lei de Hooke e supondo 
que a resultante das forças que atuam na massa é a força restauradora da mola, 
encontramos que: 
xwmmaF 2-== 
Mas 
F = - k x 
xk
td
xd
mF -==
2
2
 
ou seja: 
0
2
2
=÷
ø
ö
ç
è
æ+ x
m
k
td
xd
 
ou ainda: 
m
k
wondexw
td
xd
==+ 02
2
2
 
A solução mais geral da equação anterior tem a forma: 
 
tAetx a=)( 
 
onde A e a são constantes a determinar. Usando a solução, encontramos: 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
=
t
t
eA
td
xd
eA
dt
dx
a
a
a
a
2
2
2
 
 
Aplicando estes resultados na equação do MHS, temos que: 
 
022 =+ tt AeweA aaa 
ou ainda: 
( ) 022 =+ wAe t aa 
Como A e a são diferentes de zero, em princípio, a única forma da equação 
acima se anular será quando: 
wiww ±=Þ-=\=+ aaa 2222 0 
A solução da equação do MHS toma, então, a forma: 
titi eAeAtx aa -+ += 21)( 
A solução da equação do MHS poderá tomar outra forma se redefinirmos as 
constantes A1 e A2 , da seguinte forma: 
O modelo e suas equações 
Romero Tavares - 2004 2 
 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
=
-
+
j
j
i
M
i
M
exA
exA
2
1
2
1
2
1
 
( ) ( )jj +-++ += wtiM
wti
M exextx 2
1
2
1
)( 
Considerando a fórmula de De Moivre: 
( )qqq qqq iii eeie -+ +=Þ+=
2
1
cossencos 
temos que: 
( )j+= wtxtx M cos)( 
 
2. MHS amortecido 
Em diversas situações do nosso cotidiano, os movimentos oscilatórios têm uma 
duração finita, eles têm um começo e um fim. Não ficam se movendo no ir e vir de modo 
indefinido. Isso acontece, basicamente, devido a atuação de forças dissipativas tais como 
as forças de atrito. 
Em uma situação simples as forças dissipativas podem ser representadas por uma 
função que depende linearmente da velocidade. 
Vamos considerar um sistema composto de uma mola de constante elástica k 
com uma das extremidades presa ao teto e a outra suspendendo um corpo de massa m . 
Nesse corpo está presa uma haste vertical que tem a sua outra extremidade presa a um 
anteparo que está mergulhado em um líquido. Quando o anteparo se move no líquido 
esse movimento é amortecido por uma força que surge devido à viscosidade do líquido. 
Essa força dissipativa pode ser descrita por uma equação do tipo: 
FA = - b v 
 
onde b é chamado de constante de amortecimento. A resultante das forças que atuam 
no corpo de massa m é dada por: 
 
F = - k x - b v 
ou seja: 
m a = - k x - b v 
 
 A forma diferencial da equação anterior é: 
 
td
xd
bkx
td
xd
m --=
2
2
 
ou 
0202
2
=+÷
ø
ö
ç
è
æ+ xw
td
xd
m
b
td
xd
 
onde 
m
k
w =0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução da equação diferencial anterior tem a forma: 
 
x(t) = A eat 
O modelo e suas equações 
Romero Tavares - 2004 3 
 
onde A e a são constantes a serem determinadas. Aplicando essa forma na equação 
diferencial encontramos que: 
020
2 =+÷
ø
ö
ç
è
æ
+ ttt AeweA
m
b
eA aaa aa 
ou seja: 
020
2 =ú
û
ù
ê
ë
é
+÷
ø
ö
ç
è
æ+ w
m
b
Ae t aaa 
 
Como 0¹tAea , teremos então que: 
 
020
2 =+÷
ø
ö
ç
è
æ
+ w
m
b
aa 
cujas soluções são: 
2
4 20
2
w
m
b
m
b
-÷
ø
ö
ç
è
æ±-
=a 
ou ainda: 
2
0
2
22
w
m
b
m
b
-÷
ø
ö
ç
è
æ±-=a 
 
Vamos considerar inicialmente que o movimento é sub-amortecido : 
 
2
2
0 2
÷
ø
ö
ç
è
æ>
m
b
w 
e definir: 
2
2
0 2
÷
ø
ö
ç
è
æ-=
m
b
ww A 
logo: 
Awim
b
±-=
2
a 
 
A função x(t) terá, então, a forma: 
 
tiw
m
bt
tiw
m
bt
AA eAeAtx
--+-
+= 2221)( 
ou seja: 
( ) m
bt
tiwtiw eeAeAtx AA 221)(
--+ += 
 
e usando uma transformação equivalente àquela do MHS, temos que: 
 
( )j+= - twextx Am
bt
M cos)( 2 
O modelo e suas equações 
Romero Tavares - 2004 4 
 
 A equação da posição em função do 
tempo tem a forma da curva da figura ao 
lado. Ela é um cosseno multiplicado por 
uma exponencial, e o resultado é um 
cosseno cuja amplitude de oscilação vai 
diminuindo à medida que as oscilações se 
processam. 
 
 Um exemplo típico dessa situação é a 
porta dos saloons dos filmes de bang-bang. 
Quando alguém passa pela porta ela inicia 
a oscilação com uma grande amplitude, que 
vai diminuindo com o tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando supomos que o movimento é super-amortecido , temos que: 
 
2
2
0 2
÷
ø
ö
ç
è
æ<
m
b
w 
temos 
2
0
2
2
w
m
b
w B -÷
ø
ö
ç
è
æ= 
e o parâmetro a agora tem a forma: 
Bwm
b
±-=
2
a 
 
e a partir dele encontramos a equação da posição em função do tempo: 
 
( ) m
bt
twtw eeAeAtx BB 221)(
--+ += 
ou, se redefinirmos as constantes: 
( )j+= - twextx Bm
bt
M cosh)( 2 
 A equação da posição em função do 
tempo tem a forma da curva da figura ao 
lado. Ela é um cosseno hiperbólico 
multiplicado por uma exponencial, e o 
resultado é um decréscimo monotônico da 
amplitude. 
 
Na realidade não chega a acontecer 
nenhuma oscilação, e à medida que o 
tempo evolui , a amplitude de oscilação vai 
ficando sempre menor. 
 
 Um exemplo típico dessa situação é a 
porta dos escritórios. Quando alguém passa 
pela porta ela inicia a um movimento em 
direção ao repouso na posição de equilíbrio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O modelo e suas equações 
Romero Tavares - 2004 5 
 
3. A equação da onda e sua solução 
 
A equação diferencial que descreve uma onda viajando em uma dimensão, tem a 
forma 
0
1
2
2
22
2
=
¶
¶
-
¶
¶
t
u
vx
u
 
onde a função u(x,t) descreve o deslocamento de um elemento de massa da sua 
posição de equilíbrio. 
Se considerarmos uma corda esticada horizontalmente, u(x,t) nos indica o quanto 
o elemento de corda da posição x se deslocou da posição horizontal de equilíbrio no 
instante t . 
 
Corda onde seta se propagando 
uma onda. No instante inicial 
o sexto “pedaço” de corda localizado 
na posição x está sem 
deslocamento vertical 
 
 
 
 
 
 
 
No instante t o “sexto” “pedaço” 
de corda deslocou-se verticalmente 
de u(x,t) da posição original. 
 
 
 
Se considerarmos uma onda se propagando em um tubo que contém ar, a função 
u(x,t) nos indica o quanto o elemento de volume que se encontrava na posição x se 
deslocou no instante t . Os deslocamentos dos elementos de volume do ar no tubo 
propiciam a propagação da onda. 
 
 
Tubo no instante inicial, sem 
perturbação. O “quinto” elemento 
de volume está na posição x 
 
 
 
No instante t o “quinto” elemento 
de volume deslocou-se de u(x,t) 
 da posição original. 
 
 
E finalmente, v é a velocidade de propagação da onda no meio. Podemos mostrar 
que a função 
u(x,t) = f(x-vt) 
 
O modelo e suas equações 
Romero Tavares - 2004 6 
é uma solução da equação diferencial, não importa a forma de f , mas é impositivo a 
forma que as variáveis se relacionam. Podemos mostrar essa relação diretamente,através da equação diferencial, se consideramos uma outra variável: 
 
s = x-vt 
 
ï
ï
ï
î
ïï
ï
í
ì
=
¶
¶
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
¶
¶
=
¶
¶
=
¶
¶
÷
ø
ö
ç
è
æ=
¶
¶
=
¶
¶
2
2
2
2
2
2
2
2
ds
fd
x
s
ds
fd
x
f
x
u
ds
df
x
s
ds
df
x
f
x
u
 
e de modo equivalente 
ï
ï
ï
î
ïï
ï
í
ì
=
¶
¶
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-=
¶
¶
=
¶
¶
-=
¶
¶
÷
ø
ö
ç
è
æ=
¶
¶
=
¶
¶
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ds
fd
v
t
s
ds
fd
v
t
f
t
u
ds
df
v
t
s
ds
df
t
f
t
u
 
 
Usando esses resultados na equação diferencial da onda, encontramos que: 
 
0
1
2
2
2
22
2
=ú
û
ù
ê
ë
é
-ú
û
ù
ê
ë
é
ds
fd
v
vds
fd
 
 
De maneira similar, podemos mostrar que a função 
 
u(x,t) = g(x+vt) 
 
também é uma solução da equação diferencial. É possível mostrar que a solução geral da 
equação diferencial da onda tem a forma: 
 
u(x,t) = f(x-vt) + g(x+vt) 
 
onde o primeiro termo da direita representa uma onda viajando no sentido positivo do eixo 
x enquanto o segundo termo da direita representa uma onda viajando no sentido negativo 
do eixo x. 
Para resolver a equação diferencial vamos considerar que a solução é do tipo: 
 
u(x,t) = X(x) T(t) 
 
ou seja, que as variáveis x e t são separáveis. Teremos então que: 
 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
¶
¶
=
¶
¶
2
2
22
2
2
2
2
2
2
11
dt
Td
v
)x(X
t
u
v
dx
Xd
)t(T
x
u
 
e portanto 
O modelo e suas equações 
Romero Tavares - 2004 7 
0
1
2
2
22
2
=-
dt
Td
v
)x(X
dx
Xd
)t(T 
ou seja: 
2
2
2
22
2 11
k
dt
Td
Tvdx
Xd
X
-== 
 
Como as funções são independentes, consideramos que os termos equivalentes 
deveriam ser iguais a uma constante, e arbitramos essa constante como sendo - k2 . 
Arrumando as equações de maneira adequada, encontramos que: 
 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=+
=+
0
0
2
2
2
2
2
Tw
dt
Td
kX
dx
Xd
 
onde usamos que w = kv. 
As soluções mais gerais destas equações são do tipo: 
 
ï
î
ï
í
ì
+=
+=
-
-
iwtiwt
ikxikx
eBeB)t(T
eAeA)x(X
21
21
 
 
No entanto, vamos considerar um caso particular: 
 
[ ]
[ ]ïî
ï
í
ì
+=
-=
-
-
iwtiwt
ikxikx
eeB)t(T
eeA)x(X
 
 
e desse modo encontramos que: 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]{ }wtkxiwtkxiwtkxiwtkxi eeeeAB)t(T)x(X)t,x(u +-+--- -+-== 
ou seja: 
u(x,t) = C sen(kx-wt) + C sen(kx+wt) 
 
Se estivermos considerando apenas uma onda viajando no sentido positivo do eixo x, 
teremos: 
u(x,t) = C sen(kx-wt)