Teoria Sequências e Séries Parte 1

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Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 1
Cap´ıtulo 1
Uma Breve Introduc¸a˜o a`s Sequeˆncias de
Nu´meros Reais
Uma sequeˆncia, ou sucessa˜o, de nu´meros reais e´ uma func¸a˜o f : N→ R, sendo f (n) = xn.
E´ costume indicar f por (xn)n∈N ou, simplificadamente, (xn), sendo xn = f (n), ou enta˜o, (x1, x2, x3, . . .).
Chamamos a imagem xn de n por f de termo geral da sequeˆncia (xn)n∈N.
Exemplos.
Exemplo (1) A sequeˆncia f : N → R dada por f (n) = xn = 1n e´ indicada por (xn)n∈N = ( 1n)n∈N, ou enta˜o,(
1, 1
2
, 1
3
, 1
4
, . . .
)
. Neste caso, xn =
1
n
e´ o termo geral da sequeˆncia
(
1
n
)
n∈N.
Exemplo (2) A sequeˆncia f : N→ R dada por f (n) = xn = (−1)n+1 1n e´ indicada por (xn)n∈N = ((−1)n+1 1n)
n∈N
,
ou enta˜o,
(
1,−1
2
, 1
3
,−1
4
, 1
5
, . . .
)
. Neste caso, xn = (−1)
n+1 1
n
e´ o termo geral da sequeˆncia
(
(−1)
n+1 1
n
)
n∈N
.
Exemplo (3) A sequeˆncia f : N → R dada por f (n) = xn = c, constante real, e´ indicada por (xn)n∈N = (c)n∈N, ou
enta˜o, (c, c, c, . . .). Neste caso, xn = c e´ o termo geral da sequeˆncia (c)n∈N.
Exemplo (4) A sequeˆncia f : N→ R dada por f (n) = xn = n∑
i=1
ai e´ indicada por (xn)n∈N =
(
n∑
k=1
ak
)
n∈N
, ou enta˜o,(
1∑
k=1
ak,
2∑
k=1
ak,
3∑
k=1
ak, . . .
)
= (a1, a1 + a2, a1 + a2 + a3, . . .). Neste caso, xn =
n∑
k=1
ak e´ o termo geral da sequeˆncia(
n∑
k=1
ak
)
n∈N
.
Observac¸o˜es.
(1) A representac¸a˜o gra´fica de uma sequeˆncia no plano cartesiano e´ constituida por um conjunto discreto de pontos
cujas abscissas sa˜o os nu´meros naturais.
De modo na˜o preciso, do ponto de vista matema´tico, em um conjunto discreto de pontos cada ponto esta´ “isolado”
ou “separado” dos demais.
No Exemplo (1) acima,
(
1
n
)
n∈N e´ a func¸a˜o f (n) =
1
n
, n ∈ N, cujo gra´fico (somente os pontos sobre a curva y = 1
x
)
segue abaixo.
y
x
1
curva y 1 x= /
( )fora de escala
0 2 3 ...
1
1 3/
1 n/
1 2/
n
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Pa´gina 2 UFU Sequeˆncias e Se´ries
(2) Na˜o confundir o conjunto imagem de f : N → R com a sequeˆncia. Por exemplo, f : N → R dada por f (n) = 1,
∀n ∈ N, e´ uma sequeˆncia que pode ser representada por (1)n∈N = (1, 1, 1, . . .) e e´ diferente do conjunto imagem de f,
que e´ representado apenas por {1}.
Mais exemplos.
Exemplo (5) A sequeˆncia (xn)n∈N = (2n)n∈N = (2, 4, 6, 8, . . .) e´ a sequeˆncia dos nu´meros pares maiores do que ou
iguais a 2.
Exemplo (6) A sequeˆncia (xn)n∈N = (2n− 1)n∈N = (1, 3, 5, 7, . . .) e´ a sequeˆncia dos nu´meros ı´mpares maiores do que
ou iguais a 1.
Exemplo (7) Sequeˆncia (xn)n∈N =
(
sen
(
npi
2
))
n∈N = (1, 0,−1, 0, 1, 0,−1, 0, . . .).
Exemplo (8) O termo xn = xn−1+2n com x1 = 0 e´ o termo geral da sequeˆncia (xn)n∈N = (0, 4, 10, 18, 28, 40, 54, . . .).
Exemplo (9) O termo xn = xn−1 + r com x1 = a e´ o termo geral de (xn)n∈N = (a, a+ r, a+ 2r, a+ 3r, a+ 4r, . . .)
cujos termos formam uma PA (progressa˜o aritme´tica) de raza˜o r e 1o. termo a.
Exemplo (10) O termo xn = qxn−1 com x1 = a e´ o termo geral da sequeˆncia (xn)n∈N =
(
a, qa, q2a, q3a, q4a, . . .
)
cujos termos formam uma PG (progressa˜o geome´trica) de raza˜o q e 1o. termo a.
Uma sequeˆncia e´ convergente quando seus termos tornam-se arbitrariamente pro´ximos de um determinado nu´mero
real a` medida que n aumenta.
De modo matematicamente preciso:
(xn)n∈N converge para L ∈ R quando:
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N tal que para n > n0 ⇒ |xn − L| < ε.
Indicamos a convergeˆncia da sequeˆncia (xn)n∈N por limn→∞ xn = L ou xn → L e dizemos que (xn)n∈N converge para L.
Quando na˜o existe o L ∈ R tal que lim
n→∞ xn = L dizemos que a sequeˆncia (xn)n∈N diverge , ou e´ divergente .
Exemplos.
Exemplo (1) A sequeˆncia
(
1
n
)
n∈N converge para 0 pois limn→∞ 1n = 0.
Exemplo (2) A sequeˆncia (1)n∈N converge para 1 pois limn→∞ 1 = 1.
Uma sequeˆncia (xn)n∈N e´ chamada de sequeˆncia de Cauchy quando os seus termos tornam-se arbitrariamente
pro´ximos uns dos outros a` medida que n aumenta.
De modo matematicamente preciso:
(xn)n∈N e´ sequeˆncia de Cauchy quando:
∀ε > 0, ∃n0 ∈ N tal que para m,n > n0 ⇒ |xm − xn| < ε.
Exemplo. A sequeˆncia
(
1
n
)
n∈N e´ de Cauchy pois limn→∞
m→∞
(
1
n
− 1
m
)
= 0, ou seja, 1
n
e 1
m
sa˜o nu´meros arbitrariamente
pro´ximos a` medida que m e n aumentam. Ja´ a sequeˆncia
(
(−1)
n)
n∈N = (−1, 1,−1, 1,−1, 1, . . .) na˜o e´ de Cauchy, pois
xn = 1, para n par, e xm = −1, para m ı´mpar, na˜o sa˜o nu´meros que se tormam arbitrariamente pro´ximos a` medida
que m e n aumentam.
Proposic¸a˜o 1. (Crite´rio de convergeˆncia de Cauchy) Uma sequeˆncia (xn)n∈R e´ convergente se, e somente se, (xn)n∈N
e´ de Cauchy.
Exemplos.
Exemplo (1) A sequeˆncia
(
(−1)
n)
n∈N na˜o e´ de Cauchy. Logo, e´ divergente.
Exemplo (2) A sequeˆncia (n)n∈N tem termos que na˜o se tornam arbitrariamente pro´ximos a` medida que n aumenta.
Logo, na˜o e´ de Cauchy e, portanto, e´ divergente.
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Exemplo (3) A sequeˆncia
(
sen
(
npi
2
))
n∈N = (1, 0,−1, 0, 1, . . .) tem termos que na˜o se tornam arbitrariamente pro´ximos
a` medida que n aumenta. Logo, na˜o e´ de Cauchy e, portanto, e´ divergente.
Proposic¸a˜o 2. (Propriedades operato´rias) Sejam (xn)n∈N e (yn)n∈N sequeˆncias convergentes tais que limn→∞ xn = a
e lim
n→∞yn = b. Enta˜o:
(1) lim
n→∞ (xn ± yn) = limn→∞ xn ± limn→∞yn = a± b.
(2) lim
n→∞ (xnyn) = limn→∞ xn limn→∞yn = ab. Em particular, se xn = c, enta˜o limn→∞ cyn = c limn→∞yn = cb.
(3) Se b 6= 0, enta˜o lim
n→∞ xnyn =
lim
n→∞xn
lim
n→∞yn =
a
b
.
Exemplos.
Exemplo (1) A sequeˆncia
(
n−1
n
)
n∈N e´ tal que limn→∞ n−1n = limn→∞
(
1− 1
n
)
= lim
n→∞ 1+ limn→∞ 1n = 1− 0 = 1.
Exemplo (2) A sequeˆncia
(
5
n2
)
n∈N e´ tal que limn→∞ 5n2 = 5 limn→∞ 1n limn→∞ 1n = 5.0.0 = 0.
Exemplo (3) A sequeˆncia
(
4−7n6
n6+3
)
n∈N
e´ tal que lim
n→∞ 4−7n6n6+3 = limn→∞
4
n6
−7
1+ 3
n6
=
lim
n→∞( 4n6−7)
lim
n→∞(1+ 3n6 ) =
lim
n→∞ 4n6− limn→∞ 7
lim
n→∞ 1+ limn→∞ 3n6 =
0−7
1+0 =
−7.
Proposic¸a˜o 3. (Teorema do Confronto para sequeˆncias) Sejam (xn)n∈N, (yn)n∈N e (zn)n∈N sequeˆncias tais que
xn ≤ yn ≤ zn, para n > n0 fixado, e tais que lim
n→∞ xn = limn→∞ zn = L. Enta˜o, limn→∞yn = L.
Exemplo. A sequeˆncia
(
cos(n)
n
)
n∈N
e´ tal que lim
n→∞ cos(n)n = 0. De fato, fazendo xn = − 1n ; yn = cos(n)n e zn = 1n
temos − 1
n
≤ cos(n)
n
≤ 1
n
e lim
n→∞
(
− 1
n
)
= lim
n→∞ 1n = 0. Pelo Teorema do Confronto para sequeˆncias, limn→∞ cos(n)n = 0.
Proposic¸a˜o 4. Seja f : X ⊂ R→ R e a ∈ X. Enta˜o,
lim
x→a f (x) = f (a)︸ ︷︷ ︸
f e´ cont´ınua em a
⇐⇒ [∀ (xn)n∈N em X com limn→∞ xn = a⇒ limn→∞ f (xn) = f (a)]
Seja f : X ⊂ R→ R cont´ınua com X na˜o limitado superiormente. Enta˜o,
lim
x→+∞ f (x) = L⇐⇒ [∀ (xn)n∈N em X com limn→∞ xn = +∞⇒ limn→∞ f (xn) = L]
A proposic¸a˜o acima afirma que no caso de f ser cont´ınua, podemos encontrar lim
n→∞ f (xn) calculando limx→a f (x) (ou
lim
x→+∞ f (x)).
Exemplos.
Exemplo (1) A sequeˆncia (xn)n∈N =
(
ln(n)
n
)
n∈N
e´ convergente.
De fato, seja f (x) = ln(x)
x
, que e´ cont´ınua em R+.
Temos lim
n→∞n = +∞. Logo, pela proposic¸a˜o acima (segunda parte),
lim
n→∞ ln (n)n = limx→∞
ln (x)
x
= lim
x→∞
1
x
1
= 0 (Regra de L’Hospital).
Exemplo (2) A sequeˆncia (xn)n∈N =
(
ln(nc)
n
)
n∈N
e´ convergente.
De fato, lim
n→∞ ln(n
c)
n
= lim
n→∞ c ln(n)n = c limn→∞ ln(n)n = c.0 = 0.
Exemplo (3) A sequeˆncia (xn)n∈N =
(
n+1
n−1
)n
e´ convergente.
De fato, seja f (x) =
(
x+1
x−1
)x
, que e´ cont´ınua para x > 1.
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Pa´gina 4 UFU Sequeˆncias e Se´ries
Temos lim
n→∞n = +∞. Logo, pela proposic¸a˜o acima (segunda parte),
lim
n→∞
(
n+ 1
n− 1
)n
= lim
x→∞
(
x+ 1
x− 1
)x
= lim
x→∞ ex ln(x+1x−1 ) = limx→∞ e
ln(x+1x−1 )
1
x
= e
lim
x→∞
ln(x+1x−1 )
1
x = e
lim
x→∞
− 2
x2−1
− 1
x2 (Regra de L’Hospital)
= e
lim
x→∞ 2x2x2−1 = e2.
Exemplo (4) A sequeˆncia (xn)n∈N =
(
1+ c
n
)n
e´ convergente.
De fato, seja f (x) =
(
1+ c
x
)x
e´ cont´ınua para x > 0.
Temos lim
n→∞n = +∞. Logo, pela proposic¸a˜o acima (segunda parte),
lim
n→∞
(
1+
c
n
)n
= lim
x→∞
(
1+
c
x
)x
= lim
x→∞ ex ln(1+ cx ) = limx→∞ e
ln(1+ cx )
1
x
= e
lim
x→∞
ln(1+ cx )
1
x = e
lim
x→∞
− c
x(x+c)
− 1
x2 (Regra de L’Hospital)
= e
lim
x→∞ cxx+c = ec.
Os resultados abaixo sa˜o demonstrados em cursos mais avanc¸ados de sequeˆncias nume´ricas (cursos de Ana´lise Real).
Vamos utiliza´-los em nossos exemplos.
(i) lim
n→∞ n
√
a = 1 para a > 0.
(ii) lim
n→∞ n
√
n = 1.
(iii) lim
n→∞an = 0 para −1 < a < 1.
(iv) Para n suficientemente grande temos logb (n)� nk � an � n!� nn, sendo b > 1, k ∈ N e a > 1.
(Obs. o s´ımbolo � significa “muito menor do que”)
(v) lim
n→∞ logb(n)nk = limn→∞ nkan = limn→∞ ann! = limn→∞ n!nn = 0.
Exemplo. A sequeˆncia (xn)n∈N =
(
n
√
nc
)
com c ∈ N e´ tal que
lim
n→∞ n
√
nc = lim
n→∞
(
n
√
n
)c
= lim
n→∞
(
n
√
n . . . n
√
n
)︸ ︷︷ ︸
c vezes
= lim
n→∞ n
√
n . . . lim
n→∞ n
√
n = 1 . . . 1 = 1.
Exerc´ıcio. Mostre que (xn)n∈N =
(
1+ a+ a2 + · · ·+ an)
n∈N com −1 < a < 1 converge para
1
1−a .
De fato, de xn = 1 + a + a
2 + · · · + an temos axn = a + a2 + a3 + · · · + an+1 e xn − axn = 1 − an+1, de onde
conclu´ımos que xn =
1−an+1
1−a .
Logo, lim
n→∞ xn = limn→∞ 1−an−11−a =
1− lim
n→∞an−1
1−a =
1
1−a .
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Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 5
Cap´ıtulo 2
Se´ries de Nu´meros Reais
2.1 Definic¸o˜es e Primeiros Exemplos
Seja (xn)n∈N um sequeˆncia de nu´meros reais. Definimos a se´rie de nu´meros reais associada a` sequeˆncia (xn)n∈N
como sendo
∞∑
n=1
xn = x1 + x2 + x3 + · · · .
Desta forma, uma se´rie e´ simplesmente a soma dos infinitos termos de uma sequeˆncia.
A soma finita sn =
n∑
k=1
xk = x1 + x2 + · · ·+ xn e´ chamada de soma parcial de ordem n da se´rie
∞∑
n=1
xn.
Por meio das somas parciais de uma se´rie e´ poss´ıvel estudar o comportamento da mesma.
Seja
∞∑
n=1
xn uma se´rie de nu´meros reais e sn =
n∑
k=1
xk sua soma parcial de ordem n. Quando existe s ∈ R, tal que
lim
n→∞ sn = s, dizemos que a se´rie
∞∑
n=1
xn converge, ou e´ convergente, e denotamos
∞∑
n=1
xn = lim
n→∞ sn = s.
Quando na˜o existe s ∈ R tal que lim
n→∞ sn = s dizemos que
∞∑
n=1
xn diverge, ou e´ divergente.
Exemplos.
Para nosso primeiro exemplo, precisamos da seguinte definic¸a˜o:
A se´rie
∞∑
n=1
qn = q+ q2 + q3 + · · · , sendo q ∈ R, e´ dita se´rie geome´trica de raza˜o q.
Exemplo (1) A se´rie geome´trica
∞∑
n=1
qn e´ convergente para |q| < 1 e divergente para |q| ≥ 1.
Resoluc¸a˜o.
Primeiramente, encontremos uma expressa˜o geral para a soma parcial de ordem n da se´rie para o caso em que
q 6= ±1.
Temos sn = q + q
2 + · · · + qn (soma dos n primeiros termos de uma PG de raza˜o q e 1o. termo q) e qsn =
q2 + q3 + · · ·+ qn+1. Logo, sn − qsn = q− qn+1. Portanto,
sn =
q (1− qn)
1− q
.
(i) Se |q| < 1, temos lim
n→∞qn = 0. Logo, limn→∞ sn = limn→∞ q(1−q
n)
1−q =
q
1−q e, pela definic¸a˜o,
∞∑
n=1
qn = q
1−q e´ convergente.
Neste caso a se´rie e´ a soma dos termos de uma PG infinita de raza˜o −1 < q < 1.
(ii) Se |q| > 1, temos lim
n→∞qn = +∞, para q > 1, e @ limn→∞qn para q < −1.
Desta forma, lim
n→∞ sn = limn→∞ q(1−q
n)
1−q = +∞, para q > 1 e @ limn→∞ sn = limn→∞ q(1−qn)1−q para q < −1.
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Pa´gina 6 UFU Sequeˆncias e Se´ries
Portanto, nessa situac¸a˜o,
∞∑
n=1
qn e´ divergente.
(iii) Se q = 1, temos lim
n→∞ sn = limn→∞ (1+ 1+ 1+ · · ·+ 1) = limn→∞n = +∞.
Portanto, nessa situac¸a˜o,
∞∑
n=1
qn e´ divergente.
(iv) Se q = −1, temos
lim
n→∞ sn =

lim
n→∞(q− q︸ ︷︷ ︸+q− q︸ ︷︷ ︸+ · · ·+ q− q︸ ︷︷ ︸︸ ︷︷ ︸
n parcelas
) = 0, se n for par.
lim
n→∞(q− q︸ ︷︷ ︸+q− q︸ ︷︷ ︸+ · · ·+ q− q︸ ︷︷ ︸+q︸ ︷︷ ︸
n parcelas
) = q, se n for ı´mpar.
Como q 6= 0 temos que na˜o existe lim
n→∞ sn e, portanto, nessa situac¸a˜o,
∞∑
n=1
qn e´ divergente.
Observac¸o˜es.
(a) Na˜o e´ dif´ıcil adaptar a resoluc¸a˜o acima e provar o mesmo resultado acima para a se´rie
∞∑
n=1
aqn com a 6= 0.
(b) Na˜o mudamos o cara´ter de convergeˆncia ou divergeˆncia de uma se´rie se suprimirmos ou acrescentarmos um nu´mero
finito de termos, mas podemos alterar o valor de sua soma no caso da se´rie original ser convergente.
Ale´m da se´rie geome´trica, ha´ uma outra se´rie muito importante, cuja definic¸a˜o segue abaixo:
A se´rie
∞∑
n=1
1
np
= 1+ 1
2p
+ 1
3p
+ · · · , sendo p ∈ R, e´ dita se´rie harmoˆnica de ordem p, ou p-se´rie , ou ainda, se´rie
hiper-harmoˆnica.
Mais adiante faremos uma ana´lise sobre a convergeˆncia ou divergeˆncia dessa se´rie em func¸a˜o de p. Por enquanto,
vamos nos concentrar na ordem p = 1.
A se´rie de ordem 1, dada por
∞∑
n=1
1
n
, inspira o adjetivo “harmoˆnica”, que vem da mu´sica, e e´ devido a` semelhanc¸a
com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda vibrante.
Por enquanto, vamos mostrar o incr´ıvel resultado de que a se´rie harmoˆnica de ordem 1 e´ divergente. A divergeˆncia
dessa se´rie e´ bastante “lenta” e, para se ter uma ideia, e´ preciso somar os 675.000 primeiros termos da se´rie para se
ter soma parcial igual a 14, aproximadamente.
Exemplo (2) A se´rie harmoˆnica de ordem 1, dada por
∞∑
n=1
1
n
, e´ divergente.
Resoluc¸a˜o.
Mostremos que
∞∑
n=1
1
n
= lim
n→∞ sn = limn→∞
(
1+ 1
2
+ 1
3
+ · · ·+ 1
n
)
= +∞.
Consideremos o gra´fico da func¸a˜o f (x) = 1
x
com x > 0.
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y
x
1
curva y 1 x= /
( )fora de escala
0 2 3 ...
1 2/
1 3/
1 n/
1
4 n
1 4/
A soma das a´reas dos retaˆngulos hachurados e´ 1+ 1
2
+ 1
3
+ 1
4
+ · · · =
∞∑
n=1
1
n
.
A a´rea abaixo do gra´fico de f (x) = 1
x
a partir do ponto de abscissa 1 no eixo x e´ a integral impro´pria
∫+∞
1
1
x
dx =
lim
x→∞
∫x
1
1
x
dx.
Desta forma,
∞∑
n=1
1
n
≥ lim
x→∞
∫x
1
1
x
dx = lim
x→∞
(
ln (|x|)|
x
1
)
= lim
x→∞ (ln (x) − ln (1)) = limx→∞ (ln (x)) = +∞.
y
x
1
curva y ln x= ( )
0
Logo,
∞∑
n=1
1
n
≥ +∞, ou seja, ∞∑
n=1
1
n
= +∞. Portanto, ∞∑
n=1
1
n
e´ divergente.
Exemplo (3) A se´rie
∞∑
n=1
ln
(
n
n+1
)
e´ divergente.
Resoluc¸a˜o.
Temos
sn =
n∑
k=1
ln
(
k
k+ 1
)
= ln
(
1
2
)
+ ln
(
2
3
)
+ ln
(
3
4
)
+ · · ·+ ln
(
n− 1
n
)
+ ln
(
n
n+ 1
)
= ln
(
1
2
2
3
3
4
· · · n− 1
n
n
n+ 1
)
= ln
(
1
n+ 1
)
Logo, ∞∑
n=1
ln
(
n
n+ 1
)
= lim
n→∞ sn = limn→∞ ln
(
1
n+ 1
)
= −∞,
ou seja, a se´rie diverge.
Exemplo (4) A se´rie
∞∑
n=1
sen
(
npi
2
)
e´ divergente.
Resoluc¸a˜o.
Temos,
sn =
n∑
k=1
sen
(
kpi
2
)
=

1+ 0− 1+ 0+ · · ·+ 1+ 0− 1+ 0 = 0, se n = 4j
1+ 0− 1+ 0+ · · ·+ 1+ 0− 1+ 0+ 1 = 1, se n = 4j+ 1
1+ 0− 1+ 0+ · · ·+ 1+ 0− 1+ 0+ 1+ 0 = 1, se n = 4j+ 2
1+ 0− 1+ 0+ · · ·+ 1+ 0− 1+ 0+ 1+ 0− 1 = 0, se n = 4j+ 3
Assim, (sn)n∈N= (1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, . . .), ou seja, limn→∞ sn na˜o existe. Portanto,
∞∑
n=1
sen
(
npi
2
)
diverge.
As duas pro´ximas proposic¸o˜es apresentam algumas regras operato´rias envolvendo se´ries.
Proposic¸a˜o 1. Se a se´rie
∞∑
n=1
xn e´ convergente e sua soma e´ s, enta˜o a se´rie
∞∑
n=1
cxn, c constante real, e´ convergente
e sua soma e´ cs.
lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues
Pa´gina 8 UFU Sequeˆncias e Se´ries
Demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 1.
Sejam sn =
n∑
k=1
xk e σn =
n∑
k=1
cxk as somas parciais de ordem n das se´ries
∞∑
n=1
xn e
∞∑
n=1
cxn, respectivamente.
Logo, σn = c
n∑
k=1
xk = csn e, portanto, lim
n→∞σn = limn→∞ csn = c limn→∞ sn = cs (pois limn→∞ sn = s).
Assim, lim
n→∞σn = cs, ou seja,
∞∑
n=1
cxn e´ convergente e sua soma e´ cs. �
Observac¸a˜o. Se
∞∑
n=1
xn e´ divergente, enta˜o
∞∑
n=1
cxn e´ divergente para c 6= 0 (para c = 0,
∞∑
n=1
cxn = 0).
Proposic¸a˜o 2. Se as se´ries
∞∑
n=1
xn e
∞∑
n=1
yn convergem para as somas s e s, respectivamente, enta˜o as se´ries
∞∑
n=1
(xn + yn) e
∞∑
n=1
(xn − yn) convergem para as somas s+ s e s− s, respectivamente.
Demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 2.
Seja sn =
n∑
k=1
(xk + yk) soma parcial de ordem n da se´rie
∞∑
n=1
(xn + yn), ou seja,
sn = a1 + b1 + a2 + b2 + · · ·+ an + bn
= (a1 + a2 + · · ·+ an) + (b1 + b2 + · · ·bn)
= sn + sn
Logo, lim
n→∞ sn = limn→∞
(
sn + sn
)
= s+ s, ou seja
∞∑
n=1
(xn + yn) = s+ s.
O procedimento para a se´rie
∞∑
n=1
(xn − yn) e´ feito de modo ana´logo. �
2.2 Somando Se´ries
A exemplo do que fizemos com a se´rie geome´trica, nesta sec¸a˜o vamos apresentar algumas te´cnicas para encontrar as
somas de certas se´ries convergentes. Antes pore´m, uma definic¸a˜o:
Uma se´rie
∞∑
n=1
xn e´ chamada de se´rie telesco´pica quando o termo geral xn puder ser escrito na forma xn = an−an+1,
ou seja,
∞∑
n=1
xn =
∞∑
n=1
(an − an+1).
Exemplos.
Exemplo (1) Estude a se´rie
∞∑
n=1
1
n2+n
, encontrando sua soma, caso seja convergente.
Resoluc¸a˜o.
Faremos esse estudo de dois modos distintos:
(i) Encontrando uma expressa˜o para a soma parcial de ordem n.
Temos:
s1 =
1
12 + 1
=
1
2
s2 =
1
12 + 1
+
1
22 + 2
=
1
2
+
1
6
=
2
3
s3 =
1
12 + 1
+
1
22 + 2
+
1
32 + 3
=
1
2
+
1
6
+
1
12
=
3
4
s4 =
1
12 + 1
+
1
22 + 2
+
1
32 + 3
+
1
42 + 4
=
1
2
+
1
6
+
1
12
+
1
20
=
4
5
s5 =
1
12 + 1
+
1
22 + 2
+
1
32 + 3
+
1
42 + 4
+
1
52 + 5
=
1
2
+
1
6
+
1
12
+
1
20
+
1
30
=
5
6
...
La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br
Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 9
Logo, sn =
n
n+1 e, portanto,
∞∑
n=1
1
n2+n
= lim
n→∞ sn = limn→∞ nn+1 = 1.
(ii) Escrevendo o termo geral da se´rie de forma mais simples.
Podemos escrever xn =
1
n2+n
usando frac¸o˜es parciais, ou seja, sejam A e B reais tais que
1
n2 + n
=
1
n (n+ 1)
=
A
n
+
B
n+ 1
=
A (n+ 1) + Bn
n (n+ 1)
=
(A+ B)n+A
n2 + n
⇒{
A+ B = 0
A = 1
⇒ { A = 1
B = −1
Logo, xn =
1
n2+n
= 1
n
− 1
n+1 , ou seja,
∞∑
n=1
xn e´ uma se´rie telesco´pica.
Assim,
∞∑
n=1
1
n2 + n
=
∞∑
n=1
(
1
n
−
1
n+ 1
)
= lim
n→∞ sn = limn→∞
n∑
k=1
(
1
k
−
1
k+ 1
)
= lim
n→∞
((
1−
6 1
6 2
)
+
( 6 1
6 2 −
6 1
6 3
)
+
( 6 1
6 3 −
6 1
6 4
)
+
( 6 1
6 4 −
6 1
6 5
)
+ · · ·+
( 6 1
6 n −
1
n+ 1
))
= lim
n→∞
(
1−
1
n+ 1
)
= 1.
Exemplo (2) Estude a se´rie
∞∑
n=1
1
n3+3n2+2n
, encontrando sua soma, caso seja convergente.
Resoluc¸a˜o.
Vamos escrever o termo geral da se´rie como soma de frac¸o˜es parciais, ou seja, sejam A, B e C reais tais que
1
n3 + 3n2 + 2n
=
1
n (n+ 1) (n+ 2)
=
A
n
+
B
n+ 1
+
C
n+ 2
=
A (n+ 1) (n+ 2) + Bn (n+ 2) + Cn (n+ 1)
n (n+ 1) (n+ 2)
=
A
(
n2 + 3n+ 2
)
+ B
(
n2 + 2n
)
+ C
(
n2 + n
)
n3 + 3n2 + 2n
=
(A+ B+ C)n2 + (3A+ 2B+ C)n+ 2A
n3 + 3n2 + 2n
⇒
 A+ B+ C = 03A+ 2B+ C = 0
2A = 1
⇒

A = 1
2
B+ C = −1
2
2B+ C = −3
2
⇒
 A =
1
2
B = −1
C = 1
2
Logo,
∞∑
n=1
1
n3 + 3n2 + 2n
= lim
n→∞ sn = limn→∞
n∑
k=1
(
1
2
k
−
1
k+ 1
+
1
2
k+ 2
)
= lim
n→∞
(
1
2
n∑
k=1
1
k
−
n∑
k=1
1
k+ 1
+
1
2
n∑
k=1
1
k+ 2
)
= lim
n→∞
(
1
2
(
1+
1
2
+
1
3
+ · · ·+ 1
n︸ ︷︷ ︸
)
−
(
1
2
+
1
3
+ · · ·+ 1
n︸ ︷︷ ︸+ 1n+ 1
)
+
+
1
2
(
1
3
+ · · ·+ 1
n︸ ︷︷ ︸+ 1n+ 1 + 1n+ 2
))
= lim
n→∞
(
1
2
(
1+
1
2
)
−
(
1
2
+
1
n+ 1
)
+
1
2
(
1
n+ 1
+
1
n+ 2
))
= lim
n→∞
(
1
4
+
1
n+ 1
+
1
2 (n+ 1)
+
1
2 (n+ 2)
)
=
1
4
Exemplo (3) Estude a se´rie
∞∑
n=1
n
2n
, encontrando sua soma, caso seja convergente.
Resoluc¸a˜o.
lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues
Pa´gina 10 UFU Sequeˆncias e Se´ries
Temos
∞∑
n=1
n
2n
=
1
2
+
2
22
+
3
23
+
4
24
+ · · ·+ n
2n
+ · · ·
=
1
2
+
(
1
22
+
1
22
)
+
(
1
23
+
1
23
+
1
23
)
+
(
1
24
+
1
24
+
1
24
+
1
24
)
+ · · ·+
(
1
2n
+ · · ·+ 1
2n
)
︸ ︷︷ ︸
n termos
+ · · ·
Fac¸amos
∞∑
n=1
n
2n
=
∞∑
n=1
An sendo:
A1 =
1
2
+
1
22
+
1
23
+
1
24
+ · · ·+ 1
2n
+
1
2n+1
+ · · · =
1
2
1− 1
2
=
2
2
A2 =
1
22
+
1
23
+
1
24
+ · · ·+ 1
2n
+
1
2n+1
+ · · · =
1
22
1− 1
2
=
2
22
A3 =
1
23
+
1
24
+ · · ·+ 1
2n
+
1
2n+1
+ · · · =
1
23
1− 1
2
=
2
23
A4 =
1
24
+ · · ·+ 1
2n
+
1
2n+1
+ · · · =
1
24
1− 1
2
=
2
24
...
An =
1
2n
+
1
2n+1
+ · · · =
1
2n
1− 1
2
=
2
2n
...
Observemos que cada An e´ soma dos termos de PG’s infinitas de raza˜o
1
2
.
Ale´m disso,
∞∑
n=1
An tambe´m e´ soma dos termos de uma PG infinita de raza˜o
1
2
.
Assim, ∞∑
n=1
n
2n
=
∞∑
n=1
An =
2
2
+
2
22
+
2
23
+
2
24
+ · · · =
2
2
1− 1
2
= 2.
Exemplo (4) Estude a se´rie
∞∑
n=1
(
1√
n
− 1√
n+1
)
, encontrando sua soma, caso seja convergente.
Resoluc¸a˜o.
Temos uma se´rie telesco´pica:
∞∑
n=1
(
1√
n
−
1√
n+ 1
)
= lim
n→∞ sn = limn→∞
n∑
k=1
(
1√
k
−
1√
k+ 1
)
= lim
n→∞
((
1√
1
−
6 1√6 2
)
+
( 6 1√6 2 − 6 1√6 3
)
+
( 6 1√6 3 − 6 1√6 4
)
+ · · ·+
( 6 1√6 n − 1√n+ 1
))
= lim
n→∞
(
1−
1√
n+ 1
)
= 1.
Exemplo (5) Estude a se´rie
∞∑
n=1
1√
n2+n(
√
n+1+
√
n)
, encontrando sua soma, caso seja convergente.
Resoluc¸a˜o.
Temos:
xn =
1√
n2 + n
(√
n+ 1+
√
n
) = √n+ 1−√n√
n (n+ 1)
(√
n+ 1+
√
n
) (√
n+ 1−
√
n
) = √n+ 1−√n√
n
√
n+ 1
=
1√
n
−
1√
n+ 1
,
ou seja,
∞∑
n=1
1√
n2+n(
√
n+1+
√
n)
=
∞∑
n=1
(
1√
n
− 1√
n+1
)
e´ uma se´rie telesco´pica.
La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br
Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 11
Assim,
∞∑
n=1
1√
n2 + n
(√
n+ 1+
√
n
) = ∞∑
n=1
(
1√
n
−
1√
n+ 1
)
= lim
n→∞
n∑
k=1
(
1√
k
−
1√
k+ 1
)
= lim
n→∞
((
1√
1
−
6 1√6 2
)
+
( 6 1√6 2 − 6 1√6 3
)
+
( 6 1√6 3 − 6 1√6 4
)
+ ·· ·+
( 6 1√6 n − 1√n+ 1
))
= lim
n→∞
(
1−
1√
n+ 1
)
= 1.
2.3 Uma Condic¸a˜o Necessa´ria para a Convergeˆncia de uma Se´rie
Conseguir somar uma se´rie convergente na˜o e´, geralmente, uma tarefa simples. Entretanto, na maioria das vezes,
na˜o precisamos saber o valor de uma se´rie, mas apenas se ela e´ convergente ou divergente. Ha´ alguns resultados que
permitem fazer essa investigac¸a˜o, sendo que o primeiro deles e´ apresentado abaixo.
Proposic¸a˜o 3. (Condic¸a˜o necessa´ria para a convergeˆncia) Se
∞∑
n=1
xn converge, enta˜o lim
n→∞ xn = 0.
Demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 3.
Sejam sn =
n∑
k=1
xk e sn−1 =
n−1∑
k=1
xk. Logo,
xn = sn − sn−1 ⇒ lim
n→∞ xn = limn→∞ (sn − sn−1) = limn→∞ sn − limn→∞ sn−1.
Mas
∞∑
n=1
xn converge, ou seja, existe s ∈ R tal que
∞∑
n=1
xn = s. Portanto,
∞∑
n=1
xn = lim
n→∞ sn = limn→∞ sn−1 = s.
Conclusa˜o: lim
n→∞ xn = 0. �
Corola´rio. Se lim
n→∞ xn 6= 0, enta˜o
∞∑
n=1
xn diverge.
Exemplos.
Exemplo (1) Estude a natureza da se´rie 1
3
+ 2
5
+ 3
7
+ 4
9
+ 5
11
+ · · · via o limite do termo geral.
Resoluc¸a˜o.
Temos 1
3
+ 2
5
+ 3
7
+ 4
9
+ 5
11
+ · · · =
∞∑
n=1
n
2n+1 . Assim, xn =
n
2n+1 e limn→∞ xn = limn→∞ n2n+1 = 12 6= 0.
Portanto, pelo corola´rio acima,
∞∑
n=1
n
2n+1 diverge.
Exemplo (2) Estude a natureza da se´rie harmoˆnica de ordem 1, dada por 1 + 1
2
+ 1
3
+ 1
4
+ 1
5
+ · · · , via o limite do
termo geral.
Resoluc¸a˜o.
Temos 1+ 1
2
+ 1
3
+ 1
4
+ 1
5
+ · · · =
∞∑
n=1
1
n
. Assim, xn =
1
n
e lim
n→∞ xn = limn→∞ 1n = 0.
Na˜o conclu´ımos a natureza da se´rie pelo corola´rio acima. Entretanto, ja´ vimos em exemplos anteriores que a se´rie∞∑
n=1
1
n
diverge.
Exemplo (3) Estude a natureza da se´rie geome´trica de raza˜o 2
3
, dada por 2
3
+
(
2
3
)2
+
(
2
3
)3
+
(
2
3
)4
+
(
2
3
)5
+ · · · , via
o limite do termo geral.
Resoluc¸a˜o.
Temos 2
3
+
(
2
3
)2
+
(
2
3
)3
+
(
2
3
)4
+
(
2
3
)5
+ · · · =
∞∑
n=1
(
2
3
)n
. Assim, xn =
(
2
3
)n
e lim
n→∞ xn = limn→∞
(
2
3
)n
= 0.
Na˜o conclu´ımos a natureza da se´rie pelo corola´rio acima. Entretanto, ja´ vimos em exemplos anteriores que a se´rie∞∑
n=1
(
2
3
)n
converge.
Exemplo (4) Estude a natureza da se´rie geome´trica de raza˜o 3
2
, dada por 3
2
+
(
3
2
)2
+
(
3
2
)3
+
(
3
2
)4
+
(
3
2
)5
+ · · · , via
o limite do termo geral.
lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues
Pa´gina 12 UFU Sequeˆncias e Se´ries
Resoluc¸a˜o.
Temos 3
2
+
(
3
2
)2
+
(
3
2
)3
+
(
3
2
)4
+
(
3
2
)5
+ · · · =
∞∑
n=1
(
3
2
)n
. Assim, xn =
(
3
2
)n
e lim
n→∞ xn = limn→∞
(
3
2
)n
= +∞ 6= 0.
Portanto, pelo corola´rio acima,
∞∑
n=1
(
3
2
)n
diverge.
Exemplo (5) Estude a natureza da se´rie
∞∑
n=1
1
n√
2
via o limite do termo geral.
Resoluc¸a˜o.
Temos xn =
1
n√
2
e lim
n→∞ xn = limn→∞ 1n√2 = limn→∞ 12 1n = 120 = 1 6= 0.
Portanto, pelo corola´rio acima,
∞∑
n=1
1
n√
2
diverge.
Observac¸a˜o. A condic¸a˜o da Proposic¸a˜o 3 e´ necessa´ria mas na˜o e´ suficiente, isto e´, a rec´ıproca da proposic¸a˜o na˜o e´
verdadeira. Por exemplo, na se´rie harmoˆnica de ordem 1, dada por
∞∑
n=1
1
n
, e´ tal que lim
n→∞ xn = limn→∞ 1n = 0, mas a
se´rie diverge.
2.4 Testes de Convergeˆncia para Se´ries de Termos Positivos
Conforme ja´ comentamos na sec¸a˜o anterior, encontrar a soma de uma se´rie convergente pode na˜o ser fa´cil, de modo
que saber se uma se´rie e´ convergente ou divergente ja´ e´ um ganho considera´vel. Nesta sec¸a˜o apresentamos alguns
resultados matema´ticos chamados de testes de convergeˆncia que podem ser aplicados no estudo da natureza de uma
se´rie nume´rica de termos positivos.
Teorema 1. (1 o. teste: Teste da Comparac¸a˜o) Consideremos as se´ries
∞∑
n=1
xn e
∞∑
n=1
yn de termos positivos tais que
xn ≤ yn para n ≥ n0.
(i) Se
∞∑
n=1
yn converge, enta˜o
∞∑
n=1
xn converge.
(ii) Se
∞∑
n=1
xn diverge, enta˜o
∞∑
n=1
yn diverge.
Demonstrac¸a˜o do Teorema 1.
Como 0 < xn ≤ yn para n ≥ n0, temos 0 < xn0 + xn0+1 + · · · + xn ≤ yn0 + yn0+1 + · · · + yn. Enta˜o,
0 < sn − sn0−1 ≤ sn − sn0−1, sendo sn e sn somas parciais de ordem n de
∞∑
n=1
xn e
∞∑
n=1
yn, respectivamente.
(i) Como
∞∑
n=1
yn converge, enta˜o lim
n→∞ sn = s ∈ R. Assim,
0 ≤ lim
n→∞ (sn − sn0−1) ≤ limn→∞
(
sn − sn0−1
)⇒ 0 ≤ lim
n→∞ (sn) − sn0−1 ≤ limn→∞
(
sn
)
− sn0−1 ⇒
0 ≤ lim
n→∞ (sn) − sn0−1 ≤ s− sn0−1 ⇒ sn0−1 ≤ limn→∞ (sn) ≤ (s− sn0−1)+ sn0−1
Portanto, lim
n→∞ (sn) deve ser um nu´mero real, pois (sn)n∈N e´ uma sequeˆncia crescente de nu´meros positivos limitada
superiormente (ela na˜o “oscila”).
Conclusa˜o:
∞∑
n=1
xn e´ convergente.
(ii) Como
∞∑
n=1
xn diverge, enta˜o lim
n→∞ sn = +∞. Assim,
0 ≤ lim
n→∞ (sn − sn0−1) ≤ limn→∞
(
sn − sn0−1
)⇒ 0 ≤ +∞ ≤ lim
n→∞
(
sn
)
− sn0−1 ⇒ lim
n→∞
(
sn
)
= +∞,
ou seja,
∞∑
n=1
yn e´ divergente. �
Exemplos.
La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br
Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 13
Exemplo (1) Estudar a natureza da se´rie
∞∑
n=1
1√
n
.
Resoluc¸a˜o.
Temos 0 < 1
n
≤ 1√
n
, para qualquer n ∈ N. Como
∞∑
n=1
1
n
diverge, pelo Teste da Comparac¸a˜o,
∞∑
n=1
1√
n
diverge.
Exemplo (2) Estudar a natureza da se´rie
∞∑
n=1
1
nn
.
Resoluc¸a˜o.
Temos 0 < 2n ≤ nn para n ∈ N− {1}. Logo, 0 < 1
nn
≤ 1
2n
para n ≥ 2.
Como
∞∑
n=1
(
1
2
)n
=
1
2
1− 1
2
= 1 (se´rie geome´trica) converge, enta˜o, pelo Teste da Comparac¸a˜o,
∞∑
n=1
1
nn
converge (e sua
soma e´ menor do que ou igual a 1).
Exemplo (3) Estudar a natureza da se´rie
∞∑
n=1
4
3n+1 .
Resoluc¸a˜o.
Temos 0 < 4
3n+1 ≤ 43n = 4
(
1
3
)n
, para qualquer n ∈ N. Mas
∞∑
n=1
4
(
1
3
)n
= 4
∞∑
i=n
(
1
3
)n
= 4
1
3
1− 1
3
= 2 (se´rie geome´trica)
converge, enta˜o, pelo Teste da Comparac¸a˜o,
∞∑
n=1
1
3n+1 converge (e sua soma e´ menor do que ou igual a 2).
Exemplo (4) Estudar a natureza da se´rie
∞∑
n=1
arctg(n)
2n
.
Resoluc¸a˜o.
Temos 0 < pi
4
≤ arctg (n) < pi
2
, para qualquer n ∈ N.
0
y
1 x
p/2
-p/2
p/4
2 3
curva
y arctgx= ( )
Logo, 0 < arctg(n)
2n
≤ pi2
2n
= pi
2
(
1
2
)n
. Como
∞∑
n=1
pi
2
(
1
2
)n
= pi
2
∞∑
n=1
(
1
2
)n
= pi
2
1
2
1− 1
2
= pi
2
(se´rie geome´trica) converge,
enta˜o, pelo Teste da Comparac¸a˜o,
∞∑
n=1
arctg(n)
2n
converge (e sua soma e´ menor do que ou igual a pi
2
).
Exemplo (5) Estudar a natureza da se´rie
∞∑
n=1
arctg(n)
n
.
Resoluc¸a˜o.
Temos arctg (n) ≥ arctg (2) > arctg
(√
3
)
= pi
3
> 1 para n ∈ N− {1}.
Logo, 0 < 1
n
≤ arctg(n)
n
para n ≥ 2. Como
∞∑
n=1
1
n
diverge, enta˜o, pelo Teste da Comparac¸a˜o,
∞∑
n=1
arctg(n)
n
diverge.
Teorema 2. (2 o. teste: Teste da Raza˜o ou Teste de D’Alembert) Consideremos a se´rie
∞∑
n=1
xn de termos positivos
tal que lim
n→∞ xn+1xn = l ∈ R.
(i) Se l < 1, enta˜o
∞∑
n=1
xn converge.
(ii) Se l > 1, enta˜o
∞∑
n=1
xn diverge.
Observac¸o˜es.
(i) Quando l = 1, na˜o se conclui a natureza da se´rie com o teste acima. Ha´ exemplos de se´ries convergentes e se´ries
divergentes tais que l = 1 nesse teste.
lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues
Pa´gina 14 UFU Sequeˆncias e Se´ries
(ii) Se lim
n→∞ xn+1xn = +∞, enta˜o a se´rie ∞∑n=1xn diverge.
Exemplos.
Exemplo (1) Use o Teste da Raza˜o para estudar a natureza da se´rie
∞∑
n=1
1
n! .
Resoluc¸a˜o.
Temoslim
n→∞ xn+1xn = limn→∞
1
(n+1)!
1
n!
= lim
n→∞ n!(n+1)! = limn→∞ 1n+1 = 0. Logo, pelo Teste da Raza˜o,
∞∑
n=1
1
n! converge.
Exemplo (2) Use o Teste da Raza˜o para estudar a natureza da se´rie harmoˆnica de ordem 1, dada por
∞∑
n=1
1
n
.
Resoluc¸a˜o.
Temos lim
n→∞ xn+1xn = limn→∞
1
n+1
1
n
= lim
n→∞ nn+1 = 1. Logo, na˜o conclu´ımos a natureza da se´rie
∞∑
n=1
1
n
pelo Teste da
Raza˜o (embora saibamos que esta se´rie e´ divergente).
Exemplo (3) Use o Teste da Raza˜o para estudar a natureza da se´rie
∞∑
n=1
2n
n
.
Resoluc¸a˜o.
Temos lim
n→∞ xn+1xn = limn→∞
2n+1
n+1
2n
n
= lim
n→∞ 2nn+1 = 2. Logo, pelo Teste da Raza˜o,
∞∑
n=1
2n
n
diverge.
Exemplo (4) Use o Teste da Raza˜o para estudar a natureza da se´rie
∞∑
n=1
n!
2n
.
Resoluc¸a˜o.
Temos lim
n→∞ xn+1xn = limn→∞
(n+1)!
2n+1
n!
2n
= lim
n→∞ n+12 = +∞. Logo, pelo Teste da Raza˜o, ∞∑n=1 n!2n diverge.
Exemplo (5) Use o Teste da Raza˜o para estudar a natureza da se´rie
∞∑
n=1
2n
nn
.
Resoluc¸a˜o.
Temos lim
n→∞ xn+1xn = limn→∞
2n+1
(n+1)n+1
2n
nn
= lim
n→∞ 2nn(n+1)n(n+1) ≤ limn→∞ 2nnnn(n+1) = limn→∞ 2n+1 = 0. Logo, pelo Teste da
Raza˜o,
∞∑
n=1
2n
nn
converge.
Exemplo (6) Use o Teste da Raza˜o para estudar a natureza da se´rie
∞∑
n=1
n!
nn
.
Resoluc¸a˜o.
Temos lim
n→∞ xn+1xn = limn→∞
(n+1)!
(n+1)n+1
n!
nn
= lim
n→∞ (n+1)n
n
(n+1)n(n+1) = limn→∞ 1(n+1n )n = 1limn→∞(1+ 1n )n =
1
e
< 1. Logo, pelo Teste
da Raza˜o,
∞∑
n=1
n!
nn
converge.
Teorema 3. (3 o. teste: Teste da Raiz ou Teste de Cauchy) Consideremos a se´rie
∞∑
n=1
xn de termos positivos tal que
lim
n→∞ n√xn = l ∈ R.
(i) Se l < 1, enta˜o
∞∑
n=1
xn converge.
(ii) Se l > 1, enta˜o
∞∑
n=1
xn diverge.
Observac¸o˜es.
(i) Quando l = 1, na˜o se conclui a natureza da se´rie com o teste acima. Ha´ exemplos de se´ries convergentes e se´ries
divergentes tais que l = 1 nesse teste.
(ii) Se lim
n→∞ n√xn = +∞, enta˜o a se´rie ∞∑n=1xn diverge.
La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br
Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 15
Exemplos.
Exemplo (1) Use o Teste da Raza˜o para estudar a natureza da se´rie
∞∑
n=1
1
nn
.
Resoluc¸a˜o.
Temos lim
n→∞ n√xn = limn→∞ n
√
1
nn
= lim
n→∞ 1n = 0. Logo, pelo Teste da Raiz,
∞∑
n=1
1
nn
converge.
Exemplo (2) Use o Teste da Raza˜o para estudar a natureza da se´rie harmoˆnica de ordem 1, dada por
∞∑
n=1
1
n
.
Resoluc¸a˜o.
Temos lim
n→∞ n√xn = limn→∞ n
√
1
n
= lim
n→∞
(
1
n
) 1
n = lim
x→∞
(
1
x
) 1
x = lim
x→∞ e 1x ln( 1x ) = e limx→∞
− ln(x)
x = e
lim
n→∞(− 1x ) = e0 = 1
(Regra de L’Hospital). Logo, na˜o conclu´ımos a natureza da se´rie
∞∑
n=1
1
n
pelo Teste da Raiz (embora saibamos que esta
se´rie e´ divergente).
Para o proximo teste, precisamos recordar as chamadas Integrais Impro´prias.
Vimos que uma integral impro´pria do primeiro tipo
∫∞
a
f (x)dx = lim
x→∞
∫x
a
f (x)dx pode ser convergente ou diver-
gente. Geometricamente, quando f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a,∞[, a integral ∫∞
a
f (x)dx no plano cartesiano representa
a a´rea da regia˜o R, na˜o limitada a` direita, abaixo do gra´fico de f e acima do intervalo [a,∞[ sobre o eixo x. Quando
a integral impro´pria converge, a a´rea da regia˜o R e´ finita. Quando a integral impro´pria diverge, a a´rea da regia˜o R e´
infinita.
0
y
a x
R
A R f x dx( ) = ( )òa
+¥
Por exemplo:
(i)
∫∞
1
1
x
dx = lim
x→∞
∫x
1
1
x
dx = lim
x→∞
(
ln (|x|)|
x
1
)
= lim
x→∞ (ln (x) − 0) = +∞, ou seja, a integral impro´pria diverge.
(ii)
∫∞
1
1
1+x2
dx = lim
x→∞
∫∞
1
1
1+x2
dx = lim
x→∞
(
arctg (x)|
x
1
)
= lim
x→∞ (arctg (x) − arctg (1)) = pi2 − pi4 = pi4 , ou seja, a
integra impro´pria converge.
Teorema 4. (4 o. teste: Teste da Integral) Consideremos a se´rie
∞∑
n=1
xn de termos positivos e f : [1,∞[ → R uma
func¸a˜o cont´ınua, positiva e decrescente tal que f (n) = xn. Enta˜o,
(i) Se
∫∞
1
f (x)dx converge, enta˜o
∞∑
n=1
xn converge.
(ii) Se
∫∞
1
f (x)dx diverge, enta˜o
∞∑
n=1
xn diverge.
Observac¸o˜es.
Se
∫∞
1
f (x)dx converge, enta˜o
∫∞
a
f (x)dx converge para qualquer a ≥ 1.
Se
∫∞
1
f (x)dx diverge, enta˜o
∫∞
a
f (x)dx diverge para qualquer a ≥ 1.
Demonstrac¸a˜o do Teorema 4.
Consideremos os seguintes gra´ficos, sendo f (n) = xn.
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Pa´gina 16 UFU Sequeˆncias e Se´ries
y
x
1
curva y f x= ( )
0 2 3 ...
f 1 x( ) = 1
4 n
y
x
10 2 3 ...4 n
f 2( ) = x2
f 3( ) = x3
f 4( ) = x4
f n( ) = xn
A1
A2
A3 A4
An
f 1 x( ) = 1
f 2( ) = x2
f 3( ) = x3
f 4( ) = x4
f n( ) = xn
B1
B2
B3
B4
Bn
(i)
∫∞
1
f (x)dx = c ∈ R converge. Temos
∞∑
n=1
xn = x1 +
∞∑
n=2
xn = x1 +
∞∑
n=2
f (n)
= x1 + f (2) .1︸ ︷︷ ︸
A1
+ f (3) .1︸ ︷︷ ︸
A2
+ f (4) .1︸ ︷︷ ︸
A3
+ · · ·
≤ x1 +
∫∞
1
f (x)dx = x1 + c,
ou seja,
∞∑
n=1
xn converge.
(ii)
∫∞
1
f (x)dx = +∞ diverge. Temos
∞∑
n=1
xn =
∞∑
n=1
f (n)
= f (1) .1︸ ︷︷ ︸
B1
+ f (2) .1︸ ︷︷ ︸
B2
+ f (3) .1︸ ︷︷ ︸
B3
+ · · ·
≥
∫∞
1
f (x)dx = +∞,
ou seja,
∞∑
n=1
xn diverge. �
Exemplos.
Exemplo (1) Estudar a se´rie harmoˆnica de ordem p, dada por
∞∑
n=1
1
np
, no caso em que p > 0 e p 6= 1, utilizando o
Teste da Integral.
Resoluc¸a˜o.
Consideremos a func¸a˜o f : [1,∞[ → R definida por f (x) = 1
xp
, que e´ cont´ınua, positiva, decrescente e tal que
f (n) = xn =
1
np
.
Assim, para p > 0 e p 6= 1 temos∫∞
1
f (x)dx =
∫∞
1
1
xp
dx = lim
x→∞
∫x
1
1
xp
dx = lim
x→∞
(
x1−p
1− p
∣∣∣∣x
1
)
= lim
x→∞ x
1−p − 1
1− p
.
(i) Se 0 < p < 1, temos lim
x→∞ x1−p−11−p = +∞ e, pelo Teste da Integral, a se´rie ∞∑n=1 1np diverge.
(ii) Se p > 1, temos lim
x→∞ x1−p−11−p = 1p−1 e, pelo Teste da Integral, a se´rie
∞∑
n=1
1
np
converge.
Observac¸a˜o. Vimos que para p = 1 a se´rie
∞∑
n=1
1
np
=
∞∑
n=1
1
n
diverge. Naturalmente, quando p = 0 temos que
∞∑
n=1
1
n0
=
∞∑
n=1
1 diverge. Ale´m disso, essa se´rie tambe´m diverge quando consideramos p < 0, pois, nesse caso, o limite
do termo geral na˜o e´ zero, ou seja, lim
n→∞ 1np = +∞. Resumindo: pela ana´lise empenhada acima, a se´rie harmoˆnica de
ordem p, dada por
∞∑
n=1
1
np
, diverge para p ≤ 1 e converge para p > 1.
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Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 17
Exemplo (2) Estudar a se´rie
∞∑
n=2
1
n(ln(n))p , sendo p > 0, utilizando o Teste da Integral.
Resoluc¸a˜o.
Consideremos a func¸a˜o f : [2,∞[→ R definida por f (x) = 1
x(ln(x))p , que e´ cont´ınua, positiva, decrescente e tal que
f (n) = xn =
1
n(ln(n))p .
A func¸a˜o f (x) = x−1 (ln (x))
−p
e´, de fato, decrescente, pois
f′ (x) = −x−2 (ln (x))−p − x−1p (ln (x))−p−1 x−1 = −
1
x2 (ln (x))
p −
p
x2 (ln (x))
p+1
= −
1
x2 (ln (x))
p
(
1+
p
ln (x)
)
< 0
para p > 0 e x > 2.
Temos, para p > 0 e p 6= 1,∫∞
2
1
x (ln (x))
pdx = lim
x→∞
∫x
2
(ln (x))
−p
x
dx = lim
x→∞
(
(ln (x))
1−p
1− p
∣∣∣∣∣
x
2
)
= lim
x→∞
(
(ln (x))
1−p
− (ln (2))
1−p
1− p
)
.
Para p = 1,∫∞
2
1
x ln (x)
dx = lim
x→∞
∫x
2
1
x ln (x)
dx = lim
x→∞
(
ln (ln (x))|
x
2
)
= lim
x→∞ (ln (ln (x)) − ln (ln (2))) = limx→∞
(
ln
(
ln (x)
ln (2)
))
.
(i) Se 0 < p < 1, temos lim
x→∞
(
(ln(x))1−p−(ln(2))1−p
1−p
)
= +∞, ou seja a se´rie ∞∑
n=2
1
n(ln(n))p diverge.
(ii) Se p= 1, temos lim
x→∞
(
ln
(
ln(x)
ln(2)
))
= +∞, ou seja a se´rie ∞∑
n=2
1
n ln(n) diverge.
(iii) Se p > 1, temos lim
x→∞
(
(ln(x))1−p−(ln(2))1−p
1−p
)
= −(ln(2))
1−p
1−p , ou seja a se´rie
∞∑
n=2
1
n(ln(n))p converge.
Observac¸a˜o. Na se´rie
∞∑
n=2
1
n(ln(n))p do exemplo acima, quando p ≤ 0, temos 1n(ln(n))p ≥ 1n e, pelo Teste de Comparac¸a˜o,∞∑
n=1
1
n(ln(n))p diverge, pois
∞∑
n=1
1
n
diverge. Sendo assim, a se´rie em questa˜o tem o mesmo comportamento da se´rie
harmoˆnica de ordem p.
Exerc´ıcios.
Exerc´ıcio (1) Estudar a se´rie
∞∑
n=1
n
en
2 utilizando o Teste da Integral.
Dica: uma primitiva para f (x) = x
ex
2 e´ F (x) =
−1
2ex
2 .
Exerc´ıcio (2) Estudar a se´rie
∞∑
n=1
n
√
e
n2
utilizando o Teste da Integral.
Dica: uma primitiva para f (x) =
x
√
e
x2
e´ F (x) = − x
√
e.
Exerc´ıcio (3) Estudar a se´rie
∞∑
n=10
1
n(ln(n))(ln(ln(n)))p utilizando o Teste da Integral.
Dica: uma primitiva para f (x) = 1
x(ln(x))(ln(ln(x)))p e´ F (x) =
(ln(ln(p)))1−p
1−p para p 6= 1 e F (x) = ln (ln (ln (x))) para
n = 1.
Resposta: diverge para p ≤ 1 e converge para p > 1.
Teorema 5. (5 o. teste: Teste do Limite da Comparac¸a˜o) Consideremos as se´ries
∞∑
n=1
xn e
∞∑
n=1
yn de termos positivos.
Enta˜o,
(i) Se lim
n→∞ xnyn = 0 e
∞∑
n=1
yn converge, enta˜o
∞∑
n=1
xn converge.
(ii) Se lim
n→∞ xnyn = c > 0, enta˜o ambas as se´ries convergem ou ambas as se´ries divergem.
(iii) Se lim
n→∞ xnyn = +∞ e ∞∑n=1yn diverge, enta˜o ∞∑n=1xn diverge.
Exemplos.
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Pa´gina 18 UFU Sequeˆncias e Se´ries
Exemplo (1) Estudar a se´rie
∞∑
n=1
3n+1
4n3+n2−2
utilizando o Teste do Limite da Comparac¸a˜o.
Resoluc¸a˜o.
Temos que encontrar uma se´rie (geralmente mais simples) a qual saibamos sua natureza para compararmos com a
se´rie dada no limite.
Observemos que
xn =
3n+ 1
4n3 + n2 − 2
=
n
(
3+ 1
n
)
n3
(
4+ 1
n
− 2
n3
) = 1
n2
.
3+ 1
n
4+ 1
n
− 2
n3
Se tomarmos yn =
1
n2
teremos
lim
n→∞ xnyn = limn→∞
1
n2
.
3+ 1
n
4+ 1
n
− 2
n3
1
n2
= lim
n→∞
3+ 1
n
4+ 1
n
− 2
n3
=
3
4
> 0.
Como
∞∑
n=1
1
n2
converge (se´rie harmoˆnica de ordem 2), pelo Teste do Limite da Camparac¸a˜o,
∞∑
n=1
3n+1
4n3+n2−2
converge.
Exemplo (2) Estudar a se´rie
∞∑
n=1
5√
n2+2n+7
utilizando o Teste do Limite da Comparac¸a˜o.
Resoluc¸a˜o.
Observemos que
xn =
5√
n2 + 2n+ 7
=
5√
n2
(
1+ 2
n
+ 7
n2
) = 5n. 1√1+ 2
n
+ 7
n2
Se tomarmos yn =
5
n
teremos
lim
n→∞ xnyn = limn→∞
5
n
. 1√
1+ 2
n
+ 7
n2
5
n
= lim
n→∞ 1√
1+ 2
n
+ 7
n2
= 1 > 0.
Como
∞∑
n=1
5
n
= 5
∞∑
n=1
1
n
diverge (se´rie harmoˆnica de ordem 1), pelo Teste do Limite da Camparac¸a˜o,
∞∑
n=1
5√
n2+2n+7
diverge.
Exemplo (3) Estudar a se´rie
∞∑
n=1
3√
n2+4
6n2−n−1
utilizando o Teste do Limite da Comparac¸a˜o.
Resoluc¸a˜o.
Observemos que
xn =
3
√
n2 + 4
6n2 − n− 1
=
3
√
n2
(
1+ 4
n2
)
n2
(
6− 1
n
− 1
n2
) = 3√n2
n2
.
3
√
1+ 4
n2
6− 1
n
− 1
n2
=
1
n
4
3
.
3
√
1+ 4
n2
6− 1
n
− 1
n2
Se tomarmos yn =
1
n
4
3
teremos
lim
n→∞ xnyn = limn→∞
1
n
4
3
.
3
√
1+ 4
n2
6− 1
n
− 1
n2
1
n
4
3
= lim
n→∞
3
√
1+ 4
n2
6− 1
n
− 1
n2
=
1
6
> 0.
Como
∞∑
n=1
1
n
4
3
converge (se´rie harmoˆnica de ordem 4
3
> 1), pelo Teste do Limite da Camparac¸a˜o,
∞∑
n=1
3√
n2+4
6n2−n−1
converge.
Exemplo (4) Estudar a se´rie
∞∑
n=1
arctg(n)
nn
utilizando o Teste do Limite da Comparac¸a˜o.
Resoluc¸a˜o.
Se tomarmos yn =
1
nn
teremos
lim
n→∞ xnyn = limn→∞
arctg(n)
nn
1
nn
= lim
n→∞ arctg (n) = pi2 > 0.
La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br
Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 19
Como
∞∑
n=1
1
nn
converge (veja exemplo do Teste da Raiz ), pelo Teste do Limite da Camparac¸a˜o,
∞∑
n=1
arctg(n)
nn
converge.
Exemplo (5) Estudar a se´rie
∞∑
n=1
sen2
(
pi
n
)
utilizando o Teste do Limite da Comparac¸a˜o.
Resoluc¸a˜o.
Se tomarmos yn =
(
pi
n
)2
teremos
lim
n→∞ xnyn = limn→∞
sen2
(
pi
n
)(
pi
n
)2 =
(
lim
n→∞
sen
(
pi
n
)
pi
n
)2
= 12 = 1 > 0.
Como
∞∑
n=1
(
pi
n
)2
= pi2
∞∑
n=1
1
n2
converge (se´rie harmoˆnica de ordem 2), pelo Teste do Limite da Camparac¸a˜o,
∞∑
n=1
sen2
(
pi
n
)
converge.
Exemplo (6) Estudar a se´rie
∞∑
n=1
sen
(
1
n2
)
utilizando o Teste do Limite da Comparac¸a˜o.
Resoluc¸a˜o.
Se tomarmos yn =
1
n2
teremos
lim
n→∞ xnyn = limn→∞
sen
(
1
n2
)
1
n2
= 1 > 0.
Como
∞∑
n=1
1
n2
converge (se´rie harmoˆnica de ordem 2), pelo Teste do Limite da Camparac¸a˜o,
∞∑
n=1
sen
(
1
n2
)
converge.
Exerc´ıcios.
Exerc´ıcio (1) Estudar a se´rie
∞∑
n=1
arctg(n)
n
utilizando o Teste do Limite da Comparac¸a˜o.
Exerc´ıcio (2) Estudar a se´rie
∞∑
n=1
arctg(n)
2n
utilizando o Teste do Limite da Comparac¸a˜o.
2.5 Se´ries Alternadas
A maioria das se´ries que estudamos nas sec¸o˜es anteriores sa˜o de termos positivos. Entretanto, ha´ um tipo de se´rie
muito importante que intercala termos positivos e negativos, cuja definic¸a˜o segue abaixo e que sera´ objeto de estudo
nessa sec¸a˜o.
Chamamos de se´ries alternadas as se´ries do tipo
∞∑
n=1
(−1)
n
an = −a1 + a2 − a3 + a4 − · · · ou
∞∑
n=1
(−1)
n+1
an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · ·
sendo an > 0 para todo n ∈ N.
O pro´ximo resultado matema´tico e´ devido a Leibniz e e´ o nosso sexto teste de convergeˆncia, exclusivo para se´ries
alternadas.
Teorema 6. (6 o. teste: Teste de Leibniz ou Teste de Convergeˆncia para Se´ries Alternadas) Seja
∞∑
n=1
xn uma se´rie
alternada. Se |xn| > |xn+1| para qualquer n ∈ N e lim
n→∞ |xn| = 0, enta˜o a se´rie alternada converge e o mo´dulo de sua
soma e´ inferior ao mo´dulo de x1, ou seja,
∣∣∣∣ ∞∑
n=1
xn
∣∣∣∣ < |x1|.
Exemplos.
Exemplo (1) A se´rie
∞∑
n=1
(−1)
n 1
n
e´ convergente.
Resoluc¸a˜o.
lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues
Pa´gina 20 UFU Sequeˆncias e Se´ries
De fato, |xn| > |xn+1|, pois
∣∣(−1)n 1
n
∣∣ > ∣∣∣(−1)n+1 1n+1 ∣∣∣. Tambe´m limn→∞ |xn| = limn→∞ ∣∣(−1)n 1n ∣∣ = 0. Logo, pelo
Teste de Leibniz, a se´rie alternada
∞∑
n=1
(−1)
n 1
n
converge.
Exemplo (2) A se´rie
∞∑
n=1
(−1)
n 1
ln(n) e´ convergente.
Resoluc¸a˜o.
De fato, |xn| > |xn+1|, pois
∣∣∣(−1)n 1ln(n) ∣∣∣ > ∣∣∣(−1)n+1 1ln(n+1) ∣∣∣. Tambe´m limn→∞ |xn| = limn→∞ ∣∣∣(−1)n 1ln(n) ∣∣∣ = 0. Logo,
pelo Teste de Leibniz, a se´rie alternada
∞∑
n=1
(−1)
n 1
ln(n) converge.
Exerc´ıcios.
Exerc´ıcio (1) Estude a natureza da se´rie alternada
∞∑
n=1
(−1)
n 1
n! .
Exerc´ıcio (2) Estude a natureza da se´rie alternada
∞∑
n=1
(−1)
n−1 1
(2n−1)! .
Exerc´ıcio (3) Estude a natureza da se´rie alternada
∞∑
n=1
(−1)
n 1
(2n)! .
2.5.1 Estimando Erros de Aproximac¸a˜o em Somas Parciais de Se´ries Alternadas
Sejam
∞∑
n=1
xn uma se´rie alternada convergente, s =
∞∑
n=1
xn sua soma e sn =
n∑
k=1
xk sua soma parcial de ordem n.
Dizemos que δn = |s− sn| e´ um erro de aproximac¸a˜o com precisa˜o de m casas decimais quando δn <
(0, 1) .10−m = 10−m−1.
Observemos que δn exprime o erro de aproximac¸a˜o que se comete quanto trocamos s por sn. Assim, um erro com
precisa˜o de 1 casa decimal e´ tal que δn < (0, 1) 10
−1 = 0, 01. Um erro com precisa˜o de 2 casas decimais e´ tal que
δn < (0, 1) 10
−2 = 0, 001.
A proposic¸a˜o abaixo ajuda na estimativado erro δn.
Proposic¸a˜o 3. Seja
∞∑
n=1
xn uma se´rie alternada tal que |xn| > |xn+1| para qualquer n ∈ N e lim
n→∞ |xn| = 0. Sejam
s =
∞∑
n=1
xn sua soma e sn =
n∑
k=1
xk sua soma parcial de ordem n. Enta˜o, δn = |s− sn| < |xn+1|.
Exemplos.
Exemplo (1) Mostre que a se´rie alternada
∞∑
n=1
(−1)
n−1 1
(2n−1)! converge e obtenha uma aproximac¸a˜o da soma com
cinco casas decimais de precisa˜o.
Resoluc¸a˜o.
Quanto a` convergeˆncia, foi deixada como exerc´ıcio acima.
Quanto a` aproximac¸a˜o, de acordo com a proposic¸a˜o acima, δn < |xn+1| e desejamos δn < (0, 1) 10
−5 = 10−6.
Logo, se encontrarmos n tal que |xn+1| < 10
−6 resolvemos o problema.
Assim,
|xn+1| < 10
−6 ⇒ ∣∣∣∣(−1)(n+1)−1 1(2 (n+ 1) − 1) !
∣∣∣∣ < 1106 ⇒ 1(2n+ 1) ! < 1106 ⇒ (2n+ 1) ! > 106
Com o aux´ılio de uma calculadora, encontramos que n = 5 e´ o menor n que satisfaz a desigualdade acima.
Portanto,
5∑
k=1
(−1)
k−1 1
(2k−1)! e´ uma aproximac¸a˜o com cinco casas decimais de precisa˜o da se´rie
∞∑
n=1
(−1)
n−1 1
(2n−1)! .
Exemplo (2) Mostre que a se´rie alternada
∞∑
n=1
(−1)
n−1 1
n! converge e obtenha uma aproximac¸a˜o da soma com treˆs
casas decimais de precisa˜o.
Resoluc¸a˜o.
La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br
Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 21
Quanto a` convergeˆncia, foi deixada como exerc´ıcio acima.
Quanto a` aproximac¸a˜o, de acordo com a proposic¸a˜o acima, δn < |xn+1| e desejamos δn < (0, 1) 10
−3 = 10−4.
Logo, se encontrarmos n tal que |xn+1| < 10
−4 resolvemos o problema.
Assim,
|xn+1| < 10
−4 ⇒ ∣∣∣∣(−1)(n+1)−1 1(n+ 1) !
∣∣∣∣ < 1104 ⇒ 1(n+ 1) ! < 1104 ⇒ (n+ 1) ! > 104
Com o aux´ılio de uma calculadora, encontramos que n = 7 e´ o menor n que satisfaz a desigualdade acima.
Portanto,
7∑
k=1
(−1)
k−1 1
k! e´ uma aproximac¸a˜o com treˆs casas decimais de precisa˜o da se´rie
∞∑
n=1
(−1)
n−1 1
n! .
Exerc´ıcio. Mostre que a se´rie alternada
∞∑
n=1
(−1)
n−1 1
n3
converge e obtenha uma aproximac¸a˜o da soma com treˆs
casas decimais de precisa˜o.
2.6 Se´ries de Termos de Sinais Quaisquer
As se´ries alternadas sa˜o casos particulares de se´ries nas quais os termos podem ser positivos ou negativos de forma
arbitrariamente intercalados.
Para as se´ries de termos de sinais quaisquer tambe´m temos um teste de convergeˆncia (o se´timo).
Teorema 7. (7 o. teste - Teste de Convergeˆncia para Se´ries de Sinais Quaisquer) Se a se´rie
∞∑
n=1
xn for tal que
∞∑
n=1
|xn|
converge, enta˜o
∞∑
n=1
xn tambe´m converge.
Observac¸a˜o. A rec´ıproca do teorema acima na˜o e´ verdadeira. Por exemplo,
∞∑
n=1
(−1)
n 1
n
converge (Teste de Leibniz ).
Entretanto,
∞∑
n=1
∣∣(−1)n 1
n
∣∣ = ∞∑
n=1
1
n
diverge (se´rie harmoˆnica de ordem 1).
Quando
∞∑
n=1
|xn| converge, dizemos que
∞∑
n=1
xn e´ uma se´rie absolutamente convergente .
O teste acima afirma, portanto, que toda se´rie absolutamente convergente e´ convergente.
Exemplos.
Exemplo (1) Estude a natureza da se´rie
∞∑
n=1
sen(n)
n2
.
Resoluc¸a˜o.
Temos uma se´rie com termos de sinais quaisquer. Entretanto, |xn| =
∣∣∣ sen(n)n2 ∣∣∣ ≤ 1n2 . Como a se´rie ∞∑
n=1
1
n2
e´
convergente (se´rie harmoˆnica de ordem p), pelo Teste da Comparac¸a˜o,
∞∑
n=1
|xn| =
∞∑
n=1
∣∣∣ sen(n)n2 ∣∣∣ converge. Logo, ∞∑
n=1
xn =
∞∑
n=1
sen(n)
n2
e´ absolutamente convergente e, pelo teste acima, convergente.
Exemplo (2) Estude a natureza da se´rie
∞∑
n=1
cos(npi)+sen2(npi2 )+3 cos(n
2)−5
nn
.
Resoluc¸a˜o.
Temos uma se´rie com termos de sinais quaisquer. Entretanto, |xn| =
∣∣∣∣ cos(npi)+sen2(npi2 )+3 cos(n2)−5nn ∣∣∣∣ ≤ 1+12+3.1+5nn =
10
nn
.
A se´rie
∞∑
n=1
10
nn
e´ convergente (use o Teste da Comparac¸a˜o, pois 10
nn
≤ 10
n2
, ou enta˜o use o Teste da Raiz ).
Assim, pelo Teste da Comparac¸a˜o,
∞∑
n=1
|xn| =
∞∑
n=1
∣∣∣∣ cos(npi)+sen2(npi2 )+3 cos(n2)−5nn ∣∣∣∣ converge.
Logo,
∞∑
n=1
xn =
∞∑
n=1
cos(npi)+sen2(npi2 )+3 cos(n
2)−5
nn
e´ absolutamente convergente e, pelo teste acima, convergente.
lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues
Pa´gina 22 UFU Sequeˆncias e Se´ries
Encerramos essa sec¸a˜o com os Testes da Raza˜o e da Raiz, que tambe´m possuem verso˜es para se´ries com sinais
quaisquer:
Proposic¸a˜o 4. (Teste da Raza˜o ou Teste de D’Alembert para Se´ries de Sinais Quaisquer) Consideremos a se´rie∞∑
n=1
xn de termos na˜o nulos com sinais quaisquer tal que lim
n→∞
∣∣∣xn+1xn ∣∣∣ = l ∈ R.
(i) Se l < 1, enta˜o
∞∑
n=1
xn e´ absolutamente convergente.
(ii) Se l > 1, enta˜o
∞∑
n=1
xn diverge.
Proposic¸a˜o 5. (Teste da Raiz ou Teste de Cauchy para Se´ries de Sinais Quaisquer) Consideremos a se´rie
∞∑
n=1
xn de
termos na˜o nulos com sinais quaisquer tal que lim
n→∞ n
√
|xn| = l ∈ R.
(i) Se l < 1, enta˜o
∞∑
n=1
xn e´ absolutamente convergente.
(ii) Se l > 1, enta˜o
∞∑
n=1
xn diverge.
Observac¸a˜o. Assim como nos respectivos testes de se´ries com termos positivos, quando l = 1 na˜o podemos concluir a
natureza da se´rie com os testes acima.
2.7 Exerc´ıcios Diversos
Exerc´ıcio (1) A se´rie
∞∑
n=1
(−1)
n
e´ divergente. Mas, a`s vezes, nossa familiaridade com as propriedades associativa ou
comutativa em somas de finitos termos podem nos pregar pec¸as em se´ries.
Observe:
De fato, a se´rie diverge. A sequeˆncia das somas parciais desta se´rie, dada por (sn)n∈N, e´ tal que
sn =

−1+ 1− 1+ 1− · · ·+ (−1)n︸ ︷︷ ︸
n parcelas
= −1 quando n e´ ı´mpar.
−1+ 1− 1+ 1− · · ·+ (−1)n︸ ︷︷ ︸
n parcelas
= 0 quando n e´ par.
,
ou seja,
(sn)n∈N = (−1, 0,−1, 0,−1, 0, . . .)
Como a sequeˆncias das somas parciais (sn)n∈N e´ divergente, temos, por definic¸a˜o, que a se´rie
∞∑
n=1
(−1)
n
e´ divergente.
Um racioc´ınio errado:
∞∑
n=1
(−1)
n
= −1+ 1− 1+ 1− 1+ 1− 1+ 1− · · ·
= (−1+ 1) + (−1+ 1) + (−1+ 1) + (−1+ 1) + · · ·
= 0+ 0+ 0+ 0+ · · ·
= 0 (?!)
As propriedades associativa ou comutativa na˜o valem para quaisquer se´ries. Essas propriedades valem para se´ries
absolutamente convergentes, que na˜o e´ o caso acima, da´ı a contradic¸a˜o.
Exerc´ıcio (2) A se´rie
∞∑
n=1
ln
(
n
n+5
)
e´ divergente. Desta vez, quem nos prega uma pec¸a sa˜o as propriedades de
logaritmos, que valem para somas e produtos de finitos termos.
Observe:
La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br
Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 23
De fato, a se´rie diverge. A sequeˆncia das somas parciais desta se´rie, dada por (sn)n∈N, e´ tal que
sn = ln
(
1
6
)
+ ln
(
2
7
)
+ ln
(
3
8
)
+ · · ·+ ln
(
n
n+ 5
)
= ln
(
1
6
2
7
3
8
4
9
5
10
6
11
7
12
8
13
· · · n− 7
n− 2
n− 6
n− 1
n− 5
n
n− 4
n+ 1
n− 3
n+ 2
n− 2
n+ 3
n− 1
n+ 4
n
n+ 5
)
= ln
(
1
1
2
1
3
1
5
1
1
1
1
1
1
1
· · · 1
1
1
1
1
1
1
n+ 1
1
n+ 2
1
n+ 3
1
n+ 4
1
n+ 5
)
= ln
(
5!
(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3) (n+ 4) (n+ 5)
)
Mas a sequeˆncia (sn)n∈N e´ uma sequeˆncia divergente, pois
lim
n→∞ ln
(
5!
(n+ 1) (n+ 2) (n+ 3) (n+ 4) (n+ 5)
)
= −∞
Como a sequeˆncias das somas parciais (sn)n∈N e´ divergente, temos, por definic¸a˜o, que a se´rie
∞∑
n=1
ln
(
n
n+5
)
e´
divergente.
Um racioc´ınio errado:
∞∑
n=1
ln
(
n
n+ 5
)
= ln
(
1
6
)
+ ln
(
2
7
)
+ ln
(
3
8
)
+ ln
(
4
9
)
+ ln
(
5
10
)
+ ln
(
6
11
)
+ ln
(
7
12
)
+ ln
(
8
13
)
+ · · ·
= ln
(
1
6
2
7
3
8
4
9
5
10
6
11
7
12
8
13
· · ·
)
= ln
(
1
1
2
1
31
4
1
5
1
1
1
1
1
1
1
· · ·
)
= ln (5!) (?!)
ou
∞∑
n=1
ln
(
n
n+ 5
)
= ln
(
1
6
)
+ ln
(
2
7
)
+ ln
(
3
8
)
+ ln
(
4
9
)
+ ln
(
5
10
)
+ ln
(
6
11
)
+ ln
(
7
12
)
+ ln
(
8
13
)
+ · · ·
= ln (1) − ln (6) + ln (2) − ln (7) + ln (3) − ln (8) + ln (4) − ln (9) + ln (5) − ln (10)
+ ln (6) − ln (11) + ln (7) − ln (12) + ln (8) − ln (13) + ln (9) − ln (14) + ln (10) − · · ·
= ln (1) + ln (2) + ln (3) + ln (4) + ln (5) + 0+ 0+ 0+ 0+ · · ·
= ln (1.2.3.4.5)
= ln (5!) (?!)
No primeiro caso, a propriedade relativa a` soma de logaritmos e´ va´lida para somas finitas e na˜o para somas infintas.
Ja´ no segundo caso, temos que as propriedades associativa ou comutativa na˜o valem para quaisquer se´ries. Essas
propriedades valem para se´ries absolutamente convergentes, que na˜o e´ o caso acima, da´ı a contradic¸a˜o.
Por fim, observemos que ln
(
n
n+5
)
< ln (1) = 0, ou seja, os termos da se´rie
∞∑
n=1
ln
(
n
n+5
)
sa˜o todos negativos. Logo,
na˜o e´ poss´ıvel que a soma convirja para ln (5!) > ln (1) = 0, que e´ um nu´mero positivo.
Naturalmente, o racioc´ınio acima pode ser aplicado a` se´rie
∞∑
n=1
ln
(
n
n+k
)
para qualquer k ∈ N, ou seja, trata-se de
uma se´rie divergente.
Exerc´ıcio (3) A se´rie
∞∑
n=2
2
n2−1
e´ convergente.
Observe:
lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues
Pa´gina 24 UFU Sequeˆncias e Se´ries
De fato, para n ∈ N temos
−2 ≥ −2n⇒
−1 ≥ −2n+ 1⇒
n2 − 1 ≥ n2 − 2n+ 1 = (n− 1)2 ⇒
1
n2 − 1
≤ 1
(n− 1)
2
⇒
2
n2 − 1
≤ 2
(n− 1)
2
.
Mas, ∞∑
n=2
2
(n− 1)
2
=
2
12
+
2
22
+
2
32
+
2
42
+ · · · =
∞∑
n=1
2
n2
.
Entretanto, como
∞∑
n=1
1
n2
e´ convergente (se´rie harmoˆnica de ordem 2), enta˜o
∞∑
n=1
2
n2
e´ convergente (teorema).
Pelo Teste da Comparac¸a˜o,
∞∑
n=2
2
n2−1
e´ convergente.
La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br