exercicios de calculo 1

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CEFET-RJ UnED NOVA FRIBURGO
Curso de Licenciatura em F´ısica
2a Lista de Ca´lculo Diferencial e Integral I - Profa Danielle Rezende
1. Mostre, usando a definic¸a˜o, que lim
x→x0
c = c.
2. Mostre, usando a definic¸a˜o, que lim
x→x0
x = x0.
3. Mostre, usando a definic¸a˜o, que lim
x→−2
1 + 3x = −5.
4. Mostre, usando a definic¸a˜o, que lim
x→−1
8 + 5x = 3.
5. Mostre, usando a definic¸a˜o, que lim
x→0
1 + 3 x = 1.
6. Mostre, usando a definic¸a˜o, que lim
x→4
1− 2 x = −7.
7. Mostre, usando a definic¸a˜o, que lim
x→2
x2 = 4.
8. Calcule o limite de cada uma das func¸o˜es abaixo justificando sua resposta ou
explique por que o limite na˜o existe.
(a) lim
x→0
f(x), onde f(x) =
{ |x|, x 6= 0
2, x = 0
(b) lim
x→√3
x2 − 3
x−√3
(c) lim
x→9
3−√x
9− x
(d) lim
x→0
f(x), onde f(x) =
{
0, x < 0
1, x ≥ 0
(e) lim
x→0
f(x), onde f(x) =
{
1/x, x 6= 0
0, x = 0
(f) lim
x→−2
(x+ 3) |x+ 2|
x+ 2
(g) lim
x→2
x2 − 5 x+ 6
x− 2
(h) lim
x→4
3−√5 + x
1−√5− x
(i) lim
x→3
x2 − 9√
x2 + 7− 4
(j) lim
x→3
x2 − 9
x2 − 3 x
(k) lim
x→3
x2 − 4 x+ 3
x3 − 27
(l) lim
x→1
x2 − 2 x+ 1
x3 − 1
(m) lim
x→1
√
x+ 2−√3
x3 − 1
(n) lim
x→4+
√
x− 2√
x− 4
(o) lim
x→11
√
x−√11√
x+ 11−√22
(p) lim
x→1
√
x2 − 1
x− 1
(q) lim
x→2
1
x
− 1
2
x− 2
(r) lim
x→2
x3 − 5x2 + 8 x− 4
x4 − 5 x− 6
(s) lim
x→−1
3
√
x3 + 1
x+ 1
(t) lim
x→0,0002
x
|x|
(u) lim
x→2+
2− x
2− |x|
(v) lim
x→2−
2− x
2− |x|
(w) lim
x→1+
√
x3 + 2 x2 − 7x+ 4
x2 − 1
(x) lim
x→1−
√
x3 + 2 x2 − 7 x+ 4
x2 − 1
(y) lim
x→1
x100 + 1− 2x
x50 + 1− 2 x
9. Considere as func¸o˜es f(x) =
{
x2 + 3, x ≤ 1
x+ 1, x > 1
e g(x) =
{
x2, x ≤ 1
2, x > 1
Calcule lim
x→1
f(x), lim
x→1
g(x) e lim
x→1
f(x) g(x).
10. Suponha que f : R→ R e´ tal que |f(x)| ≤ x4, ∀x ∈ R. Calcule lim
x→0
f(x)
x
.
11. Suponha que f : R→ R e´ tal que lim
x→0
f(x)
x
= 1. Calcule lim
x→0
f(4x)
x
.
12. Seja f : R→ R tal que
−x2 + 3 x ≤ f(x) < x
2 − 1
x− 1 , ∀ x 6= 1.
Calcule lim
x→1
f(x).
13. Suponha que
x− x
3
6
≤ sen x ≤ x− x
3
6
+
x5
120
, ∀x > 0.
Calcule lim
x→0+
sen x− x
x3
.
14. Calcule as constantes a e b de modo que
lim
x→b
x2 − a
x− b = 4.
15. A arrecadac¸a˜o mundial total pela exibic¸a˜o de um filme de grande sucesso de
bilheteria e´ aproximado pela func¸a˜o
A(x) =
120x2
x2 + 4
,
onde A(x) e´ medido em milho˜es de do´lares e x e´ o nu´mero de meses do filme em
cartaz. Pergunta-se:
(a) Qual e´ a arrecadac¸a˜o de bilheteria apo´s o primeiro e o segundo meˆs?
(b) Qual sera´ a arrecadac¸a˜o do filme a longo prazo?
16. Calcule, justificando:
(a) lim
x→0
x
senx
(b) lim
x→0
x2
sen (4 x)
(c) lim
x→0
tg (3 x) cossec (6x)
(d) lim
x→0
x2 cos
(
1
x
)
(e) lim
x→0
sen (4 x)
sen (5 x)
(f) lim
x→0
3
√
x3 − x2 sen ( 3√x)
x
(g) lim
x→pi
2
−1 + senx
x− pi
2
(h) lim
x→0
√
1 + tgx−√1 + sen x
x3
Respostas:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
(a) 0
(b) 2
√
3
(c)
1
6
(d) Na˜o existe
(e) Na˜o existe
(f) Na˜o existe
(g) -1
(h) −1
3
(i) 8
(j) 2
(k)
2
27
(l) 0
(m)
1
6
√
3
(n) 0
(o)
√
2
(p)
√
2
(q) −1
4
(r) 0
(s) 3
√
3
(t) 1
(u) 1
(v) 1
(w)
√
5
2
(x)
−√5
2
(y)
49
24
9. Na˜o existe, na˜o existe e 4
10. 0
11. 4
12. 2
13. −1
6
14. a = 4 e b = 2
15. (a) 24 e 60 milho˜es (b) 120 milho˜es
16.
(a) 1
(b) 0
(c)
1
2
(d) 0
(e)
4
5
(f) −1
(g) 0
(h)
1
8
Refereˆncias:
• Ca´lculo vol 1
George B. Thomas
• Ca´lculo vol 1
James Stewart
• Um curso de ca´lculo vol 1
Hamilton Luiz Guidorizzi
• O ca´lculo com geometria anal´ıtica
Louis Leithold