Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
1 Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas INTEGRAIS MÚLTIPLAS 1. INTEGRAL DUPLA • Introdução ♦ Região fechada R em R2 ♦ ƒ uma função contínua em R ♦ R região de integração ♦ Definir n sub-regiões, ∆, de R ♦ Norma ∆ desta partição A área é ∆iA = ∆ix∆iy Seja (ξi,γi) e ƒ(ξi,γi ). A soma dos produtos é f Ai i i i n ( , )ξ γ ∆ = ∑ 1 Definição: Seja ƒ uma função definida numa região retangular fechada R. Dizemos que L é o limite da soma, se L satisfizer a propriedade onde, para ε > 0, existir um δ > 0, tal que: f A L i i i i n ( , )ξ γ ε∆ − < = ∑ 1 , para toda partição, onde ║∆║ < δ Logo, l im∆ → 0 f Ai i i i n ( , )ξ γ ∆ = ∑ 1 = L Definição: Dizemos que ƒ(x,y) é integrável em R, se ƒ for definida em R e o número L existir. Assim L é chamada integral dupla de ƒ em R. ∆iy ∆ix y x (ξi,γi) (b1,b2) (a1,a2) 2 Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas l im∆ → 0 f Ai i i i n ( , )ξ γ ∆ = ∑ 1 ` = f x y dA R ( , )∫∫ = = f x y dxdy R ( , )∫∫ = f x y dydx R ( , )∫∫ Teorema: Se ƒ(x,y) é contínua em R, então ƒ é integrável em R. Exercício 1: Encontre um valor aproximado da integral dupla ( )4 5 2x y dA R −∫∫ , onde R é a região quadrada com vértices (-2,0) e (2,4). Sugestão: Divida a região em quatro partes iguais. Qual a norma da partição? • Interpretação geométrica ◊ Medida de volume ◊ Seja ƒ(x,y) não negativa e contínua em R ∆iV = ƒ(ξi,γi )∆iA = ƒ(ξi,γi )∆ix∆iy ⇒V = Σ ∆iV = f x y dA R ( , )∫∫ 3 Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas Teorema: Se ƒ(x,y) é contínua em R e ƒ(x,y)≥0, para todo (x,y) em R, então o volume do sólido é dado por: V(s) = lim∆ → 0 f Ai i ii n ( , )ξ γ ∆ = ∑ = 1 f x y dA R ( , )∫∫ • Principais propriedades a)Teorema: Se c é uma constante e ƒ é integrável em R, então cƒ é integrável em R e c f x y dA R . ( , )∫∫ = c f x y dA R ( , )∫∫ b)Teorema: Se f e g são integráveis em R, então f + g é integrável em R e [ ]f x y g x y dA R ( , ) ( , )+ =∫∫ f x y dA R ( , )∫∫ + g x y dA R ( , )∫∫ c) Teorema: Se f e g são integráveis em R, e ƒ(x,y) ≥ g(x,y) em R, então: f x y dA R ( , )∫∫ ≥ g x y dA R ( , )∫∫ d)Teorema: Se ƒ é integrável em R, onde R seja composta de duas sub-regiões R1 e R2 excludentes, então: f x y dA R ( , )∫∫ = f x y dA R ( , ) 1 ∫∫ + f x y dA R ( , ) 2 ∫∫ 4 Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas • Cálculo das integrais duplas ♦ Teorema fundamental do cálculo ♦ Sucessivas integrais simples ♦ Interpretação geométrica como medida de volume • Integral dupla em coordenadas retangulares Seja ƒ integrável em R, com ƒ(x,y) ≥ 0 f x y dA R ( , )∫∫ é a medida do volume do sólido entre a superfície e a região R. Usando o método das seções planas paralelas: A y f x y dx a b ( ) ( , )= ∫ 1 1 Assim, expressamos a medida do volume V = A y dy a b ( ) 2 2∫ = f x y dA R ( , )∫∫ ⇒ = =∫∫V f x y dA R ( , ) f x y dx dy a b a b ( , ) 1 1 2 2 ∫∫ ⎡ ⎣ ⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥ 5 Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas • Solução por integrais repetidas (iteradas) a) Casos onde y=f(x) Suponha R no plano xy, limitado por x=a e x=b e pelas curvas y = ∅1(x) e y = ∅2(x), contínuas em [a,b]. • ∅1(x) < ∅2(x) • Seja ∆ uma partição em [a,b]. • R dividida em n faixas horizontais A medida da área de cada sub-região, no plano x = ξi é: f y dy i i i ( , ) ( ) ( ) ξ φ ξ φ ξ 1 2∫ O volume definido pela i- ésima faixa horizontal é ≅ ∫( ( , ) ) ( ) ( ) f y dy x i i i i ξ φ ξ φ ξ 1 2 ∆ O volume total é obtido por [lim∆ → =∑0 1i n ]f y dy xi i i i ( , ) ( ) ( ) ξ φ ξ φ ξ 1 2∫ =∆ = ⎡ ⎣ ⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥∫∫ f x y dy dxx x a b ( , ) ( ) ( ) φ φ 1 2 6 Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas Exercício 2: Calcule o volume contido entre a região da figura ao lado e a superfície definida pela função z=(x2-y) b) Casos onde x=f(y) • Suponha R no plano xy, limitado por y=c e y=d e pelas curvas x = λ1(y) e x = λ2(y), contínuas em [c,d]. • λ1(y) < λ2(y) • Seja ∆ uma partição em [c,d] • R dividida em n faixas horizontais A medida da área de cada sub- região, no plano y=γ i é: f x dxi i i ( , ) ( ) ( ) γ λ γ λ γ 1 2∫ O volume definido pela i-ésima faixa horizontal é ≅ ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟∫ f x dx yi i i i ( , ) ( ) ( ) γ λ γ λ γ 1 2 ∆ 7 Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas O volume total é obtido por lim ( , ) ( ) ( ) ∆ ∆→ = ∫∑ ⎛ ⎝ ⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟0 1 1 2 f x dx y i i i n i i γ λ γ λ γ = f x y dx dy y y c d ( , ) ( ) ( ) λ λ 1 2∫∫ ⎛⎝⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ Obs.: Se ƒ(x,y) = 1 para todo ƒ(x,y), então o resultado obtido equivale numericamente à área da região de integração. Exercicio 3: Encontre por integração dupla a área em destaque na figura ao lado, onde y = x2 e y = 4x-x2 y=x2 8 Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas • Integral dupla em coordenadas polares • Região R limitada pelas retas θ=α e θ=β, e pelas circunferências r=a e r=b, com n sub-regiões. ∆ i i i iA= − −r 2 1 2 ( )θ θ - r i i i i i i r r− − − =1 2 1 2 ( )θ θ θ∆ ∆ ⇒ f r Ai i i i n ( , )θ ∆ = = ∑ 1 f r r ri i i i i i n ( , )θ θ∆ ∆ = ∑ 1 ⇒ lim∆ → 0 f r Ai i ii n ( , )θ ∆ = = ∑ 1 f r dA R ( , )θ∫∫ = = ∫∫ f r rdrd R ( , )θ θ Exercício 4: Calcule o volume do sólido limitado acima por z=2-r e abaixo pela região plana (0≤ r≤2cosθ) e (-π/2≤θ≤π/2) • Solução por integrais repetidas (iteradas) a) Casos onde r = f(θ) Suponha R no plano (r,θ), limitado por r=∅1(θ) e r =∅2(θ), e pelas retas θ=α e θ=β. ⇒ f r dA R ( , )θ∫∫ = = ∫∫ f r rdrd( , ) ( ) ( ) θ θ φ θ φ θ α β 1 2 9 Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas b) Casos onde θ = f(r) Suponha R no plano (r,θ), limitado por θ=χ1(r) e θ=χ2(r), e pelas circunferências r=a e r=b. ⇒ f r dA R ( , )θ∫∫ = = ∫∫ f r rd dr r r a b ( , ) ( ) ( ) θ θ χ χ 1 2 Exercício 5: Encontre o volume: a) de uma esfera de raio R e centro na origem. b) do sólido limitado acima pelo plano z = y+b, abaixo pelo plano xy e nos lados pelo cilindro circular x2 + y2 = b2. c) do sólido recortado da esfera z2+r2=16, pelo cilindro r=4cosθ 10 Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas 2. INTEGRAL TRIPLA • Integral tripla em coordenadas retangulares ♦ Extensão da integral dupla ♦ ƒ uma função contínua de três variáveis ♦ S região de integração em R3 ♦ Definir n partições, ∆, de S ♦ Norma ║∆║ desta partição O volume é ∆iV = ∆ix ∆iy ∆iz Seja (ξi ,γ i ,µ i) e ƒ(ξi ,γ i ,µ i) A soma dos produtos é f V i i i i i n ( , , )ξ γ µ ∆ = ∑ 1 Definição: Seja ƒ uma função definida numa região retangular fechada S. Dizemos que L é o limite da soma, se L, para ε > 0, existirum δ > 0, tal que: f V Li i i i i n ( , , )ξ γ µ ε∆ − < = ∑ 1 para toda partição ∆, onde ║∆║ < δ Logo, l im∆ → 0 f V Li i i ii n ( , , )ξ γ µ ∆ = ∑ = 1 Definição: Dizemos que ƒ(x,y,z) é integrável em S, se ƒ for definida em S e o número L existir. Assim L é chamada integral tripla de ƒ em S. l im∆ → 0 f Vi i i ii n ( , , )ξ γ µ ∆ = = ∑ 1 f x y z dV S ( , , )∫∫∫ = = ∫∫∫ f x y z dxdydz S ( , , ) 11 Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas Exercício 6: Calcule ( )xyz dxdydz 0 1 0 1 0 1 ∫∫∫ • Cálculo das integrais triplas em R3 ♦ S região tridimensional fechada A integral tripla pode ser calculada através de integrais iteradas. f x y z dz dy dx F x y F x y x x a b ( , , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) 1 2 1 2 ∫∫∫ ⎛⎝⎜⎜ ⎞ ⎠ ⎟⎟ ⎡ ⎣ ⎢⎢ ⎤ ⎦ ⎥⎥φ φ ♦ Quando ƒ(x,y,z)=1, a integral tripla pode ser interpretada como medida de volume. Exercício 7: Encontre: a) a massa do tetraedro da figura ao lado, se a densidade de massa em cada ponto (x,y,z) é xy. b) o volume do sólido limitado inferiormente pelo parabolóide elíptico 3x2+y2 = z e abaixo do cilindro x2+z= 4. c) o volume do sólido no primeiro octante limitado inferiormente pelo plano xy, acima pelo plano z=y e lateralmente pelo cilindro y2 = x e o plano x=1. 12 Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas • Integral tripla em coordenadas cilindricas ♦ Região S tem um eixo de simetria ♦ Partição cilíndrica com n sub-regiões ♦ A área da base é ∆iA = ri ∆ir ∆iθ ♦ O volume da i-ésima sub-região é ∆iV = ri ∆ir ∆iθ ∆iz ♦ ƒ(r,θ,z) contínua em S. l im∆ → 0 f r z Vi i i ii n ( , , )θ ∆ = = ∑ 1 f r z dV S ( , , )θ∫∫∫ = f r z rdrd dz S ( , , )θ θ∫∫∫ é a integral tripla em coordenadas cilíndricas da função ƒ em S Exercício 8 : Encontre: a) a massa de um cilindro sólido de raio R e altura h, se a densidade de massa em cada ponto é proporcional à raiz quadrada da distância ao eixo do cilindro. b) Usando coordenadas cilindricas, o volume do sólido S que é limitado acima pelo parabolóide z=1-(x2+y2) e abaixo pelo plano xy. c) o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido homogêneo limitado pelo cilindro r=5, o cone z=r e o plano xy. A densidade de massa é k kg/m3. 13 Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas • Integral tripla em coordenadas esféricas ♦ Região S :ponto de simetria e sólido de revolução ♦ Partição com n sub-regiões (aproximadas por retângulos) ♦ O volume da i-ésima sub-região é ∆iV = ρi senϕi ∆iθ . ρi ∆iϕ . ∆iρ = ρi2 senϕi ∆iρ ∆iθ ∆iϕ 14 Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas ♦ ƒ(ρ,θ,ϕ) contínua em S. l im∆ → 0 f Vi i i ii n ( , , )ρ θ ϕ ∆ = = ∑ 1 f dV S ( , , )ρ θ ϕ∫∫∫ = = ∫∫∫ f d d d S ( , , ) senρ θ ϕ ρ ϕ ρ θ ϕ2 é a integral tripla em coordenadas esféricas da função ƒ em S. Exercício 9: Calcule: a) a massa do hemisfério sólido de raio a, se a densidade de massa em cada ponto é proporcional à distância do ponto ao centro da base. b) Usando coordenadas esféricas, a massa de uma bola sólida de raio unitário, se a densidade de massa de cada ponto d em relação ao centro, é 1 1 2( )+ d c) O volume do sólido T contido pela superfície (x2+y2+z2)2=2z(x2 + y2) d) O momento de inércia em relação ao eixo z do sólido homogêneo interior ao cilindro x2 + y2 - 2x = 0, abaixo do cone x2 + y2 = z2 e acima do plano xy. A densidade de massa em qualquer ponto é k kg/m3. 15 Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas 3. TEOREMA DE GREEN • Integral de linha ♦ Conceito de área em integral definida ♦ Conceito de trabalho em integral de campo vetorial Seja F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j e R(t) = f(t)i + g(t)j (a≤ t≤ b) Definição: Se C é uma curva em R2 definida por R(t), e seja um campo de forças F(x,y), então: ( ) ( )[ ]W M f t g t f t N f t g t g t dt a b = + =∫ ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )) ) ( )= = =∫∫ F R t R t dt F dR Ca b ( ) . ( ) .) ( )= +∫ M x y dx N x y dy C ( , ) ( , ) Estas integrais são chamadas “Integrais de linha” Exercício 10: Suponha que uma partícula se move ao longo da parábola y=x2, do ponto (-1,1) ao ponto (2,4) e F(x,y)=(x2+y2)i + 3x2yj . Qual o trabalho realizado neste percurso? 16 Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas Definição: Se C consiste de n arcos suaves, então: ( )M x y dx N x y dy C ( , ) ( , )+ =∫ ( )= +∫∑ = M x y dx N x y dy Ci n i ( , ) ( , ) 1 Exercício 11: Calcule as integrais de linha: a) [ ]4 2 32xydx x xy dy C + −∫ ( ) , Estando a curva C representada na figura ao lado. b) [ ]e dx x dyy C −∫ sen( ) ,π para o percurso apresentado na figura ao lado. • Teorema de Green • Expressa uma integral dupla sobre uma região plana R, em termos de uma integral de linha, ao longo da fronteira de R. Teorema: Sejam M e N funções de (x,y) com derivadas parciais contínuas. Se C é uma curva fechada limitando uma região R, então: ( ) ( )M x y dx N x y dy N x M y dA C R ( , ) ( , ) . / . . / .+ = −∫ ∫∫ ∂ ∂ ∂ ∂ 17 Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas Exercício 12: Use o teorema de Green para calcular a integral de linha [ ]y d x x yd y C 2 4+∫ , onde C é a curva fechada da figura ao lado. O arco da parábola é y=x2. Teorema: Seja uma região R tendo C como fronteira. Assim, a área de R é dada por: ( ) A x d y y d x C= −∫ 2 Exercício 13: Calcule a área limitada pela: a) parábola y=x2 e pela curva y x= . b) hipociclóide x2/3 + y2/3 = a2/3, ilustrada na figura abaixo, tendo as equações paramétricas x= acos 3(θ) y = asen 3(θ) a>0 e 0≤θ≤2π.
Compartilhar