Integrais Múltiplas- Calculo IV -Valdson

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Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas 
INTEGRAIS MÚLTIPLAS 
 
 
1. INTEGRAL DUPLA 
 
• Introdução 
 
♦ Região fechada R em R2 
♦ ƒ uma função contínua em R 
♦ R região de integração 
♦ Definir n sub-regiões, ∆, de R 
♦ Norma ∆ desta partição 
 
A área é ∆iA = ∆ix∆iy 
 
Seja (ξi,γi) e ƒ(ξi,γi ). 
A soma dos produtos é f Ai i i
i
n
( , )ξ γ ∆
=
∑
1
 
 
Definição: Seja ƒ uma função definida numa região retangular 
fechada R. Dizemos que L é o limite da soma, se L satisfizer 
a propriedade onde, para ε > 0, existir um δ > 0, tal que: 
 
f A L
i i i
i
n
( , )ξ γ ε∆ − <
=
∑
1
 , para toda partição, onde ║∆║ < δ 
 
Logo, l im∆ → 0 f Ai i i
i
n
( , )ξ γ ∆
=
∑
1
= L 
 
Definição: Dizemos que ƒ(x,y) é integrável em R, se ƒ for 
definida em R e o número L existir. Assim L é 
chamada integral dupla de ƒ em R. 
∆iy 
∆ix 
y 
x 
(ξi,γi) 
(b1,b2) 
(a1,a2) 
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Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas 
 l im∆ → 0 f Ai i i
i
n
( , )ξ γ ∆
=
∑
1
` = f x y dA
R
( , )∫∫ = 
 = f x y dxdy
R
( , )∫∫ = f x y dydx
R
( , )∫∫ 
 
Teorema: Se ƒ(x,y) é contínua em R, então ƒ é integrável 
em R. 
 
Exercício 1: Encontre um valor aproximado da integral 
dupla ( )4 5
2x y dA
R
−∫∫ , onde R é a região quadrada com 
vértices (-2,0) e (2,4). 
 
Sugestão: Divida a região em quatro partes iguais. Qual a 
norma da partição? 
 
• Interpretação geométrica 
 
 
◊ Medida de volume 
 
◊ Seja ƒ(x,y) não negativa e contínua em R 
 
∆iV = ƒ(ξi,γi )∆iA = ƒ(ξi,γi )∆ix∆iy 
⇒V = Σ ∆iV = f x y dA
R
( , )∫∫ 
 
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Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas 
Teorema: Se ƒ(x,y) é contínua em R e ƒ(x,y)≥0, para todo 
(x,y) em R, então o volume do sólido é dado por: 
 
 V(s) = lim∆ → 0 f Ai i ii
n
( , )ξ γ ∆
=
∑ =
1
f x y dA
R
( , )∫∫ 
 
• Principais propriedades 
 
a)Teorema: Se c é uma constante e ƒ é integrável em R, 
então cƒ é integrável em R e 
 
c f x y dA
R
. ( , )∫∫ = c f x y dA
R
( , )∫∫ 
 
b)Teorema: Se f e g são integráveis em R, então f + g é 
integrável em R e 
 
 [ ]f x y g x y dA
R
( , ) ( , )+ =∫∫ f x y dA
R
( , )∫∫ + g x y dA
R
( , )∫∫ 
 
c) Teorema: Se f e g são integráveis em R, e ƒ(x,y) ≥ g(x,y) 
em R, então: 
 
 
f x y dA
R
( , )∫∫ ≥ g x y dA
R
( , )∫∫ 
 
d)Teorema: Se ƒ é integrável em R, onde R seja composta de 
duas sub-regiões R1 e R2 excludentes, então: 
 
f x y dA
R
( , )∫∫ = f x y dA
R
( , )
1
∫∫ + f x y dA
R
( , )
2
∫∫ 
 
 
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Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas 
• Cálculo das integrais duplas 
 
♦ Teorema fundamental do cálculo 
♦ Sucessivas integrais simples 
♦ Interpretação geométrica como medida de volume 
 
• Integral dupla em coordenadas retangulares 
 
 
Seja ƒ integrável em R, com 
ƒ(x,y) ≥ 0 
 
 f x y dA
R
( , )∫∫ 
 
é a medida do volume do sólido 
entre a superfície e a região R. 
 
 
Usando o método das seções planas paralelas: 
 
A y f x y dx
a
b
( ) ( , )= ∫
1
1
 
Assim, expressamos a medida do volume 
 
 V = A y dy
a
b
( )
2
2∫ = f x y dA
R
( , )∫∫ 
 
 ⇒ = =∫∫V f x y dA
R
( , ) f x y dx dy
a
b
a
b
( , )
1
1
2
2 ∫∫ ⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥ 
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• Solução por integrais repetidas (iteradas) 
 
a) Casos onde y=f(x) 
Suponha R no plano xy, limitado por x=a e x=b e pelas 
curvas y = ∅1(x) e y = ∅2(x), contínuas em [a,b]. 
• ∅1(x) < ∅2(x) 
• Seja ∆ uma partição em [a,b]. 
• R dividida em n faixas horizontais 
 
A medida da área de cada 
sub-região, no plano x = ξi é: 
 
f y dy
i
i
i
( , )
( )
( )
ξ
φ ξ
φ ξ
1
2∫ 
 
O volume definido pela i-
ésima 
faixa horizontal é 
 ≅ ∫( ( , ) )
( )
( )
f y dy x
i i
i
i
ξ
φ ξ
φ ξ
1
2
∆ 
 
 
 
O volume total é obtido por 
 [lim∆ → =∑0 1i
n
]f y dy xi i
i
i
( , )
( )
( )
ξ
φ ξ
φ ξ
1
2∫ =∆ 
 
=
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥∫∫ f x y dy dxx
x
a
b
( , )
( )
( )
φ
φ
1
2
 
 
 
 
 
 
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Exercício 2: Calcule o 
volume contido entre a 
região da figura ao lado e a 
superfície definida pela 
função z=(x2-y) 
 
 
 
b) Casos onde x=f(y) 
 
• Suponha R no plano xy, limitado por y=c e y=d e pelas 
curvas x = λ1(y) e x = λ2(y), contínuas em [c,d]. 
• λ1(y) < λ2(y) 
• Seja ∆ uma partição em [c,d] 
• R dividida em n faixas 
horizontais 
 
A medida da área de cada sub-
região, no plano y=γ i é: 
 
 f x dxi
i
i
( , )
( )
( )
γ
λ γ
λ γ
1
2∫ 
 
 
 
O volume definido pela i-ésima faixa horizontal é 
 ≅
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟∫ f x dx yi i
i
i
( , )
( )
( )
γ
λ γ
λ γ
1
2
∆ 
 
 
7 
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O volume total é obtido por 
lim ( , )
( )
( )
∆ ∆→ = ∫∑
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟0
1
1
2
f x dx y
i i
i
n
i
i
γ
λ γ
λ γ
= f x y dx dy
y
y
c
d
( , )
( )
( )
λ
λ
1
2∫∫ ⎛⎝⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟ 
 
 
Obs.: Se ƒ(x,y) = 1 para todo ƒ(x,y), então o resultado obtido 
equivale numericamente à área da região de 
integração. 
 
 
 
Exercicio 3: Encontre por 
integração dupla a área em 
destaque na figura ao lado, 
onde y = x2 e y = 4x-x2 
 
 
 
 
 
 
y=x2 
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• Integral dupla em coordenadas polares 
 
• Região R limitada pelas retas θ=α e θ=β, e pelas 
circunferências r=a e r=b, com n sub-regiões. 
 
∆
i
i i iA= − −r 
2
1
2
( )θ θ
 -
r
 i i i
i i i
r r− −
− =1
2
1
2
( )θ θ θ∆ ∆ 
⇒ f r Ai i i
i
n
( , )θ ∆ =
=
∑
1
 f r r ri i i i i
i
n
( , )θ θ∆ ∆
=
∑
1
 
⇒ lim∆ → 0 f r Ai i ii
n
( , )θ ∆ =
=
∑
1
f r dA
R
( , )θ∫∫ = 
= ∫∫ f r rdrd
R
( , )θ θ 
 
 
 
Exercício 4: Calcule o volume do sólido limitado acima por 
z=2-r e abaixo pela região plana (0≤ r≤2cosθ) e (-π/2≤θ≤π/2) 
 
 
• Solução por integrais repetidas (iteradas) 
 
a) Casos onde r = f(θ) 
 Suponha R no plano (r,θ), limitado por r=∅1(θ) e r =∅2(θ), 
e pelas retas θ=α e θ=β. 
 
⇒ f r dA
R
( , )θ∫∫ = 
= ∫∫ f r rdrd( , )
( )
( )
θ θ
φ θ
φ θ
α
β
1
2
 
 
 
 
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b) Casos onde θ = f(r) 
 Suponha R no plano (r,θ), limitado por θ=χ1(r) e θ=χ2(r), e 
pelas circunferências r=a e r=b. 
 
⇒ f r dA
R
( , )θ∫∫ = 
= ∫∫ f r rd dr
r
r
a
b
( , )
( )
( )
θ θ
χ
χ
1
2
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 5: Encontre o volume: 
a) de uma esfera de raio R e centro na origem. 
 
b) do sólido limitado acima pelo plano z = y+b, abaixo pelo 
plano xy e nos lados pelo cilindro circular x2 + y2 = b2. 
 
c) do sólido recortado da esfera z2+r2=16, pelo cilindro 
r=4cosθ 
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2. INTEGRAL TRIPLA 
 
• Integral tripla em coordenadas retangulares 
 
♦ Extensão da integral dupla 
♦ ƒ uma função contínua de três 
variáveis 
♦ S região de integração em R3 
♦ Definir n partições, ∆, de S 
♦ Norma ║∆║ desta partição 
 
O volume é ∆iV = ∆ix ∆iy ∆iz 
 
Seja (ξi ,γ i ,µ i) e ƒ(ξi ,γ i ,µ i) 
A soma dos produtos é 
f V
i i i i
i
n
( , , )ξ γ µ ∆
=
∑
1
 
Definição: Seja ƒ uma função definida numa região retangular 
fechada S. Dizemos que L é o limite da soma, se 
L, para ε > 0, existirum δ > 0, tal que: 
 f V Li i i i
i
n
( , , )ξ γ µ ε∆ − <
=
∑
1
 
 para toda partição ∆, onde ║∆║ < δ 
Logo, l im∆ → 0 f V Li i i ii
n
( , , )ξ γ µ ∆
=
∑ =
1
 
 
Definição: Dizemos que ƒ(x,y,z) é integrável em S, se ƒ for 
definida em S e o número L existir. Assim L é 
chamada integral tripla de ƒ em S. 
 
 l im∆ → 0 f Vi i i ii
n
( , , )ξ γ µ ∆ =
=
∑
1
f x y z dV
S
( , , )∫∫∫ = 
 = ∫∫∫ f x y z dxdydz
S
( , , ) 
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Exercício 6: Calcule ( )xyz dxdydz
0
1
0
1
0
1
∫∫∫ 
 
• Cálculo das integrais triplas 
em R3 
 
♦ S região tridimensional 
fechada 
A integral tripla pode ser 
calculada através de 
integrais iteradas. 
f x y z dz dy dx
F x y
F x y
x
x
a
b
( , , )
( , )
( , )
( )
( )
1
2
1
2 ∫∫∫ ⎛⎝⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥φ
φ
 
 
♦ Quando ƒ(x,y,z)=1, a integral tripla pode ser interpretada 
como medida de volume. 
 
Exercício 7: Encontre: 
a) a massa do tetraedro da 
figura ao lado, se a 
densidade de massa em 
cada ponto (x,y,z) é xy. 
 
 
 
b) o volume do sólido limitado inferiormente pelo parabolóide 
elíptico 3x2+y2 = z e abaixo do cilindro x2+z= 4. 
c) o volume do sólido no primeiro octante limitado 
inferiormente pelo plano xy, acima pelo plano z=y e 
lateralmente pelo cilindro y2 = x e o plano x=1. 
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• Integral tripla em coordenadas cilindricas 
 
♦ Região S tem um eixo de simetria 
♦ Partição cilíndrica com n sub-regiões 
♦ A área da base é ∆iA = ri ∆ir ∆iθ 
♦ O volume da i-ésima sub-região é ∆iV = ri ∆ir ∆iθ ∆iz 
♦ ƒ(r,θ,z) contínua em S. 
 
l im∆ → 0 f r z Vi i i ii
n
( , , )θ ∆ =
=
∑
1
f r z dV
S
( , , )θ∫∫∫ = f r z rdrd dz
S
( , , )θ θ∫∫∫ 
 
é a integral tripla em coordenadas cilíndricas da função ƒ em S 
 
Exercício 8 : Encontre: 
a) a massa de um cilindro sólido de raio R e altura h, se a 
densidade de massa em cada ponto é proporcional à raiz 
quadrada da distância ao eixo do cilindro. 
b) Usando coordenadas cilindricas, o volume do sólido S 
que é limitado acima pelo parabolóide z=1-(x2+y2) e 
abaixo pelo plano xy. 
c) o momento de inércia em relação ao eixo z do sólido 
homogêneo limitado pelo cilindro r=5, o cone z=r e o 
plano xy. A densidade de massa é k kg/m3. 
 
 
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• Integral tripla em coordenadas esféricas 
 
 
 
♦ Região S :ponto de simetria e sólido de revolução 
♦ Partição com n sub-regiões (aproximadas por retângulos) 
♦ O volume da i-ésima sub-região é 
∆iV = ρi senϕi ∆iθ . ρi ∆iϕ . ∆iρ = ρi2 senϕi ∆iρ ∆iθ ∆iϕ 
 
 
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♦ ƒ(ρ,θ,ϕ) contínua em S. 
 l im∆ → 0 f Vi i i ii
n
( , , )ρ θ ϕ ∆ =
=
∑
1
f dV
S
( , , )ρ θ ϕ∫∫∫ = 
 = ∫∫∫ f d d d
S
( , , ) senρ θ ϕ ρ ϕ ρ θ ϕ2 
é a integral tripla em coordenadas esféricas da função ƒ em S. 
 
Exercício 9: Calcule: 
 
 
a) a massa do hemisfério sólido de raio a, se a densidade de 
massa em cada ponto é proporcional à distância do 
ponto ao centro da base. 
 
 
b) Usando coordenadas esféricas, a massa de uma bola 
sólida de raio unitário, se a densidade de massa de cada 
ponto d em relação ao centro, é 
 
1
1 2( )+ d 
 
 
c) O volume do sólido T contido pela superfície 
(x2+y2+z2)2=2z(x2 + y2) 
 
 
d) O momento de inércia em relação ao eixo z do sólido 
homogêneo interior ao cilindro x2 + y2 - 2x = 0, abaixo do 
cone x2 + y2 = z2 e acima do plano xy. A densidade de 
massa em qualquer ponto é k kg/m3. 
 
 
 
 
 
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3. TEOREMA DE GREEN 
 
• Integral de linha 
 
♦ Conceito de área em integral definida 
♦ Conceito de trabalho em integral de campo vetorial 
 
 
Seja F(x,y) = M(x,y)i + N(x,y)j e 
 R(t) = f(t)i + g(t)j (a≤ t≤ b) 
 
 
 
 
 
Definição: Se C é uma curva em R2 definida por R(t), e seja 
um campo de forças F(x,y), então: 
( ) ( )[ ]W M f t g t f t N f t g t g t dt
a
b
= + =∫ ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )) ) 
( )= = =∫∫ F R t R t dt F dR
Ca
b
( ) . ( ) .)
 
( )= +∫ M x y dx N x y dy
C
( , ) ( , )
 
 
 
 
Estas integrais são chamadas “Integrais de linha” 
 
 
Exercício 10: Suponha que uma partícula se move ao 
longo da parábola y=x2, do ponto (-1,1) ao ponto (2,4) e 
F(x,y)=(x2+y2)i + 3x2yj . Qual o trabalho realizado neste 
percurso? 
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Definição: Se C consiste de n arcos suaves, então: 
 
( )M x y dx N x y dy
C
( , ) ( , )+ =∫ 
( )= +∫∑
=
M x y dx N x y dy
Ci
n
i
( , ) ( , )
1
 
 
Exercício 11: Calcule as integrais de linha: 
a) [ ]4 2 32xydx x xy dy
C
+ −∫ ( ) , 
Estando a curva C 
representada na figura ao 
lado. 
 
b) [ ]e dx x dyy
C
−∫ sen( ) ,π 
para o percurso apresentado 
na figura ao lado. 
 
 
 
• Teorema de Green 
• Expressa uma integral dupla sobre uma região plana R, em 
termos de uma integral de linha, ao longo da fronteira de R. 
 
Teorema: Sejam M e N funções de 
(x,y) com derivadas parciais 
contínuas. Se C é uma curva 
fechada limitando uma região 
R, então: 
 
 
 
 
( ) ( )M x y dx N x y dy N x M y dA
C R
( , ) ( , ) . / . . / .+ = −∫ ∫∫ ∂ ∂ ∂ ∂ 
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Valdson Simões – Cálculo IV Integrais Múltiplas 
 
 
Exercício 12: Use o teorema 
de Green para calcular a 
integral de linha 
 
[ ]y d x x yd y
C
2 4+∫ , 
onde C é a curva fechada da 
figura ao lado. O arco da 
parábola é y=x2. 
 
 
Teorema: Seja uma região R tendo C como fronteira. Assim, 
a área de R é dada por: 
 
 
( )
A
x d y y d x
C=
−∫
2 
 
Exercício 13: Calcule a área limitada pela: 
a) parábola y=x2 e pela curva y x= . 
 
 
b) hipociclóide x2/3 + y2/3 = a2/3, 
ilustrada na figura abaixo, tendo as 
equações paramétricas 
 
 x= acos 3(θ) 
 y = asen 3(θ) 
 a>0 e 0≤θ≤2π.