Análise de circuitos em corrente alternada

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29/09/2009
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Eletricidade II
PARTE  I
ANÁLISE  DE  CIRCUITOS  EM  
CORRENTE  ALTERNADA
1
CORRENTE  ALTERNADA
Princípios
y A energia elétrica fornecida por meio de tensão e corrente 
alternadas são as formas mais comuns em nosso sistema 
elétrico;
y Isto se deve, principalmente, pela simplicidade com a qual as 
tensões alternadas são produzidas;
C b L i d I d ã d F d é í l d iy Com base na Lei da Indução de Faraday, é possível produzir 
geradores de grande capacidade e eficiência associados a 
elevados níveis de potência.
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Aula I
ONDAS  SENOIDAIS
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Princípios
y Uma tensão alternada (c.a.) é aquela cujo módulo varia 
continuamente e cuja polaridade é invertida periodicamentej p p
y Formas de onda alternada podem ser encontradas de diversas 
formas:
{ Quadrada;
{ Retangular;
{ Triangular;{ Triangular;
{ Dente de Serra;
{ Senoidal.
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Princípios
y Representações:
{ vCA ou vc.a.
{ vAC ou va.c.
{ v(t)
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Tensão Senoidal
y É uma tensão alternada cuja variação pode ser representada 
por uma função senoidal:p ç
)()( max φω += tsenvtv
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Geração de Tensão Senoidal
y A forma mais usual de geração de tensão senoidal é através 
de um gerador, denominado alternador;g
y Um exemplo simplificado de um alternador pode ser obtido 
considerando‐se uma espira condutora que gira através de 
um campo magnético interceptando as linhas de força;
y A variação do campo que intercepta a espira produz uma 
força eletromotriz variável em seus terminais;
y Se a espira gira a uma velocidade angular ω  constante  a y Se a espira gira a uma velocidade angular, ω, constante, a 
tensão induzida varia de forma senoidal;
y Cada giro completo da espira no interior do campo representa 
um ciclo da forma de onda.
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Princípios
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Geração de Tensão Senoidal
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Geração de Tensão Senoidal
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Geração de Tensão Senoidal
y Para uma espira retangular, sabemos que:
dlA
y O campo magnético que atravessa essa espira depende da sua 
posição relativa, sendo dado por:
;dlA ⋅=
;θφ senAB ⋅⋅=
y Se essa posição varia a uma velocidade angular constante, ω, 
pode‐se dizer que:
;)( tsenABt ωφ ⋅⋅=
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Geração de Tensão Senoidal
y Pela lei da indução, o módulo da força eletromotriz induzida 
é dada por:p
y Considerando‐se a variação senoidal do fluxo, a tensão 
induzida na espira será dada por:
;
dt
dφ=X
( )
;cos
)(
tAB
tsen
dt
dAB
dt
tsenABd
dt
d
ωω
ωωφ
⋅=
⋅=⋅⋅==
X
X
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Geração de Tensão Senoidal
y Como um ciclo de tensão correspode a uma rotação da espira 
em torno de um ciclo, os trechos deste círculo são expressos p
em ângulos:
y Assim:
{ O ciclo completo equivale a uma rotação completa da espira, ou 
360 graus;
{ Meio ciclo, ou uma alternação, correspondem a meio ciclo de 
rotação da espira, 180 graus;ç p g
y Lembrando que os ângulos podem ser representados em 
radianos:
{ 360 graus = 2π rad
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Geração de Tensão Senoidal
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Corrente Senoidal
y Quando uma fonte de tensão senoidal é conectada a uma 
resistência de carga, a corrente que passa pelo circuito é uma g q p p
onda senoidal:
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Características da Onda Senoidal
y O valor instantâneo da tensão em em qualquer ponto da onda 
senoidal é dado pela equação:p q ç
( )φω += tsenVtv M)(
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OBS: Pode‐se usar também o cosseno no lugar do seno. As duas funções são 
diferem apenas por um valor de fase.
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Características da Onda Senoidal
y O número de ciclos por segundo é chamado de frequência, f, e 
dado em hertz (Hz):( )
y A rede elétrica no Brasil trabalha na frequência de 60 Hz;
y O intervalo de tempo necessário para que um ciclo se 
complete é denominado período, T.
f 1
T
f =
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Características da Onda Senoidal
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Características da Onda Senoidal
y O ângulo de fase entre duas formas de onda de mesma 
frequência é a diferença angular entre as duas formas de q ç g
onda em um dado instante:
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Características da Onda Senoidal
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Características da Onda Senoidal
y Valor de pico ou  representa o valor máximo da tensão na forma de 
onda;
{ Se a onda for simétrica, os picos positivos e negativos são iguais;
{ VP ou 
y Valor médio corresponde a média aritmética dos valores de tensão;
{ No caso de uma onda simétrica, o valor médio é nulo para um ciclo 
completo;
{ VM ou     .
V l RMS l fi d d id l dy Valor RMS ou valor eficaz de uma onda senoidal corresponde a um 
valor que representa a quantidade de um valor contínuo capaz de 
produzir a mesma potência de aquecimento;
{ VRMS ou Vef.
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Características da Onda Senoidal
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Características da Onda Senoidal
y O valor RMS é calculado através de:
[ ]∫T d2)(1
y Se a onda é uma senoide perfeitamente simétrica:
y O valor RMS é normalmente utilizados nos cálculos 
2
P
RMS
VV =
[ ]∫= oRMS dttvTV 2)(1
envolvendo circuitos em c.a.:
R
VIRP
IRV
RMS
RMS
RMSRMS
2
2
;
=⋅=
⋅=
23
Características da Onda Senoidal
y Valor eficaz para outras formas de onda alternadas:
{ Quadrada:  
{ Dente de serra:
PRMS VV =
3
P
RMS
VV =
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Nível DC
y O que acontece quando somamos um sinal de tensão senoidal 
a um sinal de tensão contínuo?
y Neste caso, cada valor instantâneo da onda senoidal é somado 
ao valor da onda contínua;
y Diz‐se que a onda resultante apresenta um nível DC:
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Nível DC
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Harmônicos
y Nas aplicações elétricas, a frequência de interesse na qual 
uma onda senoidal é utilizada ou gerada é chamada de g
frequência fundamental;
y As ondas cuja frequência são múltiplos da frequência 
fundamental são chamadas de harmônicas;
y O sistema elétrico está sujeito a ocorrência de ondas 
harmônicas que poluem o sinal da onda na frequência 
fundamental;fundamental;
y A presença de harmônicos em excesso acarreta em prejuízos 
e redução da vida útil de alguns equipamentos.
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Harmônicos
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Harmônicos
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Harmônicos
y Nos exemplo anterior, é possível verificar que, à medida em 
que somamos os harmônicos ímpares à frequenciaq p q
fundamental, a onda resultante se aproxima de uma onda 
quadrada:
y Este resultado notável, de aplicação bastante ampla, ilustra 
um princípio formulado pelo matemático francês Joseph 
Fourier, que diz:
Qualquer forma de onda cíclica pode ser construída pela 
superposição de ondas senoidais puras, harmônicas 
particulares da onda fundamental.
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Ouvindo uma Senóide
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Ouvindo uma Senóide
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Ouvindo uma Senóide
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Exemplo 1
y Considerando a rede elétrica no Brasil:
{ Em 1 s, quantos ciclos de tensão ocorrem?
{ Qual o período da onda senoidal?
{ Qual o valor de tensão fornecido às residências?
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Exemplo 2
y Calcule o tempo de atraso para uma defasagem de 45° em 
uma frequência de 500 Hz.q
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Exemplo 3
y Uma onda senoidal, na frequência de 100 Hz e valor de pico 
de 10 V encontra‐se atrasada de 30° de uma outra onda 
senoidal, também de 100 Hz e valor de pico de 5 V. 
{ Esboce o diagrama das duas ondas.
{ Calcule a defasagem de tempo entre as duas.
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Exemplo 4
y Uma espira quadrada de lados 5 cm e 10 cm gira, através de 
um eixo central, no interior de um campo magnético de 10 p g
mT. Esta espira gira a uma velocidade de 10 rad/s é nos seus 
terminais está ligada uma resistência de 50 Ω.
{ Qual o valor máximo da corrente que passa pela resistência?
{ Qual a frequência desta corrente?37
Análise em Regime Permanente 
Senoidal
FASORES
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Números Complexos ‐ Revisão
y Seja um número complexo dado por:
r
y Podemos definir a parte real e a parte imaginária deste 
número por:
1−=
⋅+=
j
yjxzr
xz =)Re(
yz =)Im(
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Número Complexos ‐ Revisão
y Graficamente, podemos representar um número complexo em 
coordenadas cartesianas:
{ O eixo horizontal representa a parte real;
{ O eixo vertical representa a parte imaginária.
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Número Complexos ‐ Revisão
y O número imaginário j, é também conhecido como operador j:
j 1
y Multiplicando‐se por um escalar a qualquer:
jjjj
jjj
j
−=×=
−=×=
−=
23
2 1
1
jjjj
jjj
=×=
=×=
45
224 1
yjaxajyxa ⋅+⋅=+⋅ )(
41
Números Complexos ‐ Revisão
y Alternativamente, o 
número complexo pode ser 
t d f
y Partindo do gráfico em 
coordenadas cartesianas:
ód l d
42
representado na forma 
polar:
{ Módulo de z:
{ Fase de Z:
22 yxz +=
x
yz arctan=∠=θ
y Portanto:
θθ jezzz =∠=
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Operações com Números Complexos
y Adição/subtração:
{ Números complexos podem ser somados/subtraídos quando p p / q
estão em sua forma retangular;
{ Na adição/subtração, somam‐se/subtraem‐se separadamente as 
partes reais e as partes imaginárias:
( ) ( ) ( ) ( ) 3514321342 jjjjj +=−++=−++
( ) ( ) ( ) ( ) 5114321342 jjjjj +−=++−=−−+
43
Operações com Números Complexos
y Multiplicação:
{ Números complexos podem ser multiplicados tanto na forma p p p
retangular como polar;
{ Na forma retangular, seguem‐se as regras convencionais da 
álgebra:
{ Na forma polar, multiplicam‐se os módulos e somam‐se as fases:
( ) ( ) ( ) ( ) 1010141234321342 jjjjjjj +=−⋅+−⋅+⋅+⋅=−⋅+
p , p
( ) ( ) ( )21212211 θθθθ +∠⋅=∠⋅∠ zzzz
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Operações com Números Complexos
y Conjugado:
{ O conjugado de um número complexo é obtido quando o sinal da j g p q
parte imaginária do número é trocado;
{ Um número complexo e seu conjugado são denominados de par 
conjugado;
{ O conjugado de z, é representado por z*;( )
)42(
42
j
j
−=
+=z*
z
{ A multiplicação de um número complexo por seu conjugado 
resulta sempre em um número real:
)42( j
z
( ) ( ) 204242 =−⋅+ jj
45
Operações com Números Complexos
y Divisão:
{ Números complexos podem ser divididos tanto na forma p p
retangular como polar;
{ Na forma retangular, seguem‐se as regras convencionais da 
álgebra:
2,34,2
5
1612
14
48816
12
12
12
48
12
48 2 jjjjj
j
j
j
j
j
j −=−=+
+−−=+
+⋅+
−=+
−
{ Na forma polar, dividem‐se os módulos e subtraem‐se as fases:
( )21
2
1
22
11 θθθ
θ −∠=∠
∠
z
z
z
z
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Fasores
y Se tomarmos uma onda senoidal genérica, com frequência 
angular ω:g
y É possível observar que esta onda, na frequência ω, fica 
completamente determinada por sua amplitude, Am, e sua 
fase, φ;
P d t óid i d ú
( )φω += tsenAtv m)(
y Podemos representar uma senóide por meio de um número 
complexo, A, de modo que:
{ Am é o módulo do número complexo, |A|;
{ φ é a fase do número complexo, ∠A.
47
Fasores
48
y Ao número complexo 
associado a uma tensão 
ou corrente alternada de rrrou corrente alternada de 
fase deslocada dá‐se o 
nome de fasor;
y Se o fasor estiver na 
forma polar, o módulo é o 
valor eficaz da forma de 
onda e o ângulo é ângulo  b
baV
VVjbaV
+=
∠=+=
r
r
rrr
22
g g
de fase da tensão ou 
corrente de forma 
deslocada.
a
barctgV =∠ r
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Fasores
y Ex: Uma tensão de valor eficaz igual a 100V e defasagem 
inicial de 45°, para uma dada frequência angular, pode ser p q g p
representada por:
°∠= 45100VVr
y Teorema Fundamental
A soma algébrica de qualquer número de senóides de mesma 
frequência angular ω com suas derivadas de qualquer ordem é 
também uma senóide de frequência angular ω.
49
Exemplo
y Seja v(t) = √2 ⋅ 110 cos ሺ2π 60t ൅ π/3ሻ.
{ Qual a sua fase?
{ Qual a frequência da senóide?
{ Qual o valor de pico da tensão?
{ Qual o valor RMS da tensão?
{ Qual a sua representação fasorial?
50
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Análise em Regime Permanente 
Senoidal
IMPEDÂNCIA
51
Impedância
y Na análise de circuitos em corrente contínua 
definimos a resistência elétrica como uma medida 
da oposição a circulação de corrente;
y Um resistor pode ser visto como uma carga que 
irá utilizar parte da potência gerada pelas fontes;
y Um termo mais abrangente que pode ser utilizado 
é a impedância, Z;
y A impedância representa qualquer carga acoplada 
à f t d t ã t d dà fonte de tensão ou corrente, podendo ser 
resistiva, capacitiva ou indutiva.
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Impedância
y Considere um circuito de um único acesso  é formado por uma 
ligação arbitrária de elementos lineares invariantes  e alimentado 
por uma fonte de tensão senoidal de frequência angular ω.
y Assim:
y A impedância de entrada do circuito, na frequência angular ω, é 
definida como a razão entre a tensão resposta V, e o fasor corrente, 
( )
( )VtVVetv
ItIeIti
tj
S
tj
SS
∠+==
∠+==
ω
ω
ω
ω
cos)Re()(
cos)Re()(
IS: 
SI
VjZ r
rr =)( ω
53
Impedância
y Módulo e fase da impedância são relacionados 
com módulo e fase dos fasores tensão e corrente 
pelas relações:
y E ainda: 
IVZ(jω
I
V
jZ
S
∠−∠=∠= ))(        e       ω
IjZV )(
rr
( )IZtIZtv
IjZV
s ∠+∠+=
⋅=
ω
ω
cos)(
)(
54
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Admitância
y A admitância, por sua vez, considerando um circuito de um único 
acesso formado por uma ligação arbitrária de elementos lineares 
invariantes  e alimentado por uma fonte de tensão senoidal de 
frequência angular ω, é definida como:
)(
1)( ωω jZV
IjY
S
== r
rr
S
S
VIY(jω
V
I
jY ∠−∠=∠= ) e )( ω
y E ainda:
S
VjYI
rr ⋅= )( ω
55
Impedância Resistiva
y Em um circuito c.a. cujas cargas são puramente resistivas, as 
relações entre tensão e corrente ocorre da mesma forma que ç q
para os circuitos c.c.;
y Nesse caso, considera‐se que a impedância é o próprio valor 
da resistência do circuito:
RZ =
56
°∠=+= 00 RjRZr
ou na forma fasorial:
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Impedância Resistiva
y Para um circuito puramente resistivo alimentado por uma 
fonte senoidal:
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Impedância Capacitiva
y Vimos que um capacitor é um componente de circuito 
elétrico, cujo parâmetro C, capacitância, representa uma j p p p
medida da oposição à variação de tensão;
y Em situações em que estão envolvidas correntes alternadas, é 
conveniente definir um parâmetro chamado reatância 
capacitiva, representando o módulo da impedância imposta 
ao circuito pelo capacitor;
y A reatância capacitiva é um parâmetro que depende daA reatância capacitiva é um parâmetro que depende da 
frequência da tensão aplicada aos terminais do capacitor:
CfC
XC ωπω
1
2
1)( ==
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Impedância Capacitiva
y A impedância capacitiva, por sua vez, é um valor complexo 
dado por:
11
y Se usarmos a lei de Ohm, considerando a forma vetorial ou os 
fasores de tensão e corrente:
°−∠=−=−== 9011)( CCC XjXCjCjZ ωωω
r
IjXIZV CC −=⋅=
rrr
)(ω
y Observa‐se que o operador “‐j” representa um atraso de 90°
da tensão em relação a corrente que circula pelo capacitor.
59
j CC )(
Impedância Capacitiva
y Em um circuito alimentado por tensão alternada e constituído 
apenas por capacitâncias, são válidas as relações, em módulo:p p p ç
dt
dvCi
iXv
C
CCC
=
⋅=
y O que acontece se o circuito é alimentado por uma tensão 
contínua?
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Impedância Capacitiva
y Para um circuito capacitivo alimentado por uma fonte 
senoidal:
61
Impedância Indutivay Vimos que um indutor é um componente de circuito elétrico, 
cujo parâmetro L, indutância, representa uma medida da j p p
oposição à variação de corrente;
y Em situações em que estão envolvidas correntes alternadas, é 
conveniente definir um parâmetro chamado reatância 
indutiva, representando o módulo da impedância imposta ao 
circuito pelo indutor;
y A reatância indutiva é um parâmetro que depende daA reatância indutiva é um parâmetro que depende da 
frequência da corrente que passa pelo circuito:
LfLX L ωπ == 2
62
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Impedância Indutiva
y A impedância capacitiva, por sua vez, é um valor complexo 
dado por: r
y Se usarmos a lei de Ohm, considerando a forma vetorial ou os 
fasores de tensão e corrente:
°∠=== 90)( LLL XjXLjZ ωω
r
IjXIZV LL
rrrr =⋅= )(ω
y Observa‐se que o operador “j” representa um adiantamento 
de 90° da tensão em relação a corrente que circula pelo 
indutor.
63
j LL )(
Impedância Indutiva
y Em um circuito alimentado por tensão alternada e constituído 
apenas por indutâncias, são válidas as relações, em módulo:p p ç
dt
diLv
iXv
L
LLL
=
⋅=
y O que acontece se a corrente que percorre o circuito é 
contínua?
dt
64
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33
Impedância Indutiva
y Para um circuito indutivo alimentado por uma fonte senoidal:
65
Impedância Mista
y Para um circuito formado por um resistor e um capacitor 
ligados em série:g
y O módulo e a fase da impedância complexa:
CjXRC
jRZ −=−= ω
1r
( ) ⎫XRZ 22
66
( )
θ
θ
∠=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
−==∠
−+=
ZZ
R
XarctgZ
XRZ
C
C r
22
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34
Impedância Mista
y Para um circuito formado por um resistor e um indutor 
ligados em série:g
y O módulo e a fase da impedância complexa:
LjRZ ω+=r
⎫XRZ 22 ⎫XRZ 22
67
θθ ∠=⎪⎭
⎪⎬
⎫
==∠
+=
ZZ
R
XarctgZ
XRZ
L
L
22
θθ ∠=⎪⎭
⎪⎬
⎫
==∠
+=
ZZ
R
XarctgZ
XRZ
L
L r
22
Impedância Mista
y Para um circuito formado por um resistor, capacitor e um 
indutor ligados em série:g
y O módulo e a fase da impedância complexa:
( )CL
CL
XXjRZ
jXjXRCjLjRZ
−+=
−+=−+=
r
r ωω
( ) ⎫22
68
( )
θ
θ
∠=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
−==∠
−+=
ZZ
R
XXarctgZ
XXRZ
CL
CL r
22
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35
Análise de Circuitos em CA
ANÁLISE  DE  CIRCUITOS
69
Análise de circuitos
y A análise de circuitos em CA é feita considerando‐se as 
impedâncias resistivas, indutivas e capacitivas;p p
y Normalmente toma‐se um valor de tensão ou corrente como 
°−∠=−=
°∠==
=
90
;90
;
CCC
LLL
R
XjXZ
XjXZ
RZ
r
r
r
   
   
70
referência, ou seja, uma função na forma de seno com 
defasagem inicial igual a zero, a não ser que seja especificada 
uma função específica;
y Os valores de tensão e corrente utilizados geralmente são os 
valores RMS, a não ser que sejam especificados.
29/09/2009
36
Circuito Puramente Resistivo
y Ex: Calcule I1, I2, I3, V1, V2 e V3 no circuito abaixo:
71
Circuito Puramente Indutivo
72
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37
Exemplo – Circuito L
y Uma bobina de resistência desprezível limita a corrente 
através dela em 50 mA, quando uma tensão de 25 V e 400 kHz q
é aplicada aos seus terminais. Calcule o valor da sua 
indutância.
73
RL Série
22
LRT
LRT
VVV
VVV
+=
+= rrr
R
L
V
Vtg =θ
74
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38
Exemplo – RL Série
y Um circuito RL série ca tem uma corrente de 1 A de pico com 
R = 50 Ω e XL = 50 Ω. Calcule VR, VL, VT e θ. Faça o diagrama de L R L T ç g
fasores entre VT e I e o diagrama de tempo de i, vr, vL e vT. 
Determine a impedância total do circuito.
75
Exemplo – RL Série – Cont.
76
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39
77
RL Paralelo
22
LRT
LRT
III
III
+=
+= rrr
R
L
I
Itg −=θ
78
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40
Exemplo – RL Paralelo
y Um circuito RL paralelo apresenta uma tensão eficaz de 100 V 
aplicada através de uma resistência de 20 Ω e uma reatância p
indutiva de 20 Ω. Calcule IR, IL, IT e θ. Desenhe o diagrama 
fasorial e o diagrama de tempo de vT, iR, iL e iT.
79
Exemplo – RL Paralelo – Cont.
80
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41
81
Circuito Puramente Capacitivo
82
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42
RC Série
22
CRT
CRT
VVV
VVV
+=
+= rrr
R
C
V
Vtg −=θ
83
Exemplo – RC Série
y Um circuito RC série tem uma corrente de pico de 1 A com R = 
50 Ω e XC = 120 Ω. Calcule VR, VC, VT e θ. Desenhe o diagrama C R C T g
fasorial de VT e I e o diagrama de tempo de i, vR, vC e vT. Qual a 
impedância total do circuito?
84
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43
85
RC Paralelo
22
CRT
CRT
III
III
+=
+= rrr
R
C
I
Itg =θ
86
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44
Exemplo – RC Paralelo
y Um resistor de 15 Ω e um capacitor com reatância capacitiva 
de 20 Ω estão dispostos em paralelo e conectados a uma linha p p
ca de 120 V. Calcule IR, IC, IT, θ e ZT. Desenhe o diagrama 
fasorial. Se a tensão fosse contínua, quais seria os valores de 
IR, IC, IT?
87
Circuito RLC Série
CL VV >
88
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45
Circuito RLC Série
LC VV >
89
Circuito RLC Paralelo
CL II >
90
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46
Circuito RLC Paralelo
LC II >
91
Exemplo – Circuito RLC
y Um circuito apresenta um ramo RL e um ramo RC em 
paralelo. Calcule a corrente total, o ângulo de fase e a p g
impedância desse circuito.
92
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47
Ressonância
y Considere o circuito abaixo:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+=++=
C
LjR
Cj
LjRjZ ωωωωω
11)(
r
93
Ressonância
y A impedância Z(jω), é composta por uma parte real e uma 
parte imaginária;p g
y A parte imaginária depende da frequência angular ω:
y Existe um valor de frequência, ω0, no qual a susceptância é 
igual a 0. Neste caso, diz‐se que o circuito está em 
â i
L
CB ωω
1−=
ressonância;
y Neste caso, para ω = ω0:
RjZ =)( ωr
94
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48
Ressonância
95
Ressonância
y Qual a implicação para um circuito ressonante, caso a 
resistência seja muito pequena?j p q
→
=
R
Se
R
VI
0
:
∞→
→
I
Então
R
:
0
96
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49
Potência em Circuitos CA
FATOR  DE  POTÊNCIA
97
Potência Instantânea
y Vimos que a potência em m circuito elétrico é dado pelo 
produto entre a tensão nos terminais deste circuito e a p
corrente que o percorre;
y Para um circuito CC: P = V⋅I
{ O valor da potência se mantêm constante;
y Para um circuito CA, no qual os valores de tensão e corrente 
variam no tempo, podemos definir a potência instantânea 
como:
98
como:
{ A potência instantânea indica o valor da potência em um circuito 
em um determinado intervalo de tempo.
)()()( titvtp ⋅=
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50
Potência Instantânea
y Se a potência envolve uma tensão e uma corrente senoidais, 
generalizadas por:g p
y Então:
)cos()()cos()( ImVm tItitVtv ϕωϕω +=+=      e     
( ) ( )
IVmm ttIVtp ϕωϕω ++=
11
)cos()cos()(
99
( ) ( )IVmmIVmm tIVIVtp ϕϕωϕϕ +++−= 2cos2
1cos
2
1)(
Potência Instantânea
y Na expressão:
( ) ( )IVIV 211)(
y O primeiro termo é uma constante, enquanto que o segundo 
termo é uma senóide de frequência 2ω;
y Graficamente, a potência instantânea para um circuito 
resistivo e para um circuito com defasagem entre tensão e 
t dif i l t
( ) ( )IVmmIVmm tIVIVtp ϕϕωϕϕ +++−= 2cos2
1cos
2
1)(
100
corrente se diferencia por alguns aspectos;
{ Em um circuito resistivo, a potência intantânea é sempre 
positiva;
{ Em um circuito capacitivo ou indutivo, a potência instantânea 
pode ser negativa.
29/09/2009
51
Potência Instantânea
101
Potência
y No gráfico com defasagem verifica‐se a existência de valores 
positivos e negativos para a curva da potência instantânea;
y Valores positivos indicam que umacerta quantidade de 
potência está sendo entregue a carga e dissipada através da 
realização de trabalho;
y E os valores negativos?
{ Sabemos que capacitores e indutores armazenam energia em um 
campo elétrico ou magnético;
{ Em circuitos com C e L uma parte da potência fornecida pela
102
{ Em circuitos com C e L, uma parte da potência fornecida pela 
fonte é utilizada para criar e manter estes campos;
{ Esta energia é chamada de energia reativa, circula pelo circuito e 
não está disponível para a realização de trabalho, portanto não é 
considerada uma energia útil.
29/09/2009
52
Potência Eficaz
y Um valor mais prático para utilização é a potência eficaz, a 
qual pode ser definida em termos dos valores de tensão e q p
corrente eficazes e das impedâncias do circuito:
XX
RR
IVQ
ou
IVP
⋅=
⋅=
103
y Em que o índice “R” se refere à resistências o índice “X” se 
refere à reatâncias.
Potência
104
y Para a resistência, a 
potência eficaz pode ser 
d d
y Em um diagrama vetorial, 
P e Q estão defasadas de 
90°dada por:
y Para a reatância indutiva:
90°:
2
RRR IRIVP ⋅=⋅=
y Em que a potência total, S:
2
LLLL IXIVQ ⋅=⋅=
jQPS +=r
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53
Potência
y Do diagrama de tensões pode‐se construir um triângulo de 
potências:
105
{ P é chamada de potência real ou ativa e está associada às 
impedâncias puramente resistivas que dissipam energia na 
forma de calor;
{ Sua unidade é o W (watt) θcosVIP =
Potência
y Do diagrama de tensões pode‐se construir um triângulo de 
potências:
106
{ Q é chamada de potência reativa e está relacionada à 
manutenção dos campos elétricos e magnéticos;
{ Sua unidade é o VAR (volt‐ampère reativo) θVIsenQ =
29/09/2009
54
Potência
y Do diagrama de tensões pode‐se construir um triângulo de 
potências:
107
{ S é chamada de potência aparente e representa a soma vetorial 
das potências ativas e reativas envolvidas no circuito;
{ Sua unidade é o VA (volt‐ampère) VIS =
Potência
108
)(cos θθ jsenIVS
jQPS
+⋅=
+=
r
r
29/09/2009
55
Fator de Potência
y A potência aparente representa toda a potência que precisa 
ser produzida pela fonte;p p
y Dessa potência, apenas a parte referente à potência real é 
utilizada para realização de trabalho;
y Para uma um circuito, o ideal é que a potência reativa 
envolvida seja a menor possível de modo que a maior parte 
da potência produzida pela fonte seja aproveitada na forma 
de potência real;
109
de potência real;
y Uma forma de se avaliar esta proporção entre potência 
aparente e potência real é através do fator de potência.
Fator de Potência
110
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56
Fator de Potência
y O fator de potência, FP, é definido como a razão entre a 
potência real e a potência aparente em um circuito:p p p
y O FP detemina que parcela da potência aparente é potência 
real e pode variar de 0 a 1:
d d ê é l d
θcos===
S
PFP
aparente potência
ativa potência
111
{ Um FP = 1 indica que toda a potência aparente é utilizada como 
potência real, para a realização de trabalho;
{ Um FP = 0 indica que  nenhuma potência está sendo gasta ou 
consumida na forma de trabalho.
Fator de Potência
y O FP pode ser positivo ou negativo;
y Um FP positivo (θ > 0) indica um circuito predominantementeUm FP positivo (θ > 0) indica um circuito predominantemente 
indutivo:
y Um FP negativo (θ < 0) indica um circuito mais capacitivo:
112
29/09/2009
57
Correção do FP
y Como dito anteriormente, a potência reativa representa uma 
potência produzida pela fonte mas não aproveitada para 
realização de trabalho;
y Baixos fatores de potência podem representar um carregamento 
desnecessário da fonte;
y Existem técnicas que permitem a correção do fator de potência 
de um circuito, levando‐o para valores próximos de 1;
y Nesta caso, a maior parte da potência aparente produzida pela 
113
p p p p p
fonte é aproveitada na forma de trabalho;
y A correção do FP pode ser feita compensando‐se as cargas 
indutivas ou capacitivas.
Correção do FP – Ex: Carga Indutiva
y Tome como exemplo o circuito abaixo e o diagrama fasorial 
das correntes:
y A carga do circuito apresenta características indutivas, de 
114
modo que temos uma corrente indutiva atrasada de 90° em 
relação a corrente resistiva.
y Em termos de potência:
LLR IXQeIRP ⋅=⋅=          
29/09/2009
58
Correção do FP – Ex: Carga Indutiva
y O que acontece se colocarmos em paralelo com o ramo RL 
uma reatância capacitiva?p
y Teremos agora uma corrente capacitiva adiantada de 90° em 
relação a corrente resistiva:
115
y Em termos de potência, se IC = IL, a corrente reativa total é 
zero, portanto:
0=⋅= QeIVP RR          
Correção do FP – Ex: Carga Indutiva
y Quando a corrente capacitiva se torna igual á corrente 
indutiva, as duas se cancelam, já que são opostas uma a outra;j q p
y Fisicamente isto representa uma troca de energia entre os 
indutores e capacitores, de modo que a manutenção dos seus 
campos elétricos e magnéticos é feita sem a necessidade da 
potência da fonte;
y Uma carga capacitiva também pode ser compensada, ligando‐
se uma carga indutiva em paralelo.
116
se uma carga indutiva em paralelo.