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Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 1 Cap´ıtulo 1 Uma Breve Introduc¸a˜o a`s Sequeˆncias de Nu´meros Reais Uma sequeˆncia, ou sucessa˜o, de nu´meros reais e´ uma func¸a˜o f : N→ R, sendo f (n) = xn. E´ costume indicar f por (xn)n∈N ou, simplificadamente, (xn), sendo xn = f (n), ou enta˜o, (x1, x2, x3, . . .). Chamamos a imagem xn de n por f de termo geral da sequeˆncia (xn)n∈N. Exemplos. Exemplo (1) A sequeˆncia f : N → R dada por f (n) = xn = 1n e´ indicada por (xn)n∈N = ( 1n)n∈N, ou enta˜o,( 1, 1 2 , 1 3 , 1 4 , . . . ) . Neste caso, xn = 1 n e´ o termo geral da sequeˆncia ( 1 n ) n∈N. Exemplo (2) A sequeˆncia f : N→ R dada por f (n) = xn = (−1)n+1 1n e´ indicada por (xn)n∈N = ((−1)n+1 1n) n∈N , ou enta˜o, ( 1,−1 2 , 1 3 ,−1 4 , 1 5 , . . . ) . Neste caso, xn = (−1) n+1 1 n e´ o termo geral da sequeˆncia ( (−1) n+1 1 n ) n∈N . Exemplo (3) A sequeˆncia f : N → R dada por f (n) = xn = c, constante real, e´ indicada por (xn)n∈N = (c)n∈N, ou enta˜o, (c, c, c, . . .). Neste caso, xn = c e´ o termo geral da sequeˆncia (c)n∈N. Exemplo (4) A sequeˆncia f : N→ R dada por f (n) = xn = n∑ i=1 ai e´ indicada por (xn)n∈N = ( n∑ k=1 ak ) n∈N , ou enta˜o,( 1∑ k=1 ak, 2∑ k=1 ak, 3∑ k=1 ak, . . . ) = (a1, a1 + a2, a1 + a2 + a3, . . .). Neste caso, xn = n∑ k=1 ak e´ o termo geral da sequeˆncia( n∑ k=1 ak ) n∈N . Observac¸o˜es. (1) A representac¸a˜o gra´fica de uma sequeˆncia no plano cartesiano e´ constituida por um conjunto discreto de pontos cujas abscissas sa˜o os nu´meros naturais. De modo na˜o preciso, do ponto de vista matema´tico, em um conjunto discreto de pontos cada ponto esta´ “isolado” ou “separado” dos demais. No Exemplo (1) acima, ( 1 n ) n∈N e´ a func¸a˜o f (n) = 1 n , n ∈ N, cujo gra´fico (somente os pontos sobre a curva y = 1 x ) segue abaixo. y x 1 curva y 1 x= / ( )fora de escala 0 2 3 ... 1 1 3/ 1 n/ 1 2/ n lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 2 UFU Sequeˆncias e Se´ries (2) Na˜o confundir o conjunto imagem de f : N → R com a sequeˆncia. Por exemplo, f : N → R dada por f (n) = 1, ∀n ∈ N, e´ uma sequeˆncia que pode ser representada por (1)n∈N = (1, 1, 1, . . .) e e´ diferente do conjunto imagem de f, que e´ representado apenas por {1}. Mais exemplos. Exemplo (5) A sequeˆncia (xn)n∈N = (2n)n∈N = (2, 4, 6, 8, . . .) e´ a sequeˆncia dos nu´meros pares maiores do que ou iguais a 2. Exemplo (6) A sequeˆncia (xn)n∈N = (2n− 1)n∈N = (1, 3, 5, 7, . . .) e´ a sequeˆncia dos nu´meros ı´mpares maiores do que ou iguais a 1. Exemplo (7) Sequeˆncia (xn)n∈N = ( sen ( npi 2 )) n∈N = (1, 0,−1, 0, 1, 0,−1, 0, . . .). Exemplo (8) O termo xn = xn−1+2n com x1 = 0 e´ o termo geral da sequeˆncia (xn)n∈N = (0, 4, 10, 18, 28, 40, 54, . . .). Exemplo (9) O termo xn = xn−1 + r com x1 = a e´ o termo geral de (xn)n∈N = (a, a+ r, a+ 2r, a+ 3r, a+ 4r, . . .) cujos termos formam uma PA (progressa˜o aritme´tica) de raza˜o r e 1o. termo a. Exemplo (10) O termo xn = qxn−1 com x1 = a e´ o termo geral da sequeˆncia (xn)n∈N = ( a, qa, q2a, q3a, q4a, . . . ) cujos termos formam uma PG (progressa˜o geome´trica) de raza˜o q e 1o. termo a. Uma sequeˆncia e´ convergente quando seus termos tornam-se arbitrariamente pro´ximos de um determinado nu´mero real a` medida que n aumenta. De modo matematicamente preciso: (xn)n∈N converge para L ∈ R quando: ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N tal que para n > n0 ⇒ |xn − L| < ε. Indicamos a convergeˆncia da sequeˆncia (xn)n∈N por limn→∞ xn = L ou xn → L e dizemos que (xn)n∈N converge para L. Quando na˜o existe o L ∈ R tal que lim n→∞ xn = L dizemos que a sequeˆncia (xn)n∈N diverge , ou e´ divergente . Exemplos. Exemplo (1) A sequeˆncia ( 1 n ) n∈N converge para 0 pois limn→∞ 1n = 0. Exemplo (2) A sequeˆncia (1)n∈N converge para 1 pois limn→∞ 1 = 1. Uma sequeˆncia (xn)n∈N e´ chamada de sequeˆncia de Cauchy quando os seus termos tornam-se arbitrariamente pro´ximos uns dos outros a` medida que n aumenta. De modo matematicamente preciso: (xn)n∈N e´ sequeˆncia de Cauchy quando: ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N tal que para m,n > n0 ⇒ |xm − xn| < ε. Exemplo. A sequeˆncia ( 1 n ) n∈N e´ de Cauchy pois limn→∞ m→∞ ( 1 n − 1 m ) = 0, ou seja, 1 n e 1 m sa˜o nu´meros arbitrariamente pro´ximos a` medida que m e n aumentam. Ja´ a sequeˆncia ( (−1) n) n∈N = (−1, 1,−1, 1,−1, 1, . . .) na˜o e´ de Cauchy, pois xn = 1, para n par, e xm = −1, para m ı´mpar, na˜o sa˜o nu´meros que se tormam arbitrariamente pro´ximos a` medida que m e n aumentam. Proposic¸a˜o 1. (Crite´rio de convergeˆncia de Cauchy) Uma sequeˆncia (xn)n∈R e´ convergente se, e somente se, (xn)n∈N e´ de Cauchy. Exemplos. Exemplo (1) A sequeˆncia ( (−1) n) n∈N na˜o e´ de Cauchy. Logo, e´ divergente. Exemplo (2) A sequeˆncia (n)n∈N tem termos que na˜o se tornam arbitrariamente pro´ximos a` medida que n aumenta. Logo, na˜o e´ de Cauchy e, portanto, e´ divergente. La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 3 Exemplo (3) A sequeˆncia ( sen ( npi 2 )) n∈N = (1, 0,−1, 0, 1, . . .) tem termos que na˜o se tornam arbitrariamente pro´ximos a` medida que n aumenta. Logo, na˜o e´ de Cauchy e, portanto, e´ divergente. Proposic¸a˜o 2. (Propriedades operato´rias) Sejam (xn)n∈N e (yn)n∈N sequeˆncias convergentes tais que limn→∞ xn = a e lim n→∞yn = b. Enta˜o: (1) lim n→∞ (xn ± yn) = limn→∞ xn ± limn→∞yn = a± b. (2) lim n→∞ (xnyn) = limn→∞ xn limn→∞yn = ab. Em particular, se xn = c, enta˜o limn→∞ cyn = c limn→∞yn = cb. (3) Se b 6= 0, enta˜o lim n→∞ xnyn = lim n→∞xn lim n→∞yn = a b . Exemplos. Exemplo (1) A sequeˆncia ( n−1 n ) n∈N e´ tal que limn→∞ n−1n = limn→∞ ( 1− 1 n ) = lim n→∞ 1+ limn→∞ 1n = 1− 0 = 1. Exemplo (2) A sequeˆncia ( 5 n2 ) n∈N e´ tal que limn→∞ 5n2 = 5 limn→∞ 1n limn→∞ 1n = 5.0.0 = 0. Exemplo (3) A sequeˆncia ( 4−7n6 n6+3 ) n∈N e´ tal que lim n→∞ 4−7n6n6+3 = limn→∞ 4 n6 −7 1+ 3 n6 = lim n→∞( 4n6−7) lim n→∞(1+ 3n6 ) = lim n→∞ 4n6− limn→∞ 7 lim n→∞ 1+ limn→∞ 3n6 = 0−7 1+0 = −7. Proposic¸a˜o 3. (Teorema do Confronto para sequeˆncias) Sejam (xn)n∈N, (yn)n∈N e (zn)n∈N sequeˆncias tais que xn ≤ yn ≤ zn, para n > n0 fixado, e tais que lim n→∞ xn = limn→∞ zn = L. Enta˜o, limn→∞yn = L. Exemplo. A sequeˆncia ( cos(n) n ) n∈N e´ tal que lim n→∞ cos(n)n = 0. De fato, fazendo xn = − 1n ; yn = cos(n)n e zn = 1n temos − 1 n ≤ cos(n) n ≤ 1 n e lim n→∞ ( − 1 n ) = lim n→∞ 1n = 0. Pelo Teorema do Confronto para sequeˆncias, limn→∞ cos(n)n = 0. Proposic¸a˜o 4. Seja f : X ⊂ R→ R e a ∈ X. Enta˜o, lim x→a f (x) = f (a)︸ ︷︷ ︸ f e´ cont´ınua em a ⇐⇒ [∀ (xn)n∈N em X com limn→∞ xn = a⇒ limn→∞ f (xn) = f (a)] Seja f : X ⊂ R→ R cont´ınua com X na˜o limitado superiormente. Enta˜o, lim x→+∞ f (x) = L⇐⇒ [∀ (xn)n∈N em X com limn→∞ xn = +∞⇒ limn→∞ f (xn) = L] A proposic¸a˜o acima afirma que no caso de f ser cont´ınua, podemos encontrar lim n→∞ f (xn) calculando limx→a f (x) (ou lim x→+∞ f (x)). Exemplos. Exemplo (1) A sequeˆncia (xn)n∈N = ( ln(n) n ) n∈N e´ convergente. De fato, seja f (x) = ln(x) x , que e´ cont´ınua em R+. Temos lim n→∞n = +∞. Logo, pela proposic¸a˜o acima (segunda parte), lim n→∞ ln (n)n = limx→∞ ln (x) x = lim x→∞ 1 x 1 = 0 (Regra de L’Hospital). Exemplo (2) A sequeˆncia (xn)n∈N = ( ln(nc) n ) n∈N e´ convergente. De fato, lim n→∞ ln(n c) n = lim n→∞ c ln(n)n = c limn→∞ ln(n)n = c.0 = 0. Exemplo (3) A sequeˆncia (xn)n∈N = ( n+1 n−1 )n e´ convergente. De fato, seja f (x) = ( x+1 x−1 )x , que e´ cont´ınua para x > 1. lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufuLa´ıs Rodrigues Pa´gina 4 UFU Sequeˆncias e Se´ries Temos lim n→∞n = +∞. Logo, pela proposic¸a˜o acima (segunda parte), lim n→∞ ( n+ 1 n− 1 )n = lim x→∞ ( x+ 1 x− 1 )x = lim x→∞ ex ln(x+1x−1 ) = limx→∞ e ln(x+1x−1 ) 1 x = e lim x→∞ ln(x+1x−1 ) 1 x = e lim x→∞ − 2 x2−1 − 1 x2 (Regra de L’Hospital) = e lim x→∞ 2x2x2−1 = e2. Exemplo (4) A sequeˆncia (xn)n∈N = ( 1+ c n )n e´ convergente. De fato, seja f (x) = ( 1+ c x )x e´ cont´ınua para x > 0. Temos lim n→∞n = +∞. Logo, pela proposic¸a˜o acima (segunda parte), lim n→∞ ( 1+ c n )n = lim x→∞ ( 1+ c x )x = lim x→∞ ex ln(1+ cx ) = limx→∞ e ln(1+ cx ) 1 x = e lim x→∞ ln(1+ cx ) 1 x = e lim x→∞ − c x(x+c) − 1 x2 (Regra de L’Hospital) = e lim x→∞ cxx+c = ec. Os resultados abaixo sa˜o demonstrados em cursos mais avanc¸ados de sequeˆncias nume´ricas (cursos de Ana´lise Real). Vamos utiliza´-los em nossos exemplos. (i) lim n→∞ n √ a = 1 para a > 0. (ii) lim n→∞ n √ n = 1. (iii) lim n→∞an = 0 para −1 < a < 1. (iv) Para n suficientemente grande temos logb (n)� nk � an � n!� nn, sendo b > 1, k ∈ N e a > 1. (Obs. o s´ımbolo � significa “muito menor do que”) (v) lim n→∞ logb(n)nk = limn→∞ nkan = limn→∞ ann! = limn→∞ n!nn = 0. Exemplo. A sequeˆncia (xn)n∈N = ( n √ nc ) com c ∈ N e´ tal que lim n→∞ n √ nc = lim n→∞ ( n √ n )c = lim n→∞ ( n √ n . . . n √ n )︸ ︷︷ ︸ c vezes = lim n→∞ n √ n . . . lim n→∞ n √ n = 1 . . . 1 = 1. Exerc´ıcio. Mostre que (xn)n∈N = ( 1+ a+ a2 + · · ·+ an) n∈N com −1 < a < 1 converge para 1 1−a . De fato, de xn = 1 + a + a 2 + · · · + an temos axn = a + a2 + a3 + · · · + an+1 e xn − axn = 1 − an+1, de onde conclu´ımos que xn = 1−an+1 1−a . Logo, lim n→∞ xn = limn→∞ 1−an−11−a = 1− lim n→∞an−1 1−a = 1 1−a . La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 5 Cap´ıtulo 2 Se´ries de Nu´meros Reais 2.1 Definic¸o˜es e Primeiros Exemplos Seja (xn)n∈N um sequeˆncia de nu´meros reais. Definimos a se´rie de nu´meros reais associada a` sequeˆncia (xn)n∈N como sendo ∞∑ n=1 xn = x1 + x2 + x3 + · · · . Desta forma, uma se´rie e´ simplesmente a soma dos infinitos termos de uma sequeˆncia. A soma finita sn = n∑ k=1 xk = x1 + x2 + · · ·+ xn e´ chamada de soma parcial de ordem n da se´rie ∞∑ n=1 xn. Por meio das somas parciais de uma se´rie e´ poss´ıvel estudar o comportamento da mesma. Seja ∞∑ n=1 xn uma se´rie de nu´meros reais e sn = n∑ k=1 xk sua soma parcial de ordem n. Quando existe s ∈ R, tal que lim n→∞ sn = s, dizemos que a se´rie ∞∑ n=1 xn converge, ou e´ convergente, e denotamos ∞∑ n=1 xn = lim n→∞ sn = s. Quando na˜o existe s ∈ R tal que lim n→∞ sn = s dizemos que ∞∑ n=1 xn diverge, ou e´ divergente. Exemplos. Para nosso primeiro exemplo, precisamos da seguinte definic¸a˜o: A se´rie ∞∑ n=1 qn = q+ q2 + q3 + · · · , sendo q ∈ R, e´ dita se´rie geome´trica de raza˜o q. Exemplo (1) A se´rie geome´trica ∞∑ n=1 qn e´ convergente para |q| < 1 e divergente para |q| ≥ 1. Resoluc¸a˜o. Primeiramente, encontremos uma expressa˜o geral para a soma parcial de ordem n da se´rie para o caso em que q 6= ±1. Temos sn = q + q 2 + · · · + qn (soma dos n primeiros termos de uma PG de raza˜o q e 1o. termo q) e qsn = q2 + q3 + · · ·+ qn+1. Logo, sn − qsn = q− qn+1. Portanto, sn = q (1− qn) 1− q . (i) Se |q| < 1, temos lim n→∞qn = 0. Logo, limn→∞ sn = limn→∞ q(1−q n) 1−q = q 1−q e, pela definic¸a˜o, ∞∑ n=1 qn = q 1−q e´ convergente. Neste caso a se´rie e´ a soma dos termos de uma PG infinita de raza˜o −1 < q < 1. (ii) Se |q| > 1, temos lim n→∞qn = +∞, para q > 1, e @ limn→∞qn para q < −1. Desta forma, lim n→∞ sn = limn→∞ q(1−q n) 1−q = +∞, para q > 1 e @ limn→∞ sn = limn→∞ q(1−qn)1−q para q < −1. lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 6 UFU Sequeˆncias e Se´ries Portanto, nessa situac¸a˜o, ∞∑ n=1 qn e´ divergente. (iii) Se q = 1, temos lim n→∞ sn = limn→∞ (1+ 1+ 1+ · · ·+ 1) = limn→∞n = +∞. Portanto, nessa situac¸a˜o, ∞∑ n=1 qn e´ divergente. (iv) Se q = −1, temos lim n→∞ sn = lim n→∞(q− q︸ ︷︷ ︸+q− q︸ ︷︷ ︸+ · · ·+ q− q︸ ︷︷ ︸︸ ︷︷ ︸ n parcelas ) = 0, se n for par. lim n→∞(q− q︸ ︷︷ ︸+q− q︸ ︷︷ ︸+ · · ·+ q− q︸ ︷︷ ︸+q︸ ︷︷ ︸ n parcelas ) = q, se n for ı´mpar. Como q 6= 0 temos que na˜o existe lim n→∞ sn e, portanto, nessa situac¸a˜o, ∞∑ n=1 qn e´ divergente. Observac¸o˜es. (a) Na˜o e´ dif´ıcil adaptar a resoluc¸a˜o acima e provar o mesmo resultado acima para a se´rie ∞∑ n=1 aqn com a 6= 0. (b) Na˜o mudamos o cara´ter de convergeˆncia ou divergeˆncia de uma se´rie se suprimirmos ou acrescentarmos um nu´mero finito de termos, mas podemos alterar o valor de sua soma no caso da se´rie original ser convergente. Ale´m da se´rie geome´trica, ha´ uma outra se´rie muito importante, cuja definic¸a˜o segue abaixo: A se´rie ∞∑ n=1 1 np = 1+ 1 2p + 1 3p + · · · , sendo p ∈ R, e´ dita se´rie harmoˆnica de ordem p, ou p-se´rie , ou ainda, se´rie hiper-harmoˆnica. Mais adiante faremos uma ana´lise sobre a convergeˆncia ou divergeˆncia dessa se´rie em func¸a˜o de p. Por enquanto, vamos nos concentrar na ordem p = 1. A se´rie de ordem 1, dada por ∞∑ n=1 1 n , inspira o adjetivo “harmoˆnica”, que vem da mu´sica, e e´ devido a` semelhanc¸a com a proporcionalidade dos comprimentos de onda de uma corda vibrante. Por enquanto, vamos mostrar o incr´ıvel resultado de que a se´rie harmoˆnica de ordem 1 e´ divergente. A divergeˆncia dessa se´rie e´ bastante “lenta” e, para se ter uma ideia, e´ preciso somar os 675.000 primeiros termos da se´rie para se ter soma parcial igual a 14, aproximadamente. Exemplo (2) A se´rie harmoˆnica de ordem 1, dada por ∞∑ n=1 1 n , e´ divergente. Resoluc¸a˜o. Mostremos que ∞∑ n=1 1 n = lim n→∞ sn = limn→∞ ( 1+ 1 2 + 1 3 + · · ·+ 1 n ) = +∞. Consideremos o gra´fico da func¸a˜o f (x) = 1 x com x > 0. La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 7 y x 1 curva y 1 x= / ( )fora de escala 0 2 3 ... 1 2/ 1 3/ 1 n/ 1 4 n 1 4/ A soma das a´reas dos retaˆngulos hachurados e´ 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + · · · = ∞∑ n=1 1 n . A a´rea abaixo do gra´fico de f (x) = 1 x a partir do ponto de abscissa 1 no eixo x e´ a integral impro´pria ∫+∞ 1 1 x dx = lim x→∞ ∫x 1 1 x dx. Desta forma, ∞∑ n=1 1 n ≥ lim x→∞ ∫x 1 1 x dx = lim x→∞ ( ln (|x|)| x 1 ) = lim x→∞ (ln (x) − ln (1)) = limx→∞ (ln (x)) = +∞. y x 1 curva y ln x= ( ) 0 Logo, ∞∑ n=1 1 n ≥ +∞, ou seja, ∞∑ n=1 1 n = +∞. Portanto, ∞∑ n=1 1 n e´ divergente. Exemplo (3) A se´rie ∞∑ n=1 ln ( n n+1 ) e´ divergente. Resoluc¸a˜o. Temos sn = n∑ k=1 ln ( k k+ 1 ) = ln ( 1 2 ) + ln ( 2 3 ) + ln ( 3 4 ) + · · ·+ ln ( n− 1 n ) + ln ( n n+ 1 ) = ln ( 1 2 2 3 3 4 · · · n− 1 n n n+ 1 ) = ln ( 1 n+ 1 ) Logo, ∞∑ n=1 ln ( n n+ 1 ) = lim n→∞ sn = limn→∞ ln ( 1 n+ 1 ) = −∞, ou seja, a se´rie diverge. Exemplo (4) A se´rie ∞∑ n=1 sen ( npi 2 ) e´ divergente. Resoluc¸a˜o. Temos, sn = n∑ k=1 sen ( kpi 2 ) = 1+ 0− 1+ 0+ · · ·+ 1+ 0− 1+ 0 = 0, se n = 4j 1+ 0− 1+ 0+ · · ·+ 1+ 0− 1+ 0+ 1 = 1, se n = 4j+ 1 1+ 0− 1+ 0+ · · ·+ 1+ 0− 1+ 0+ 1+ 0 = 1, se n = 4j+ 2 1+ 0− 1+ 0+ · · ·+ 1+ 0− 1+ 0+ 1+ 0− 1 = 0, se n = 4j+ 3 Assim, (sn)n∈N= (1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, . . .), ou seja, limn→∞ sn na˜o existe. Portanto, ∞∑ n=1 sen ( npi 2 ) diverge. As duas pro´ximas proposic¸o˜es apresentam algumas regras operato´rias envolvendo se´ries. Proposic¸a˜o 1. Se a se´rie ∞∑ n=1 xn e´ convergente e sua soma e´ s, enta˜o a se´rie ∞∑ n=1 cxn, c constante real, e´ convergente e sua soma e´ cs. lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 8 UFU Sequeˆncias e Se´ries Demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 1. Sejam sn = n∑ k=1 xk e σn = n∑ k=1 cxk as somas parciais de ordem n das se´ries ∞∑ n=1 xn e ∞∑ n=1 cxn, respectivamente. Logo, σn = c n∑ k=1 xk = csn e, portanto, lim n→∞σn = limn→∞ csn = c limn→∞ sn = cs (pois limn→∞ sn = s). Assim, lim n→∞σn = cs, ou seja, ∞∑ n=1 cxn e´ convergente e sua soma e´ cs. � Observac¸a˜o. Se ∞∑ n=1 xn e´ divergente, enta˜o ∞∑ n=1 cxn e´ divergente para c 6= 0 (para c = 0, ∞∑ n=1 cxn = 0). Proposic¸a˜o 2. Se as se´ries ∞∑ n=1 xn e ∞∑ n=1 yn convergem para as somas s e s, respectivamente, enta˜o as se´ries ∞∑ n=1 (xn + yn) e ∞∑ n=1 (xn − yn) convergem para as somas s+ s e s− s, respectivamente. Demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 2. Seja sn = n∑ k=1 (xk + yk) soma parcial de ordem n da se´rie ∞∑ n=1 (xn + yn), ou seja, sn = a1 + b1 + a2 + b2 + · · ·+ an + bn = (a1 + a2 + · · ·+ an) + (b1 + b2 + · · ·bn) = sn + sn Logo, lim n→∞ sn = limn→∞ ( sn + sn ) = s+ s, ou seja ∞∑ n=1 (xn + yn) = s+ s. O procedimento para a se´rie ∞∑ n=1 (xn − yn) e´ feito de modo ana´logo. � 2.2 Somando Se´ries A exemplo do que fizemos com a se´rie geome´trica, nesta sec¸a˜o vamos apresentar algumas te´cnicas para encontrar as somas de certas se´ries convergentes. Antes pore´m, uma definic¸a˜o: Uma se´rie ∞∑ n=1 xn e´ chamada de se´rie telesco´pica quando o termo geral xn puder ser escrito na forma xn = an−an+1, ou seja, ∞∑ n=1 xn = ∞∑ n=1 (an − an+1). Exemplos. Exemplo (1) Estude a se´rie ∞∑ n=1 1 n2+n , encontrando sua soma, caso seja convergente. Resoluc¸a˜o. Faremos esse estudo de dois modos distintos: (i) Encontrando uma expressa˜o para a soma parcial de ordem n. Temos: s1 = 1 12 + 1 = 1 2 s2 = 1 12 + 1 + 1 22 + 2 = 1 2 + 1 6 = 2 3 s3 = 1 12 + 1 + 1 22 + 2 + 1 32 + 3 = 1 2 + 1 6 + 1 12 = 3 4 s4 = 1 12 + 1 + 1 22 + 2 + 1 32 + 3 + 1 42 + 4 = 1 2 + 1 6 + 1 12 + 1 20 = 4 5 s5 = 1 12 + 1 + 1 22 + 2 + 1 32 + 3 + 1 42 + 4 + 1 52 + 5 = 1 2 + 1 6 + 1 12 + 1 20 + 1 30 = 5 6 ... La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 9 Logo, sn = n n+1 e, portanto, ∞∑ n=1 1 n2+n = lim n→∞ sn = limn→∞ nn+1 = 1. (ii) Escrevendo o termo geral da se´rie de forma mais simples. Podemos escrever xn = 1 n2+n usando frac¸o˜es parciais, ou seja, sejam A e B reais tais que 1 n2 + n = 1 n (n+ 1) = A n + B n+ 1 = A (n+ 1) + Bn n (n+ 1) = (A+ B)n+A n2 + n ⇒{ A+ B = 0 A = 1 ⇒ { A = 1 B = −1 Logo, xn = 1 n2+n = 1 n − 1 n+1 , ou seja, ∞∑ n=1 xn e´ uma se´rie telesco´pica. Assim, ∞∑ n=1 1 n2 + n = ∞∑ n=1 ( 1 n − 1 n+ 1 ) = lim n→∞ sn = limn→∞ n∑ k=1 ( 1 k − 1 k+ 1 ) = lim n→∞ (( 1− 6 1 6 2 ) + ( 6 1 6 2 − 6 1 6 3 ) + ( 6 1 6 3 − 6 1 6 4 ) + ( 6 1 6 4 − 6 1 6 5 ) + · · ·+ ( 6 1 6 n − 1 n+ 1 )) = lim n→∞ ( 1− 1 n+ 1 ) = 1. Exemplo (2) Estude a se´rie ∞∑ n=1 1 n3+3n2+2n , encontrando sua soma, caso seja convergente. Resoluc¸a˜o. Vamos escrever o termo geral da se´rie como soma de frac¸o˜es parciais, ou seja, sejam A, B e C reais tais que 1 n3 + 3n2 + 2n = 1 n (n+ 1) (n+ 2) = A n + B n+ 1 + C n+ 2 = A (n+ 1) (n+ 2) + Bn (n+ 2) + Cn (n+ 1) n (n+ 1) (n+ 2) = A ( n2 + 3n+ 2 ) + B ( n2 + 2n ) + C ( n2 + n ) n3 + 3n2 + 2n = (A+ B+ C)n2 + (3A+ 2B+ C)n+ 2A n3 + 3n2 + 2n ⇒ A+ B+ C = 03A+ 2B+ C = 0 2A = 1 ⇒ A = 1 2 B+ C = −1 2 2B+ C = −3 2 ⇒ A = 1 2 B = −1 C = 1 2 Logo, ∞∑ n=1 1 n3 + 3n2 + 2n = lim n→∞ sn = limn→∞ n∑ k=1 ( 1 2 k − 1 k+ 1 + 1 2 k+ 2 ) = lim n→∞ ( 1 2 n∑ k=1 1 k − n∑ k=1 1 k+ 1 + 1 2 n∑ k=1 1 k+ 2 ) = lim n→∞ ( 1 2 ( 1+ 1 2 + 1 3 + · · ·+ 1 n︸ ︷︷ ︸ ) − ( 1 2 + 1 3 + · · ·+ 1 n︸ ︷︷ ︸+ 1n+ 1 ) + + 1 2 ( 1 3 + · · ·+ 1 n︸ ︷︷ ︸+ 1n+ 1 + 1n+ 2 )) = lim n→∞ ( 1 2 ( 1+ 1 2 ) − ( 1 2 + 1 n+ 1 ) + 1 2 ( 1 n+ 1 + 1 n+ 2 )) = lim n→∞ ( 1 4 + 1 n+ 1 + 1 2 (n+ 1) + 1 2 (n+ 2) ) = 1 4 Exemplo (3) Estude a se´rie ∞∑ n=1 n 2n , encontrando sua soma, caso seja convergente. Resoluc¸a˜o. lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 10 UFU Sequeˆncias e Se´ries Temos ∞∑ n=1 n 2n = 1 2 + 2 22 + 3 23 + 4 24 + · · ·+ n 2n + · · · = 1 2 + ( 1 22 + 1 22 ) + ( 1 23 + 1 23 + 1 23 ) + ( 1 24 + 1 24 + 1 24 + 1 24 ) + · · ·+ ( 1 2n + · · ·+ 1 2n ) ︸ ︷︷ ︸ n termos + · · · Fac¸amos ∞∑ n=1 n 2n = ∞∑ n=1 An sendo: A1 = 1 2 + 1 22 + 1 23 + 1 24 + · · ·+ 1 2n + 1 2n+1 + · · · = 1 2 1− 1 2 = 2 2 A2 = 1 22 + 1 23 + 1 24 + · · ·+ 1 2n + 1 2n+1 + · · · = 1 22 1− 1 2 = 2 22 A3 = 1 23 + 1 24 + · · ·+ 1 2n + 1 2n+1 + · · · = 1 23 1− 1 2 = 2 23 A4 = 1 24 + · · ·+ 1 2n + 1 2n+1 + · · · = 1 24 1− 1 2 = 2 24 ... An = 1 2n + 1 2n+1 + · · · = 1 2n 1− 1 2 = 2 2n ... Observemos que cada An e´ soma dos termos de PG’s infinitas de raza˜o 1 2 . Ale´m disso, ∞∑ n=1 An tambe´m e´ soma dos termos de uma PG infinita de raza˜o 1 2 . Assim, ∞∑ n=1 n 2n = ∞∑ n=1 An = 2 2 + 2 22 + 2 23 + 2 24 + · · · = 2 2 1− 1 2 = 2. Exemplo (4) Estude a se´rie ∞∑ n=1 ( 1√ n − 1√ n+1 ) , encontrando sua soma, caso seja convergente. Resoluc¸a˜o. Temos uma se´rie telesco´pica: ∞∑ n=1 ( 1√ n − 1√ n+ 1 ) = lim n→∞ sn = limn→∞ n∑ k=1 ( 1√ k − 1√ k+ 1 ) = lim n→∞ (( 1√ 1 − 6 1√6 2 ) + ( 6 1√6 2 − 6 1√6 3 ) + ( 6 1√6 3 − 6 1√6 4 ) + · · ·+ ( 6 1√6 n − 1√n+ 1 )) = lim n→∞ ( 1− 1√ n+ 1 ) = 1. Exemplo (5) Estude a se´rie ∞∑ n=1 1√ n2+n( √ n+1+ √ n) , encontrando sua soma, caso seja convergente. Resoluc¸a˜o. Temos: xn = 1√ n2 + n (√ n+ 1+ √ n ) = √n+ 1−√n√ n (n+ 1) (√ n+ 1+ √ n ) (√ n+ 1− √ n ) = √n+ 1−√n√ n √ n+ 1 = 1√ n − 1√ n+ 1 , ou seja, ∞∑ n=1 1√ n2+n( √ n+1+ √ n) = ∞∑ n=1 ( 1√ n − 1√ n+1 ) e´ uma se´rie telesco´pica. La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 11 Assim, ∞∑ n=1 1√ n2 + n (√ n+ 1+ √ n ) = ∞∑ n=1 ( 1√ n − 1√ n+ 1 ) = lim n→∞ n∑ k=1 ( 1√ k − 1√ k+ 1 ) = lim n→∞ (( 1√ 1 − 6 1√6 2 ) + ( 6 1√6 2 − 6 1√6 3 ) + ( 6 1√6 3 − 6 1√6 4 ) + ·· ·+ ( 6 1√6 n − 1√n+ 1 )) = lim n→∞ ( 1− 1√ n+ 1 ) = 1. 2.3 Uma Condic¸a˜o Necessa´ria para a Convergeˆncia de uma Se´rie Conseguir somar uma se´rie convergente na˜o e´, geralmente, uma tarefa simples. Entretanto, na maioria das vezes, na˜o precisamos saber o valor de uma se´rie, mas apenas se ela e´ convergente ou divergente. Ha´ alguns resultados que permitem fazer essa investigac¸a˜o, sendo que o primeiro deles e´ apresentado abaixo. Proposic¸a˜o 3. (Condic¸a˜o necessa´ria para a convergeˆncia) Se ∞∑ n=1 xn converge, enta˜o lim n→∞ xn = 0. Demonstrac¸a˜o da Proposic¸a˜o 3. Sejam sn = n∑ k=1 xk e sn−1 = n−1∑ k=1 xk. Logo, xn = sn − sn−1 ⇒ lim n→∞ xn = limn→∞ (sn − sn−1) = limn→∞ sn − limn→∞ sn−1. Mas ∞∑ n=1 xn converge, ou seja, existe s ∈ R tal que ∞∑ n=1 xn = s. Portanto, ∞∑ n=1 xn = lim n→∞ sn = limn→∞ sn−1 = s. Conclusa˜o: lim n→∞ xn = 0. � Corola´rio. Se lim n→∞ xn 6= 0, enta˜o ∞∑ n=1 xn diverge. Exemplos. Exemplo (1) Estude a natureza da se´rie 1 3 + 2 5 + 3 7 + 4 9 + 5 11 + · · · via o limite do termo geral. Resoluc¸a˜o. Temos 1 3 + 2 5 + 3 7 + 4 9 + 5 11 + · · · = ∞∑ n=1 n 2n+1 . Assim, xn = n 2n+1 e limn→∞ xn = limn→∞ n2n+1 = 12 6= 0. Portanto, pelo corola´rio acima, ∞∑ n=1 n 2n+1 diverge. Exemplo (2) Estude a natureza da se´rie harmoˆnica de ordem 1, dada por 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + · · · , via o limite do termo geral. Resoluc¸a˜o. Temos 1+ 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + · · · = ∞∑ n=1 1 n . Assim, xn = 1 n e lim n→∞ xn = limn→∞ 1n = 0. Na˜o conclu´ımos a natureza da se´rie pelo corola´rio acima. Entretanto, ja´ vimos em exemplos anteriores que a se´rie∞∑ n=1 1 n diverge. Exemplo (3) Estude a natureza da se´rie geome´trica de raza˜o 2 3 , dada por 2 3 + ( 2 3 )2 + ( 2 3 )3 + ( 2 3 )4 + ( 2 3 )5 + · · · , via o limite do termo geral. Resoluc¸a˜o. Temos 2 3 + ( 2 3 )2 + ( 2 3 )3 + ( 2 3 )4 + ( 2 3 )5 + · · · = ∞∑ n=1 ( 2 3 )n . Assim, xn = ( 2 3 )n e lim n→∞ xn = limn→∞ ( 2 3 )n = 0. Na˜o conclu´ımos a natureza da se´rie pelo corola´rio acima. Entretanto, ja´ vimos em exemplos anteriores que a se´rie∞∑ n=1 ( 2 3 )n converge. Exemplo (4) Estude a natureza da se´rie geome´trica de raza˜o 3 2 , dada por 3 2 + ( 3 2 )2 + ( 3 2 )3 + ( 3 2 )4 + ( 3 2 )5 + · · · , via o limite do termo geral. lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 12 UFU Sequeˆncias e Se´ries Resoluc¸a˜o. Temos 3 2 + ( 3 2 )2 + ( 3 2 )3 + ( 3 2 )4 + ( 3 2 )5 + · · · = ∞∑ n=1 ( 3 2 )n . Assim, xn = ( 3 2 )n e lim n→∞ xn = limn→∞ ( 3 2 )n = +∞ 6= 0. Portanto, pelo corola´rio acima, ∞∑ n=1 ( 3 2 )n diverge. Exemplo (5) Estude a natureza da se´rie ∞∑ n=1 1 n√ 2 via o limite do termo geral. Resoluc¸a˜o. Temos xn = 1 n√ 2 e lim n→∞ xn = limn→∞ 1n√2 = limn→∞ 12 1n = 120 = 1 6= 0. Portanto, pelo corola´rio acima, ∞∑ n=1 1 n√ 2 diverge. Observac¸a˜o. A condic¸a˜o da Proposic¸a˜o 3 e´ necessa´ria mas na˜o e´ suficiente, isto e´, a rec´ıproca da proposic¸a˜o na˜o e´ verdadeira. Por exemplo, na se´rie harmoˆnica de ordem 1, dada por ∞∑ n=1 1 n , e´ tal que lim n→∞ xn = limn→∞ 1n = 0, mas a se´rie diverge. 2.4 Testes de Convergeˆncia para Se´ries de Termos Positivos Conforme ja´ comentamos na sec¸a˜o anterior, encontrar a soma de uma se´rie convergente pode na˜o ser fa´cil, de modo que saber se uma se´rie e´ convergente ou divergente ja´ e´ um ganho considera´vel. Nesta sec¸a˜o apresentamos alguns resultados matema´ticos chamados de testes de convergeˆncia que podem ser aplicados no estudo da natureza de uma se´rie nume´rica de termos positivos. Teorema 1. (1 o. teste: Teste da Comparac¸a˜o) Consideremos as se´ries ∞∑ n=1 xn e ∞∑ n=1 yn de termos positivos tais que xn ≤ yn para n ≥ n0. (i) Se ∞∑ n=1 yn converge, enta˜o ∞∑ n=1 xn converge. (ii) Se ∞∑ n=1 xn diverge, enta˜o ∞∑ n=1 yn diverge. Demonstrac¸a˜o do Teorema 1. Como 0 < xn ≤ yn para n ≥ n0, temos 0 < xn0 + xn0+1 + · · · + xn ≤ yn0 + yn0+1 + · · · + yn. Enta˜o, 0 < sn − sn0−1 ≤ sn − sn0−1, sendo sn e sn somas parciais de ordem n de ∞∑ n=1 xn e ∞∑ n=1 yn, respectivamente. (i) Como ∞∑ n=1 yn converge, enta˜o lim n→∞ sn = s ∈ R. Assim, 0 ≤ lim n→∞ (sn − sn0−1) ≤ limn→∞ ( sn − sn0−1 )⇒ 0 ≤ lim n→∞ (sn) − sn0−1 ≤ limn→∞ ( sn ) − sn0−1 ⇒ 0 ≤ lim n→∞ (sn) − sn0−1 ≤ s− sn0−1 ⇒ sn0−1 ≤ limn→∞ (sn) ≤ (s− sn0−1)+ sn0−1 Portanto, lim n→∞ (sn) deve ser um nu´mero real, pois (sn)n∈N e´ uma sequeˆncia crescente de nu´meros positivos limitada superiormente (ela na˜o “oscila”). Conclusa˜o: ∞∑ n=1 xn e´ convergente. (ii) Como ∞∑ n=1 xn diverge, enta˜o lim n→∞ sn = +∞. Assim, 0 ≤ lim n→∞ (sn − sn0−1) ≤ limn→∞ ( sn − sn0−1 )⇒ 0 ≤ +∞ ≤ lim n→∞ ( sn ) − sn0−1 ⇒ lim n→∞ ( sn ) = +∞, ou seja, ∞∑ n=1 yn e´ divergente. � Exemplos. La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 13 Exemplo (1) Estudar a natureza da se´rie ∞∑ n=1 1√ n . Resoluc¸a˜o. Temos 0 < 1 n ≤ 1√ n , para qualquer n ∈ N. Como ∞∑ n=1 1 n diverge, pelo Teste da Comparac¸a˜o, ∞∑ n=1 1√ n diverge. Exemplo (2) Estudar a natureza da se´rie ∞∑ n=1 1 nn . Resoluc¸a˜o. Temos 0 < 2n ≤ nn para n ∈ N− {1}. Logo, 0 < 1 nn ≤ 1 2n para n ≥ 2. Como ∞∑ n=1 ( 1 2 )n = 1 2 1− 1 2 = 1 (se´rie geome´trica) converge, enta˜o, pelo Teste da Comparac¸a˜o, ∞∑ n=1 1 nn converge (e sua soma e´ menor do que ou igual a 1). Exemplo (3) Estudar a natureza da se´rie ∞∑ n=1 4 3n+1 . Resoluc¸a˜o. Temos 0 < 4 3n+1 ≤ 43n = 4 ( 1 3 )n , para qualquer n ∈ N. Mas ∞∑ n=1 4 ( 1 3 )n = 4 ∞∑ i=n ( 1 3 )n = 4 1 3 1− 1 3 = 2 (se´rie geome´trica) converge, enta˜o, pelo Teste da Comparac¸a˜o, ∞∑ n=1 1 3n+1 converge (e sua soma e´ menor do que ou igual a 2). Exemplo (4) Estudar a natureza da se´rie ∞∑ n=1 arctg(n) 2n . Resoluc¸a˜o. Temos 0 < pi 4 ≤ arctg (n) < pi 2 , para qualquer n ∈ N. 0 y 1 x p/2 -p/2 p/4 2 3 curva y arctgx= ( ) Logo, 0 < arctg(n) 2n ≤ pi2 2n = pi 2 ( 1 2 )n . Como ∞∑ n=1 pi 2 ( 1 2 )n = pi 2 ∞∑ n=1 ( 1 2 )n = pi 2 1 2 1− 1 2 = pi 2 (se´rie geome´trica) converge, enta˜o, pelo Teste da Comparac¸a˜o, ∞∑ n=1 arctg(n) 2n converge (e sua soma e´ menor do que ou igual a pi 2 ). Exemplo (5) Estudar a natureza da se´rie ∞∑ n=1 arctg(n) n . Resoluc¸a˜o. Temos arctg (n) ≥ arctg (2) > arctg (√ 3 ) = pi 3 > 1 para n ∈ N− {1}. Logo, 0 < 1 n ≤ arctg(n) n para n ≥ 2. Como ∞∑ n=1 1 n diverge, enta˜o, pelo Teste da Comparac¸a˜o, ∞∑ n=1 arctg(n) n diverge. Teorema 2. (2 o. teste: Teste da Raza˜o ou Teste de D’Alembert) Consideremos a se´rie ∞∑ n=1 xn de termos positivos tal que lim n→∞ xn+1xn = l ∈ R. (i) Se l < 1, enta˜o ∞∑ n=1 xn converge. (ii) Se l > 1, enta˜o ∞∑ n=1 xn diverge. Observac¸o˜es. (i) Quando l = 1, na˜o se conclui a natureza da se´rie com o teste acima. Ha´ exemplos de se´ries convergentes e se´ries divergentes tais que l = 1 nesse teste. lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 14 UFU Sequeˆncias e Se´ries (ii) Se lim n→∞ xn+1xn = +∞, enta˜o a se´rie ∞∑n=1xn diverge. Exemplos. Exemplo (1) Use o Teste da Raza˜o para estudar a natureza da se´rie ∞∑ n=1 1 n! . Resoluc¸a˜o. Temoslim n→∞ xn+1xn = limn→∞ 1 (n+1)! 1 n! = lim n→∞ n!(n+1)! = limn→∞ 1n+1 = 0. Logo, pelo Teste da Raza˜o, ∞∑ n=1 1 n! converge. Exemplo (2) Use o Teste da Raza˜o para estudar a natureza da se´rie harmoˆnica de ordem 1, dada por ∞∑ n=1 1 n . Resoluc¸a˜o. Temos lim n→∞ xn+1xn = limn→∞ 1 n+1 1 n = lim n→∞ nn+1 = 1. Logo, na˜o conclu´ımos a natureza da se´rie ∞∑ n=1 1 n pelo Teste da Raza˜o (embora saibamos que esta se´rie e´ divergente). Exemplo (3) Use o Teste da Raza˜o para estudar a natureza da se´rie ∞∑ n=1 2n n . Resoluc¸a˜o. Temos lim n→∞ xn+1xn = limn→∞ 2n+1 n+1 2n n = lim n→∞ 2nn+1 = 2. Logo, pelo Teste da Raza˜o, ∞∑ n=1 2n n diverge. Exemplo (4) Use o Teste da Raza˜o para estudar a natureza da se´rie ∞∑ n=1 n! 2n . Resoluc¸a˜o. Temos lim n→∞ xn+1xn = limn→∞ (n+1)! 2n+1 n! 2n = lim n→∞ n+12 = +∞. Logo, pelo Teste da Raza˜o, ∞∑n=1 n!2n diverge. Exemplo (5) Use o Teste da Raza˜o para estudar a natureza da se´rie ∞∑ n=1 2n nn . Resoluc¸a˜o. Temos lim n→∞ xn+1xn = limn→∞ 2n+1 (n+1)n+1 2n nn = lim n→∞ 2nn(n+1)n(n+1) ≤ limn→∞ 2nnnn(n+1) = limn→∞ 2n+1 = 0. Logo, pelo Teste da Raza˜o, ∞∑ n=1 2n nn converge. Exemplo (6) Use o Teste da Raza˜o para estudar a natureza da se´rie ∞∑ n=1 n! nn . Resoluc¸a˜o. Temos lim n→∞ xn+1xn = limn→∞ (n+1)! (n+1)n+1 n! nn = lim n→∞ (n+1)n n (n+1)n(n+1) = limn→∞ 1(n+1n )n = 1limn→∞(1+ 1n )n = 1 e < 1. Logo, pelo Teste da Raza˜o, ∞∑ n=1 n! nn converge. Teorema 3. (3 o. teste: Teste da Raiz ou Teste de Cauchy) Consideremos a se´rie ∞∑ n=1 xn de termos positivos tal que lim n→∞ n√xn = l ∈ R. (i) Se l < 1, enta˜o ∞∑ n=1 xn converge. (ii) Se l > 1, enta˜o ∞∑ n=1 xn diverge. Observac¸o˜es. (i) Quando l = 1, na˜o se conclui a natureza da se´rie com o teste acima. Ha´ exemplos de se´ries convergentes e se´ries divergentes tais que l = 1 nesse teste. (ii) Se lim n→∞ n√xn = +∞, enta˜o a se´rie ∞∑n=1xn diverge. La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 15 Exemplos. Exemplo (1) Use o Teste da Raza˜o para estudar a natureza da se´rie ∞∑ n=1 1 nn . Resoluc¸a˜o. Temos lim n→∞ n√xn = limn→∞ n √ 1 nn = lim n→∞ 1n = 0. Logo, pelo Teste da Raiz, ∞∑ n=1 1 nn converge. Exemplo (2) Use o Teste da Raza˜o para estudar a natureza da se´rie harmoˆnica de ordem 1, dada por ∞∑ n=1 1 n . Resoluc¸a˜o. Temos lim n→∞ n√xn = limn→∞ n √ 1 n = lim n→∞ ( 1 n ) 1 n = lim x→∞ ( 1 x ) 1 x = lim x→∞ e 1x ln( 1x ) = e limx→∞ − ln(x) x = e lim n→∞(− 1x ) = e0 = 1 (Regra de L’Hospital). Logo, na˜o conclu´ımos a natureza da se´rie ∞∑ n=1 1 n pelo Teste da Raiz (embora saibamos que esta se´rie e´ divergente). Para o proximo teste, precisamos recordar as chamadas Integrais Impro´prias. Vimos que uma integral impro´pria do primeiro tipo ∫∞ a f (x)dx = lim x→∞ ∫x a f (x)dx pode ser convergente ou diver- gente. Geometricamente, quando f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a,∞[, a integral ∫∞ a f (x)dx no plano cartesiano representa a a´rea da regia˜o R, na˜o limitada a` direita, abaixo do gra´fico de f e acima do intervalo [a,∞[ sobre o eixo x. Quando a integral impro´pria converge, a a´rea da regia˜o R e´ finita. Quando a integral impro´pria diverge, a a´rea da regia˜o R e´ infinita. 0 y a x R A R f x dx( ) = ( )òa +¥ Por exemplo: (i) ∫∞ 1 1 x dx = lim x→∞ ∫x 1 1 x dx = lim x→∞ ( ln (|x|)| x 1 ) = lim x→∞ (ln (x) − 0) = +∞, ou seja, a integral impro´pria diverge. (ii) ∫∞ 1 1 1+x2 dx = lim x→∞ ∫∞ 1 1 1+x2 dx = lim x→∞ ( arctg (x)| x 1 ) = lim x→∞ (arctg (x) − arctg (1)) = pi2 − pi4 = pi4 , ou seja, a integra impro´pria converge. Teorema 4. (4 o. teste: Teste da Integral) Consideremos a se´rie ∞∑ n=1 xn de termos positivos e f : [1,∞[ → R uma func¸a˜o cont´ınua, positiva e decrescente tal que f (n) = xn. Enta˜o, (i) Se ∫∞ 1 f (x)dx converge, enta˜o ∞∑ n=1 xn converge. (ii) Se ∫∞ 1 f (x)dx diverge, enta˜o ∞∑ n=1 xn diverge. Observac¸o˜es. Se ∫∞ 1 f (x)dx converge, enta˜o ∫∞ a f (x)dx converge para qualquer a ≥ 1. Se ∫∞ 1 f (x)dx diverge, enta˜o ∫∞ a f (x)dx diverge para qualquer a ≥ 1. Demonstrac¸a˜o do Teorema 4. Consideremos os seguintes gra´ficos, sendo f (n) = xn. lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 16 UFU Sequeˆncias e Se´ries y x 1 curva y f x= ( ) 0 2 3 ... f 1 x( ) = 1 4 n y x 10 2 3 ...4 n f 2( ) = x2 f 3( ) = x3 f 4( ) = x4 f n( ) = xn A1 A2 A3 A4 An f 1 x( ) = 1 f 2( ) = x2 f 3( ) = x3 f 4( ) = x4 f n( ) = xn B1 B2 B3 B4 Bn (i) ∫∞ 1 f (x)dx = c ∈ R converge. Temos ∞∑ n=1 xn = x1 + ∞∑ n=2 xn = x1 + ∞∑ n=2 f (n) = x1 + f (2) .1︸ ︷︷ ︸ A1 + f (3) .1︸ ︷︷ ︸ A2 + f (4) .1︸ ︷︷ ︸ A3 + · · · ≤ x1 + ∫∞ 1 f (x)dx = x1 + c, ou seja, ∞∑ n=1 xn converge. (ii) ∫∞ 1 f (x)dx = +∞ diverge. Temos ∞∑ n=1 xn = ∞∑ n=1 f (n) = f (1) .1︸ ︷︷ ︸ B1 + f (2) .1︸ ︷︷ ︸ B2 + f (3) .1︸ ︷︷ ︸ B3 + · · · ≥ ∫∞ 1 f (x)dx = +∞, ou seja, ∞∑ n=1 xn diverge. � Exemplos. Exemplo (1) Estudar a se´rie harmoˆnica de ordem p, dada por ∞∑ n=1 1 np , no caso em que p > 0 e p 6= 1, utilizando o Teste da Integral. Resoluc¸a˜o. Consideremos a func¸a˜o f : [1,∞[ → R definida por f (x) = 1 xp , que e´ cont´ınua, positiva, decrescente e tal que f (n) = xn = 1 np . Assim, para p > 0 e p 6= 1 temos∫∞ 1 f (x)dx = ∫∞ 1 1 xp dx = lim x→∞ ∫x 1 1 xp dx = lim x→∞ ( x1−p 1− p ∣∣∣∣x 1 ) = lim x→∞ x 1−p − 1 1− p . (i) Se 0 < p < 1, temos lim x→∞ x1−p−11−p = +∞ e, pelo Teste da Integral, a se´rie ∞∑n=1 1np diverge. (ii) Se p > 1, temos lim x→∞ x1−p−11−p = 1p−1 e, pelo Teste da Integral, a se´rie ∞∑ n=1 1 np converge. Observac¸a˜o. Vimos que para p = 1 a se´rie ∞∑ n=1 1 np = ∞∑ n=1 1 n diverge. Naturalmente, quando p = 0 temos que ∞∑ n=1 1 n0 = ∞∑ n=1 1 diverge. Ale´m disso, essa se´rie tambe´m diverge quando consideramos p < 0, pois, nesse caso, o limite do termo geral na˜o e´ zero, ou seja, lim n→∞ 1np = +∞. Resumindo: pela ana´lise empenhada acima, a se´rie harmoˆnica de ordem p, dada por ∞∑ n=1 1 np , diverge para p ≤ 1 e converge para p > 1. La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 17 Exemplo (2) Estudar a se´rie ∞∑ n=2 1 n(ln(n))p , sendo p > 0, utilizando o Teste da Integral. Resoluc¸a˜o. Consideremos a func¸a˜o f : [2,∞[→ R definida por f (x) = 1 x(ln(x))p , que e´ cont´ınua, positiva, decrescente e tal que f (n) = xn = 1 n(ln(n))p . A func¸a˜o f (x) = x−1 (ln (x)) −p e´, de fato, decrescente, pois f′ (x) = −x−2 (ln (x))−p − x−1p (ln (x))−p−1 x−1 = − 1 x2 (ln (x)) p − p x2 (ln (x)) p+1 = − 1 x2 (ln (x)) p ( 1+ p ln (x) ) < 0 para p > 0 e x > 2. Temos, para p > 0 e p 6= 1,∫∞ 2 1 x (ln (x)) pdx = lim x→∞ ∫x 2 (ln (x)) −p x dx = lim x→∞ ( (ln (x)) 1−p 1− p ∣∣∣∣∣ x 2 ) = lim x→∞ ( (ln (x)) 1−p − (ln (2)) 1−p 1− p ) . Para p = 1,∫∞ 2 1 x ln (x) dx = lim x→∞ ∫x 2 1 x ln (x) dx = lim x→∞ ( ln (ln (x))| x 2 ) = lim x→∞ (ln (ln (x)) − ln (ln (2))) = limx→∞ ( ln ( ln (x) ln (2) )) . (i) Se 0 < p < 1, temos lim x→∞ ( (ln(x))1−p−(ln(2))1−p 1−p ) = +∞, ou seja a se´rie ∞∑ n=2 1 n(ln(n))p diverge. (ii) Se p= 1, temos lim x→∞ ( ln ( ln(x) ln(2) )) = +∞, ou seja a se´rie ∞∑ n=2 1 n ln(n) diverge. (iii) Se p > 1, temos lim x→∞ ( (ln(x))1−p−(ln(2))1−p 1−p ) = −(ln(2)) 1−p 1−p , ou seja a se´rie ∞∑ n=2 1 n(ln(n))p converge. Observac¸a˜o. Na se´rie ∞∑ n=2 1 n(ln(n))p do exemplo acima, quando p ≤ 0, temos 1n(ln(n))p ≥ 1n e, pelo Teste de Comparac¸a˜o,∞∑ n=1 1 n(ln(n))p diverge, pois ∞∑ n=1 1 n diverge. Sendo assim, a se´rie em questa˜o tem o mesmo comportamento da se´rie harmoˆnica de ordem p. Exerc´ıcios. Exerc´ıcio (1) Estudar a se´rie ∞∑ n=1 n en 2 utilizando o Teste da Integral. Dica: uma primitiva para f (x) = x ex 2 e´ F (x) = −1 2ex 2 . Exerc´ıcio (2) Estudar a se´rie ∞∑ n=1 n √ e n2 utilizando o Teste da Integral. Dica: uma primitiva para f (x) = x √ e x2 e´ F (x) = − x √ e. Exerc´ıcio (3) Estudar a se´rie ∞∑ n=10 1 n(ln(n))(ln(ln(n)))p utilizando o Teste da Integral. Dica: uma primitiva para f (x) = 1 x(ln(x))(ln(ln(x)))p e´ F (x) = (ln(ln(p)))1−p 1−p para p 6= 1 e F (x) = ln (ln (ln (x))) para n = 1. Resposta: diverge para p ≤ 1 e converge para p > 1. Teorema 5. (5 o. teste: Teste do Limite da Comparac¸a˜o) Consideremos as se´ries ∞∑ n=1 xn e ∞∑ n=1 yn de termos positivos. Enta˜o, (i) Se lim n→∞ xnyn = 0 e ∞∑ n=1 yn converge, enta˜o ∞∑ n=1 xn converge. (ii) Se lim n→∞ xnyn = c > 0, enta˜o ambas as se´ries convergem ou ambas as se´ries divergem. (iii) Se lim n→∞ xnyn = +∞ e ∞∑n=1yn diverge, enta˜o ∞∑n=1xn diverge. Exemplos. lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 18 UFU Sequeˆncias e Se´ries Exemplo (1) Estudar a se´rie ∞∑ n=1 3n+1 4n3+n2−2 utilizando o Teste do Limite da Comparac¸a˜o. Resoluc¸a˜o. Temos que encontrar uma se´rie (geralmente mais simples) a qual saibamos sua natureza para compararmos com a se´rie dada no limite. Observemos que xn = 3n+ 1 4n3 + n2 − 2 = n ( 3+ 1 n ) n3 ( 4+ 1 n − 2 n3 ) = 1 n2 . 3+ 1 n 4+ 1 n − 2 n3 Se tomarmos yn = 1 n2 teremos lim n→∞ xnyn = limn→∞ 1 n2 . 3+ 1 n 4+ 1 n − 2 n3 1 n2 = lim n→∞ 3+ 1 n 4+ 1 n − 2 n3 = 3 4 > 0. Como ∞∑ n=1 1 n2 converge (se´rie harmoˆnica de ordem 2), pelo Teste do Limite da Camparac¸a˜o, ∞∑ n=1 3n+1 4n3+n2−2 converge. Exemplo (2) Estudar a se´rie ∞∑ n=1 5√ n2+2n+7 utilizando o Teste do Limite da Comparac¸a˜o. Resoluc¸a˜o. Observemos que xn = 5√ n2 + 2n+ 7 = 5√ n2 ( 1+ 2 n + 7 n2 ) = 5n. 1√1+ 2 n + 7 n2 Se tomarmos yn = 5 n teremos lim n→∞ xnyn = limn→∞ 5 n . 1√ 1+ 2 n + 7 n2 5 n = lim n→∞ 1√ 1+ 2 n + 7 n2 = 1 > 0. Como ∞∑ n=1 5 n = 5 ∞∑ n=1 1 n diverge (se´rie harmoˆnica de ordem 1), pelo Teste do Limite da Camparac¸a˜o, ∞∑ n=1 5√ n2+2n+7 diverge. Exemplo (3) Estudar a se´rie ∞∑ n=1 3√ n2+4 6n2−n−1 utilizando o Teste do Limite da Comparac¸a˜o. Resoluc¸a˜o. Observemos que xn = 3 √ n2 + 4 6n2 − n− 1 = 3 √ n2 ( 1+ 4 n2 ) n2 ( 6− 1 n − 1 n2 ) = 3√n2 n2 . 3 √ 1+ 4 n2 6− 1 n − 1 n2 = 1 n 4 3 . 3 √ 1+ 4 n2 6− 1 n − 1 n2 Se tomarmos yn = 1 n 4 3 teremos lim n→∞ xnyn = limn→∞ 1 n 4 3 . 3 √ 1+ 4 n2 6− 1 n − 1 n2 1 n 4 3 = lim n→∞ 3 √ 1+ 4 n2 6− 1 n − 1 n2 = 1 6 > 0. Como ∞∑ n=1 1 n 4 3 converge (se´rie harmoˆnica de ordem 4 3 > 1), pelo Teste do Limite da Camparac¸a˜o, ∞∑ n=1 3√ n2+4 6n2−n−1 converge. Exemplo (4) Estudar a se´rie ∞∑ n=1 arctg(n) nn utilizando o Teste do Limite da Comparac¸a˜o. Resoluc¸a˜o. Se tomarmos yn = 1 nn teremos lim n→∞ xnyn = limn→∞ arctg(n) nn 1 nn = lim n→∞ arctg (n) = pi2 > 0. La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 19 Como ∞∑ n=1 1 nn converge (veja exemplo do Teste da Raiz ), pelo Teste do Limite da Camparac¸a˜o, ∞∑ n=1 arctg(n) nn converge. Exemplo (5) Estudar a se´rie ∞∑ n=1 sen2 ( pi n ) utilizando o Teste do Limite da Comparac¸a˜o. Resoluc¸a˜o. Se tomarmos yn = ( pi n )2 teremos lim n→∞ xnyn = limn→∞ sen2 ( pi n )( pi n )2 = ( lim n→∞ sen ( pi n ) pi n )2 = 12 = 1 > 0. Como ∞∑ n=1 ( pi n )2 = pi2 ∞∑ n=1 1 n2 converge (se´rie harmoˆnica de ordem 2), pelo Teste do Limite da Camparac¸a˜o, ∞∑ n=1 sen2 ( pi n ) converge. Exemplo (6) Estudar a se´rie ∞∑ n=1 sen ( 1 n2 ) utilizando o Teste do Limite da Comparac¸a˜o. Resoluc¸a˜o. Se tomarmos yn = 1 n2 teremos lim n→∞ xnyn = limn→∞ sen ( 1 n2 ) 1 n2 = 1 > 0. Como ∞∑ n=1 1 n2 converge (se´rie harmoˆnica de ordem 2), pelo Teste do Limite da Camparac¸a˜o, ∞∑ n=1 sen ( 1 n2 ) converge. Exerc´ıcios. Exerc´ıcio (1) Estudar a se´rie ∞∑ n=1 arctg(n) n utilizando o Teste do Limite da Comparac¸a˜o. Exerc´ıcio (2) Estudar a se´rie ∞∑ n=1 arctg(n) 2n utilizando o Teste do Limite da Comparac¸a˜o. 2.5 Se´ries Alternadas A maioria das se´ries que estudamos nas sec¸o˜es anteriores sa˜o de termos positivos. Entretanto, ha´ um tipo de se´rie muito importante que intercala termos positivos e negativos, cuja definic¸a˜o segue abaixo e que sera´ objeto de estudo nessa sec¸a˜o. Chamamos de se´ries alternadas as se´ries do tipo ∞∑ n=1 (−1) n an = −a1 + a2 − a3 + a4 − · · · ou ∞∑ n=1 (−1) n+1 an = a1 − a2 + a3 − a4 + · · · sendo an > 0 para todo n ∈ N. O pro´ximo resultado matema´tico e´ devido a Leibniz e e´ o nosso sexto teste de convergeˆncia, exclusivo para se´ries alternadas. Teorema 6. (6 o. teste: Teste de Leibniz ou Teste de Convergeˆncia para Se´ries Alternadas) Seja ∞∑ n=1 xn uma se´rie alternada. Se |xn| > |xn+1| para qualquer n ∈ N e lim n→∞ |xn| = 0, enta˜o a se´rie alternada converge e o mo´dulo de sua soma e´ inferior ao mo´dulo de x1, ou seja, ∣∣∣∣ ∞∑ n=1 xn ∣∣∣∣ < |x1|. Exemplos. Exemplo (1) A se´rie ∞∑ n=1 (−1) n 1 n e´ convergente. Resoluc¸a˜o. lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 20 UFU Sequeˆncias e Se´ries De fato, |xn| > |xn+1|, pois ∣∣(−1)n 1 n ∣∣ > ∣∣∣(−1)n+1 1n+1 ∣∣∣. Tambe´m limn→∞ |xn| = limn→∞ ∣∣(−1)n 1n ∣∣ = 0. Logo, pelo Teste de Leibniz, a se´rie alternada ∞∑ n=1 (−1) n 1 n converge. Exemplo (2) A se´rie ∞∑ n=1 (−1) n 1 ln(n) e´ convergente. Resoluc¸a˜o. De fato, |xn| > |xn+1|, pois ∣∣∣(−1)n 1ln(n) ∣∣∣ > ∣∣∣(−1)n+1 1ln(n+1) ∣∣∣. Tambe´m limn→∞ |xn| = limn→∞ ∣∣∣(−1)n 1ln(n) ∣∣∣ = 0. Logo, pelo Teste de Leibniz, a se´rie alternada ∞∑ n=1 (−1) n 1 ln(n) converge. Exerc´ıcios. Exerc´ıcio (1) Estude a natureza da se´rie alternada ∞∑ n=1 (−1) n 1 n! . Exerc´ıcio (2) Estude a natureza da se´rie alternada ∞∑ n=1 (−1) n−1 1 (2n−1)! . Exerc´ıcio (3) Estude a natureza da se´rie alternada ∞∑ n=1 (−1) n 1 (2n)! . 2.5.1 Estimando Erros de Aproximac¸a˜o em Somas Parciais de Se´ries Alternadas Sejam ∞∑ n=1 xn uma se´rie alternada convergente, s = ∞∑ n=1 xn sua soma e sn = n∑ k=1 xk sua soma parcial de ordem n. Dizemos que δn = |s− sn| e´ um erro de aproximac¸a˜o com precisa˜o de m casas decimais quando δn < (0, 1) .10−m = 10−m−1. Observemos que δn exprime o erro de aproximac¸a˜o que se comete quanto trocamos s por sn. Assim, um erro com precisa˜o de 1 casa decimal e´ tal que δn < (0, 1) 10 −1 = 0, 01. Um erro com precisa˜o de 2 casas decimais e´ tal que δn < (0, 1) 10 −2 = 0, 001. A proposic¸a˜o abaixo ajuda na estimativado erro δn. Proposic¸a˜o 3. Seja ∞∑ n=1 xn uma se´rie alternada tal que |xn| > |xn+1| para qualquer n ∈ N e lim n→∞ |xn| = 0. Sejam s = ∞∑ n=1 xn sua soma e sn = n∑ k=1 xk sua soma parcial de ordem n. Enta˜o, δn = |s− sn| < |xn+1|. Exemplos. Exemplo (1) Mostre que a se´rie alternada ∞∑ n=1 (−1) n−1 1 (2n−1)! converge e obtenha uma aproximac¸a˜o da soma com cinco casas decimais de precisa˜o. Resoluc¸a˜o. Quanto a` convergeˆncia, foi deixada como exerc´ıcio acima. Quanto a` aproximac¸a˜o, de acordo com a proposic¸a˜o acima, δn < |xn+1| e desejamos δn < (0, 1) 10 −5 = 10−6. Logo, se encontrarmos n tal que |xn+1| < 10 −6 resolvemos o problema. Assim, |xn+1| < 10 −6 ⇒ ∣∣∣∣(−1)(n+1)−1 1(2 (n+ 1) − 1) ! ∣∣∣∣ < 1106 ⇒ 1(2n+ 1) ! < 1106 ⇒ (2n+ 1) ! > 106 Com o aux´ılio de uma calculadora, encontramos que n = 5 e´ o menor n que satisfaz a desigualdade acima. Portanto, 5∑ k=1 (−1) k−1 1 (2k−1)! e´ uma aproximac¸a˜o com cinco casas decimais de precisa˜o da se´rie ∞∑ n=1 (−1) n−1 1 (2n−1)! . Exemplo (2) Mostre que a se´rie alternada ∞∑ n=1 (−1) n−1 1 n! converge e obtenha uma aproximac¸a˜o da soma com treˆs casas decimais de precisa˜o. Resoluc¸a˜o. La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 21 Quanto a` convergeˆncia, foi deixada como exerc´ıcio acima. Quanto a` aproximac¸a˜o, de acordo com a proposic¸a˜o acima, δn < |xn+1| e desejamos δn < (0, 1) 10 −3 = 10−4. Logo, se encontrarmos n tal que |xn+1| < 10 −4 resolvemos o problema. Assim, |xn+1| < 10 −4 ⇒ ∣∣∣∣(−1)(n+1)−1 1(n+ 1) ! ∣∣∣∣ < 1104 ⇒ 1(n+ 1) ! < 1104 ⇒ (n+ 1) ! > 104 Com o aux´ılio de uma calculadora, encontramos que n = 7 e´ o menor n que satisfaz a desigualdade acima. Portanto, 7∑ k=1 (−1) k−1 1 k! e´ uma aproximac¸a˜o com treˆs casas decimais de precisa˜o da se´rie ∞∑ n=1 (−1) n−1 1 n! . Exerc´ıcio. Mostre que a se´rie alternada ∞∑ n=1 (−1) n−1 1 n3 converge e obtenha uma aproximac¸a˜o da soma com treˆs casas decimais de precisa˜o. 2.6 Se´ries de Termos de Sinais Quaisquer As se´ries alternadas sa˜o casos particulares de se´ries nas quais os termos podem ser positivos ou negativos de forma arbitrariamente intercalados. Para as se´ries de termos de sinais quaisquer tambe´m temos um teste de convergeˆncia (o se´timo). Teorema 7. (7 o. teste - Teste de Convergeˆncia para Se´ries de Sinais Quaisquer) Se a se´rie ∞∑ n=1 xn for tal que ∞∑ n=1 |xn| converge, enta˜o ∞∑ n=1 xn tambe´m converge. Observac¸a˜o. A rec´ıproca do teorema acima na˜o e´ verdadeira. Por exemplo, ∞∑ n=1 (−1) n 1 n converge (Teste de Leibniz ). Entretanto, ∞∑ n=1 ∣∣(−1)n 1 n ∣∣ = ∞∑ n=1 1 n diverge (se´rie harmoˆnica de ordem 1). Quando ∞∑ n=1 |xn| converge, dizemos que ∞∑ n=1 xn e´ uma se´rie absolutamente convergente . O teste acima afirma, portanto, que toda se´rie absolutamente convergente e´ convergente. Exemplos. Exemplo (1) Estude a natureza da se´rie ∞∑ n=1 sen(n) n2 . Resoluc¸a˜o. Temos uma se´rie com termos de sinais quaisquer. Entretanto, |xn| = ∣∣∣ sen(n)n2 ∣∣∣ ≤ 1n2 . Como a se´rie ∞∑ n=1 1 n2 e´ convergente (se´rie harmoˆnica de ordem p), pelo Teste da Comparac¸a˜o, ∞∑ n=1 |xn| = ∞∑ n=1 ∣∣∣ sen(n)n2 ∣∣∣ converge. Logo, ∞∑ n=1 xn = ∞∑ n=1 sen(n) n2 e´ absolutamente convergente e, pelo teste acima, convergente. Exemplo (2) Estude a natureza da se´rie ∞∑ n=1 cos(npi)+sen2(npi2 )+3 cos(n 2)−5 nn . Resoluc¸a˜o. Temos uma se´rie com termos de sinais quaisquer. Entretanto, |xn| = ∣∣∣∣ cos(npi)+sen2(npi2 )+3 cos(n2)−5nn ∣∣∣∣ ≤ 1+12+3.1+5nn = 10 nn . A se´rie ∞∑ n=1 10 nn e´ convergente (use o Teste da Comparac¸a˜o, pois 10 nn ≤ 10 n2 , ou enta˜o use o Teste da Raiz ). Assim, pelo Teste da Comparac¸a˜o, ∞∑ n=1 |xn| = ∞∑ n=1 ∣∣∣∣ cos(npi)+sen2(npi2 )+3 cos(n2)−5nn ∣∣∣∣ converge. Logo, ∞∑ n=1 xn = ∞∑ n=1 cos(npi)+sen2(npi2 )+3 cos(n 2)−5 nn e´ absolutamente convergente e, pelo teste acima, convergente. lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 22 UFU Sequeˆncias e Se´ries Encerramos essa sec¸a˜o com os Testes da Raza˜o e da Raiz, que tambe´m possuem verso˜es para se´ries com sinais quaisquer: Proposic¸a˜o 4. (Teste da Raza˜o ou Teste de D’Alembert para Se´ries de Sinais Quaisquer) Consideremos a se´rie∞∑ n=1 xn de termos na˜o nulos com sinais quaisquer tal que lim n→∞ ∣∣∣xn+1xn ∣∣∣ = l ∈ R. (i) Se l < 1, enta˜o ∞∑ n=1 xn e´ absolutamente convergente. (ii) Se l > 1, enta˜o ∞∑ n=1 xn diverge. Proposic¸a˜o 5. (Teste da Raiz ou Teste de Cauchy para Se´ries de Sinais Quaisquer) Consideremos a se´rie ∞∑ n=1 xn de termos na˜o nulos com sinais quaisquer tal que lim n→∞ n √ |xn| = l ∈ R. (i) Se l < 1, enta˜o ∞∑ n=1 xn e´ absolutamente convergente. (ii) Se l > 1, enta˜o ∞∑ n=1 xn diverge. Observac¸a˜o. Assim como nos respectivos testes de se´ries com termos positivos, quando l = 1 na˜o podemos concluir a natureza da se´rie com os testes acima. 2.7 Exerc´ıcios Diversos Exerc´ıcio (1) A se´rie ∞∑ n=1 (−1) n e´ divergente. Mas, a`s vezes, nossa familiaridade com as propriedades associativa ou comutativa em somas de finitos termos podem nos pregar pec¸as em se´ries. Observe: De fato, a se´rie diverge. A sequeˆncia das somas parciais desta se´rie, dada por (sn)n∈N, e´ tal que sn = −1+ 1− 1+ 1− · · ·+ (−1)n︸ ︷︷ ︸ n parcelas = −1 quando n e´ ı´mpar. −1+ 1− 1+ 1− · · ·+ (−1)n︸ ︷︷ ︸ n parcelas = 0 quando n e´ par. , ou seja, (sn)n∈N = (−1, 0,−1, 0,−1, 0, . . .) Como a sequeˆncias das somas parciais (sn)n∈N e´ divergente, temos, por definic¸a˜o, que a se´rie ∞∑ n=1 (−1) n e´ divergente. Um racioc´ınio errado: ∞∑ n=1 (−1) n = −1+ 1− 1+ 1− 1+ 1− 1+ 1− · · · = (−1+ 1) + (−1+ 1) + (−1+ 1) + (−1+ 1) + · · · = 0+ 0+ 0+ 0+ · · · = 0 (?!) As propriedades associativa ou comutativa na˜o valem para quaisquer se´ries. Essas propriedades valem para se´ries absolutamente convergentes, que na˜o e´ o caso acima, da´ı a contradic¸a˜o. Exerc´ıcio (2) A se´rie ∞∑ n=1 ln ( n n+5 ) e´ divergente. Desta vez, quem nos prega uma pec¸a sa˜o as propriedades de logaritmos, que valem para somas e produtos de finitos termos. Observe: La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br Sequeˆncias e Se´ries UFU Pa´gina 23 De fato, a se´rie diverge. A sequeˆncia das somas parciais desta se´rie, dada por (sn)n∈N, e´ tal que sn = ln ( 1 6 ) + ln ( 2 7 ) + ln ( 3 8 ) + · · ·+ ln ( n n+ 5 ) = ln ( 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10 6 11 7 12 8 13 · · · n− 7 n− 2 n− 6 n− 1 n− 5 n n− 4 n+ 1 n− 3 n+ 2 n− 2 n+ 3 n− 1 n+ 4 n n+ 5 ) = ln ( 1 1 2 1 3 1 5 1 1 1 1 1 1 1 · · · 1 1 1 1 1 1 1 n+ 1 1 n+ 2 1 n+ 3 1 n+ 4 1 n+ 5 ) = ln ( 5! (n+ 1) (n+ 2) (n+ 3) (n+ 4) (n+ 5) ) Mas a sequeˆncia (sn)n∈N e´ uma sequeˆncia divergente, pois lim n→∞ ln ( 5! (n+ 1) (n+ 2) (n+ 3) (n+ 4) (n+ 5) ) = −∞ Como a sequeˆncias das somas parciais (sn)n∈N e´ divergente, temos, por definic¸a˜o, que a se´rie ∞∑ n=1 ln ( n n+5 ) e´ divergente. Um racioc´ınio errado: ∞∑ n=1 ln ( n n+ 5 ) = ln ( 1 6 ) + ln ( 2 7 ) + ln ( 3 8 ) + ln ( 4 9 ) + ln ( 5 10 ) + ln ( 6 11 ) + ln ( 7 12 ) + ln ( 8 13 ) + · · · = ln ( 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10 6 11 7 12 8 13 · · · ) = ln ( 1 1 2 1 31 4 1 5 1 1 1 1 1 1 1 · · · ) = ln (5!) (?!) ou ∞∑ n=1 ln ( n n+ 5 ) = ln ( 1 6 ) + ln ( 2 7 ) + ln ( 3 8 ) + ln ( 4 9 ) + ln ( 5 10 ) + ln ( 6 11 ) + ln ( 7 12 ) + ln ( 8 13 ) + · · · = ln (1) − ln (6) + ln (2) − ln (7) + ln (3) − ln (8) + ln (4) − ln (9) + ln (5) − ln (10) + ln (6) − ln (11) + ln (7) − ln (12) + ln (8) − ln (13) + ln (9) − ln (14) + ln (10) − · · · = ln (1) + ln (2) + ln (3) + ln (4) + ln (5) + 0+ 0+ 0+ 0+ · · · = ln (1.2.3.4.5) = ln (5!) (?!) No primeiro caso, a propriedade relativa a` soma de logaritmos e´ va´lida para somas finitas e na˜o para somas infintas. Ja´ no segundo caso, temos que as propriedades associativa ou comutativa na˜o valem para quaisquer se´ries. Essas propriedades valem para se´ries absolutamente convergentes, que na˜o e´ o caso acima, da´ı a contradic¸a˜o. Por fim, observemos que ln ( n n+5 ) < ln (1) = 0, ou seja, os termos da se´rie ∞∑ n=1 ln ( n n+5 ) sa˜o todos negativos. Logo, na˜o e´ poss´ıvel que a soma convirja para ln (5!) > ln (1) = 0, que e´ um nu´mero positivo. Naturalmente, o racioc´ınio acima pode ser aplicado a` se´rie ∞∑ n=1 ln ( n n+k ) para qualquer k ∈ N, ou seja, trata-se de uma se´rie divergente. Exerc´ıcio (3) A se´rie ∞∑ n=2 2 n2−1 e´ convergente. Observe: lais@ufu.br sites.google.com/site/laisufu La´ıs Rodrigues Pa´gina 24 UFU Sequeˆncias e Se´ries De fato, para n ∈ N temos −2 ≥ −2n⇒ −1 ≥ −2n+ 1⇒ n2 − 1 ≥ n2 − 2n+ 1 = (n− 1)2 ⇒ 1 n2 − 1 ≤ 1 (n− 1) 2 ⇒ 2 n2 − 1 ≤ 2 (n− 1) 2 . Mas, ∞∑ n=2 2 (n− 1) 2 = 2 12 + 2 22 + 2 32 + 2 42 + · · · = ∞∑ n=1 2 n2 . Entretanto, como ∞∑ n=1 1 n2 e´ convergente (se´rie harmoˆnica de ordem 2), enta˜o ∞∑ n=1 2 n2 e´ convergente (teorema). Pelo Teste da Comparac¸a˜o, ∞∑ n=2 2 n2−1 e´ convergente. La´ıs Rodrigues sites.google.com/site/laisufu lais@ufu.br
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