Lista 1 Parte 1-Sequências e Séries

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Sequeˆncias e Se´ries Universidade Federal de Uberlaˆndia Pa´gina 1
Esta 1a Lista de Exerc´ıcios devera´ ser resolvida e entregue no dia da 1a prova
1a Lista de Exerc´ıcios - Parte 1
(1) Determine se a sequeˆncia {an} converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite:
a) an =
2+ 5n2
n+ n2
b) an =
2n
3n+1
c) an =
(−1)
n
n
n2 + 1
d) an = n
2e−n
e) an =
n+ (−1)
n
n
f) an = sin
(
pi
2
+
1
n
)
g) an =
sin2 n
2n
h) an =
n
1+
√
n
i) an =
√
n−
√
n2 − 1 j) an = ln (n+ 1) − lnn k) an =
n2
2n− 1
−
n2
2n+ 1
l) an =
n∑
i=0
ti, 0 < t < 1
(2) Determine quais das se´ries geome´tricas convergem. Em caso de convergeˆncia, encontre a soma:
a)
∞∑
n=0
(−1)
n
4n
b)
∞∑
n=1
7
4n
c)
∞∑
n=0
(
5
2n
−
1
3n
)
d)
∞∑
n=0
(
2n+1
5n
)
(3) Expresse os nu´meros abaixo como uma raza˜o de dois inteiros:
a) 0, 2 = 0, 2222... b) 3, 417 = 3, 417417417...
(4) Determine se as se´ries sa˜o convergentes:
a)
∞∑
n=1
4
(4n− 3) (4n+ 1)
b)
∞∑
n=1
(
1√
n
−
1√
n+ 1
)
(5) Use o Teste da Integral para determinar quais das se´ries convergem e quais divergem:
a)
∞∑
n=1
5
n+ 1
b)
∞∑
n=2
lnn
n
c)
∞∑
n=1
en
1+ e2n
d)
∞∑
n=1
1√
n
(√
n+ 1
) e) ∞∑
n=1
1
n
(
1+ ln2 n
)
(6) Use o Teste da Comparac¸a˜o para determinar quais das se´ries convergem e quais divergem:
a)
∞∑
n=1
1
2
√
n+ 3
√
n
b)
∞∑
n=1
sen 2n
2n
c)
∞∑
n=1
1+ cosn
n2
d)
∞∑
n=3
1
ln (lnn)
e)
∞∑
n=1
2
n3 + 4
f)
∞∑
n=1
n2 − 1
3n4 + 1
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(7) Use o Teste da Comparac¸a˜o no Limite para determinar quais das se´ries convergem e quais divergem:
a)
∞∑
n=2
1
(lnn)
2
b)
∞∑
n=1
(lnn)
2
n3
c)
∞∑
n=1
n+ 5
3
√
n7 + n2
d)
∞∑
n=2
1√
n lnn
e)
∞∑
n=1
1
1+ lnn
(8) Use o Teste da Raza˜o para determinar quais das se´ries convergem e quais divergem:
a)
∞∑
n=1
n2e−n b)
∞∑
n=1
n!e−n c)
∞∑
n=1
n!
10n
d)
∞∑
n=1
n lnn
2n
e)
∞∑
n=1
(n+ 1) (n+ 2)
n!
(9) Use o Teste da Raiz para determinar quais das se´ries convergem e quais divergem:
a)
∞∑
n=1
(lnn)
n
nn
b)
∞∑
n=1
(
1
n
−
1
n2
)n
c)
∞∑
n=2
nn
(lnn)
n
d)
∞∑
n=2
n
(lnn)
n
2
e)
∞∑
n=1
nn
(2n)
2
(10) Verifique quais das se´ries alternadas convergem e quais divergem. Justifique sua resposta.
a)
∞∑
n=1
(−1)
n+1 1
n2
b)
∞∑
n=1
(−1)
n+1
( n
10
)n
c)
∞∑
n=1
(−1)
n+1 1
lnn
d)
∞∑
n=1
(−1)
n
ln
(
1+
1
n
)
e)
∞∑
n=1
(−1)
n+1
√
n+ 1
n+ 1
(11) Quais das se´ries convergem absolutamente, quais convergem condicionalmente e quais divergem? Justifique suas
respostas.
a)
∞∑
n=1
(−1)
n+1 (0, 1)
n
n
b)
∞∑
n=1
(−1)
n 1√
n+ 1
c)
∞∑
n=1
(−1)
n+1 n!
2n
d)
∞∑
n=1
(−1)
n senn
n2
e)
∞∑
n=1
(−1)
n+1 3+ n
5+ n
f)
∞∑
n=1
(−1)
n
n2
(
2
3
)n
g)
∞∑
n=2
(−1)
n 1
n lnn
h)
∞∑
n=1
(−5)
−n
i)
∞∑
n=1
(−1)
n−1
n2 + 2n+ 1
j)
∞∑
n=1
(−1)
n
(2n)
n (n+ 1)
n
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(12) Determine se as se´ries abaixo sa˜o convergentes ou divergentes, justificando sua resposta:
a)
∞∑
n=1
1√
n
b)
∞∑
n=0
e−n c)
∞∑
n=0
3
10n
d)
∞∑
n=2
n
2n3 − 3n+ 7
e)
∞∑
n=1
2n
n5
f)
∞∑
n=1
1
n n
√
n
g)
∞∑
n=1
n2 − 1
n2 + 1
h)
∞∑
n=1
1
2+ 3n
i)
∞∑
n=1
ln
(
n+ 1
n
)
j)
∞∑
n=1
cos2 (n) + n2
n4
k)
∞∑
n=2
1
n (n− 1)
l)
∞∑
n=1
(−1)
n
√
n
n+ 5
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