INTRODUÇÃO DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO

Prévia do material em texto

DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO: UMA ABORDAGEM INGÊNUA. 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque I 
 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO: UMA 
ABORDAGEM INGÊNUA. 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
Tendo observado nos alunos, durante o período que lecionei a disciplina Ensino da 
Matemática ofertada para o curso de LICENCIATURA EM MATEMÁTICA na UNIVERSIDADE 
FEDERAL DE ALAGOAS – UFAL, um total despreparo no tocante a execução gráfica, o 
desenhar mesmo, das representações geométricas adequadas ao ensino dos conteúdos de 
Geometria Euclidiana elementar no âmbito do ensino fundamental, onde é imperiosa a boa 
representação, foi o que me motivou a disponibilizar um curso, ministrado no verão de 2007, 
intitulado: DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO e uma versão preliminar destas 
notas de maneira a oferecer ao aprendiz a oportunidade de ele mesmo representar os 
conceitos de maneira a mais adequada possível. 
Acredito que um treinamento à maneira clássica em Desenho Geométrico utilizando apenas a 
régua e o compasso proporcionará ao aprendiz não só uma habilidade de manuseio dos 
instrumentos mais também a oportunidade de vivenciar o processo de construção das 
representações geométricas elementares, calcadas em fundamentos geométricos 
possivelmente apreendidos pelo homem posteriormente a concepção gráfica dos mesmos. 
O professor do ensino fundamental, principalmente, utilizando-se das técnicas de desenho, 
fará uma melhor apresentação dos conteúdos da Geometria Elementar, não tenho dúvidas, 
desde a facilitação da aprendizagem dos conteúdos quanto da própria confirmação e 
verificação de alguns resultados essenciais. 
Embora vivendo em pleno século XXI com todo o aparato tecnológico-eletrônico existente, 
principalmente no tocante aos computadores individuais e programas específicos em 
educação, um número considerável da população estudantil de nosso país, e mais fortemente 
em nossa região, não tem acesso adequado a estas tecnologias e recebem uma educação, 
por isso mesmo, defasada e deficitária, como conseqüência disto e do fato dos professores 
não estarem, às vezes, adequadamente trinados para suprirem esta lacuna. Estas notas não 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO: UMA ABORDAGEM INGÊNUA. 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque II 
têm a pretensão de substituir a utilização de quaisquer que sejam as tecnologias e ou 
equipamentos eletrônicos no ensino. 
Em algumas construções geométricas serão dados os fundamentos matemáticos que 
sustentam o processo gráfico utilizado para realizá-las. 
Os pré-requisitos ao curso são: uma alta doze de boa vontade, um compasso e uma régua e 
conhecimentos de geometria euclidiana. No decorrer das construções utilizamos livremente a 
linguagem e denominações próprias da geometria. 
 
O curso, contido nestas notas, tem como objetivo principal capacitar o aprendiz no traçado 
básico de: retas paralelas, retas perpendiculares, construção e transporte de ângulos e a 
construção, traçado, de alguns polígonos regulares. A exposição dos conteúdos aqui feita é 
estilisticamente ingênua, porém, atenta e rigorosa aos fundamentos geométricos que lhes dão 
sustentação. 
Espero, sinceramente, que este trabalho, ainda que modesto, possa servir aos colegas 
iniciantes no sentido de proporcionar uma melhoria na qualidade do ensino da matemática e, 
em particular, no ensino da geometria. 
 
Maceió, novembro de 2009. 
 
 
 
Ivan A. C. de Albuquerque 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO: UMA ABORDAGEM INGÊNUA. 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque III 
 
 
INTRODUÇÃO 
 
 
O homem, levado pela imperiosa necessidade da comunicação silenciosa, aquela que se dar 
sem o uso de sons, nos deixou em espaços e tempos distintos, por exemplo, em Altamira 
(Espanha), Lascaux (França) e em Ingá do Bacamarte, na Pedra do Ingá, (Brasil), e isto, há 
mais de dez mil anos atrás, registros gráficos, DESENHOS, de animais e outros objetos onde 
a linha é que os determinam. Este expressar-se através do desenhar transcende o sentido 
estético, latente no homem, e se dar, com a finalidade quase que tão somente de comunicar 
sua existência, seu modo de vida e também as possibilidades que o mundo lhes oferecia. 
Vejo nisso um sentimento primitivo pedagógico, se assim podemos nos expressar. O ser 
humano amplia seus conhecimentos, evolui, e em algum momento do século IV aC desenho e 
geometria se unem e a matemática experimenta um desenvolvimento jamais registrado em 
sua história até o século III. Por esta época a geometria conhece uma sistematização devida a 
Euclides e problemas de construção com régua e compasso desafiam as mentes dos os 
matemáticos ate fins do século XVIII dC e início do século XIX dC quando os problemas de 
construção são enfim solucionados. Desenhar com régua e compasso é até hoje uma 
atividade didático-pedagógica muito eficaz além de junto com a geometria serem 
responsáveis pelo desenvolvimento de capítulos importantes da matemática. Não trataremos 
da estória do desenho geométrico nem de um tratado, manual, de desenho geométrico. O 
interesse reside na exposição ingênua, mas rigorosa, dos fundamentos do desenho 
geométrico que possa ser útil aos que cursam os níveis fundamental ou médio do ensino 
oficial e a alunos do curso de licenciatura e matemática. 
O desenho geométrico elementar trata da representação dos elementos e objetos da 
GEOMETRIA PLANA ELEMENTAR e para tanto faz uso de uma representação do plano que 
pode ser: uma folha de papel, um quadro para escrita a giz ou a tinta, ou uma superfície como 
a parte superior de uma mesa ou ainda o braço da carteira que se usa em uma sala de aula. 
Os desenhos serão realizados através do traçado de uma ou varias linhas, de suas 
interseções e entendendo linha pela sua concepção geométrica intuitiva. 
 
Há vários tipos de linha, a saber: 
 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO: UMA ABORDAGEM INGÊNUA. 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque IV 
· ABERTA SIMPLES – Quando inicia e termina em pontos distintos e não possui auto-
interseção. 
 
 
 
 
 
· ABERTA NÃO SIMPLES – Quando inicia e termina em pontos distintos e possui auto-
interseção. 
 
 
 
 
 
 
 
· FECHADA SIMPLES – Quando inicia e termina no mesmo ponto e não possui auto-
interseção 
 
 
 
 
 
 
 
· FECHADA NÃO SIMPLES – Quando inicia e termina no mesmo ponto e possui auto-
interseção 
 
 
 
 
 
 
 
Linhas abertas simples 
Linhas abertas não simples 
Linhas fechadas não simples 
Linhas fechadas simples 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO: UMA ABORDAGEM INGÊNUA. 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque V 
Há duas maneiras de desenhar uma linha, grafa-la, a saber: cheia (linha cheia) e tracejada 
(linha tracejada). Veja figura abaixo. 
 
 
 
 
 
As linhas tracejadas indicam as construções auxiliares do desenho final, que deve ser 
realizado por uma linha cheia. 
 
Para a realização do desenho em si, vários instrumentos podem ser utilizados como: réguas, 
compasso, esquadros, transferidores etc. Neste trabalho apenas utilizaremos à régua e o 
compasso. 
 
Descrevemos a seguir os instrumentos que utilizaremos. 
 
COMPASSO – instrumento formado por duas hastes rígidas unidas por uma articulação onde 
em uma das hastes se mantém fixo um objeto pontiagudo, ponta cega, e na outra haste um 
suporte para mina de grafite ou outro material que se preste à escrita. É utilizado no 
transporte da distância entre dois pontos, na conferência da medida do comprimento de 
segmentos de reta e no traçado de algumas linhas curvas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POSSIBILIDADESDO COMPASSO 
. compasso 
Transportando distâncias Traçando linhas curvas 
Linha cheia Linha tracejada 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO: UMA ABORDAGEM INGÊNUA. 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque VI 
RÉGUA – instrumento formado por uma haste plana utilizada no traçado de linhas. 
 
A régua pode ser curva, régua curva, ou retilínea, régua retilínea. Veja na figura abaixo alguns 
exemplos de régua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Das linhas traçadas com régua e compasso as mais fundamentais são: 
 
 
CIRCUNFERÊNCIA – Lugar geométrico dos pontos eqüidistantes de um ponto fixo. 
 
Em uma circunferência o ponto fixo eqüidistante de todos os seus pontos é chamado de 
centro da circunferência e distância dele a qualquer ponto da circunferência, chama-se raio 
da circunferência. 
 
ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA – Qualquer desenho de linha contínua com pontos 
eqüidistantes de um ponto fixo e que não venha a constituir-se em uma circunferência. 
 
RETA – Elemento primitivo da geometria plana, cuja representação geométrica se faz com 
uma régua plana como indicado na figura abaixo: 
 
 
 
 
 
Régua plana 
Réguas curva Régua retilínea 
POSSIBILIDADES DAS RÉGUAS 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO: UMA ABORDAGEM INGÊNUA. 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque VII 
É conhecido o axioma da geometria euclidiana que diz: dois pontos distintos do plano 
determinam uma única reta. Dados dois pontos distintos do plano, por exemplo, A e B, 
considere a reta determinada por eles, a reta AB . Um elemento importante que deriva da 
reta esta caracterizado a seguir. 
 
SEGMENTO DE RETA – Intuitivamente é a “porção finita” de uma reta compreendida 
entre dois de seus pontos. 
Os pontos que delimitam o segmento de reta são chamados de extremos do segmento. 
Verifique a representação abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
POLIGONAL – Grosso modo, é uma linha formada por segmentos de retas unidos por 
suas extremidades. 
 
A figura abaixo ilustra o que é uma poligonal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mais adiante definiremos com precisão as poligonais. 
 
Os argumentos geométricos: teorema, lema, proposição etc., que justificam os processos e 
técnicas aqui empregadas serão demonstrados em um apêndice no final do trabalho. 
 
Régua plana 
Extremos do segmento 
POLIGONAIS 
Aberta Fechada 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO: UMA ABORDAGEM INGÊNUA. 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque VIII 
ALGUMAS PALAVRAS SOBRE A NOTAÇÃO GRÁFICA. 
 
 
Um ponto do plano será representado por uma letra maiúscula do alfabeto latino ou por uma 
das marca no papel, a saber:.., ou e, quando se fizer necessário qualquer uma delas 
com a letra. 
Um segmento de reta com extremos nos pontos A e B será representado pelo símbolo AB , 
pelo desenho: 
 
 
ou, 
 
 
 
quando necessário. 
 
 
Uma semi-reta será representada pelo desenho, 
 
 
 
Ou por uma letra minúscula do alfabeto latino encimada por uma seta, por exemplo, m, pelo 
símbolo AB quando se fizer necessário à indicação de sua origem no ponto A e que ela 
passa pelo ponto B ou ainda o desenho abaixo. 
 
 
 
 
Uma reta indica-se pelo desenho, 
 
 
A B 
A P 
DESENHANDO COM RÉGUA E COMPASSO: UMA ABORDAGEM INGÊNUA. 
Ivan Araújo Cordeiro de Albuquerque IX 
por uma letra minúscula do alfabeto latino encimada por uma seta dupla, por exemplo, r , ou 
pelo símbolo AB quando queremos enfatizar os pontos A e B por onde ela passa, ou ainda, 
da maneira que segue. 
 
 
 
 
O símbolo ( )ABC∠ representa o ângulo determinado pelas semi-retas: AC e AB , ângulo 
com vértice no ponto A 
 
Faremos, livremente, uso da linguagem habitual da Geometria Plana Elementar e suas 
terminologias bem como seus simbolismos gráficos não comentados acima. 
A B