Introdução a Robótica IF PR

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Tecnologia em Eletrotécnica – Cefet/Pr 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução a Robótica 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Winderson E. dos Santos 
e-mail: winder@cefetpr.br 
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Índice Analítico 
 
Introdução ...............................................................................................................................4 
1. Robôs Industriais ................................................................................................................5 
1.1 O Estado da Arte...........................................................................................................6 
1.2 Aplicações e Benefícios................................................................................................6 
2. Fundamentos da Tecnologia em Robótica..........................................................................8 
2.1 Braço Mecânico ............................................................................................................8 
Tipos de Juntas................................................................................................................8 
Graus de Liberdade .........................................................................................................9 
Classificação Pelos Tipos de Articulação .......................................................................9 
Classificação Pelo Tipo de Controle.............................................................................11 
Classificação Pelo Tipo de Acionamento .....................................................................13 
Classificação Pelo Tipo de Transmissão (Direta ou Indireta) ......................................15 
2.2 Punhos e Efetuadores..................................................................................................16 
Garras de dois membros ...............................................................................................17 
Garras de três membros ................................................................................................17 
Garras para objetos cilíndricos......................................................................................18 
Garras para objetos frágeis ...........................................................................................18 
Garras de Juntas ............................................................................................................18 
Garra Eletromagnética ou a Vácuo ...............................................................................18 
Trocador Automático de Ferramentas ..........................................................................18 
3. Atuadores e Sensores ........................................................................................................20 
3.1 Tecnologias Empregadas nos Atuadores ....................................................................20 
Atuadores Pneumáticos e Hidráulicos ..........................................................................20 
Atuadores Elétricos.......................................................................................................22 
Transmissão Mecânica..................................................................................................26 
3.2 Tecnologias Empregadas nos Sensores ......................................................................28 
Sensores de Posição ......................................................................................................28 
Sensores de Velocidade ................................................................................................31 
4. Cinemática ........................................................................................................................33 
4.1 Matriz de Transformação Homogênea........................................................................33 
Vetor posição de um corpo ...........................................................................................33 
Matriz de rotação (ou orientação) de um corpo ............................................................34 
Matriz de Transformação Homogênea..........................................................................35 
4.2 Cinemática Direta .......................................................................................................36 
Convenção de Denavit-Hartenberg...............................................................................37 
Procedimento Operacional............................................................................................39 
Cinemática da Estrutura de Manipuladores Típicos .....................................................42 
4.3 Espaços das juntas e cartesianos .................................................................................49 
4.4 Sistemas de Referência Padrões .................................................................................49 
Sistema da Base {B}.....................................................................................................49 
Sistema da Estação {S}.................................................................................................49 
Sistema do Punho {W}.................................................................................................50 
Sistema da Ferramenta {T}...........................................................................................50 
Sistema do Objetivo {G} ..............................................................................................50 
4.5 Localização da Ferramenta .........................................................................................50 
4.6 Cinemática Inversa .....................................................................................................50 
Solubilidade ..................................................................................................................50 
 3
Existência de Soluções..................................................................................................51 
Multiplicidade de soluções ...........................................................................................52 
Método de solução ........................................................................................................53 
Sub-Espaço do Manipulador.........................................................................................53 
Solução Algébrica x Solução Geométrica ....................................................................54 
4.7 Cinemática Diferencial ...............................................................................................59 
5. Introdução à Dinâmica......................................................................................................61 
6. Controle de Robôs ............................................................................................................64 
6.1 A Questão do Controle ...............................................................................................64 
6.2 Controle no Espaço de Junta.......................................................................................65 
6.3 Controle Independente por Junta ................................................................................66 
6.4 Controle em malha fechada ........................................................................................68 
Realimentação de Posição ............................................................................................69 
Realimentação de Posição e Velocidade ......................................................................71 
Realimentação de Posição, Velocidade e Aceleração...................................................74 
7. Programação de Robôs .....................................................................................................78 
7.1 Gerações de linguagens de programação de robôs .....................................................797.2 Linguagens de segunda geração..................................................................................80 
7.3 Estrutura da linguagem de programação de robôs......................................................80 
Constantes e variáveis...................................................................................................82 
Comandos de movimento .............................................................................................82 
Comandos de órgão terminal e dos sensores ................................................................84 
Cálculos e operações.....................................................................................................85 
Controle do programa ...................................................................................................86 
Comunicações e processamentos de dados...................................................................87 
Comandos do modo monitor.........................................................................................87 
8. Considerações Finais ........................................................................................................88 
8.1 Desempenho do sistema..............................................................................................88 
8.2 Capacidade de movimento..........................................................................................88 
8.3 Espaço de Trabalho.....................................................................................................89 
8.4 Precisão de robô..........................................................................................................90 
Resolução......................................................................................................................91 
Repetibilidade ...............................................................................................................91 
Precisão .........................................................................................................................92 
Apêndice – Principais Fabricantes de Robôs Industriais......................................................93 
Bibliografia ...........................................................................................................................96 
 4
Introdução 
 
Desde a época em que a imaginação criativa de Korel Capec introduziu o termo 
robô pela primeira vez (referindo-se à sua peça teatral Rossum’s Universal Robots), 
observa-se que cada vez mais a sociedade busca pela materialização do conceito do que 
a palavra robota (do idioma tcheco) significou naquela peça teatral em 1921, ou seja, 
“trabalhador forçado”, realizado por criaturas mecânicas semelhantes à forma humana. 
Não é surpresa que na atualidade haja a constante busca pelo desenvolvimento de 
máquinas robóticas cada vez mais sofisticadas capazes de substituir o trabalho humano 
em situações de insalubridade, riscos de vida, ou entediantes. Neste sentido, e apesar 
das manifestações contrárias por parte de sindicatos trabalhistas, cada vez mais se 
utilizam robôs principalmente na área industrial. 
 
Deixando a ficção científica à parte, um primeiro mecanismo com aparência 
humana, foi apresentado na Exposição Mundial de Nova Yorque em 1927 por J. 
Wersley em sua máquina chamada Robô Televox. Pouco tempo depois, em 1928, no 
Japão, foi apresentado um boneco, réplica de um ser humano, com capacidade de 
movimentação de algumas poucas articulações no seu corpo. Apesar de tais máquinas 
terem apenas o objetivo de entretenimento, elas carregam consigo o embrião histórico 
da robótica como ferramenta para realização de trabalho útil, que de fato surgiu pela 
primeira vez em meados do século XX por ocasião da necessidade de manipulação de 
materiais radioativos através de tele-operação. 
 
Ainda que para os atuais robôs industriais possam prevalecer as mesmas três leis 
da robótica ditadas pelo escritor soviético Isac Assimov, 
1a Lei : Um robô não pode ferir um ser humano ou, por inação, permitir que um 
humano seja ferido; 
2a Lei : Um robô deve obedecer às ordens dadas por humanos, exceto quando 
isto conflitar com a primeira lei; 
3a Lei : Um robô deve proteger sua própria existência, a menos que isto conflite 
com a primeira ou segunda lei. 
tais máquinas em quase nada se assemelham a aparência humana. Ao contrário, são 
formados por articulações mecânicas capazes de realizar os movimentos da tarefa a que 
se destinam, não importando, para isto, a aparência que venham a ter. 
 
 5
1. Robôs Industriais 
 
 De uma forma geral o conceito atual de robótica industrial passa pela 
particularização de um ramo do conhecimento tecnológico denominado mecatrônica, o 
qual trata simultaneamente de aspectos relativos a mecânica, eletrônica, controle e 
processamento de informações em máquinas e instrumentos genéricos. A definição 
oficial de um robô industrial, dada pelo RIA (Robot Institute of America) em 1981 ainda 
reflete a atual condição da tecnologia robótica: 
 
Um robô industrial é um manipulador re-programável, 
multifuncional, projetado para mover materiais, peças, 
ferramentas ou dispositivos especiais em movimentos varáveis 
programados para a realização de uma variedade de tarefas. 
 
 Partindo desta definição, é possível associar um robô industrial ao tipo de 
máquina aplicada na automação flexível [SCI-96], sendo constituída basicamente por 
elementos (ou elos) mecânicos acionados por atuadores a partir de um controlador que 
opera baseado em informações de movimentos programados e de sinais gerados por 
elementos sensores de realimentação. Tais elos permitem um correto posicionamento e 
orientação da peça ou ferramenta destinada para a tarefa. 
 
 As últimas três décadas foram preponderantes no desenvolvimento de 
tecnologias que se refletem nos atuais robôs manipuladores industriais. Uma revisão dos 
últimos 25 anos mostra que os seguintes avanços tecnológicos que foram agregados à 
robótica: 
 
•’74: Acionamentos elétricos eficazes 
•’74: Controle microprocessado 
•’82: Interpolações cartesianas 
•’82: Comunicação via computador 
•’82: Uso de Joy-Stick 
•’82: Programação por menus 
•’84: Sistema de visão 
•’86: Controle digital 
•’86: Acionamentos em CA 
•’90: Interconexão em redes 
•’91: Controle digital de torque 
•’94: Modelo Dinâmico Completo 
•’94: Interface Windows 
•’94: Simulação em robôs virtuais 
•’94: Uso de fieldbus 
•’96: Cooperação entre robôs 
•’98: Sistemas de detecção de 
colisões 
•’98: Identificação de objetos 
•’98: Movimentação em alta 
velocidade 
 6
 
 
 
1.1 O Estado da Arte 
 Atualmente o entendimento da complexidade dos robôs bem como suas 
aplicações requerem o conhecimento de: 
• Engenharia (elétrica, mecânica, industrial); 
• Ciências da Computação; 
• Economia; 
• Matemática; 
O atual estado da arte de robôs industriais implica preponderantemente em tarefas 
de controle de posicionamento e movimentação, que é ainda o principal objetivo destes 
mecanismos. Diversas capacidades de controle lógico de entrada e saída têm sido 
acrescentadas nos recentes robôs, assim como capacidades de comunicação como em 
redes ethernet, fieldbus, conexões seriais (RS-232, RS-485, etc). Quanto a forma de 
programação observa-se o uso de scripts para acesso aos recursos de software 
disponível no robô. 
 
 A fronteira tecnológica dos atuais manipuladores pode ser melhor visualizada 
através da tabela dada a seguir: 
 
Repetibilidade Até 0.003 mm (0.1mm usualmente) 
Velocidade Até 5 m/s 
Aceleração Até 25 m/s2 
Carga admissível A partir de 2 a 3 kg até limites ~ 350kg 
Relação Peso/Carga Em torno de 30 a 40 
Número de eixos 6 
Comunicação Profibus, Ethernet, canais seriais (RS 232, 485) 
Capacidades de E/S Similares a um PLC para sinais analógicos e digitais 
* Fonte:Welding 2001, International Workshop on Robotic Welding Systems and Process Monitoring, Portugal 
 
 
 
1.2 Aplicações e Benefícios 
 
 Uma classificação mais detalhada das tarefas realizadas por um robô pode ser 
descrita como de três tipos de natureza, quais sejam: 
 
Movimentação: 
em operações de embalagem 
classificação de peças 
colocação e retirada de peças em centros de usinagem ou máquinas 
ferramenta 
carga e descarga de depósitos 
paletização 
 7
 
Medição: 
na inspeção de objetos 
localização de contornos 
detecção de falhas na manufatura 
 
Manipulação: 
para soldagem a arco ou ponto 
pintura com spray 
furação ou fresagem 
colagem e selamentos 
cortes a laser ou jato de água 
montagens elétricas ou mecânicas 
montagem de placas de circuitos impresso 
parafusamento 
 
O maior fator que impede a adoção em massa de robôs nas indústrias é seu alto 
custo. O tempo que leva para se recuperar o investimento em um robô depende dos 
custos de compra, instalação e manutenção. Este tempo não é fixo, depende da fábrica 
onde o robô será instalado e de sua aplicação. Deve-se considerar as seguintes 
condições: 
• número de empregados substituídos pelo robô; 
• número de turnos por dia; 
• produtividade comparada a seu custo; 
• custo de projeto e manutenção; 
• custo dos equipamentos periféricos. 
O preço de um robô é determinado pelos seguintes fatores: 
• tamanho; 
• sofisticação ou grau de complexidade; 
• exatidão; 
• confiabilidade. 
Nos últimos tempos, através da automação, observou-se o decréscimo do nível 
de emprego nas atividades industriais. A curto prazo, a automação levanta problemas 
como o desemprego, necessária reconversão e treinamento pessoal, conseqüências da 
redução de horas de trabalho, questões de aumento de salários em atividades de maior 
produtividade. Alguns aspectos do confronto operacional de homens e robôs são que 
um robô tem claramente algumas vantagens sobre os humanos (não se cansa; não 
necessita de salário; pode manter uma qualidade uniforme na produção; não necessita de 
condições ambientais especiais tais como ar condicionado, luz, silêncio, etc). Em 
compensação, o robô tem aprendizado, memória e movimentos limitados se comparado 
a um homem. 
 
 8
2. Fundamentos da Tecnologia em Robótica 
As partes de um robô correspondem a algumas das partes de uma pessoa (e outros 
animais), pois os problemas de percepção, movimento e controle que os robôs devem 
resolver são análogos aos muitos problemas que os humanos e outras criaturas vivas 
também enfrentam. De fato, a fim de descobrir como solucionar esses problemas para 
os robôs os engenheiros freqüentemente preferem estudar como a natureza tentou 
solucioná-los. 
Robôs industriais tem quatro partes fundamentais: uma base fixa (a qual pode 
girar e deslizar por uma curta distância), um braço articulado (freqüentemente chamado 
de manipulador do robô), uma unidade de controle (o computador do robô) e um 
dispositivo de programação (possivelmente um teach box, joystick ou teclado). 
2.1 Braço Mecânico 
O braço articulado é formado por várias partes: elos, juntas, atuadores de juntas, 
sensores de posição de juntas, punho e efetuador final (a mão do robô). Elos são as 
partes rígidas de um robô, comparáveis aos ossos do braço de uma pessoa. Juntas são as 
partes do braço de um robô que lhe permitem uma conexão móvel entre dois ligamentos 
(são a versão do robô de ombros, cotovelos e punhos). 
Tipos de Juntas 
• Juntas prismáticas: (também chamadas juntas lineares ou deslizantes) 
movem-se em linha reta sem girar. São compostas de duas hastes que 
deslizam entre si de forma telescópica. Elas se estendem, retraem ou 
movem-se para dentro e para fora como um elevador hidráulico num 
posto de gasolina, ou ainda ao longo de um trilho como um carro de 
máquina de escrever. 
 
• Juntas de revolução: (também chamadas juntas rotacionais) giram em 
torno de uma linha imaginária estacionária chamado eixo de rotação. 
Elas giram como uma cadeira giratória e abrem e fecham como uma 
dobradiça. 
 
• Juntas esféricas: Esta conexão funciona como a combinação de 3 
juntas de revolução, realizando a rotação em torno de três eixos. 
No corpo humano existem algumas juntas esféricas como a junta 
entre o ombro e o braço, o braço e o punho, o tronco e as pernas. 
 
 9
Graus de Liberdade 
 
O número de articulações em um braço do robô é também referenciado como 
grau de liberdade. Quando o movimento relativo ocorre em um único eixo, a articulação 
tem um grau de liberdade. Quando o movimento é por mais de um eixo, a articulação 
tem dois graus de liberdade. A maioria dos robôs têm entre 4 e 6 graus de liberdade. Já 
o homem, do ombro até o pulso, tem sete graus de liberdade. 
 
Classificação Pelos Tipos de Articulação 
Os robôs são normalmente classificados conforme o tipo de juntas, ou mais 
exatamente pelo conjunto de juntas que formam o sistema de articulação do robô. A 
divisão em classes possibilita obter-se informações sobre características tais como: 
• Espaço de trabalho; 
• Grau de rigidez mecânica; 
• Extensão do controle sobre a movimentação e 
• Tipos de aplicação para cada robô. 
Cartesianos 
 
Neste tipo de estrutura os três elos deslocam-se de forma translacional, aqui 
denominada TTT, conforme ilustrado na figura 1. Devido à ortogonalidade entre os elos 
mecânicos obtém-se boa rigidez mecânica, ainda que apresentem baixa habilidade de 
posicionamento. 
 
 
Figura 2.1 – Robô Cartesiano 
 
Esta estrutura é aplicável principalmente em sistemas para manipulação e 
movimentação e, tipicamente apresenta-se com acionadores de natureza elétrica, 
podendo, em alguns casos, também serem encontrados com acionamentos pneumáticos. 
 
Cilíndricos 
 
A estrutura cilíndrica difere da estrutura cartesiana pelo fato de que o primeiro 
elo mecânico apresenta movimento de rotação ao invés de translação, por isto 
denominada RTT, ilustrado na figura 2. Esta estrutura ainda guarda boas características 
 10
de rigidez mecânica, apesar de apresentar menor resolução de posicionamento na 
direção horizontal. 
 
 
Figura 2.2 – Robô Cilíndrico 
 
 Esta estrutura é particularmente aplicável em situações onde se deseja obter 
acesso em cavidades horizontais. Em geral os elementos mecânicos são acionados com 
tecnologia hidráulica pois normalmente necessita-se dispor de elevados torques para 
movimentação da carga. 
 
Esféricos 
 
A estrutura esférica é composta por dois elos mecânicos com movimento 
rotacional seguido por um terceiro com movimento translacional, por isto denominada 
RRT. Sua aparência é ilustrada na figura 3. Em função desta configuração os 
movimentos apresentam menor resolução de posicionamento ao longo do eixo radial do 
robô, além de comportarem-se com menor grau de rigidez mecânica. 
 
Figura 2.3 – Robô Esférico (ou Polar) 
 
 Este tipo de estrutura é amplamente usado em operações junto a centros de 
usinagem. Normalmente empregam-se acionamentos elétricos na estrutura esférica. 
 
SCARA 
 
Esta estrutura ilustrada na figura 4, assim como na esférica, apresenta dois elos 
mecânicos com movimento rotacional seguido por um terceiro com movimento 
translacional, sendo também denominada RRT. O nome SCARA é um acrônimo do 
termo inglês Selective Compliance Assembly Robot Arm pelo fato da estrutura 
 11
apresentar uma alta rigidez para cargas verticais enquanto para cargas horizontais a 
rigidez é baixa. 
 
 
 
Figura 2.4 – Robô SCARA 
 
 Normalmente utiliza-se a estrutura SCARA para a manipulação de pequenos 
objetos. Seus acionamentos são tipicamente de natureza elétrica. 
 
Articulado 
 
Neste tipo de estrutura os três elos mecânicos de posicionamento deslocam-se de 
forma rotativa, conforme ilustra afigura 5, e por isto é denominada RRR. Tal estrutura, 
apesar de ter menor rigidez mecânica do que as anteriores e, resolução de 
posicionamento variável no espaço de trabalho, é a que apresenta maior grau de 
habilidade. 
 
Figura 2.5 – Robô Articulado 
 
 Devido à grande habilidade para o posicionamento, esta estrutura é empregada 
numa ampla faixa de situações tanto de movimentação e de manipulação como também 
para medição. Na grande maioria dos casos são empregados acionamentos de natureza 
elétrica para sua movimentação. 
 
Classificação Pelo Tipo de Controle 
 
Para operar um robô, deve-se ter meios de controlar seu sistema de acionamento 
a fim de regular adequadamente seus movimentos. Nesta seção descreve-se brevemente 
os diversos tipos de sistemas de controle. Um tratamento mais detalhado desses tópicos 
é apresentado em seção posterior. 
 12
 
Os robôs industriais disponíveis comercialmente podem ser classificados em 
quatro categorias, de acordo com seus sistemas de controle: 
 
1. Robôs de seqüência fixa 
2. Robôs de repetição com controle ponto a ponto 
3. Robôs de repetição com controle de trajetória contínua 
4. Robôs inteligentes. 
 
Das quatro categorias, os robôs de seqüência fixa representam o mais baixo nível 
de controle, e os robôs inteligentes são os mais sofisticados. 
 
Robôs de seqüência fixa não empregam servo-controle para indicar posições 
relativas das juntas. Ao contrário, são controlados mediante instalação de chaves-limite 
e/ou batentes mecânicos para estabelecer os pontos extremos de deslocamento para cada 
uma de suas juntas. O estabelecimento de posições e da seqüência desses batentes 
envolve um ajuste mecânico do manipulador, ou, preferivelmente a programação do 
robô no sentida usual do termo. Com esse método de controle, as juntas individuais 
somente podem ser movidas para seus limites extremos de deslocamento, o que 
restringe seriamente o número de pontos distintos que podem ser especificados num 
programa para esses robôs. A seqüência em que o ciclo de movimento é executado é 
definida por uma chave escalonada ou outro dispositivo de seqüenciamento. Esse 
dispositivo, que constitui o controlador do robô, sinaliza a cada um dos acionadores 
particulares que opere numa sucessão adequada. Em geral não há realimentação 
associada a um robô de seqüência fixa para indicar que a posição desejada foi 
alcançada. Qualquer um dos três sistemas de acionamento pode ser usado com esse tipo 
de sistema de controle, porém o acionamento pneumático parece ser o tipo mais 
comumente empregado. Aplicações para esse tipo de robô geralmente envolvem 
movimentos simples, tais como operações "pega-e-põe". 
 
Os robôs de repetição usam uma unidade de controle mais sofisticada, em que, 
uma série de posições ou movimentos são "instruídas" ao robô, gravadas na memória e 
em seguida, repetidas pelo robô sob seu próprio controle. O termo "repetição" é 
descritivo desse modo geral de operação. Ao procedimento de instruir e gravar na 
memória é denominado programação do robô. Os robôs de repetição geralmente têm 
alguma forma de servo-controle (isto é, sistema de realimentação em malha fechada) 
para garantir que as posições alcançadas pelo robô sejam as que foram instruídas. 
 
Os robôs de repetição podem ser classificados em duas categorias: robôs ponto a 
ponto (PTP) e robôs por trajetória contínua (CP)*. Os robôs ponto a ponto podem 
executar ciclos de movimento que consistem em uma série de localizações de ponto 
desejadas e ações correlatas. O robô é instruído sobre cada ponto, e esses pontos são 
registrados na unidade de controle do robô. Durante a repetição, o robô é controlado 
para mover-se de um ponto para outro na seqüência adequada. Robôs ponto a ponto não 
controlam a trajetória tomada pelo robô para ir de um ponto até o próximo. Se o 
programador quiser exercer uma quantidade de controle limitada sobre a trajetória 
seguida, isto terá de ser feito mediante programação de uma série de pontos ao longo da 
trajetória desejada. O controle da seqüência de posições é bastante adequado para 
 13
muitos tipos de aplicações, incluindo máquinas de carregar e descarregar e soldagem a 
ponto. 
 
Os robôs de trajetória contínua podem realizar ciclos de movimento em que a 
trajetória seguida pelo robô é controlada. Isto é geralmente realizado fazendo-se com 
que o robô se desloque através de uma série de pontos intimamente espaçados que 
descrevem a trajetória desejada. Os pontos individuais são definidos pela unidade de 
controle e não pelo programador. O movimento linear é uma forma comum de controle 
por trajetórias contínuas para robôs industriais. O programador especifica o ponto de 
partida e o ponto final da trajetória, e a unidade de controle calcula a seqüência de 
pontos individuais que permitem ao robô seguir uma trajetória retilínea. Alguns robôs 
têm a capacidade de seguir um caminho suave, curvo, que foi definido por um 
programador que movimenta manualmente o braço através do ciclo de movimento 
desejado. Atingir um controle por trajetórias contínuas, em medida mais do que limitada 
requer que a unidade controladora seja capaz de armazenar um grande número de 
localizações de ponto individuais que deixem a trajetória curva composta. Isto 
geralmente envolve o uso de um computador digital (um microprocessador é usado 
tipicamente como a unidade central de processamento para o computador) como 
controlador de robô. O controle por trajetórias contínuas é requerido para certos tipos de 
aplicações industriais, tais como pintura e soldagem a arco. 
 
Robôs inteligentes constituem uma classe crescente de robôs industriais que 
possuem capacidade não apenas de repetir um ciclo de movimento programado, mas 
também interagir com seu ambiente de modo a parecer inteligente. Invariavelmente, a 
unidade controladora consiste em um computador digital ou dispositivo similar (por 
exemplo, controlador programável). Os robôs inteligentes podem alterar seu ciclo 
programado em resposta a condições que ocorrem no local de trabalho. Podem tomar 
decisões lógicas com base nos dados sensoriais recebidos do local de trabalho. Os robôs 
nessa classe têm a capacidade de comunicar-se durante o ciclo de trabalho com 
humanos ou sistemas com base em computadores. Robôs inteligentes são geralmente 
programados usando-se uma linguagem simbólica parecida com o inglês, não muito 
diferente de uma linguagem de programação de computador. Na verdade, os tipos de 
aplicações que são realizados por robôs inteligentes baseiam-se no uso de uma 
linguagem de alto nível para realizar as atividades complexas e sofisticadas que podem 
ser realizadas por esses robôs. Aplicações típicas para robôs inteligentes são tarefas de 
montagem e operações de soldagem a arco. 
 
 
Classificação Pelo Tipo de Acionamento 
 
 
Acionamento Elétrico 
Este tipo de acionamento utiliza motores elétricos que podem ser: motor de corrente 
contínua, motor de passo e motor de corrente alternada. Muitos robôs novos têm 
acionamento com motor de corrente contínua devido ao alto grau de precisão e 
simplicidade de controle deste tipo de motor elétrico. As vantagens do acionamento 
elétrico são: 
 14
1. Eficiência calculada, controle preciso. 
2. Envolve uma estrutura simples e fácil manutenção. 
3. Não requer uma fonte de energia cara. 
4. Custo relativamente pequeno. 
Mas, suas desvantagens são: 
1. Não pode manter um momento constante nas mudanças de velocidade de 
rotação. 
2. Sujeitos a danos para cargas pesadas suficientes para parar o motor. 
3. Baixa razão de potência de saída do motor e seu peso, necessitando um motor 
grande no braço. 
Acionamento Hidráulico 
Esta unidade é composta de: motor de movimento rotativo e cilindro para 
movimento deslizante. A unidade de acionamento hidráulico provoca movimento em 
pistões que comprimemo óleo. O controle é feito através de válvulas que regulam a 
pressão do óleo nas duas partes do cilindro e que impulsionam o pistão. As vantagens 
do acionamento hidráulico são: 
1. Momento de torque alto e constante sob uma grande faixa de variação de 
velocidade. 
2. Precisão de operação (menor que o elétrico e maior que o pneumático). O óleo 
não é compressível e não há variação de seu volume quando se varia a pressão. 
3. Pode manter um alto momento para um longo período de tempo, quando parado. 
Entretanto suas desvantagens são: 
1. Requer uma fonte de energia cara. 
2. Requer uma manutenção cara e intensa. 
3. Requer válvulas de precisão caras. 
4. Está sujeito a vazamento de óleo. 
Acionamento Pneumático 
Esta unidade é similar à hidráulica e é composto de: motores pneumáticos de 
movimento rotativo e cilindros pneumáticos de movimento deslizante. Possui um alto 
grau de precisão nas paradas. São utilizados em sistemas automáticos simples, mas 
pouco utilizado em robôs devido à alta compressibilidade, o que reduz a habilidade de 
realizar controle preciso. É muito utilizado em movimentos de agarramento, tanto para 
abrir como para fechar as garras. As vantagens do acionamento pneumático são: 
1. Podem operar em velocidades extremamente altas. 
2. Custo relativamente pequeno. 
3. Fácil manutenção. 
4. Podem manter um momento constante em uma grande faixa de velocidade. 
5. Pode manter alto o momento por longos períodos de tempo sem danos, quando 
parado. 
 15
Já as suas desvantagens são: 
1. Não possui alta precisão. 
2. Está sujeito a vibrações quando o motor ou cilindro pneumático é parado. 
 
Seleção 
Resumindo, o acionamento elétrico é melhor em aplicações envolvendo: 
• Alta precisão de posicionamento; 
• Transferência de carga de tamanho pequeno a médio; 
• Pequenas ambientes para sistemas de compressores de óleo e ar; 
O acionamento hidráulico trabalha melhor em situações envolvendo: 
• Transferência de cargas pesadas (de 2.000 pounds ou mais); 
• De média para alta precisão na localização e velocidade; 
O acionamento pneumático é preferível em aplicações envolvendo: 
• Baixa precisão; 
• Necessidade de baixo custo; 
• Altas velocidades; 
• Transferências de pequenas e médias cargas. 
 
Classificação Pelo Tipo de Transmissão (Direta ou Indireta) 
 
No caso de transmissão direta, o motor é montado diretamente na junta que ele irá 
mover. Se o motor é montado longe da junta, próximo da base, a transmissão é indireta; 
neste caso há elementos de transmissão de torque mecânico como correntes, correias, 
diferenciais e engrenagens. As vantagens da transmissão indireta sobre a direta são: 
1. Redução do peso do braço mecânico; 
2. Permite fácil mudança na velocidade de rotação das juntas. 
Mas, as desvantagens da transmissão indireta sobre a direta são: 
1. Falta de precisão da operação da junta devido a liberdade mecânica dos pontos 
de conexão entre os dispositivos de transferência; 
2. Perdas consideráveis de potência. 
 
 16
2.2 Punhos e Efetuadores 
Punho é o nome usualmente dado às três últimas juntas do braço do robô. Estas, 
em geral, são juntas rotacionais, e seus eixos de rotação são mutuamente 
perpendiculares, configurando o que se conhece por punhos esféricos, isto é, punhos 
cujos eixos das juntas se intersectam num único ponto. Uma das vantagens do punho 
esférico é que seu uso simplifica consideravelmente a cinemática do manipulador, 
permitindo o desacoplamento entre a posição e a orientação do efetuador. Tipicamente, 
os manipuladores possuem três graus de liberdade para posicionamento. O número de 
graus de liberdade para orientação depende então do punho. São comuns os casos em 
que este tem um, dois ou três graus de liberdade. O braço e o punho são utilizados 
basicamente para o posicionamento e orientação do efetuador e de qualquer ferramenta 
que ele possa carregar. É o efetuador ou a ferramenta que em realidade executa o 
trabalho. 
 
Figura 2.6 - Eixos de rotação de um punho 
 
No sentido de saída do braço, essas juntas são conhecidas como junta de yaw, junta 
de pitch e junta de roll (nesta ordem). Os movimentos giratórios resultantes são 
chamados yaw, pitch e roll. Se você mantiver sua mão estendida a frente, de palma para 
baixo, com os dedos apontando para longe de você, os movimentos de yaw, pitch e roll 
poderão ser assim definidos: 
• Yaw é uma rotação ao redor de um eixo vertical que vai da parte superior à parte 
inferior através do punho. Isto produz um movimento da direita para a esquerda, 
assim como aquele usado para dizer não. 
• Pitch é uma rotação ao redor de um eixo horizontal que vai da esquerda para à 
direita através do punho. Isto produz um movimento de sobe e desce da mão, 
assim como aquele usado para dizer até logo. 
• Roll é uma rotação ao redor de um eixo horizontal que vai de trás para a frente 
através do punho. Isto produz um balanço lateral da mão, assim como aquele 
usado para dizer mais ou menos. 
Depois da junta de roll do punho vem o órgão terminal do robô. Alguns punhos 
chamados punhos de mudança rápida, vem com órgãos terminais desconectáveis, os 
quais podem ser rapidamente mudados, até durante uma mesma operação fabril. Os 
órgãos terminais podem ser classificados em dois grandes grupos garras e ferramentas 
 17
especializadas. Robôs usam garras para mover objetos e usam ferramentas 
especializadas para executarem tarefas especiais. As garras podem ser de vários tipos: 
pinças mecânicas para pegar a maioria dos objetos rígidos, atrativos eletromagnéticos 
para pegar objetos de ferro e ventosas de sucção a vácuo para pegar objetos delicados 
com superfícies lisas, como espelhos, pratos largos, vidros e até ovos. Mãos destras são 
garras avançadas que se assemelham à mão humana em versatilidade, podem ser usadas 
tanto para pegar e mover objetos industriais (matéria prima, bens acabados, ou material 
de embalagem) como para manipular e usar ferramentas projetadas para trabalhadores 
humanos. 
As ferramentas especializadas que os robôs podem usar em vez de garras incluem 
pistolas de pintura e de solda a ponto, tochas de solda a arco, cortadores a jato d’água e 
a laser e rebitadeiras automáticas. 
O termo efetuador final é uma palavra genérica para todos os sistemas montados 
no final do braço do robô, ou seja, no fim do vínculo mais afastado da base do robô; 
cuja tarefa é agarrar objetos ou ferramentas e/ou transferi-los de um lugar para o outro. 
Exemplos de efetuador são as garras, soldadores e pistolas de pintura. A operação do 
efetuador é a meta final do desempenho do robô. Todos os sistemas do conjunto 
(controlador, unidade motriz, etc.) são dimensionados para capacitar a ação correta do 
efetuador. Uma falha na operação de agarrar um objeto causa erros que comprometem o 
sucesso da realização do trabalho. Por isso, é essencial que a garra seja apropriada para 
cada ambiente de trabalho. 
Existem vários tipos de efetuador em uso nas indústrias, concentraremos nosso 
foco no estudo das garras. A garra é comparável à mão humana. A estrutura da mão é 
realmente espantosa e interessante: ela possui 22 graus de liberdade, várias unidades 
motrizes na forma de músculos e muitos elementos sensoriais. É tão complexa e bem 
desenvolvida que não há garra feita pelo homem capaz de imitá-la. Dado esse fato, é 
óbvio que as garras são limitadas a uma faixa de operações. Devido ao desenvolvimento 
das indústrias e a constante renovação de processos de manufatura, houve a necessidade 
de se desenvolver garras capazes de realizar tipos diferentes de operações. 
Garras de dois membros 
Esse é o tipo de garra mais comum. Diversas variedades 
foram criadas, variando em tamanho e/ou movimento dos dedos, 
onde este pode ser configurado de maneira paralela ou rotatória. A 
desvantagem básicada garra de dois membros é a sua limitação de 
abertura, impossibilitando o manuseio de objetos maiores que sua 
abertura total. 
Garras de três membros 
Ela é basicamente similar à garra de dois membros, mas permite 
maior segurança no agarrar objetos, podendo segurar formas esféricas, 
triangulares, etc. Seus dedos são retráveis e constituídos de várias 
conexões. 
 18
Garras para objetos cilíndricos 
Essa garra consiste de dois dedos, cada um deles 
possuindo três ou mais depressões circulares, possibilitando 
a pega de objetos cilíndricos de diversos tamanhos. A garra 
para objetos cilíndricos tem duas desvantagens: 1) É pesada 
(por ser geralmente maciça) e tem que ser suportada pelo 
robô durante toda a operação 2) Tem movimento limitado 
devido a sua extensão 
Garras para objetos frágeis 
Para pegar um objeto frágil sem quebrá-lo, os dedos da garra 
devem exercer um certo grau de força. Esta força se for concentrada 
num simples ponto do objeto, é capaz de danificar partes delicadas. 
Sendo assim muitas garras para esse propósito tem sido desenvolvidas. 
Garras de Juntas 
Estas garras são designadas para pegar objetos de 
vários tamanhos e de superfícies irregulares. As conexões são 
movidas por pares de cabos. Um cabo de cada par flexiona a 
junta, e o outro a estende. Para pegar um objeto, as juntas dos 
dedos envolvem-no e seguram-no firmemente. Quanto menor 
o tamanho das juntas dos dedos, maior é a firmeza e a 
capacidade de pegar objetos irregulares. 
Garra Eletromagnética ou a Vácuo 
Garras a vácuo ou ventosas são 
utilizadas para pegar objetos lisos e chatos 
através de um vácuo criado nas suas ventosas. 
Já as Garras Eletromagnéticas são empregadas 
para pegar objetos metálicos através de campo 
magnético. Ambos os tipos de garras são 
eficientes, já que elas podem pegar objetos de 
diversos tamanhos, e não requerem grande 
precisão na localização do objeto. As garras a 
vácuo são usadas para pegar objetos de 
superfície plana, como chapas de metal e caixas de papelão. Geralmente cada garra à 
vácuo possui um determinado número de ventosas conforme sua aplicação, isto para 
reduzir o risco de escorregamento, bem como para aumentar a capacidade de transporte. 
Trocador Automático de Ferramentas 
Muitos tipos de trabalho envolvem o manuseio de peças e objetos de tamanho e 
formatos variados, num só ambiente de trabalho. Nesses casos, o uso de uma chave de 
fenda pode ser feito alternadamente com uma garra ou uma ventosa, e assim por diante. 
Como não há garra capaz de tal feito, visto que cada uma tem sua função própria, 
 19
desenvolveu-se uma ferramenta chamada trocador automático de ferramentas. É um 
adaptador que permite a troca rápida de garras. Uma restrição óbvia é que todas as 
conexões pneumáticas, hidráulicas, etc., devem ser feitas da mesma forma. 
Existem algumas desvantagens no uso de trocador automático de ferramentas: 
• O peso é somado ao braço do robô 
• O custo de instalação é alto 
Por essas observações, fica evidente que o desenvolvimento e produção de garras é 
um dos importantes estágios no desenho de robôs para tarefas dedicadas. 
 
 
 20
3. Atuadores e Sensores 
 
3.1 Tecnologias Empregadas nos Atuadores 
 
Atuadores Pneumáticos e Hidráulicos 
 
Tanto os atuadores pneumáticos quanto os hidráulicos são acionados por fluidos 
em movimento. No primeiro caso, o fluido é o ar comprimido e, no segundo caso, o 
fluido é geralmente óleo pressurizado. A operação desses acionamentos é geralmente 
semelhante, exceto em sua capacidade para conter a pressão do fluido. Os sistemas 
pneumáticos tipicamente operam a aproximadamente 100 lb/in2 (68,96N/cm2) e 
sistemas pneumáticos a 68,96N/cm2 até 3.000 lb/in2 (2068,8N/cm2). As vantagens e 
desvantagens relativas desses tipos de sistemas de acionamento já foram apresentadas 
na seção onde os manipuladores foram classificados pelo seu tipo de acionamento. 
 
O dispositivo de acionamento por fluido mais simples é o cilindro, como 
ilustrado na figura a seguir, que pode ser usado para acionar uma junta linear por meio 
de um pistão móvel. Esse exemplo é chamado um cilindro de extremidade simples, 
porque a haste do cilindro somente sai do cilindro numa extremidade. Outros tipos de 
cilindros incluem cilindros de duas extremidades. 
 
 
 
Figura 3.1 - Cilindro e pistão 
 
Existem duas relações de interesse particular ao discutir os atuadores: a 
velocidade do atuador em relação à potência de entrada. Para atuadores tipo cilíndrico, 
essas relações são dadas por 
 
A
tftV )()( = 
 
AtPtF ).()( = 
 21
 
em que V(t) é a velocidade do pistão, f(t) é a vazão do fluido (volumétrica), F(t) é a 
força, P(t) é a pressão do fluido, e A é a área do pistão. Visto que os requisitos de um 
robô são de portar uma carga útil a uma dada velocidade, podemos usar as relações 
descritas para escolher o atuador apropriado. 
 
Um outro tipo de atuador de fluido é o atuador de aletas rotativo, mostrado na 
figura a seguir. 
 
 
 
Figura 3.2 - Atuador de aletas 
 
Num atuador rotativo, estamos interessados na velocidade angular, ω, e no 
torque, T. As relações descrevendo a saída de um atuador rotativo são: 
 
hrR
tft
)(
)(2)( 22
−
=ω 
 
2
)).(().()( rRrRhtPtT +−= 
 
onde R é o raio externo da aleta, r é o raio interno da aleta, h é o comprimento da aleta, 
ω é a velocidade angular em rad/seg, e T é o torque. 
 
 22
 
Atuadores Elétricos 
 
 
Motores de passo e servo-motores (com ou sem escovas) têm cada um suas 
respectivas vantagens e desvantagens. Em geral não existe uma solução única para cada 
tipo de acionamento. 
 
 
 
 
 
Figura 3.3 - Tecnologias disponíveis para implementação do acionamento 
 
Os argumentos a seguir mostram um rápido panorama quanto ao uso de cada uma 
destas tecnologias. 
 
 
 
MOTOR DE PASSO 
VANTAGENS DESVANTAGENS 
Menor custo 
Se uma aplicação pode ser realizada com 
motor de passo, então esta deve ser a escolha 
natural. 
Perda de suavidade em baixas velocidades
Maior problema dos motores de passo. Pode, 
porem ser solucionado com drives de micro-
passo. 
Isento de Manutenção 
Não há escovas ou outras partes sujeitas a 
desgastes, não necessitando portanto de 
manutenções ou trocas periódicas. 
Perda de posicionamento em malha 
aberta 
Pode ocorrer em situações de sobrecarga. 
Um encoder para confirmação de passo 
poderia resolver o problema, porém neste 
caso seria preferível o uso de um servo 
motor. 
Estabilidade em paradas 
Sem comutação na corrente de fase o rotor 
permanece completamente parado. Não há 
tendências do rotor em se agitar em torno de 
uma posição do encoder ou do resolver. 
Corrente nominal mesmo quando parado 
Como o torque de retenção exige circulação 
de corrente, isto causará aquecimento do 
motor mesmo quando parado. 
MOTOR DE PASSO (...continuação) 
Industrialmente padronizado Ressonâncias em altas velocidades 
 23
São fabricados com eixo ou face 
padronizados (Norma NEMA ou Métrico) 
sendo portanto facilmente substituíveis. 
Os motores de passo não são recomendáveis 
para velocidades de operação em torno de 
2000 rpm. 
Baixa limitação pelo ambiente 
Podem ser usados em quase todos os 
ambientes (inclusive no vácuo). 
 
Isentos de falhas 
Não há como uma falha no drive ocasionar 
perda de controle do movimento. Pelo 
contrário em tais situações há a tendência do 
rotor em parar (ao contrário do que pode 
acontecer nos sistemas servo controlados) 
 
Dificilmente desmagnetizável 
Elevados níveis de corrente não causam 
desmagnetização de seus materiais (ao 
contrário do que pode ocorrer com os 
motores com escova). 
 
Seguro e confiável 
Os motores de passo são bastante simples 
sob o ponto de vista construtivo, 
praticamenteisentos de falhas. 
 
Resistente a sobrecargas 
Não há elevação da corrente no motor 
quando em situações de sobre carga como 
ocorrem nos servo motores. 
 
Relação torque/tamanho 
Comparado com motores DC (com escovas) 
de mesmo tamanho, o motor de passo pode 
fornecer altos torques de saída em baixas 
velocidades. 
 
Conexão simples 
Apenas 4 vias de alimentação são 
necessárias, o que pode ser uma vantagem 
em situações onde as conexões tenham 
elevados custos. 
 
 
 
 
 24
 
SERVO MOTORES DC 
VANTAGENS DESVANTAGENS 
Baixo custo 
Os motores DC são produzidos atualmente 
com baixos custos de fabricação 
Manutenção das escovas 
Não chega a ser um problema se o motor 
estiver em local de fácil alcance, caso 
contrário inviabiliza a aplicação. Há que se 
considerar também a emissão de pó por parte 
do carvão das escovas, o que inviabiliza seu 
uso em locais extremamente limpos. 
Suavidade em baixas rotações 
Esta característica é obtida através de 
modelos com grande número de ranhuras 
(lamelas) no rotor, o que o torna a melhor 
opção de suavidade das três opções. 
Riscos de explosão 
Devido ao faiscamento gerado nas escovas 
tal característica inviabiliza seu uso em 
ambientes sujeitos a explosão (ou no vácuo). 
Drives de baixo custo 
Um drive de corrente contínua pode ser tão 
simples quanto apenas uma ponte de 
transistores. 
Comutações limitadas 
A repetibilidade de movimentos curtos 
(menor do que uma rotação) fica limitada 
devido a comutação mecânica. 
Sem consumo em paradas 
Sem carga estática no motor não haverá 
consumo de corrente para manter uma 
posição. 
Baixa dissipação térmica 
Todo calor é gerado internamente no rotor, o 
que dificulta sua dissipação para o meio. 
Altos torques de pico 
Em aplicações com ciclo de trabalho 
intermitente (particularmente no 
posicionamento de cargas tipicamente 
inerciais), o motor pode operar com sobre-
correntes. 
Pode ser desmagnetizado 
Elevadas correntes podem resultar em 
desmagnetizações parciais do motor. 
Planicidade da curva torque-velocidade 
Permite obter ótimas performances através 
da simples geração de rampas de aceleração 
tipo linear. 
Custo de instalação 
Os servo-motores DC apresentam maiores 
custos de instalação quando comparados aos 
motores de passo. 
Grande variedade de modelos disponíveis 
Os motores DC são encontrados em uma 
grande variedade de opções, incluindo 
motores com baixa inércia para aplicações 
de alta dinâmica. 
 
Operação em altas velocidades 
Motores DC podem operar sem problemas 
em velocidades de até 5000 RPM 
 
 
 25
 
SERVO MOTORES SEM ESCOVAS (BRUSHLESS) 
VANTAGENS DESVANTAGENS 
Isentos de manutenção 
Pelo fato de não apresentarem escovas para 
comutação. 
Elevado custo 
Principalmente devido ao uso de materiais 
magnéticos compostos por terras raras. 
Boa dissipação térmica 
Todo calor é gerado no estator o que facilita 
sua dissipação para o meio. 
Drives mais caros e complexos 
Drives do tipo seis estados, trapezoidais não 
são tão mais caros do que os drives para 
motores DC com escovas, porém drives com 
geração de ondas senoidais podem custar 
várias vezes mais. 
Altíssimas velocidades 
Não há comutadores mecânicos para 
limitarem a velocidade, pequenos motores 
brushless podem facilmente atingir 
velocidades de até 12000 RPM 
 
Insensíveis ao ambiente 
Não emitem ruídos, pós, faíscas, ou outros 
tipos de resíduo ao ambiente. Além disto 
podem suportar elevadas temperaturas bem 
como ambientes em vácuo. 
 
 
 
 26
Transmissão Mecânica 
 
A fim de transmitir os torques motores às juntas do manipulador dispõem-se de 
duas alternativas principais. Uma delas através do acionamento direto, ou seja, sem a 
presença de elementos redutores mecânicos e, outra alternativa através da utilização de 
mecanismo redutor. Cada uma das alternativas apresenta suas respectivas vantagens e 
desvantagens técnicas. O quadro a seguir apresenta um breve resumo de tais 
características. 
 
 
ACIONAMENTO COM TRANSMISSÕES 
VANTAGENS DESVANTAGENS 
Redução no torque do motor 
Devido ao fator de redução da transmissão, o 
torque exigido do motor fica reduzido. 
Presença de folgas 
Os elementos redutores mecânicos 
apresentam folgas que ocasionam backlash, 
podendo comprometer a precisão do sistema.
Minimização de não-linearidades 
Todas as não linearidades do sistema 
manipulador devido aos acoplamentos entre 
juntas bem como devido a torques 
gravitacionais ficam reduzidas. 
Inserção de inércia e atritos 
Um elemento redutor ocasionará a 
introdução de uma inércia própria bem como 
elevará as perdas por forças de atrito. 
 Rendimento reduzido 
Todo elemento redutor irá ocasionar um 
fator de rendimento de transmissão de torque 
< 1 (~0,95). 
 
 
ACIONAMENTO DIRETO 
VANTAGENS DESVANTAGENS 
Isentos de folgas 
Como não há redutor o sistema fica isento de 
folga mecânica. 
Elevado torque do motor 
O torque necessário para o motor não é 
reduzido pelo fator de transmissão. Motores 
de alto torque são exigidos. 
Alto rendimento 
O uso de elemento redutor apresentaria um 
rendimento < 1. 
Presença de não-linearidades 
Todas as não linearidades oriundas dos 
acoplamentos entre juntas têm que ser 
tratadas pelo controlador. 
 
Pelas características acima expostas é possível concluir que ambas as formas de 
transmissão apresentam semelhantes razões de vantagens/desvantagens, fato que a 
princípio não permite extrair uma escolha definitiva. Entretanto, cabe ressaltar que a 
grande maioria dos casos reais de robôs manipuladores utilizam-se de elementos para 
transmissão tais como reduções do tipo harmonic-drives ou cicloidais. Por este motivo 
apresenta-se a seguir uma discussão prévia a respeito de tais elementos. 
 
Para a transmissão do movimento às juntas de um robô é conveniente que se 
utilizem elevados fatores de redução. Tal critério se baseia no fato de que as não 
linearidades, devido ao acoplamento entre juntas típicas de um sistema robótico, têm um 
 27
efeito de perturbação sobre o sistema de controle inversamente proporcional ao 
quadrado da relação de redução (exceto para os torques gravitacionais). Além disto é 
conveniente que tais reduções apresentem: 
 
- baixo valor de inércia, 
- massa tão reduzida quanto possível, 
- isentas de folgas, 
- elevada rigidez e 
- grande fator de redução 
 
Com tais características é possível reduzir a inércia dos componentes mecânicos 
referida ao eixo do motor, compatibilizar as velocidades de operação entre o motor e o 
acionamento das juntas, além de aumentar o torque do motor. 
 
 As opções comercialmente disponíveis para propiciar tais características são as 
transmissões mecânicas transformadoras especiais do tipo “Planetária Cicloidal” e do 
tipo “Harmonic Drive”. 
 
 
 
 
Figura 3.4 – Opções tecnológicas para implementação da transmissão 
 
 
TRANSMISSÃO HARMONIC DRIVES 
VANTAGENS DESVANTAGENS 
Alta capacidade de torque Necessita lubrificação 
Boa precisão de posicionamento Eficiência depende da rotação 
Repetibilidade 
Alta rigidez à torção 
Zero backlash (segundo o fabricante) 
 
 28
 
TRANSMISSÃO CICLOIDAL 
VANTAGENS DESVANTAGENS 
Alta grau de rigidez Geração de calor 
Baixa inércia de entrada 
Erro de velocidade minimizado 
Correção de backlash < 1 min. 
Não necessita lubrificação 
Alta eficiência 
 
 
3.2 Tecnologias Empregadas nos Sensores 
 
Sensores de Posição 
 
Na maioria dos casos em robótica, um interesse fundamental é controlar a 
posição do braço. Existe uma grande variedade de dispositivos disponíveis para detectar 
posição. Serão apresentados os seguintes dispositivos: potenciômetros, resolvers e 
codificadores (ou encoders). 
 
POTENCIÔMETROS 
 
Os potenciômetrossão dispositivos analógicos cuja tensão de saída é 
proporcional à posição do seu cursor. A figura a seguir ilustra um potenciômetro típico. 
Uma tensão é aplicada através do elemento resistivo. 
 
 
Figura 3.5 - Potenciômetros 
 
A tensão entre a haste e a terra é proporcional à relação da resistência num lado 
do cursor para com a resistência total do elemento resistivo. Essencialmente, o 
potenciômetro atua como uma rede divisora de tensão. Isto é, a tensão através do 
elemento resistivo é dividida em duas partes pelo cursor. A medição dessa tensão 
fornece a posição do cursor. A equação do potenciômetro pode ser representada pela 
seguinte função: 
 
)()( tktV TPo θ= 
 
em que Vo(t) é a tensão de saída, kTP é a constante do potenciômetro em volts por 
radiano (ou volts por metro, no caso de um potenciômetro linear) e θ(t) é a posição do 
 29
potenciômetro em radianos (ou metros). Visto que um potenciômetro requer uma tensão 
de excitação, a fim de calcular Vo, podemos usar 
 
tot
pos
exVV θ
θ
=0 
 
em que Vex é a tensão de excitação, θtot é o deslocamento total disponível da haste, e θpos 
é a posição efetiva do cursor. 
 
RESOLVERS 
 
Um resolver é um outro tipo de dispositivo analógico cuja saída é proporcional 
ao ângulo de um elemento de rotação em relação a um elemento fixo. Em sua forma 
mais simples um resolver tem um único enrolamento em seu rotor e um par de 
enrolamentos em seu estator, conforme ilustra a figura a seguir. 
 
 
Figura 3.6 - Resolver 
 
 
Figura 3.7 - Formas de onda 
 
Os enrolamentos do estator estão defasados em 90 graus. Assim, se o rotor for 
excitado com um sinal senoidal do tipo A.sen(ωt), a tensão nos dois pares de terminais 
estatóricos será 
 
)sen().sen(.)(1 θωtAtVS = 
)cos().sen(.)(1 θωtAtVS = 
 
sendo θ o ângulo do rotor em relação ao estator. Esse sinal pode ser usado diretamente, 
ou pode ser convertido numa representação digital, usando-se um dispositivo conhecido 
como um conversor resolver-digital. Já que um resolver é essencialmente um 
transformador rotativo, é importante lembrar que um sinal de corrente alternada deve 
ser usado para excitação. Se fosse usado um sinal de corrente contínua, não haveria 
sinal de saída. 
 
 30
CODIFICADORES (ou ENCODERS) 
 
À medida que mais sistemas são controlados por computadores e dispositivos 
correlatos, aumenta o uso de codificadores digitais de posição. Codificadores estão 
disponíveis em dois tipos básicos: incrementais e absolutos. Isto se refere ao tipo de 
dados disponíveis do codificador. Existem várias categorias de codificadores, mas 
limitaremos nossa discussão àqueles que são os mais comumente usados nos robôs. São 
eles os codificadores ópticos. 
 
Um codificador incremental simples está ilustrado na figura a seguir. Consiste 
em um disco de vidro, marcado com listas, alternadas transparentes e opacas, alinhadas 
radialmente. Um foto-transmissor (uma fonte de luz) está localizado num lado do disco 
e um fotorreceptor no outro. Quando o disco gira, o feixe de luz é alternadamente 
transmitido e interrompido. A saída do fotorreceptor é um trem de pulso cuja freqüência 
é proporcional à velocidade de rotação do disco. Num codificador típico, existem dois 
conjuntos de foto-transmissores e receptores alinhados em defasagem de 90 graus. Esse 
ajuste de fases fornece informação de direção; isto é se o sinal A estiver adiantado do 
sinal B em 90 graus, o disco codificador está girando numa direção, se B estiver 
adiantado de A, então estará girando na outra direção. Contando os pulsos (adicionando 
ou subtraindo) com base no sinal de sentido de giro, é possível usar o codificador para 
fornecer informações sobre posição em relação a um local de partida conhecido. 
 
 
 
Figura 3.8 - Codificador de posição incremental 
 
Em alguns casos é desejável conhecer a posição de um objeto em termos 
absolutos, isto é, não em relação a uma posição de partida. Para isto pode ser usado um 
codificador absoluto. Os codificadores absolutos empregam a mesma construção básica 
que os codificadores incrementais, exceto que existem mais trilhas de listas e um 
número correspondente de receptores e transmissores. Usualmente, as tiras são dispostas 
de modo a fornecer um número binário proporcional ao ângulo do eixo. A primeira 
trilha pode ter 2 listas, a segunda 4, a terceira 8 e assim por diante. Desta forma o 
ângulo pode ser lido diretamente do codificador, sem que seja necessária qualquer 
contagem. 
 
 31
 
Figura 3.9 - Codificador de posição absoluto 
 
A figura anterior ilustra um codificador absoluto. A resolução de um codificador 
absoluto é dependente do número de trilhas e é dada por 2n, sendo que n é o número de 
trilhas no disco. 
 
 
Sensores de Velocidade 
 
Um dos dispositivos mais comumente usados para a realimentação de informações de 
velocidade é o tacômetro de corrente contínua. Um tacômetro é essencialmente um 
gerador CC, fornecendo uma tensão de saída proporcional à velocidade angular do 
induzido. Um tacômetro pode ser descrito pela relação 
 
)()()(0 ttktV TV ω= 
 
em que Vo(t) é a tensão de saída do tacômetro em volts, kTV(t) é a constante do 
tacômetro, usualmente em V/rad/s e ω(t) a é a velocidade angular em radianos por 
segundos. 
 
Os tacômetros são geralmente usados para fornecer informação sobre velocidade 
ao controlador. Isto pode ser usado para realizar controle de velocidade de um 
dispositivo ou, em muitos casos, para aumentar o valor de KV num sistema, melhorando 
assim a estabilidade do sistema e sua resposta a perturbações, como será apresentado na 
seção sobre controle de movimento. 
 
 
 
 32
 
 
 33
4. Cinemática 
4.1 Matriz de Transformação Homogênea 
 
Um dos problemas encontrados num mecanismo robótico é a descrição da 
correta localização espacial do efetuador final em relação a um sistema de referência de 
coordenadas normalmente localizada na base do mesmo. Além disto, é necessário 
descrever também com qual orientação este efetuador final se encontra. 
 
Assim, uma matriz de transformação homogênea é uma matriz que fornece a 
posição e a orientação de um ponto no espaço a partir de uma referência conhecida. 
 
Esta matriz é composta por uma sub-matriz de rotação e por um vetor de 
deslocamento que serão mais bem compreendidos a seguir. 
 
Vetor posição de um corpo 
 
 Uma vez determinado um sistema cartesiano de referência, é possível definir a 
localização de um corpo no espaço a partir das coordenadas cartesianas que um ponto 
qualquer deste corpo apresente. 
 
 
 
Figura 4.1 – Posição e orientação de um corpo rígido no espaço 
 
 Para o exemplo da figura anterior, vemos que o ponto O’ do corpo está 
posicionado nas coordenadas: 
 
zoyoxoo zyx
���
′+′+′=′ 
 
 O qual pode ser representado por uma forma vetorial como: 
 










′
′
′
=′
z
y
x
o
o
o
o 
 
 34
Matriz de rotação (ou orientação) de um corpo 
 
 Apesar do vetor posição, apresentado anteriormente, definir a posição do corpo 
no espaço, sabemos que o mesmo pode ter um sem número de diferentes orientações, ou 
seja, ele pode estar rotacionado por um ângulo qualquer em torno dos três eixos do 
sistema de referência de coordenadas. 
 
 Assim, para descrever a orientação deste corpo, faz-se necessário a alocação de 
um segundo sistema de referencia atrelado a este corpo de forma a permitir a correta 
descrição do quanto este corpo está rotacionado em relação ao sistema de coordenadas 
de referência da base. 
 
 Então, com relação a mesma ilustração anterior, tomamos o sistema de 
referência x’y’z’ localizada no ponto O’, podendo-se agora definir as possíveis rotações 
(ângulos α, β, γ) no sentido anti-horário em torno de cada um dos eixos (x, y,z) do 
sistema de referencia da base que o novo sistema apresenta: 
 









 −
=
100
0cossen
0sencos
)( αα
αα
αzR 










−
=
αα
αα
β
cos0sen
010
sen0cos
)(yR 










−=
αα
ααγ
cossen0
sencos0
001
)(xR 
 
Por exemplo, uma rotação em Rz(α) é apresentada na ilustração a seguir. 
 
 
Figura 4.2 – Rotação do sistema de coordenadas O-xyz de um ângulo α em torno de z 
 
 Para rotações sucessivas ao longo de vários eixos basta pós multiplicar o novo 
sistema de referência por cada uma das rotações necessárias, observando que a ordem 
em que as sucessivas rotações forem executadas deve ser respeitada na ordem com que 
as matrizes são pós-multiplicadas. 
 
 35
 
Figura 4.3 – Rotações sucessivas de objetos em torno de eixos fixos 
 
 Para a ilustração anterior, por exemplo, temos as seguintes distintas rotações: 
 










−
−
==
ββ
βααβα
βααβα
βα
cos0sen
sensencoscossen
sencossencoscos
)()( yzzy RRR 
 










−
−
==
ββαβα
αα
ββαβα
αβ
cossensensencos
0cossen
sencossencoscos
)()( zyyz RRR 
 
Matriz de Transformação Homogênea 
 
 A partir da definição da posição e orientação de um corpo, pode-se definir a 
matriz de transformação homogênea como a matriz que descreve simultaneamente a 
nova posição e orientação do corpo no espaço. 
 
 
Figura 4.4 – Representação de um ponto P em sistemas de coordenadas diferentes 
 
 36
 Por exemplo, na figura anterior considerando um ponto P arbitrário no espaço, a 
matriz de transformação homogênea que leva este ponto a ser descrito no sistema de 
referência de coordenadas O1 a partir de sua descrição inicial no sistema de referência 
de coordenadas O0 é dada por: 
 






=
10
0
1
0
10
1 T
oR
A 
 
 
4.2 Cinemática Direta 
 
Um robô manipulador consiste de uma série de corpos rígidos (elos) conectados 
por meio de pares cinemáticos ou juntas. Assume-se que cada junta provê uma estrutura 
mecânica com um simples grau de mobilidade, correspondente à articulação, ou 
variável de junta.As juntas podem essencialmente ser de dois tipos: de revolução ou 
prismática, conforme ilustra a figura a seguir. 
 
 
Figura 4.5 – Representações utilizadas para as juntas 
 
 Tais estruturas formam uma cadeia de cinemática aberta. Um das pontas da 
cadeia consiste da base. E, na outra ponta da cadeia está o efetuador final (garra, 
ferramenta, etc) permitindo a manipulação do objeto no espaço. 
 
 Considerando um manipulador constituído por n+1 elos conectados por n juntas, 
o objetivo da cinemática direta é determinar a posição e orientação do efetuador final 
como uma função das variáveis de junta. Então, com respeito ao sistema de referência 
de coordenadas O0 – x0y0z0, a função de cinemática direta é expressa pela matriz de 
transformação homogênea 
 






=
1000
)()()()(
)(
0000 qpqaqsqn
qT o , 
 
onde q é o vetor de (n x 1) variáveis de junta, n,s e a são os vetores unitários do sistema 
de coordenadas de referência ligadas ao efetuador final, e p é o vetor de posição da 
origem de tal sistema com respeito ao sistema de coordenadas de referência da base O0 
– x0y0z0, conforme ilustrado a seguir. 
 37
 
Figura 4.6 – Descrição da posição e orientação do sistema de coordenadas do efetuador 
final 
 
 O sistema de coordenadas de referência O0 – x0y0z0 é chamado sistema da base. 
O sistema de coordenadas atrelado ao efetuador final é chamado sistema do efetuador 
final, e é convenientemente escolhido de acordo com a geometria particular da tarefa a 
ser executada. Exemplo: Considerando uma estrutura planar com dois elos, conforme 
ilustrado a seguir. 
 
Figura 4.7 – Braço plano com dois elos 
 
Com base na análise trigonométrica, na escolha das variáveis de junta, do 
sistema de base e do sistema do efetuador final, obtém-se: 
 












−
+
+−
=





=
1000
0001
0
0
1000
)( 121111212
122111212
0000
0 sasasc
cacacs
pasn
qT 
 
onde, si...j, ci...j denotam respectivamente seno(qi+...+qj) e cosseno(qi+...+qj). 
Convenção de Denavit-Hartenberg 
 
 A construção de um procedimento operacional para o cômputo da cinemática 
direta é naturalmente derivada da cadeia aberta típica na estrutura do manipulador em 
questão. De fato, como cada junta conecta dois e apenas dois elos subseqüentes, é 
 38
razoável considerar primeiro a descrição da relação cinemática entre dois elos 
consecutivos e então obter a descrição completa da cinemática do manipulador de um 
modo recursivo. Para este fim, a descrição de posição e orientação de um corpo rígido é 
útil para obter a composição de transformações coordenadas entre sistemas de 
referência consecutivos. 
 
 
Figura 4.8 – Parâmetros cinemáticos de Denavit-Hartenberg 
 
 Com primeiro passo, um método geral e sistemático pode ser derivado da 
posição e orientação relativa de dois elos consecutivos; ou seja, o problema é determinar 
dois sistemas de referência ligados aos dois elos e obter a transformação de coordenadas 
entre eles. Em geral, os sistemas de referência podem ser arbitrariamente escolhidos 
contanto que estejam ligados ao elo a que se referenciam. Contudo, é conveniente 
adotar algumas regras para a definição destes sistemas de referência. Com referência à 
ilustração dada anteriormente, façamos o eixo i representar o eixo da conexão de junta 
entre do elo i-1 para o elo i; assim, a chamada convenção de Denavit-Hartenberg é 
adotada para definir o sistema de coordenadas do elo i: 
 
• Escolha o eixo zi ao longo do eixo da junta i + 1. 
• Aloque a origem Oi na interseção do eixo zi com a normal comum (reta que 
contém o segmento de menor distância entre duas retas quaisquer) aos eixos zi-1 
e zi. Aloque também Oi’na interseção desta normal comum com o eixo zi-1. 
• Escolha o eixo xi ao longo da normal comum aos eixos zi-1 e zi com direção 
partindo da junta i para a junta i+1. 
• Escolha o eixo yi de forma a completar o sistema segundo a regra da mão direita. 
 
 39
Procedimento Operacional 
 
 
A convenção de Denavit-Hartenberg levará a soluções não únicas nos seguintes 
casos: 
 
o Para o sistema de coordenadas 0, apenas a direção do eixo z0 é especificada; 
então O0 e x0 podem ser arbitrariamente escolhidas. 
o Para o último sistema de coordenada n, apenas a escolha do eixo xn é obtida (que 
deve ser normal ao eixo zn-1). De fato, não existe a junta n+1, e assim zn não é 
definido e pode ser arbitrariamente escolhido. 
o Quando dois eixos consecutivos são paralelos, a normal comum entre eles não é 
definida unicamente. 
o Quando dois eixos consecutivos interceptam-se, a direção de xi é arbitrária. 
o Quando a junta i é do tipo prismática, apenas a direção do eixo zi-1 é 
determinada. 
 
 
Em todos estes casos, a indeterminação pode ser explorada de forma a simplificar o 
procedimento; por exemplo, fazendo com que eixos de sistemas de coordenadas 
subseqüentes tornem-se paralelos. 
 
 Uma vez que os sistemas de coordenadas dos elos estejam estabelecidos, a 
posição e a orientação do sistema i com respeito ao sistema i-1 são especificadas 
pelos seguintes parâmetros: 
 
ai distância entre Oi e Oi’, 
di coordenada de Oi’ao longo de zi-1, 
αi ângulo entre os eixos zi-1 e zi em torno do eixo xi a ser tomado positivo quando a 
rotação é feita no sentido anti-horário, 
νi ângulo entre os eixos xi-1 e xi, em torno do eixo zi-1 a ser tomado positivo quando 
a rotação é feita no sentido anti-horário. 
 
 Dois dos quatro parâmetros (ai e αi) são sempreconstantes e dependem apenas 
da geometria da conexão entre as juntas consecutivas estabelecidas pelo elo i. Para os 
dois parâmetros restantes, apenas um é variável dependendo do tipo de junta que 
conecta os elos i-1 e i. Em particular: 
 
� se a junta i é do tipo revolução a variável é νi, 
� se a junta i é do tipo prismática a variável di, 
 
 
Neste ponto, é possível expressar a transformação coordenada entre o sistema de 
referência i e o sistema de referência i-1 de acordo com os seguintes passos: 
 
 40
� Escolha um sistema de referência alinhado com o sistema de referência i-1. 
� Translade o sistema de referência escolhido por di ao longo do eixo zi-1 e 
rotacione-o de νi em torno do eixo zi-1; esta seqüência alinha o sistema de 
referência corrente com o sistema de referência i’ e é descrito pela seguinte 
matriz de transformação homogênea: 
 
1000
100
00
00
1
'
i
ii
ii
i
i d
cs
sc
A
υυ
υυ −
=
− 
 
� Translade o sistema de referência alinhado com o sistema de referência alinhado 
com o sistema de referência i’ pela distância ai ao longo do eixo xi’ e rotacione-o 
pelo ângulo αi em torno do eixo xi’; esta seqüência alinha o sistema de referência 
corrente com o sistema de referência i e é descrito pela matriz de transformação 
homogênea: 
 
1000
00
00
001
'
ii
i
i
i
i cs
sc
A i
αα
αα
α
−
= 
 
� A transformação de coordenadas resultante é obtida pela pós-multiplicação das 
transformações simples como: 
 
1000
0
)( '1'
1
iii
iiiiiii
iiiiiii
i
i
i
ii
i
i dcs
sascccs
casscsc
AAqA
αα
υαυαυυ
υαυαυυ
−
−
==
−− 
 
 Observe que a matriz de transformação do sistema de referência i para o sistema 
de referência i-1 é uma função apenas da variável de junta i, isto é, νi para junta de 
revolução ou di para junta prismática. 
 
 A convenção de Denavit-Hartenberg permite construir a função de cinemática 
direta pela composição das transformações de coordenadas diretas expressa pela 
equação anterior dentro de um matriz de transformação homogênea. Uma vez definido o 
sistema de referência para cada elo, a transformação de coordenada que descreve a 
posição e orientação do sistema de referência n em relação ao sistema de referência da 
base é dada por: 
 
)()...()()( 12
1
21
0
1
0
n
n
nn qAqAqAqT
−
= 
 
 Como esperado, o cômputo da função de cinemática direta é recursiva e é obtida 
de uma maneira sistemática pelo simples produto de contribuições de cada grau de 
 41
mobilidade. Este procedimento pode ser aplicado em qualquer cadeia cinemática aberta 
e pode ser facilmente reescrito em uma operação formal como: 
 
1. Encontre e numere consecutivamente os eixos de junta; estabelecendo a direção 
dos eixos z0, z1, ...,zn-1. 
2. Escolha o sistema de referência de base pela alocação da origem no eixo z0; os 
eixos x0 e y0 são escolhidos de forma a obter um sistema de referência baseado 
na regra da mão direita. 
Execute os passos 3 a 5 para i=1,...,n-1: 
3. Localize a origem Oi na interseção de zi com a normal comum aos eixos zi-1 e zi. 
Se os eixos zi-1 e zi são paralelos e a junta i é do tipo revolução, então localize Oi 
tal que di=0; mas, se a junta i é do tipo prismática, localize Oi na posição de 
referência para a faixa da junta, isto é, no limite mecânico. 
4. Escolha o eixo xi ao longo da normal comum aos eixos zi-1 e zi, com direção da 
junta i para a junta i+1. 
5. Escolha o eixo yi de forma a obter um sistema de referência baseado na regra da 
mão direita. 
Para completar: 
6. Escolha o último sistema de referência n com eixo xn normal ao eixo zn-1; se a 
junta n é do tipo revolução, então alinhe zn com a direção zn-1. 
7. Para i=1,..,n monte a tabela de parâmetros ai, di, αi e νi. 
8. Com base nos parâmetros de 7, obtenha as matrizes de transformação 
homogênea Aii-1(qi) para i=1,...,n. 
9. Obtenha a função de cinemática direta Tn0 = A10...Ann-1 que leva a posição e 
orientação do sistema de referência n com respeito ao sistema de referência de 
base. 
 
 
 42
Cinemática da Estrutura de Manipuladores Típicos 
 
c.1) Braço Plano com Três Elos 
 
 
Figura 4.9 – Braço plano com três elos 
 
Parâmetros de Denavit-Hartenberg 
 
Link ai αi di υI 
1 a1 0 0 υ1 
2 a2 0 0 υ2 
3 a3 0 0 υ3 
 
Cinemática Direta: 
 












++
++−
=
1000
0100
0
0
)( 123312211123123
123312211123123
0
3
sasasacs
cacacasc
qT 
 
 
 43
c.2) Braço Esférico 
 
 
 
Figura 4.10 – Braço esférico 
 
 
Parâmetros de Denavit-Hartenberg 
 
Link ai αi di υI 
1 0 - π/2 0 υ1 
2 0 π/2 d2 υ2 
3 0 0 d3 0 
 
Cinemática Direta: 
 












−
+
−−
=
1000
0
)(
3222
2132121121
2132121121
0
3 dccs
dcdssssccs
dsdscscscc
qT 
 
 
 44
c.3) Braço Articulado 
 
 
Figura 4.11 – Braço articulado 
 
Parâmetros de Denavit-Hartenberg 
 
Link ai αi di υI 
1 0 π/2 0 υ1 
2 a2 0 0 υ2 
3 a3 0 0 υ3 
 
Cinemática Direta: 
 












+
+−−
+−
=
1000
0
)(
)(
)(
233222323
2332211231231
2332211231231
0
3 sasacs
cacascsscs
cacacssccc
qT 
 
 45
c.4) Punho Esférico 
 
 
Figura 4.12 – Punho esférico 
 
Parâmetros de Denavit-Hartenberg 
 
Link ai αi di υI 
1 0 - π/2 0 υ4 
2 0 π/2 0 υ5 
3 0 0 d6 υ6 
 
Cinemática Direta: 
 












−
+−+
−−−
=
1000
)(
6556565
654546465464654
654546465464654
3
6 dccsscs
dssssccscsscccs
dscscsssccssccc
qT 
 
 
 46
c.5) Manipulador de Stanford 
 
 47
 
Figura 4.13 – Manipulador de Stanford 
 
 
 
 
 
Parâmetros de Denavit-Hartenberg 
 
Link ai αi di υI 
1 0 - π/2 0 υ1 
2 0 π/2 d2 υ2 
3 0 0 d3 0 
4 0 - π/2 0 υ4 
5 0 π/2 0 υ5 
6 0 0 d6 υ6 
 
Cinemática Direta: 
 






=
1000
)(06
oooo pasn
qT 
onde: 
 










−−−
++−−
+−−−
=
652646542
6465416526465421
6465416526465421
0
)(
)())((
)())((
cscsscccs
scccsccssssccccs
scccsscssssccccc
n 
 










++
+−+++−
+−−++−
=
652646542
6465416526465421
6465416526465421
0
)(
)())((
)())((
ssccssccs
ccscscssscsscccs
ccscssssscsscccc
s 
 










+−
++
−+
=
52542
541525421
541525421
0 )(
)(
ccscs
ssccssccs
ssscssccc
a 
 










+−+
++++
−++−
=
65254232
654152542121321
654152542121321
0
)(
))((
))((
dccscsdc
dssccssccsdcdss
dssscsscccdsdsc
p 
 
 48
c.6) Braço Articulado com Punho Esférico 
 
 
Figura 4.14– Braço articulado com punho 
esférico 
 
 
 
Parâmetros de Denavit-Hartenberg 
 
Link ai αi di υI 
1 0 π/2 0 υ1 
2 a2 0 0 υ2 
3 0 π/2 0 υ3 
4 0 - π/2 d4 υ4 
5 0 π/2 0 υ5 
6 0 0 d6 υ6 
 
Cinemática Direta: 
 






=
1000
)(06
oooo pasn
qT 
onde: 
 










+−
+−−−
++−−
=
65236465423
646541652364654231
646541652364654231
0
)(
)())((
)())((
cscsscccs
scccsccssssccccs
scccsscssssccccc
n 
 










−+−
+−−++−
+−+++−
=
65236465423
646541652364654231
646541652364654231
0
)(
)())((
)())((
ssccssccs
scscscssscsscccs
scscssssscsscccc
s 
 










−
−+
++
=
5235423
54152354231
54152354231
0 )(
)(
ccscs
ssccssccs
ssscssccc
a 
 




