Exercicios Cap 1

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Airton Ramos, Eletromagnetismo, Ed. Blucher, 1
a
 edição, 2016 
 
Exercícios do Capítulo 1 
 
1) Um condutor cilíndrico longo de raio a está carregado com densidade 
superficial uniforme s e transporta corrente elétrica com densidade j uniforme 
na sua seção transversal. Usando a lei de Gauss e a lei de Ampere calcule o 
campo elétrico e a indução magnética no espaço dentro e fora do cilindro para 
uma distância arbitrária em relação ao seu centro. 
 
 
 
Figura 1 
 
As aproximações aplicáveis ao cilindro longo referem-se ao fato das 
extremidades estarem muito distantes do ponto de cálculo e, por isso, 
considera-se que as componentes axiais dos campos são nulas. Além disso, se o 
meio é homogêneo, considera-se que existe simetria azimutal, ou seja, os 
campos não variam com o ângulo azimutal. Em vista disso, podemos 
considerar que o campo elétrico está sempre orientado na direção radial e a 
indução magnética sempre orientada na direção azimutal. 
Inicialmente consideremos o cálculo do campo elétrico. Usando a lei de 
Gauss, podemos escrever a seguinte expressão: 
 
(1) 
 
Uma vez que em um bom condutor toda a carga elétrica em excesso está 
acumulada na sua superfície, o termo Q na equação anterior é nulo para uma 
superfície de integração com raio menor que a. Assim, temos: 
 
(2) 
 
No exterior do condutor, a integração na superfície tracejada da Figura 1 
é simples uma vez que a distância radial não varia. Por sua vez, a carga no 
 

E S
oS
Q
d
  E 0 para a
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interior da Gaussiana pode ser calculada como o produto da densidade 
superficial de carga pela área do condutor dentro da superfície de integração. 
Com isso, obtemos: 
 
 
(3) 
 
 
 
Observe que o campo elétrico é descontínuo na interface. 
A indução magnética pode ser calculada com a lei de Ampere da 
seguinte forma: 
 
(4) 
 
Nesse caso também o cálculo é facilitado pela simetria azimutal, uma vez 
que a circulação é obtida simplesmente pelo produto do módulo de B com o 
perímetro do caminho circular B2. A corrente envolvida pelo caminho de 
integração depende do raio deste caminho da seguinte forma: 
 
 
(5) 
 
 
Assim, a indução magnética é obtida: 
 
 
 
(6) 
 
 
Observe que a indução magnética é continua na interface. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  
 


   
 
s
o
s
o
2 z
E2 z
paraE u
a
a
a
    B L j So
C S
d d
   
 
  
 j S =
2
2
S
j para
d
j a para
a
a


 
 
 
  
 
o
2
o
j
para
2
j
para
2
u
B
u
a
a
a
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2) Uma espira circular de raio R está carregada uniformemente com carga 
elétrica Q. Calcule o campo elétrico no seu eixo de simetria e encontre as 
posições da máxima e mínima intensidade de campo elétrico com os respectivos 
valores. 
 
 
Figura 2 
 
O campo elétrico neste caso pode ser facilmente calculado usando-se a lei 
de Coulomb. Os termos necessários para este cálculo estão mostrados na Figura 
2. Devido à simetria azimutal da espira, o campo elétrico tem componente 
apenas na direção z. O cálculo é simples e direto. 
 
 
(7) 
 
 
O campo mínimo é nulo e ocorre em z=0. O campo máximo ocorre na 
posição em que a derivada em relação à z se anula. 
 
 
(8) 
 
 
Substituindo na equação (7), obtemos: 
 
(9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
    
  
    
     
 
r r
E r
r r
L z z3 3/22 2 2 2
o oL L o
cos d Qz1 1 Q
( ) dL
4 4 2 R z 4 R z
u u
   
 
  
   
 
3/2 1/22 2 2 2 2
z
max32 2
o
R z 3z R zQdE R
0 z
dz 4 2R z


max z2
o
Q
6 3 R
E u
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3) Considere uma espira plana quadrada da aresta a percorrida por corrente 
elétrica no sentido horário. Calcule a indução magnética no centro da espira. 
Repita para uma espira plana circular de raio R. 
 
Figura 3a 
 
A indução magnética da espira plana quadrada penetra 
perpendicularmente no plano da espira. No centro, a indução pode ser 
calculada como sendo quatro vezes a indução produzida por uma aresta. A 
indução magnética para uma corrente circulando em um segmento reto de fio 
foi calculada no livro e obtida na equação (1.35) repetida a seguir (un é o vetor 
unitário normal ao plano da espira: 
 
 
(10) 
 
 
Usando a geometria da Figura 3, esta equação resulta na seguinte 
expressão para a indução no centro da espira quadrada. 
 
 
(11) 
 
 
 
 
Figura 3b 
 
 
 
 
 
    
      
1 2o
n2 22 2
1 2
z z z z
4 z z z z
B u
i
 
 
   
 
   
i i
 
    
    
o o
n n2 2 2 2
/2 /2 2 2
4
4 /2 /2 /2 /2 /2
B u u
a a
a aa a a a
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Para uma espira circular, o cálculo é ainda mais simples. Para aplicar a 
lei de Biot-Svart, temos que distância entre a espira e o centro é R e o produto 
i dLR está orientado na direção perpendicular ao plano da espira. Então, o 
integrando é constante: 
 
 
(12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     
  
 
 
L
o o o
n n3 2
L L
d Rd
4 4 R 2R
r r
B u u
r r
i i i
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4) Considere uma linha paralela de condutores filamentares separados pela 
distância d. Considerando que os condutores estão balanceados (cargas e 
correntes iguais em módulo, mas com sinais contrários nos dois condutores) 
calcule a força total de interação entre os condutores. 
 
Figura 4 
 
 Usaremos os resultados já obtidos no livro para o campo elétrico e 
indução magnética gerados por um segmento retilíneo de condutor 
transportando corrente elétrica e contendo carga elétrica distribuída 
uniformemente em seu comprimento. 
 
 
(13) 
 
 
 
(14) 
 
 
 
 
(15) 
 
 
 
 As forças elétrica e magnética agindo no condutor carregado 
negativamente na Figura 4 são calculadas pela seguinte integração no 
comprimento do condutor: 
 
 
 
 
i

 
    
      
1 2o
2 22 2
1 2
z z z z
B
4 z z z z
 
 
 
 
E
2 1L
2 22 2
o
2 1
z z z z
4 z z z z

 
    
       
   
E Lz 2 22 2
o
2 1
1 1
4 z z z z
 
   
      
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Força elétrica: 
 
 
 
 
 
(16) 
 
 
 
 
 
(17) 
 
 
Onde L=z2-z1 é o comprimento dos condutores e L=q/L é a densidade linear 
de carga elétrica. A integral da força elétrica na direção z se anula devido à 
simetria ímpar do integrando em torno do centro do fio. 
 
Força magnética: 
 
 
 
 
(18) 
 
 
 
 
 
Com isso concluímos que a força resultante é a diferença entre a força 
elétrica de atração e a força magnética de repulsão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
F = - E 
 
      
      
        
  

   

  
2 2 2
1 1 1
2
1
z z z2
2 1L
e L 2 22 2
oz z z
2 1
2 z
2 22 2L
1 2
zo
2
2 2L
o
z z dz z z dz
dz
4 d z z d z z d
z z d z z d
4 d
L d d
2 d
 
   
F = - E

      
      
  
2 2 2
1 1 1
z z z2
L
ez L z 2 22 2
oz z z
2 1
dz dz
dz 0
4 z z d z z d
 
 
 
 
 
   
 
F = E
i
i
i
i
 
 
    
      
       
  

  

  
2 2 2
1 1 1
2
1
z z z2
1 2o
m 2 22 2
z z z
1 2
z2
2 22 2o
1 2
z
2
2 2o
z z dz z z dz
dz
4 d z z z z
z z d z z d
4 d
L d d
2 d
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5) Considere um cabo coaxial balanceado com raio interno a e raio externo b 
(espessura w do condutor externo) com densidade superficial de carga s e 
densidade de corrente j no condutor interno. Calcule o campo elétrico e a 
indução magnética no interior do cabo (incluindo os condutores). 
 
 
 
Figura 5 
 
Este cálculo é semelhante ao do exercício 1, basta incluir o condutor 
externo. Os resultados já obtidos no exercício 1 são: 
 
 
 
(19) 
 
 
 
 
(20) 
 
 
 
 
O campo elétrico no interior do condutor externo é nulo, portanto a única 
modificação a fazer na equação (19 é incluir o limite b da seguinte forma: 
 
 
 
 
(21) 
 
 

 

 
  
s
o
0 para
para
E
u
a
a
a


 
 
 
  
 
o
2
o
j
para
2
j
para
2
u
B
u
a
a
a

  


  
 
  
s
o
0 para
para
0 para
E u
a
a
a b
b
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Para o cálculo da indução magnética devemos considerar que a corrente 
está retornando pelo condutor externo e se distribui com a seguinte densidade 
de corrente: 
 
(22) 
 
 
 
Portanto, a corrente total envolvida pelo caminho de integração quando 
a coordenada radial é maior que o raio externo b é dada por: 
 
` 
 
 
(23) 
 
 
 
Assim, a indução magnética em todas as regiões do cabo coaxial é obtida 
na seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
(24) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   

       
   
2
2 22 2
jai
b w b b w b
 
 
   
       
     
   
2 2
2
env 2 2
env
j 1 para
0 para
b
i a b b w
b w b
i b w
 
 



 
 


  
 
 
     
      
       
   
o
2
o
2 22
o
2 2
j
para
2
j
para
2
j
1 para
2
0 para
u
u
B
u
a
a
a b
ba
b b w
b w b
b w
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6) Mostre que a indução magnética produzida por uma única espira circular 
com raio R e corrente i em posições do espaço tal que a distância r até o centro 
da espira atende a condição r >> R pode ser aproximada por: 
 
 
(25) 
 
 
Onde o ângulo  é medido entre o vetor r e o eixo da espira. 
 
 
Figura 6 
 
Para este cálculo usaremos as expressões dos campos radial e axial da 
espira em coordenadas cilíndricas obtidas no livro (equações (1.38) e (1.39)): 
 
 
 
(26) 
 
(27) 
 
 
De modo geral estas integrais não apresentam solução analítica, mas o 
objetivo deste exercício é obter uma expressão aproximada para a indução 
magnética para r >> R. Para esse fim, reconhecendo que r2=2+z2 e  = r sen, 
iniciamos reescrevendo o denominador na seguinte forma fatorada: 
 
 
 
(29) 
 
 
 
 
2
o
r3
i R
2cos sen
4r


   B u u
 
 
 



  

      
 

      


2
o
z 3/22 2 2
0
2
o
3/22 2 2
0
R cos dR
B
4 R z 2 R cos
cos dRz
B
4 R z 2 R cos
i
i
 

  
      
         
 
    
 
3/22
3/2 32 2 2
3
1 1 R 2R
1 sen cos
r r rR z 2 R cos
1 3R
1 sen cos
r r
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O terceiro termo nesta equação é uma aproximação na qual (R/r)2 foi 
desprezado e os termos restantes foram aproximados segundo a expansão em 
série de Taylor do tipo (1+x)n = 1+nx+n(n-1)x2/2+ n(n-1)(n-2)x3/6+... na qual os 
termos de ordem maior que 1 foram considerados muito pequenos e também 
desprezados. 
Levando este resultado nas equações (26), obtemos: 
 
 
 
 
(30) 
 
 
 
 
 
E na equação (27), obtemos: 
 
 
(31) 
 
De acordo com a Figura 6 temos as seguintes relações entre as 
componentes esféricas e cilíndricas da indução magnética: 
 
(32) 
 
 
Substituindo os resultados expressos nas equações (30) e (31), obtemos as 
componentes esféricas da indução magnética: 
 
 
(33) 
 
 
(34) 
 
 
Assim, a indução magnética pode ser escrita na forma final: 
 
 
(35) 
 
 
 
 
 
 

   
  
        
  
 
           
  
 
             

   
2
o
z 3
0
2 2 2 22
2 2o
3
0 0 0 0
2
2 2o o
3 3
R 3R
B 1 sen cos R r sen cos d
4 r r
R 3R
R d r sen cos d sen cos d 3R sen cos d
4 r r
R R
2 R 3 R sen 2 3sen
4 r 4r
i
i
i i


  
         
  

2 2
o o
3 3
0
Rz 3 R3R
B 1 sen cos cos d cos sen
4 r r 4r
i i

 
  
  
r z
z
B B cos B sen
B B cos B sen
  
         
2 2 2
2 2o o o
r 3 3 3
R 3 R R
B 2 3sen cos cos sen cos
4r 4r 2r
i i i

  
         
2 2 2
2 2o o o
3 3 3
3 R R R
B cos sen 2 3sen sen sen
4r 4r 4r
i i i
 
  

 
     

   
2 2
o o
r r r3 3
2
o
r3
R R
B B 2 cos sen
4r 4r
R
2 cos sen
4r
B u u u u
u u
i i
i
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7) Considere um solenóide longo (comprimento > 10 x diâmetro) com grande 
número de espiras distribuídas uniformemente em seu comprimento. Mostre 
que a indução magnética nas extremidades é aproximadamente a metade do 
centro. Use a lei de Ampere para obter uma aproximação para a indução 
magnética no centro do solenoide. 
 
 
Figura 7 
 
A equação para a indução magnética no eixo de um solenoide com 
grande número de espiras uniformemente distribuídas foi obtida no livro 
(equação (1.41)): 
 
 
(36) 
 
 
 No centro e na extremidade do solenoide a indução magnética tem os 
seguintes valores: 
 
 
(37) 
 
(38) 
 
 
Onde as expressões aproximadas à direita são aplicáveis quando L>>D. 
Verifica-se que, nesse caso, a indução magnética na extremidade é 
aproximadamente a metade da indução no centro do solenoide. 
Considerando o caminho de integração tracejado no centro da Figura 7, 
aplicamos a lei de Ampere assumindo que o campo magnético é 
aproximadamente uniforme e está orientado na direção z no interior do 
solenóide. Além disso, no exterior o fluxo magnético se espalha por uma área 
muito maior (tende ao infinito) que a área interna das espiras. Por isso, 
podemos considerar aproximadamente nula a indução magnética (densidade 
superficial de fluxo) fora do solenóide. Com essas considerações, obtemos 
então: 
 
(39) 
 
 
 
 
 
 
    
     
o
z 2 22 2
z L /2 z L /2N
B
2L R z L /2 R z L /2
i
 
  

o o
z 2 2
N N
B (z 0)
LD L
i i
 
  

o o
z 2 2
N N
B (z L /2)
2L2 R L
i i
   
 
        
 
 B L
o
z o z
C
N N
d B 0 L L B 0
L L
i i
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Na equaçãoanterior, o termo entre parênteses (Ni/L) é a densidade 
linear de corrente na superfície do solenóide. Por isso, a corrente total envolvida 
pelo caminho de integração for obtida com a multiplicação desse termo por L. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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8) Uma bobina de Helmholtz é formada por duas espiras circulares concêntricas 
e separadas por uma distância igual ao raio das espiras com correntes elétricas 
idênticas circulando no mesmo sentido. Calcule a indução magnética como 
função da posição no eixo da bobina de Helmholtz e mostre que a primeira e 
segunda derivadas dessa função são nulas na posição central da bobina. 
 
 
Figura 8 
 
 Para cada espira a indução magnética gerado no seu eixo de simetria é 
dada pela expressão obtida na equação (1.40) do livro. 
 
 
(40) 
 
 
Onde a distância z é medida em relação ao centro da espira. A indução total é a 
soma de duas parcelas. Tomemos como origem (z=0) a posição central entre as 
espiras. Assim, temos: 
 
 
 (41) 
 
 
 
A primeira derivada é obtida a seguir: 
 
 
 
(42) 
 
 
 
 
 



2
o
z 3/22 2
R
B
2 R z
i
   
 
  
  
       
    
2
o
z 3/2 3/22 22 2
R 1 1
B
2 R z R /2 R z R /2
i
 
 
 
 
 
   
  
       
    
2
oz
5/2 5/22 22 2
z R /2 z R /23 RdB
dz 2 R z R /2 R z R /2
i
Airton Ramos, Eletromagnetismo, Ed. Blucher, 1
a
 edição, 2016 
 
Substituindo z = 0, obtemos: 
 
 
(43) 
 
 
A segunda derivada é calculada a seguir: 
 
 
 
 
(44) 
 
 
 
 
Reorganizando a expressão e substituindo z = 0, obtemos: 
 
 
 
 
(45) 
 
 
 
 
 Esta propriedade da bobina de Helmholtz (primeira e segunda derivadas 
da indução magnética nulas no centro) confere excelente uniformidade do 
campo magnético no interior da bobina. 
   
 
  
    
     
    
2
oz
5/2 5/22 22 2
3 RdB R /2 R /2
(z 0) 0
dz 2 R R /2 R R /2
i
     
 
     
 
         
    
 
      
  
         
    
      
5/2 3/22 2 22 2
522
22
oz
2 5/2 3/22 2 22 2
522
R z R /2 5 z R /2 R z R /2
R z R /23 Rd B
dz 2
R z R /2 5 z R /2 R z R /2
R z R /2
i
 
 
 
 

 
     
   
       
    
 
   
    
        
2 22 222
oz
7/2 7/22 2 22 2
z 0
2 2 2 2 2
o
7/2 7/22 2
R 4 z R /2 R 4 z R /23 Rd B
(z 0)
dz 2 R z R /2 R z R /2
3 R R R R R
0
2 5R /4 5R /4
i
i