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Disciplina: Cálculo Vetorial Lista de Exercícios 1º) Determine as derivadas parciais de primeira ordem de cada uma das funções abaixo a) f (x, y) = x 4 – x3y + x2y2 – xy3 + y4 b) f (x, y) = x sen y c) f (x, y) = e x (cos y – sen y) d) f (x, y) = x 2 e xy e) f (x, y) = yx yx f) f (x, y) = 22 yx xy g) f (x, y) = ln (x 2 + y 2 ) h) f (r, s, t) = (1 – r2 – s2 – t2) e-rst i) f (x, y, z) = 1 + xy 2 – 2z2 j) f (x, y, z) = xy + yz + xz k) f (x, y, z) = (x 2 + y 2 + z 2 ) -1/2 l) f (x, y, z) = ln (x + 2y + 3z) m) f (x, y, z) = )( 222 zyxe n) f (x, y, z) = e -xyz 2º) Mostra-se em fisica que a temperature u(x,t) no instante t, no ponto x de uma haste longa, isolada, disposta ao longo do eixo x, satisfaz a equação unidimensional do calor 2 2 x u k t u (k é uma constante). Mostre que a função u = u(x, t) = exp (-n 2 kt) sen nx satisfaz a equação unidimensional do calor qualquer que seja a constante n. 3º) Uma função de temperatura de estado estacionário u = u(x, y) para uma placa delegada, plana, verifica a equação de Laplace 0 2 2 2 2 y u x u . Determine quais das seguintes funções satisfazem a equação de Laplace: (a) u = ln 22 yx ; (b) u = 22 yx ; (c) u = e -x sen y. 4º) A lei dos gases ideais PV = nRT (n é o número de mols do gás, R é uma constante) determina cada uma das três variáveis das outras duas. Mostre que. 1 p T T V V p . 5º) Determine a diferencial das funções abaixo a) z = x 3 ln(y 2 ) b) v = y cos xy c) u = e t sen θ d) u = )2( ts r e) w = ln 222 zyx f) w = xye xz g) w = 3x 2 + 4xy – 2y3 h) w = sen xyz i) w = x tg yz 6º) Use a regra da cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas. a) z = x 2 + xy + y 2 , sz / e tz / quando x = s + t , y = st b) z = x/y , sz / e tz / quando x = se t , y = 1 + se -t c) z = e xy tg y , sz / e tz / quando x = s + 2t , y = s/t d) z = sen α tg β , sz / e tz / quando α = 3s + t , β = s – t e) z = x 2 + y 3 , x = uv 2 + w 3 , y = u + ve w ; w z v z u z ,, quando u = 2 , v = 1 , w = 0 f) u = x 2 + yz, x = pr cos θ, y = pr sen θ, z = p + r; u r u p u ,, quando p = 2, r = 3, θ = 0 g) w = x + 2y + z 2 ; s w r w , em termos de r e s quando x = s r , y = r 2 + ln s , z = 2r h) w = x 2 + y 2 ; s w r w , em termos de r e s quando x = r – s , y = r + s 7º) Verifique se as conclusões do teorema de Clairaut são verdadeiras, isto é, se uxy = uyx nos problemas a seguir. a) u = x sen (x + 2y) b) u = x 4 y 2 – 2xy5 c) u = ln 22 yx d) u = xye y e) u = x 2 – 4xy + 3y2 f) u = 2x 3 + 5x 2 y – 6y2 + xy4 g) u = x 2 2ye h) u = e -3x cos y
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