Lista 3 - Calculo 2

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Universidade Federal de Sergipe - CCET - DMA
Disciplina: Ca´lculo II- 2016.1
Prof.: Naldisson dos Santos.
Lista de Exerc´ıcios 3
1. Seja an =
2n
3n+ 1
.
a) Determine se {an} e´ convergente.
b) Determine se
∞∑
n=1
an e´ convergente.
2. Determine se a se´rie e´ convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
a) 4 +
8
5
+
16
25
+
32
125
+ · · ·
b) −2 + 5
2
− 25
8
+
125
32
+ · · ·
c)
∞∑
n=1
(−3)n−1
4n
.
d)
∞∑
n=1
n
n+ 5
.
e)
∞∑
n=1
(
1
2n−1
+
2
3n−1
)
.
f)
∞∑
n=1
n√
1 + n2
.
3. Encontre os valores de x para os quais a se´rie converge. Calcule a soma da se´rie para
aqueles valores de x.
a)
∞∑
n=1
xn
3n
.
b)
∞∑
n=1
(x+ 3)n
2n
.
1
4. Se a n-e´sima soma parcial de uma se´rie
∞∑
n=1
an for
sn =
n− 1
n+ 1
encontre an e
∞∑
n=1
an.
5. Se a n-e´sima soma parcial de uma se´rie
∞∑
n=1
an for
sn = 3− n2−n
encontre an e
∞∑
n=1
an.
6. Qual e´ o valor de c se
∞∑
n=2
(1 + c)−n = 2?
7. Use o Teste da Integral para determinar se a se´rie e´ convergente ou divergente.
a)
∞∑
n=1
1
n4
.
b)
∞∑
n=1
1
3n+ 1
.
c)
∞∑
n=1
n
en
.
8. Determine se a se´rie e´ convergente ou divergente.
a)
∞∑
n=5
1
n1,0001
.
b)
∞∑
n=1
1
n0,99
.
c)
∞∑
n=1
5− 2√n
n3
.
d)
∞∑
n=1
ln(n)
n2
.
2
9. Determine se a se´rie converge ou diverge.
a)
∞∑
n=1
5
2 + 3n
.
b)
∞∑
n=1
3
n2n
.
10. Teste a se´rie para convergeˆncia ou divergeˆncia.
a)
∞∑
n=1
(−1)n−1
√
n
n+ 4
.
b)
∞∑
n=1
(−1)nn
n
n!
.
11. Determine se a se´rie e´ absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou
divergente.
a)
∞∑
n=1
(−1)n−1
n
√
n
.
b)
∞∑
n=1
(−1)n
5 + n
.
c)
∞∑
n=1
n!
(−10)n .
d)
∞∑
n=1
cos(npi/3)
n!
.
12.
a) Mostre que
∞∑
n=0
xn
n!
converge para todo x ∈ R.
b) Deduza que lim
n→∞
xn
n!
= 0 para todo x ∈ R.
3