CÁLCULO III - PROVA 1 (1)

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Ca´lculo Diferencial e Integral III - 2013.2
Prof. Israel Galva˜o
1a PROVA DA 1a UNIDADE
ALUNO:
DATA: 29/10/2013
Obs.: Procure expressar suas ideias com clareza e organizac¸a˜o. Esta avaliac¸a˜o
tem durac¸a˜o ma´xima de 1h:40m (UMA HORA E QUARENTA MINUTOS).
1. A primeira forma do Teorema de Fubini diz que, se f(x, y) for cont´ınua na
regia˜o retangular R : a ≤ x ≤ b, c ≤ x ≤ d, enta˜o∫
R
∫
f(x, y)dA =
∫ d
c
∫ b
a
f(x, y) dxdy =
∫ b
a
∫ d
c
f(x, y) dydx.
Considere f(x, y) = 1/xy e R : −1 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ x ≤ 2.
1.1. Calcule a integral dupla de f(x, y) sobre o retaˆngulo R dado usando
as iterac¸o˜es dxdy e dydx.
1.2. Existe algum “problema”? Se sim, qual? Justifique.
2. Encontre o volume da regia˜o delimitada superiormente pela superf´ıcie z =
2senx cos y e inferiormente pelo retaˆngulo R : 0 ≤ x ≤ pi/2, 0 ≤ x ≤ pi/4.
3. Considere a integral ∫ 1/16
0
∫ 1/2
y1/4
cos(16pix5) dxdy.
Esboce a regia˜o de integrac¸a˜o descrita pelos limites de integrac¸a˜o, escreva
uma integral equivalente com a ordem de integrac¸a˜o dydx. Calcule uma
das integrais.
4. Esboce a regia˜o delimitada pelas retas y = 1−x e y = 2 e pela curva y = ex.
Expresse a a´rea da regia˜o como uma integral dupla iterada e calcule tal
a´rea.
5. Use integrac¸a˜o em coordenadas polares para determinar a a´rea da regia˜o a
seguir:
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