CÁLCULO III - PROVA 2 (1)

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Ca´lculo Diferencial e Integral III - 2013.2
Prof. Israel Galva˜o
2a PROVA DA 1a UNIDADE
ALUNO:
DATA: 06/12/2013
Obs.: Procure expressar suas ideias com clareza e organizac¸a˜o. Esta avaliac¸a˜o
tem durac¸a˜o ma´xima de 1h:40m (UMA HORA E QUARENTA MINUTOS).
1. Considere a regia˜o entre o cilindro z = y2 e o plano xy que e´ delimitada
pelos planos x = 0, x = 1, y = −1 e y = 1. Esboce o gra´fico da regia˜o e
calcule seu volume.
2. Use integrac¸a˜o em coordenadas esfe´ricas para calcular o volume da esfera
x2 + y2 + (z − 1)2.
3. Encontre o volume da regia˜o cortada do cilindro so´lido x2 + y2 ≤ 1 pela
esfera x2 + y2 + z2 = 4.
4. Em coordenadas esfe´ricas, temos uma transformac¸a˜o do espac¸o cartesiano
ρϕθ no espac¸o cartesiano xyz. Mostre que∫∫∫
D
F (x, y, z) dx dy dz =
∫∫∫
G
H(ρ, ϕ, θ)|ρ2senϕ| dρ dϕ dθ.
5. Calcule a integral ∫ 4
0
∫ (y/2)+1
y/2
2x− y
2
dx dy.
Dica: Aplique a transformac¸a˜o u = (2x− y)/2 e v = y/2.
Cada questa˜o vale 2,0 pontos.
VAI DAR TUDO CERTO!
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