Antiderivadas, a integral definida e o Teorema Fundamental do Cálculo

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Departamento de Matema´tica e Estat´ıstica
Ca´lculo Diferencial e Integral I – Sistemas de Informac¸a˜o
Prof.ª Beatriz Malajovich ) malajovich@uniriotec.br
7ª Lista de Exerc´ıcios
Antiderivadas, a integral definida e o Teorema Fundamental do Ca´lculo
Seja f(x) uma func¸a˜o definida no intervalo [a, b]. Dizemos
que F (x) e´ uma primitiva ou antiderivada de f se
F ′(x) = f(x), para todo x em [a, b].
Atenc¸a˜o:
Se F (x) e´ uma primitiva de f(x), enta˜o F (x) + pi, F (x) − 12
e F (x) + 5.042.534e ainda sa˜o primitivas de f(x).
Calcular a integral indefinida de uma func¸a˜o f(x) consiste
em obter a primitiva mais geral de f(x), ou seja,∫ f(x)dx = F (x) + k, onde k e´ uma constante arbitra´ria.
1. Calcule as integral indefinidas a seguir. Verifique se o ca´lculo esta´ correto derivando o
resultado encontrado.
(a) ∫ −3dx
(b) ∫ x5 dx
(c) ∫ 1x2 dx
(d) ∫ 2√t dt
(e) ∫ u−2/5 du
(f) ∫ (3√y − 2y−3)dy
(g) ∫ ( ex2 + x√x) dx
(h) ∫ (x2+2x+1x2 ) dx
(i) ∫ ( cosx2 + 2x) dx
(j) ∫ pix dx.
2. Nos itens a seguir, e´ dada a inclinac¸a˜o f ′(x) em cada ponto (x, y) de uma curva y = f(x),
juntamente com um ponto particular P0 = (x0, y0) sobre a curva. Use estas informac¸o˜es para
determinar a curva dada.
(Dica: Voceˆ deve usar o ponto P0 = (x0, f(x0)) para determinar o valor adequado da cons-
tante k que aparecera´ na integrac¸a˜o de f ′(x).)
1
(a) f ′(x) = 4x + 1; P0 = (1,2)
(b) f ′(x) = x3 − 2x2 + 2; P0 = (1,3)
(c) f ′(x) = e−x + x2; P0 = (0,4). (Veja a nota de rodape´!)
3. Em cada um dos itens a seguir, resolva o problema de valor inicial dado, ou seja, encontre a
func¸a˜o y(x) cuja derivada seja a func¸a˜o dydx dada e cujo gra´fico passe pelo ponto (x, y) dado.
(Dica: Proceder de modo ana´logo a` questa˜o anterior.)
(a) dydx = 3x − 2, onde y = 2 para x = −1
(b) dydx = 2x − 1x2 , onde y = −1 para x = 1
(c) dydx = x+1√x , onde y = 5 para x = 4
(d) dydx = 2 + sin 3x, com y(pi/3) = 0.
4. [Crescimento da Populac¸a˜o] Estima-se que daqui a t meses a populac¸a˜o de uma certa cidade
estara´ aumentando a uma raza˜o de 4 + 5 t2/3 habitantes por meˆs. Se a populac¸a˜o atual e´ de
10.000 habitantes, qual sera´ a populac¸a˜o daqui a 8 meses?
5. [Variac¸a˜o de Biomassa] Uma biomassa esta´ variando a uma taxa de M ′(t) = 0,5e0,2t g/h.
Qual e´ a variac¸a˜o da biomassa durante a segunda hora?∗
6. [Hemodinaˆmica] De acordo com uma das leis de Poiseuille para o fluxo sangu´ıneo em uma
arte´ria, se v(r) e´ a velocidade do sangue a r cm do eixo central da arte´ria, a taxa de variac¸a˜o
da velocidade com r e´ inversamente proporcional a r, ou seja,
v′(r) = −ar,
onde a e´ uma constante positiva. Escreva uma expressa˜o para v(r) supondo que v(R) = 0,
onde R e´ o raio da arte´ria.
7. [Distaˆncia e Velocidade] Um corpo esta´ se movendo de tal forma que sua velocidade apo´s
t minutos e´ v(t) = 3 + 2t + 6t2 metros por minuto. Qual a distaˆncia que o corpo percorre
durante o segundo minuto?
∗A primitiva da func¸a˜o f(t) = eαt, com α constante, e´ F (t) = eαt
α
. De fato, pela Regra da Cadeia, temos
F ′(t) = 1
α
(eαt)′ = 1
α
(eαt ⋅ α) = eαt = f(t).
2
Atenc¸a˜o:
A integral definida ∫ ba f(x)dx fornece a ‘a´rea com sinal’
entre o gra´fico de uma func¸a˜o f(x) e o eixo x, com a ≤ x ≤ b !
8. Esboce o gra´fico das func¸o˜es no integrando e indique a regia˜o limitada pela curva e o eixo
x, com −1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ x ≤ 3, respectivamente. Em seguida, calcule as integrais propostas
interpretando-as em termos de a´rea.
(a) ∫ 2−1 ∣x∣dx (b) ∫ 30 (12x − 1)dx.
9. Se ∫ 90 f(x)dx = 37 e ∫ 90 g(x)dx = 16, ache ∫ 90 [2f(x) + 3g(x)]dx usando as propriedades
da integral definida.
10. Ache ∫ 50 f(x)dx se f(x) = ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 3, para x < 3,x, para x ≥ 3.
11. Se ∫ 51 f(x)dx = 12 e ∫ 54 f(x)dx = 3610 , encontre ∫ 41 f(x)dx.
Teorema Fundamental do Ca´lculo:
Se f(x) e´ uma func¸a˜o cont´ınua definida no intervalo [a, b], enta˜o∫ ba f(x)dx = F (b) − F (a),
onde F (x) e´ qualquer antiderivada de f(x) no intervalo a ≤ x ≤ b.
12. Calcule as integrais definidas usando o Teorema Fundamental do Ca´lculo.
(a) ∫ 21 1r2 dr
(b) ∫ 1−1(5 − u)du
(c) ∫ 10 (3t2 + 2t − 1)dt
(d) ∫ 31 t dt
(e) ∫ 1−1 dx
(f) ∫ pi/2−pi/2 sin(x)dx
(g) ∫ ln 20 (ex − e−x)dx.
Valor me´dio de uma func¸a˜o f em um intervalo [a, b]:
O valor me´dio de uma func¸a˜o f(x) em um intervalo a ≤ x ≤ b
no qual ela seja cont´ınua pode ser encontrado por meio de
Vme´dio;f ;[a,b] = 1b−a ∫ ba f(x)dx.
3
13. Em um experimento, o nu´mero de bacte´rias presentes em uma cultura apo´s t minutos foi
Q(t) = 2.000e0,05t. Qual foi o nu´mero me´dio de bacte´rias presentes na cultura durante os
primeiros 5 minutos do experimento?
14. Os registros mostram que t meses apo´s o in´ıcio do ano, o prec¸o do quilo do tomate italiano
nos supermercados variou segundo a func¸a˜o P (t) = 0,09t2 −0,2t+1,6 reais. Qual foi o prec¸o
me´dio do quilo do tomate italiano durante os primeiros treˆs meses do ano?
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Ca´lculo Diferencial e Integral I – Sistemas de Informac¸a˜o
Prof.ª Beatriz Malajovich ) malajovich@uniriotec.br
Respostas da 7ª Lista de Exerc´ıcios
1. (a) −3x + k
(b) x
6
6 + k
(c) − 1x + k
(d) 4
√
t + k
(e) 53u
3/5 + k
(f) 2y3/2 + y−2 + k
(g) e
x
2 + 25x5/2 + k
(h) x + 2 ln(x) − 1x + k
(i) sinx2 + x2 + k
(j) pi ln(x) + k.
2. (a) A func¸a˜o f procurada e´ f(x) = 2x2 + x − 1
(b) A func¸a˜o f procurada e´ f(x) = x44 + 2x + 2x − 54
(c) A func¸a˜o f procurada e´ f(x) = −e−x + x33 + 5.
3. (a) A soluc¸a˜o e´ f(x) = 32x2 − 2x − 32
(b) A soluc¸a˜o e´ f(x) = 2 ln(x) + 1x − 2
(c) A soluc¸a˜o e´ f(x) = 23x3/2 + 2x1/2 − 133
(d) A soluc¸a˜o e´ y(x) = 2x − cos 3x3 − (2pi3 + 13).
4. 10.128 habitantes.
5. Soluc¸a˜o: O objetivo e´ calcular M(2) −M(1), que corresponde a quanto a biomassa variou
apenas durante a segunda hora. Integrando a func¸a˜o M ′(t) com a substituic¸a˜o simples
u = 0,2 t, segue que dudt = 0,2 e du = 0,2dt. Obtemos: M(t) = ∫ M ′(t)dt = ∫ 0,5 e0,2t dt =
0,5 ∫ e0,2t dt = 0,5 ⋅ 10,2 ∫ eu du = 0,5 ⋅5 ∫ eu du = 2,5 eu+c = 2,5 e0,2t+c. Assim, M(2)−M(1) =(2,5 e0,2⋅2 + c) − (2,5 e0,2⋅1 + c) = 2,5 (e0,4 − e0,2).
6. Soluc¸a˜o: O objetivo e´ encontrar v(r) para qualquer valor de r entre r = 0 (que corresponde
ao centro da arte´ria ) e r = R (que corresponde a` superf´ıcie da arte´ria). Integrando a func¸a˜o
v′(r), chegamos a: v(r) = ∫ v′(r)dr = ∫ −ar dr = −a ∫ r dr = −a ⋅ r22 + c. Determinamos o
5
valor espec´ıfico da constante c associada ao problema descrito usando o fato que v(R) = 0
(a velocidade do sangue que passa rente a` superf´ıcie interna da arte´ria e´ nula devido ao
atrito ma´ximo a´ı). Assim, 0 = v(R) = −a R22 + c ⇒ c = aR22 . Logo, a func¸a˜o procurada e´
v(r) = −a r22 + a R22 = a2 (R2 − r2).
7. 20 metros.
8. (a) ∫ 2−1 ∣x∣dx = 2510 . O resultado e´ obtido observando que a integral dada corresponde a soma
das a´reas de dois triaˆngulos entre o gra´fico da func¸a˜o modular e o eixo x.
(b) ∫ 30 (12x − 1) dx = 12 ∫ 30 xdx−∫ 30 1dx = −34 . Basta observar que a integral dada corresponde
a` metade da a´rea de um triaˆngulo de base e altura iguais a 3 menos a a´rea de um retaˆngulo
de base 3 e altura 1.
9. Usando as propriedades de soma e multiplicac¸a˜o por um nu´mero real da integral, temos:
∫ 9
0
[2f(x) + 3g(x)]dx = 2∫ 9
0
f(x)dx + 3∫ 9
0
g(x)dx = 2 (37) + 3 (16) = 74 + 48 = 122.
10. Usando a propriedade de integrac¸a˜o em intervalos adjacentes, podemos escrever:
∫ 5
0
f(x)dx = ∫ 3
0
f(x)dx + ∫ 5
3
f(x)dx = ∫ 3
0
3dx + ∫ 5
3
xdx = 9 + 2(3 + 5)
2
.
Note que o “9” no termo a` direita corresponde a a´rea do retaˆngulo de base 3 e altura tambe´m
igual a 3, simbolizado por ∫ 30 3dx, enquanto 2(3+5)2 corresponde a a´rea do trape´zio (deitado
sobre o eixo x!) de base menor igual a 3, base maior igual a 5, e altura igual a 5 − 3 = 2,
simbolizado por ∫ 53 xdx.Assim, ∫ 50 f(x)dx = 17.
11. Usando novamente a propriedade de integrac¸a˜o em intervalos adjacentes e que ∫ 51 f(x)dx =
12 e ∫ 54 f(x)dx = 3610 , fazemos
∫ 5
1
f(x)dx = ∫ 4
1
f(x)dx + ∫ 5
4
f(x)dx
12 = ∫ 4
1
f(x)dx + 3610
84
10 = ∫ 4
1
f(x)dx.
12. (a) 12
(b) 10
(c) 1
(d) 4
(e) 2
(f) 0
(g) 12 .
6
13. O nu´mero me´dio de bacte´rias presentes na cultura durante os primeiros 5 minutos do expe-
rimento foi de 2.272,2 bacte´rias.
14. O prec¸o me´dio do quilo do tomate italiano foi de R$ 1,57.
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