Integrais Impróprias: Conceitos e Exemplos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA 
CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICA 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: CÁLCULO I (MTM 7136) 
PROFESSOR: MARCOS MARTINS 
 
 
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 
 
 
1. Introdução 
 
 As integrais podem ser classificadas em três tipos: 
 
( i ) Integrais Indefinidas: 
 
  ( )f x dx F x C 
 
 
( ii ) Integrais Definidas: 
 
     
b
a
f x dx F b F a 
 
 
( iii ) Integrais Impróprias: 
 
 Quando escrevemos uma integral definida 
 
b
a
f x dx
, admitimos que os limites de integração 
são números finitos e que o integrando 
 f x
 é uma função contínua no intervalo limitado 
a x b 
. Se 
  0f x 
, estamos completamente familiarizados com a idéia de que a integral 
 
b
a
f x dx
 representa a área da região sombreada. 
 
 
 No entanto, também é necessário considerar as chamadas integrais impróprias da forma, 
 
 
 
a
f x dx


, 
em que o limite superior de integração é infinito e o integrando 
 f x
 é suposto ser contínuo no 
intervalo ilimitado 
a x 
. 
 Definimos 
 
a
f x dx


 da maneira natural mostrada na figura a seguir: 
 
 
isto é, integramos de “
a
” até um limite superior finito, porém variável “
t
” e depois fazemos “
t
” 
tender a “

” e definimos 
 
a
f x dx


 por: 
   lim
t
f x dx f x dx
ta a

 
 
 
 Se o limite existe e tem um valor finito, a integral imprópria diz-se convergir ou ser 
convergente, e esse valor é atribuído a ele. Caso contrário, a integral é chamada divergente. Se 
  0f x 
, então 
 
a
f x dx


 pode ser encarada como a área da região ilimitada. Nesse caso, a área da 
região é finita ou infinita conforme a integral imprópria 
 
a
f x dx


 convirja ou divirja. 
 Temos duas classes à considerar: 
 
 
( I ) Limites Infinitos de Integração 
 
(1° Caso) 
 
   lim
t
f x dx f x dx
ta a

 
, 
 
sendo “
f
” uma função integrável em 
 , ,a t t a 
. 
 
 
 
 
(2° Caso) 
 
   lim
b b
f x dx f x dx
t t
 
, 
 
sendo “
f
” uma função integrável em 
 , ,t b t b 
. 
 
( II ) Imprópria nos Pontos Extremos esquerdo ou direito (Integrandos Descontínuos) 
 
(3° Caso) Se 
 f x
 é descontínua em 
x b
, 
 
   lim
b t
f x dx f x dx
a at b

 

, 
 
sendo “
f
” contínua em “
a
” e descontínua em “
b
”, ou seja, “
f
” é contínua em 
 ,a b
. 
 
 
 (4° Caso) Se 
 f x
 é descontínua em 
x a
, 
 
   lim
b b
f x dx f x dx
a tt a

 

, 
 
sendo “
f
” descontínua em “
a
” e contínua em “
b
”, ou seja, “
f
” é contínua em 
 ,a b
. 
 
Observação: Em todos os casos, desde que os limites existam (como um número). 
 
 
( III ) Outros Casos 
 
(5° Caso) Se 
 
a
f x dx


 e 
 
a
f x dx


 são ambas convergentes, então definimos: 
 
     
a
f x dx f x dx f x dx
a
 
  
 

. 
 
Observação: Para este caso, qualquer número real “
a
” pode ser usado. 
 
(6° Caso) Se 
f
 tiver uma descontinuidade em “
c
”, onde 
a c b 
, e ambos 
 
c
a
f x dx
 e 
 
b
c
f x dx
 forem ambas convergentes, então definimos: 
 
     
b c b
f x dx f x dx f x dx
a a c
  
. 
 
EXEMPLOS RESOLVIDOS 
 
1) 
2
1
1
dx
x


 
 
Solução: 
 Observemos primeiramente o esboço gráfico de “
f
”: 
 
 
 
 De acordo com a definição de integral imprópria (Caso 1), temos: 
 
12 2
1 1
1 1 1 1
lim lim lim
t
t
t t t
dx dx
x x x t

  
   
       
  
 
0
1 1
 
  
  
 
 
 Logo, a integral 
2
1
1
dx
x


 converge para 
1
. 
 
2) 
1
1
dx
x


 
 
Solução: 
 Observemos primeiramente o esboço gráfico de “
f
”: 
 
 
 
  2
1
f x
x

 
 
1
f x
x

 
 
 De acordo com a definição de integral imprópria (Caso 1), temos: 
 
1
1 1
1 1
lim lim ln lim ln ln1
t
t
t t t
dx dx x t
x x

  
 
       
 
   
0
lim ln
t
t

    
  
 
 
 Logo, a integral 
1
1
dx
x


 é divergente. 
3) 0
xxe dx


 
 
Solução: 
 
 De acordo com a definição de integral imprópria (Caso 2), temos: 
 
0 0
limx x
t
t
xe dx xe dx


 
  
 
 
 
 Resolvemos a integral indefinida 
xxe dx
 por partes: 
Chamando: 
u x du dx  
 e 
x x xdv e dx dv e dx v e     
. 
Aplicando a fórmula para integração por partes 
u v vdu  
 
, vem: 
 
x x x x xxe dx xe e dx xe e C     
 
 
 Assim: 
0 0
0
0lim lim lim 0x x x x
tt t t
t
xe dx xe dx xe e e
  

 
       
 
 
0
0e 
1
t tte e  
0
lim 1 t
t
te

        
 
 Da propriedade de limites, temos: 
 
     lim 1 lim 1 lim 1 limt t t
t t t t
te te te
   
         
 
 
 Calculemos agora o limite: 
 lim t
t
te

. 
 Ora, temos uma indeterminação: 
 
     lim t
t
te e
e


 
      

 (Indeterminação!) 
 Sabemos que 
0te 
 quando 
t 
,e pela Regra de L’Hospital temos: 
 
 
1 1
lim lim lim lim lim 0t t
t t tt t t t t
t
te e
e e e      
      

 
 
 Portanto, 
     lim 1 lim 1 lim 1 lim 1 0 1t t t
t t t t
te te te
   
              
 
 
 
 Logo, 0 0
lim 1x x
t
t
xe dx xe dx


 
   
 
 
,o que nos faz concluir que a integral dada converge 
para “
1
”. 
 
4) 
2
1
1
dx
x



 
 
Solução: 
 Observemos primeiramente o esboço gráfico de “
f
”: 
 
 
 
 É conveniente escolher “
0a 
” (para Caso 5). Assim: 
 
0
2 2 2
0
1 1 1
1 1 1
dx dx dx
x x x
 
 
 
    
. 
 
 Precisamos avaliar as integrais no lado direito separadamente: 
 
( i ) 
   
0 0
0
2 2
1 1
lim lim lim 0
1 1 tt t t
t
dx dx arctg x arctg
x x  

 
   
  
   
0
arctg t 2
2 2
     
      
  
 
 
( ii ) 
   2 2 0
0 0
1 1
lim lim lim
1 1
t
t
t t t
dx dx arctg x arctg t
x x

  
 
   
  
   2 0arctg


0
2
 
 
 
 
 
 Logo, 
 0
2 2 2
0
1 1 1
1 1 1 2 2
dx dx dx
x x x
  
 
 
    
    
, o que nos faz concluir que a 
integral dada converge para “

”. 
 
EXERCÍCIOS 
 
Calcule: 
 ( 1 ) 5
2
1
2
dx
x 

 ( 2 ) 2
0
sec x dx


 
2
1
( )
1
f x
x

