Movimento em uma dimensao

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Disciplina Mecânica:
Prof. Me. Juliermes Carvalho
Caxias/Ma
Agosto/2017
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MECÂNICA
 Mecânica Clássica
 Cinemática – Movimento em uma dimensão
 Posição e deslocamento
 Velocidade
 Aceleração
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MECÂNICA
Entender o movimento é um dos objetivos da Física
A Mecânica estuda o movimento e as suas causas
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Mecânica Clássica
 formulou as leis fundamentais do movimento
As contribuições mais importantes para a Mecânica Clássica foram dadas por Isaac Newton (1642-1727) 
 foi um dos criadores do cálculo diferencial e integral 
As leis de Newton não podem ser aplicadas:
 na dinâmica de sistemas muito pequenos (física quântica) 
 em situações que envolvem velocidades próximas da velocidade da luz, que é 299 792 458 m/s  300 000 km/s (relatividade)
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MECÂNICA CLÁSSICA
CINEMÁTICA 
DINAMICA
estuda os movimentos sem levar em conta as causas do movimento
estuda as forças e os movimentos originados por essas forças
Força
(Mecânica Newtoniana) 
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CINEMÁTICA 
Movimento em uma dimensão
O movimento representa uma mudança contínua da posição de um corpo
O movimento ao longo do eixo x (orientado) 
Todo movimento é definido em relação à um referencial 
x
x
Utilizaremos o MODELO DE PARTÍCULA porque o tamanho do corpo real não tem consequência na análise do seu movimento 
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Um corpo é localizado pela sua posição ao longo de um eixo orientado, 
relativamente a um ponto de referência (o observador), em geral a 
origem (x = 0)
Posição
-3 -2 -1 0 1 2 3
x (m)
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Deslocamento
O deslocamento unidimensional de um objeto num intervalo de tempo 
(tf - ti) é a diferença entre a posição final (xf ) no instante tf e a posição 
inicial (xi) no instante ti
Exemplo 1
Corrida de 100 m
x = xf - xi 
t = tf – ti
 deslocamento 
intervalo de tempo 
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Exemplo 2. Corrida de 100 metros. O corredor parte de xi= 0 m para xf= 100 m. 
x = xf - xi = 100 m - 0 = 100 m
Exemplo 3. Uma pessoa a andar se desloca do ponto xi= 200 m para xf= 100 m. 
x = xf - xi = 100 - 200 = - 100 m
O deslocamento do corredor é
O deslocamento da pessoa é
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Velocidade média
A velocidade média é a distância x = xf - xi percorrida pela partícula
num intervalo de tempo t = tf - ti
x
t
Temos a noção intuitiva de velocidade como sendo o espaço percorrido por um corpo num certo tempo
xf
xi
tf
ti
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posição x como uma função do tempo t
x
t
x1
x2
t1
t2
t
x
Deslocamento :
x = xf - xi
 declive de uma secante
Velocidade média: 
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A velocidade média nos dá informações sobre um intervalo de tempo
 Se  movimento à esquerda, ou no sentido de decréscimo de x) 
 Se  movimento para a direita, ou no sentido de crescimento de x
m
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
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Exemplo 4. Na corrida de 100 m, o corredor nos primeiros 5.01 s, percorre 40 m e depois percorre 60 m. O tempo total da corrida é de 10.5 s. Determinar : a) a velocidade média do corredor até o instante de 5.01 s . b) a velocidade média do corredor após este instante e até o final da corrida. c) a velocidade média do corredor em todo o intervalo do tempo de duração da corrida.
a) De 0 a 5.01 s :
x = xf - xi= 40 - 0 = 40 m
e t = tf – ti= 5.01 s- 0 = 5.01 s
b) De 5.01 a 10.5 s:
c) Em todo o intervalo (de 0 a 10.5 s) :
x = xf - xi= 100 m – 40 m = 60 m
e t = tf – ti= 10.5 s - 5.01 s = 5.49 s
x = xf - xi= 100 m – 0 = 100 m
e t = tf – ti= 10.5 s – 0 m = 10.5 s
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Exemplo 5. Uma partícula em movimento ao longo do eixo x está localizada no ponto xi = 12 m em ti= 1 s e no ponto xf = 4 m em tf = 3 s. Encontre o deslocamento e a velocidade média da partícula durante esse intervalo de tempo.
x = xf - xi= 4 m – 12 m = - 8 m
e t = tf – ti= 3 s – 1 s = 2 s
A partícula se moveu para a esquerda com essa velocidade
Exemplo 5. É apresentado na Figura 1 o gráfico do deslocamento versus tempo para uma certa partícula em movimento ao longo do eixo x. Encontre a velocidade média nos intervalos de tempo (a) 0 a 2 s, (b) 0 a 4s, (c) 2 s a 4 s, (d) 4 s a 7 s, (e) 0 a 8 s.
Figura 1
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(b) 0 a 4 s
x = xf - xi= 5 m - 0 = 5 m
t = tf – ti= 4 s - 0 s = 4 s
(c) 2 s a 4 s
x = xf - xi= 5 m – 10 m = - 5 m
t = tf – ti= 4 s - 2 s = 2 s
(a) 0 a 2 s
x = xf - xi= 10 m - 0 = 10 m
t = tf – ti= 2 s - 0 s = 2 s
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(d) 4 s a 7 s
x = xf – xi = - 5 m - 5 m = - 10 m
t = tf – ti = 7 s - 4 s = 3 s
(e) 0 a 8 s
x = xf – xi = 0 - 0 = 0
t = tf – ti = 8 s - 0 = 3 s
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Velocidade instantânea
É a velocidade que a partícula tem a cada instante
A velocidade instantânea é a derivada da posição (x) em relação ao tempo (t)
Velocidade na direção x:
x
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Velocidade instantânea é a média sobre um intervalo de tempo infinitesimal :
v é o declive da tangente para o gráfico x versus t
Fisicamente , v é a taxa de variação de x, dx/dt.
x
t
t
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ALGUMAS DERIVADAS IMPORTANTES
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Entretanto, elas podem ser bastante diferentes ! 
 Em algumas situações  
Velocidade escalar média
 A velocidade escalar média é uma forma diferente de descrever a rapidez com que uma partícula se move. Ela envolve apenas a distância percorrida, independentemente da direção e sentido: 
Exemplo: A partícula parte de O, em ritmo constante, atinge P: 
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Exemplo 6: A partícula parte de O, em ritmo constante, atinge P e retorna a O, depois de decorrido um tempo total e ter percorrido uma distância total L
 Neste caso:
e
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A velocidade escalar é o módulo da velocidade; ela é destituída de qualquer indicação de direção e sentido
Velocidade escalar
Exemplo 7: O velocímetro de um carro marca a velocidade escalar instantânea e não a velocidade, já que ele não pode determinar a direção e o sentido 
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Movimento retilíneo uniforme
Chama-se movimento retilíneo uniforme ao movimento em que a velocidade é constante 
 é a posição da partícula no instante inicial t = t0
 é a velocidade com que a partícula se desloca
a equação do movimento retilíneo uniforme
Equação horária
 é constante 
Para t0 = 0 temos 
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a equação
Para t0  0 temos 
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Diagrama do movimento de um carro com velocidade constante 
A seta vermelha indica o vetor velocidade
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Graficamente temos
Equação da Recta
Velocidade constante
Espaço variável
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Movimento retilíneo uniforme  MRU
Recta paralela ao eixo do tempo
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Exemplo 8
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Este é o problema inverso. 
v(t–t0)  é a área sob a curva da velocidade em função do tempo (v = constante )
onde v(t) é a velocidade instantânea em t.
t
t0
v
Cálculo de x(t) a partir de v(t) para o MRU
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Exemplo 9. O treinador de uma corredora determina sua velocidade enquanto ela corre a uma taxa constante. O treinador inicia o cronómetro no momento em que ela passa por ele e pára o cronómetro depois da corredora passar por outro ponto a 20 m de distância. O intervalo de tempo indicado no cronómetro é de 4.4 s. a) Qual é a velocidade da corredora? b) Qual é a posição da corredora 10 s após ter passado pelo treinador?
a) Qual é a velocidade da corredora? 
t = 4.4 s
t0=0
b) Qual é a posição da corredora 10 s após ter passado pelo treinador?
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Exemplo 10. Encontre a velocidade instantânea da partícula descrita na Figura 1 nos seguintes instantes: (a) t = 1.0 s, (b) t = 3.0 s, (c) t= 4.5 s, e (d) t= 7.5 s.
Figura 1
(a) t = 1.0 s
Sabemos que entre
0 e 2 s a velocidade é constante
x0 = 0 t0 = 0 
x = 10 m t = 2 s 
 
(b) t = 3.0 s
x0 = 10 m t0 = 2 s 
x = 5 m t = 4 s 
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(c) t = 4.5 s
(d) t = 7.5 s
v= 0
x0 = - 5 m t0 = 7s 
x = 0 m t = 8 s 
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Aceleração média
Quando a velocidade da partícula se altera, 
diz-se que a partícula está acelerada
A aceleração média é a variação da velocidade num intervalo de tempo t
ou
ou a notação
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Exemplo 11. Considere o movimento do carro da Figura 2. Para os dados apresentados na Figura 2, calcule a aceleração média do carro. 
Figura 2
A velocidade escalar diminui com o tempo
O carro está desacelerando
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Aceleração instantânea
Em algumas situações a aceleração média pode variar em intervalos de tempo diferentes
portanto é útil definir a aceleração instantânea
Aceleração na direção x
x
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ALGUMAS INTEGRAIS IMPORTANTES
(Uma constante arbitrária deve ser adicionada a cada uma dessas integrais)
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Movimento retilíneo uniformemente variado 
Um movimento é uniformemente variado quando a aceleração é constante 
 se a velocidade da partícula aumenta com o tempo o movimento é uniformemente acelerado
 se a velocidade da partícula diminui com o tempo o movimento é uniformemente retardado
é a velocidade da partícula em t = 0
a é a aceleração da partícula 
a é constante
 para t0 = 0 temos 
a equação
Para t0  0 temos 
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Substituindo 
obtemos
Integrando:
Obtemos:
em
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Exemplo 12
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 a seta superior indica o vetor velocidade e a seta inferior, o vetor aceleração constante
Diagrama de movimento para um carro cuja aceleração é constante na direção de sua velocidade
Diagrama do movimento para um carro cuja aceleração é constante na direção oposta à velocidade em cada instante
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Graficamente temos
Equação da recta
Aceleração constante
Velocidade variável
Espaço variável
Parábola
Movimento retilíneo uniformemente variado  MRUV
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Exemplo 13: Aceleração positiva
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Exemplo 14: Aceleração negativa
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No limite N  e t0:
Área
v(ti)
Dividimos o intervalo (t-t0) num número grande N de pequenos intervalos 
Cálculo de x(t) a partir de v(t) para o MRUV
Área dum retângulo i 
Somando a área de todos os retângulos:
que corresponde a área sob a curva.
e
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 A velocidade é obtida derivando-se a posição em relação ao tempo
Assim
  geometricamente, a velocidade é o coeficiente angular da reta tangente à curva da posição versus tempo no instante considerado.
 O deslocamento é obtido pela integração da velocidade 
 geometricamente, o deslocamento é a área sob a curva da função velocidade versus tempo.
(a velocidade é a derivada em ordem ao tempo da posição) 
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Exemplo 15. Um avião parte do repouso e acelera em linha reta no chão antes de levantar voo. Percorre 600 m em 12 s. a) Qual é a aceleração do avião? b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s?
a) Qual é a aceleração do avião?
(parte do repouso)
Substituindo os valores na equação

b) Qual é a velocidade do avião ao fim de 12 s?
(parte do repouso)
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