Cinematica_exercicios

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FÍSICA 1 
 
Cinemática 
MOV. RET. UNIFORME E MOVIMENTO RETILINEO 
UNIFORMEMENTE VARIADO 
 
 Conceitos Preliminares 
 Velocidade 
 Aceleração 
 MRU e MRUV 
 Funções Horárias do Movimento 
 Queda Livre 
 Representação Gráfica dos Movimentos 
 Exercícios 
ASSUNTOS ABORDADOS 
Isack 
Newton 
A Mecânica é o ramo da Física que aborda os estudos 
sobre a relação entre força e movimento durante a 
ocorrência de um fenômeno. Ela está subdividida em: 
Cinemática, Estática e Dinâmica. 
MECÂNICA 
http://images.google.com.br/imgres?imgurl=http://www.physics.umt.edu/phys221/downloads/isaac_newton_hd.jpg&imgrefurl=http://palmeira.apaebrasil.org.br/anexo.phtml/77&usg=__jDaTpkJh2IGY0TBnW42hazDNdlw=&h=649&w=611&sz=47&hl=pt-BR&start=16&tbnid=-DvRm_i4tNxkxM:&tbnh=137&tbnw=129&prev=/images?q%3DNewton%26gbv%3D2%26hl%3Dpt-BR
A Cinemática é o ramo da Mecânica que estuda o 
movimento dos corpos sem se preocupar com a análise 
de suas causas (Dinâmica). A Cinemática faz uma 
descrição precisa destes movimentos, utilizando 
linguagens matemáticas: as equações horárias, os 
cálculos (diferencial e integral) e as representações 
gráficas. 
CINEMÁTICA 
Galileu 
Galilei 
http://images.google.com.br/imgres?imgurl=http://cienciahoje.uol.com.br/materia/resources/images/che/galileu1.jpg&imgrefurl=http://cienciahoje.uol.com.br/controlPanel/materia/view/2623&usg=__ARyYXMRn19QIsPtJE1mo1nlbuAE=&h=300&w=247&sz=15&hl=pt-BR&start=13&tbnid=LKK6EtRZ25uYcM:&tbnh=116&tbnw=96&prev=/images?q%3Dgalileu%26gbv%3D2%26hl%3Dpt-BR
 Partícula ou Ponto Material 
 Corpo Extenso 
 Referencial 
 Posição Escalar 
 Repouso e Movimento 
 Trajetória 
 Distância e Deslocamento 
Conceitos Preliminares 
Partícula: É um corpo dotado de massa, com 
tamanho desprezível, podendo ser 
considerando como um ponto. 
Quando se faz uma análise ou cálculos 
relacionados ao movimento de um objeto, 
uma questão que nos vem à mente é “qual 
parte do objeto está sendo considerada?”. 
Partícula ou Ponto Material 
Em Mecânica, ponto material é uma abstração 
feita para representar qualquer objeto que 
em virtude do fenômeno tem dimensões 
desprezíveis, ou seja, dimensões tais que 
não afetam o estudo do fenômeno. 
 
Serve para definir também um objeto que 
tenha uma infinidade de pontos que se 
comportem do mesmo modo: assim um ponto 
material é nada mais do que a representação 
de todos os pontos deste objeto. 
 
Partícula ou Ponto Material 
Exemplos 
 
Um veículo se deslocando em uma auto-estrada: as 
dimensões do veículo são desprezíveis em relação à 
estrada. 
 
Um bloco se deslocando em um plano: todos os pontos do 
bloco possuem a mesma trajetória, de forma que suas 
dimensões não alteram sua condição de movimento. 
 
Em determinadas situações, um automóvel pode ser 
considerado ponto material em relação a um trem 
ferroviário. 
 
Partícula ou Ponto Material 
Em Mecânica Clássica, um corpo rígido é 
definido como um conjunto finito, de N 
partículas de massas mi e posições si 
(i=1,N), tal que a distância entre duas 
partículas i e j, |si-sj|, é constante no 
tempo. 
 
Em outras palavras, um corpo rígido é uma 
"nuvem" de partículas cuja distância entre 
elas não muda com o tempo. 
Corpo Extenso ou Corpo Rígido 
As dimensões do Corpo Extenso não podem ser 
desprezadas em relação ao sistema ou em 
casos em que cada ponto do objeto possui uma 
trajetória própria. 
 
Exemplos: 
 - um trem passando em um túnel. 
 - objetos em movimento circular ou misto. 
Corpo Extenso ou Corpo Rígido 
Exemplo: 
Ao estudarmos o movimento de uma composição 
ferroviária de Belo Horizonte - MG à Vitória - ES, 
ela se comportará como uma PARTÍCULA. 
No estudo do movimento dessa composição ferroviária 
atravessando uma ponte de 20m, ela se comportará 
como um CORPO EXTENSO. 
t
ll
v tremtúnelm


Velocidade média de um trem passando por um túnel. 
𝑣𝑚 =
∆𝑥
∆𝑡
 
Móvel: corpo em movimento. 
Partícula: corpo com dimensão desprezível. 
Corpo Extenso: corpo com dimensão não desprezível 
para o estudo realizado. 
Resumindo ... 
Um mesmo corpo pode se comportar ora como 
partícula ora como corpo extenso, depende do 
estudo a ser considerado !!! 
Em Física, sistema de coordenadas de referência 
ou referencial é um sistema de coordenadas 
utilizado para se medir e registrar as grandezas 
físicas, como por exemplo posição, velocidade, 
aceleração, campo gravitacional etc. 
 
Cada observador deve a priori escolher um 
referencial para que se possa realizar suas 
medidas ou formular suas teorias. 
Referencial 
Referencial é o ponto de observação de um fenômeno. 
Posição Escalar 
É a indicação de localização de um corpo em relação a 
um referencial, utilizando-se uma certa escala. 
Origem da rodovia 
estadual RS-040. 
Neste caso, a escala 
é quilométrica e as 
posições são sempre 
positivas. 
Repouso e Movimento 
Para identificar se um corpo está em “repouso” ou em 
“movimento”, é preciso definir um referencial, pois o 
repouso ou movimento é definido em relação a este 
ponto. 
Repouso: condição na qual a posição do corpo em 
relação a um referencial não se altera com o tempo. 
Movimento: condição na qual a posição do corpo em 
relação a um referencial se altera com o tempo. 
Não há repouso nem movimento absoluto !!! 
Exemplo de movimento relativo: 
Quem está em movimento nesta situação? 
Repouso e Movimento 
Exemplo de movimento relativo: 
Quem está em movimento nesta situação? 
Repouso e Movimento 
É o desenho geométrico formado pelas sucessivas 
posições ocupadas por um corpo em movimento. 
Trajetória 
Tipos: retilínea, circular, parabólica, elíptica, 
etc. 
A trajetória depende do referencial !!! 
A distância (d) percorrida por um corpo é definida como 
o tamanho da trajetória descrita por este corpo. 
 
A distância é uma grandeza escalar que depende da 
trajetória descrita pelo corpo e de uma unidade de 
medida de comprimento adequada (metros, milhas, pés, 
jardas, etc). 
d 
 
Distância 
O deslocamento de um corpo é definido como a 
variação de posição de um móvel dentro de uma 
trajetória determinada. O deslocamento representa a 
porção da trajetória pela qual o móvel se deslocou; 
pode ser expresso na forma escalar ou na forma 
vetorial. 
 
Os respectivos símbolos são e . 
 
No espaço cartesiano, o vetor deslocamento une o 
ponto de partida ao ponto de chegada. 
Deslocamento 
∆𝑥 ∆𝑥 
s0 st s


Se um objeto parte da 
posição s0 e vai até uma 
posição st qualquer num 
dado intervalo de tempo 
(t), não importa sua 
trajetória, seu deslo-
camento é dado por: 
Deslocamento 
∆𝑥 = 𝑥𝑓 − 𝑥0 
Distância: é realmente o quanto o corpo percorreu, 
considerando os comprimentos das curvas. 
 
Deslocamento: é a distância em linha reta entre a 
origem e o destino. 
O módulo do deslocamento será sempre menor ou 
igual à distância percorrida !! 
Resumindo ... 
É a grandeza física relacionada com a variação da 
posição de um corpo ao longo do tempo. Se um corpo 
está em movimento significa que ele possui 
velocidade. Ela está relacionada com a rapidez do 
movimento. A equação mais simples e conhecida que 
representa a velocidade é: 
Velocidade 
Unidade no S.I.: m/s 
Atenção: esta equação é válida somente para o movimento 
uniforme, como veremos posteriormente. 
𝑣 =
∆𝑥
∆𝑡
 
Carro B 
Carro A 
BA vv 
x 3,6
 3,6
Vkm/h Vm/s
Exemplos: 10 m/s = 10 x 3,6 = 36 km/h 
 108 km/h = 108  3,6 = 30 m/s 
 1224 km/h = 1224  3,6 = 340 m/s 
Conversão de Unidade 
A velocidade média é dada pela relação: 
Velocidade Média 
A velocidade média relaciona a distância 
total percorrida e o tempo total gasto no 
percurso, inclusive o tempo de repouso e 
retorno. 
𝑣 = 𝑣𝑚 =
∆𝑥
∆𝑡
=
𝑥𝑡 − 𝑥𝑜
𝑡 − 𝑡𝑜
 
Gráfico Posição em função do tempo para um objeto em MRU. 
Posição em função do tempo
0
10
20
30
40
5060
70
0 1 2 3 4 5 6 7
t(s)
x
(m
)
x
t
s
m
s
m
v
ss
mm
v
tt
xx
t
s
v
m
m
t
m
10
2
20
24
2040
0
0










Velocidade Média 
É o limite da velocidade média quando o tempo do 
movimento é extremamente pequeno, ou seja, tende 
a zero. É a velocidade em um certo instante. 
Velocidade Instantânea 
Ex.: a velocidade indicada no 
velocímetro de um carro, ônibus. 
t
d
v
t 0
lim

 ou
t
s
v
t 


0
lim ou 𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 
MRU 
 
Movimento Retilíneo Uniforme 
O valor da velocidade é constante, não varia. 
𝑣 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑐𝑡𝑒 
VA=35m/s VB=15m/s 
B A 
VA=35m/s VB=15m/s 
B A 
Exercício 1: 
Quanto tempo o 
carro A gastará 
para alcançar o 
carro B? 
Depois de quanto 
tempo os carros 
se cruzarão? 
Resposta: 50s 
Exercício 2: 
Resposta: 20s 
É a grandeza física relacionada com a variação da 
velocidade instantânea de um corpo ao longo do tempo. 
Quanto maior a aceleração mais rapidamente a 
velocidade varia (aumenta ou diminui). 
Em termos de equação, temos: 
Aceleração 
Unidade no S.I.: m/s2 
t
v
a
t 


0
lim ou 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
 
No movimento VARIADO existe a aceleração, que é a 
grandeza responsável pela variação da VELOCIDADE. 
Já o UNIFORMEMENTE se refere à variação uniforme da 
velocidade, ou seja, a ACELERAÇÃO é constante. 
MRUV 
 
Movimento Retilíneo Uniformemente Variado 
cte
dt
dv
a 
MRUV 
Movimento Acelerado: é aquele onde o valor da 
velocidade aumenta. 
 
 
Movimento Desacelerado: é aquele onde o valor da 
velocidade diminui. 
0.ou aumenta  vav
0.ou diminui  vav
MRUV 
Desacelerado 
MRUV 
Acelerado 
MRU 
Função horária é uma função matemática que relaciona a 
posição, velocidade ou aceleração de uma partícula (ou 
de um corpo) a um instante de tempo t qualquer. 
 
Como vimos anteriormente, podemos associar a 
velocidade instantânea e a aceleração instantânea de 
uma partícula as suas equações diferenciais em termos 
da posição da partícula em relação ao tempo. 
 
Desta forma, se tivermos uma função horária x(t) 
qualquer podemos obter uma segunda função que 
relaciona a velocidade instantânea da partícula a um 
instante de tempo t qualquer pela derivada da função 
x(t) em relação ao tempo. 
Funções Horárias do Movimento 
Utilizando Cálculo Diferencial e Integral 
Da mesma forma se tivermos a função horária da 
velocidade de uma partícula em função do tempo, 
podemos determinar a função que relaciona a aceleração 
da partícula com o tempo pela derivada da função 
velocidade em relação ao tempo ou ainda pela derivada 
segunda da função posição em relação ao tempo. 
Funções Horárias do Movimento 
Utilizando Cálculo Diferencial e Integral 
2
2
dt
xd
dt
dv
a 
dt
dx
v 
Por outro lado, se conhecermos a função horária da 
velocidade de uma determinada partícula (ou de um 
corpo extenso) podemos obter uma segunda função que 
relaciona o deslocamento da partícula entre um 
intervalo de tempo t pela antiderivada da função v(t) 
no intervalo de tempo considerado, ou seja, pela 
integral definida da função v(t). O mesmo raciocínio 
pode ser feito para determinar a v(t) partir da a(t). 
Desta forma temos: 
Funções Horárias do Movimento 
Utilizando Cálculo Diferencial e Integral 
𝑥 − 𝑥0 = 𝑣 𝑡 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
 v−𝑣0 = 𝑎 𝑡 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
 
Regras de Diferenciação 
tavv o .
Considerando essas informações, as funções 
horárias MRUV são: 
Funções Horárias do MRUV 
De forma auxiliar, temos também: 
Equação de 
Torricelli 𝑣2 = 𝑣𝑜
2 + 2𝑎∆𝑥 
𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒗𝟎. 𝒕 +
𝟏
𝟐
𝒂𝒕𝟐 
Uma particularidade do MRUV é a chamada queda livre, 
variação de velocidade com o passar do tempo em função 
da aceleração da gravidade. Neste caso podemos 
considerar que a aceleração é a da gravidade (g). 
Onde v(t) é a velocidade em um tempo t qualquer, v0 é 
a velocidade no instante inicial da observação. 
Onde h(t) é a altura em um tempo t qualquer. 
Queda Livre 
𝐲 = 𝒚𝟎 + 𝒗𝟎. 𝒕 +
𝟏
𝟐
𝒈𝒕𝟐 
v(t)= 𝒗𝟎 + 𝒈𝒕 
Δ𝐲 = 𝒉 𝒕 = 𝒗𝟎. 𝒕 +
𝟏
𝟐
𝒈𝒕𝟐 
+y 
Queda Livre 
G R Á F I C O S 
v 
t 
a 
t 
Gráficos - MRU 
s 
t 
v > 0 
Função 
Crescente 
v < 0 
Função 
Decrescente 
Gráficos - MRU 
vA ? vB 
vA ? vC 
|vA | ? |vC| 
s 
t 
B 
A 
C 
> 
> 
< 
Exemplo: 
a 
t 
Gráficos - MRUV 
v 
t 
a > 0 
Função 
Crescente 
a < 0 
Função 
Decrescente 
Gráficos - MRUV 
aA ? aB 
aA ? aC 
|aA | ? |aC| 
v 
t 
B 
A 
C 
> 
> 
< 
Exemplo: 
s 
t 
a > 0 
a < 0 
a < 0 
a > 0 
a < 0 
Equação do 2° grau 
Gráficos - MRUV 
∆𝒙 = 𝑽𝟎. 𝒕 +
𝟏
𝟐𝒂
. 𝒕𝟐 
E V A
 Inc lin ação
 Área (  )
Obs.: a inclinação de um gráfico não linear é dada 
pela inclinação da tangente à curva. Quanto mais 
próxima da vertical, maior será o valor da 
inclinação. 
Esta regra é válida para gráficos em função do tempo. 
Gráficos - MRU e MRUV 
LEMBRE-SE QUE 
 Cinemática: estudo do movimento sem considerar a 
sua causa. 
 Partícula: dimensão desprezível. 
 Referencial: ponto de observação de um fenômeno. 
 Posição: localização de um corpo em relação a um 
referencial. 
 Repouso: a posição do corpo não varia com o tempo. 
 Movimento: a posição do corpo varia com o tempo. 
 Trajetória: desenho geométrico formado pelas 
sucessivas posições ocupadas por um corpo em 
movimento. Ela depende do referencial. 
LEMBRE-SE QUE 
 Distância: é realmente o quanto o corpo percorreu, 
considerando os comprimentos das curvas. 
 Deslocamento: é a distância em linha reta entre a 
origem e o destino. 
 Velocidade: grandeza relacionada com a rapidez do 
movimento do corpo. 
 Aceleração: grandeza relacionada com a variação da 
velocidade. 
 MRU: o módulo da velocidade é constante. 
 MRUV: a velocidade varia, mas na mesma proporção 
com o tempo, ou seja, a aceleração é constante. 
 Equações 
2
2
dt
xd
dt
dv
a 
dt
dx
v 
tavv o .
 Funções Horárias: 
 Equações do MRUV: 
x 3,6
 3,6
Vkm/h Vm/s
𝑥 − 𝑥0 = 𝑣 𝑡 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
 v−𝑣0 = 𝑎 𝑡 𝑑𝑡
𝑡
𝑡𝑜
 
𝑥 = 𝑥𝑜 + 𝑣𝑜𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2 𝑣2 = 𝑣𝑜
2 + 2𝑎∆𝑥 
Em x: 
Em y: 
𝐲 = 𝒚𝟎 + 𝒗𝟎. 𝒕 −
𝟏
𝟐
𝒈𝒕𝟐 𝑣2 = 𝑣𝑜
2 − 2𝑔∆𝑦 𝒗 = 𝒗𝟎 − 𝒈𝒕 
+x 
+y 
Exemplo1. Um ponto material se move 
em uma trajetória retilínea segundo a 
equação horária x = 6 – 2t +3t2 (SI). 
Determine: a) o deslocamento da 
partícula de t = 0 a t = 2s. b) a velocidade 
instantânea da partícula no tempo t = 3s. 
c) a velocidade média da partícula entre t 
= 0 e t = 2s. d) a aceleração da partícula 
no instante de tempo t = 4s. 
Resp: a) 8,0m b) 16m/s c) 4,0m/s d) 
6,0m/s2 
 
Exemplo 2. Dois corpos, A e B, se movem em uma 
trajetória retilínea segundo as equações horárias 
xA = 2 – 4t +6t
2 e xB = 6 – 2t +3t
2. Sabendo que 
as grandezas estão no SI, determine a) a distância 
que as partículas se encontravam no início do 
movimento. b) o tempo que as partículas vão 
demorar para atingir a mesma velocidade. c) a 
aceleração média da partícula B entre os instantes 
t = 0s e t = 3s. d) faça os gráficos posição x tempo, 
velocidade x tempo e aceleração x tempo 
referente ao movimento dos corpos A e B. 
Resp: a) 4,0m b) 0,33s c) 6,0m/s 
 
a) Qual o deslocamento do ponto de origem e a distancia total percorrida pelo atleta? 
b) Qual a velocidade media e velocidade escalar media do atleta após 30h de percurso? 
c) Qual a velocidade do atleta no instante t igual a 6h, 12h, 16h30min e 29h 
d) Monte a equação posiçao em função do tempo para cada região do grafico 
e) Esboce um grafico de velocidade em função do tempo 
Exemplo 3 
 Exercícios 
1)Utilizando a definição de velocidade média, responda: 
 
Um corredor corre 100m em aproximadamente 10s e outro 
corredor corre uma maratona (42,19km) em 2h 10min. Se 
o primeiro corredor pudesse manter esta velocidade, 
quanto tempo ele gastaria parafazer o percurso da 
maratona? 
 
1h 10min 19s 
 Exercícios 
2. Para decolar, um avião a jato necessita alcançar no 
final da pista a velocidade de 360km/h. Supondo que a 
aceleração seja constante e que a pista tenha 1,8km, 
qual a aceleração mínima necessária, a partir do 
repouso? 
 
 
3. Um trem de metrô acelera a partir do repouso a 
1,2m/s2 em uma estação para percorrer a primeira metade 
da distância até a estação seguinte e depois desacelera 
a -1,2m/s2 na segunda metade da distância de 1,1km 
entre as estações. Determine i) o tempo de viagem entre 
as estações e ii) a velocidade máxima do trem. 
2,78m/s2 
61s, 36m/s 
 Exercícios 
4. Ao ser lançado pela catapulta da plataforma de um porta-
aviões, um caça a jato atinge a velocidade de decolagem de 
270km/h em uma distância aproximada de 90m. Calcule: 
a) a aceleração média do caça, em m/s2. 
b) o tempo necessário para o caça atingir essa velocidade. 
31,3m/s2 – 2,4s 
 Exercícios 
5. No momento em que a luz de um semáforo fica verde, um 
automóvel arranca com aceleração de 2,2m/s2. No mesmo 
instante um caminhão, movendo-se à velocidade constante de 
9,5m/s, alcança e ultrapassa o automóvel. 
a) A que distância, além do ponto de partida, o automóvel 
alcança o caminhão? 
b) Qual será a velocidade do carro nesse instante? 
c) Desenhe o gráfico da posição x tempo para cada veículo. 
82m, 19m/s 
 Exercícios 
6. Um automóvel parte do repouso e atinge uma 
velocidade de 72km/h em 5s. Calcule a distância 
percorrida por este veículo até que ele atinja sua 
velocidade final. 
 
7. Um automóvel está a 90km/h e ao ver um obstáculo o 
motorista freia bruscamente, imprimindo uma aceleração 
de -15m/s2. Calcule a distância que o veículo percorre 
até parar completamente. 
 
8. Ao observar um equipamento de fiscalização 
eletrônica de velocidade, um motorista se encontra a 
116km/h. Sabe-se que ele gasta 3,0s para chegar a 
velocidade limite aceitável (80km/h). Calcule a 
distância mínima que o motorista deveria começar a 
frear para não ser multado. 
50m 
20,8m 
81,7m 
 Exercícios 
9. Para medir a altura de um prédio, um estudante 
resolveu deixar uma pedra cair do telhado deste. Ele 
observou que o tempo de queda era de 3,0s. Calcule a 
altura aproximada deste prédio, desprezando a 
resistência do ar. ( g = 10m/s2) 
 
10. Uma criança arremessa uma bola verticalmente para 
cima e após 2,4s a bola volta à mão da criança. Qual a 
altura atingida pela bola? Qual a velocidade que a bola 
chega à mão criança? ( g = 10m/s2) 
 
 
11. Um projétil é arremessado verticalmente para cima e 
atinge a altura de 36m. Calcule a velocidade de 
arremesso do projétil e o tempo total de vôo, sabendo 
que ele faz na descida o movimento inverso ao da 
subida. ( g = 10m/s2) 
 
45m 
7,2m - 12m/s 
26,8m/s - 5,37s