Aula 03 - Função de Transferência

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Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Equação I/O; Função de Transferência 1
1 INTRODUÇÃO
Veremos, agora, dois outros tipos de representação do modelo matemático de um
sistema dinâmico:
(1) Representação por Equação I/O (Input/Output = Entrada/Saída)
(2) Representação por Função de Transferência
2 REPRESENTAÇÃO POR EQUAÇÃO I/O
Trata-se da representação do modelo matemático do sistema por uma só EDOL, na qual,
no lado direito da equação aparece a entrada e suas derivadas temporais e, no lado esquerdo, a
saída e suas derivadas temporais. No caso mais geral, teremos:
ubub...ububyaya...yay m
.
1m
)1m(
1
)m(
0n
.
1n
)1n(
1
)n( ++++=++++ −−−− m ≤ n (1)
onde ai (i = 1, 2, ..., n) e bk (k = 1, 2, ...,m) são coeficientes constantes
u(t) é a entrada
y(t) é a saída
Para um sistema com apenas um gr quação I/O é
bastante natural. Por exemplo, para o sistem co é dado pela
EDOL de 2a ordem
 kxxcxm
... ++ (2)
que, após divisão pela massa m, constitui um ca da eq. (1).
Entretanto, quando o sistema tem a-se bastante
complicado “fundir” todas as equações difere rma da eq. (1).
Isso se deve ao fato de que, na maioria 
acopladas, ou seja as próprias coordenadas 
03
Representação De
Modelos de Sistemas Dinâmicos:
- Equação Input-Output (I/O)
- Função de Transferência
au de liberdade, a obtenção da e
a m-c-k padrão, o modelo matemáti
)t(f=
so particular bastante simplificado
vários graus de liberdade, torn
nciais em uma só equação, com a fo
dos casos, as coordenadas generalizadas estão
e suas derivadas aparecem simultaneamente em
Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Equação I/O; Função de Transferência 2
algumas das equações que constituem o modelo matemático. Para suplantar essa dificuldade
podemos usar um enfoque alternativo que usa a transformada de Laplace:
Exemplo 1: Obter a equação I/O correspondente ao modelo dado pela eq. (2), considerando
f(t) como entrada e o deslocamento x(t) como saída.
Solução
No caso, y = x e u = f(t), logo a equação I/O fica )t(ukyycym
... =++ , ou )t(f
m
1x
m
kx
m
cx
... =++ .
Portanto, n = 2, m = 0, a1 = c/m, a2 = k/m e b0 = 1/m.
Exemplo 2: Obter a equação I/O correspondente ao modelo de um sistema mecânico com 2
GDL, dado pelas EDOL’s abaixo, considerando como entrada f(t) e como saída o deslocamento
x1(t).
)t(f)xx(k)xx(cxm
0)xx(kxk)xx(cxcxm
1221
.
2
.
22
..
2
122111
.
2
.
21
.
11
..
1
=−+−+
=−−+−−+
Com
(1) 
 
(2) 
Estratégia:
(1) Tomar a transformada de Laplace de cada uma das equações diferenciais,
considerando condições iniciais nulas (sistema inicialmente em repouso), obtendo,
assim, um conjunto de equações algébricas em termos das transformadas das
coordenadas;
(2) Eliminar as variáveis que não representam a entrada e a saída, através de métodos
algébricos, tais como a Regra de Cramer, de modo a obter uma só equação em
termos das transformadas da entrada e da saída;
(3) Finalmente, levar essa equação para o domínio do tempo e interpretá-la como uma
equação diferencial na forma da eq. (1).
Solução
o agora são 2 GDL, devemos aplicar a estratégia acima:
Tomando as transformadas de Laplace e organizando em forma matricial:
 

=






++−−
−−++++
)s(F
0
)s(X
)s(X
kscsmksc
ksckks)cc(sm
2
1
22
2
222
222121
2
1
Como a saída é x1, aplicamos a regra de Cramer para obter X1(s):
Representação de Modelos de Sistemas Dinâmicos: Equação I/O; Função de Transferência 3
 
22
2
222
222121
2
1
22
2
2
22
1
kscsmksc
kckks)cc(sm
kscsm)s(F
ksc0
)s(X
++−−
+−++++
++
−−
=
Calculando os determinantes e após manipulações algébricas, obtemos
{m1m1s4 + [m1c2 + m2(c1 + c2)]s3 +[ m1k2 + c1c2 + (k1 + k2)m2]s2 + (c2k1 + c1k2)s + k1k2} X1(s) =
= (c2s + k2)F(s)
(3) Voltando ao domínio do tempo:
 
fkfcxkkx)kckc(
x]m)kk(cckm[x)]cc(mcm[xmm
2
.
21211
.
2112
1
..
22121211
...
212211
)4(
21
+=+++
++++++++
a qual está na forma de equação I/O dada pela eq. (1). Portanto, obtivemos uma EDOL que
relaciona apenas a entrada f(t) e a saída x1(t). Entretanto, o sistema de duas equações
diferenciais de 2a ordem foi transformado em uma só EDOL de 4a ordem.
Vemos que uma equação I/O fornece um relação entre uma entrada e uma saída, o que é
o caso de sistemas SISO (Single Input Single Output = Simples Entrada Simples Saída).
Contudo, para sistemas MIMO (Multi Input Multi Output = Múltiplas Entradas Múltiplas
Saídas), existirá uma equação I/O para cada par de entrada e saída. Assim, se no exemplo 2
tivéssemos uma entrada f(t) e duas saídas x1(t) e x2(t), teríamos então duas equações I/O, uma
relacionando f(t) e x1(t) e outra relacionando f(t) e x2(t). Em geral, portanto, se tivermos p
entradas e q saídas, teremos p x q equações I/O.
3 FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DO SISTEMA
Consideremos, novamente, a eq. (1). Definimos Função de Transferência do sistema,
G(s), como sendo a razão da Transformada de Laplace da saída (resposta) para a Transformada
de Laplace da entrada (excitação), considerando condições iniciais nulas (sistema inicialmente
em repouso):
nulas c.i.U(s)
Y(s) G(s) = (3)
Evidentemente, para determinar funções de transferência de sistemas dinâmicos temos
que ter à mão tabelas com as transformadas de Laplace mais conhecidas. Como subsídio,
podemos utilizar os quadros 1 e 2, apresentados no final desta nota de aula.
Para o caso geral da eq. (1), podemos aplicar a transformada de Laplace na mesma e
obter a função de transferência do sistema:
 
n1n
1n
1
n
m
1m
1
m
0
nulas . c.i asa...sas
b...sbsb
U(s)
Y(s) G(s) ++++
+++==
−
−
−
(4)
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Exemplo 3: O modelo matemático de sistemas mecânicos com 1 GDL com apenas uma massa
m, uma mola k e um amortecedor c é dado pela EDOL )t(fkxxcxm
... =++ onde x(t) é a resposta
no tempo e f(t) é a excitação. Achar a função de transferência.
Solução
Transformada de Laplace da EDOL (usando a Tab. 2), para condições iniciais nulas:
(ms2 + cs + k)X(s) = F(s)
Pela definição de Função de Transferência: nulas c.i.F(s)
X(s) G(s) =
Logo: G(s) = 
kcsms
1
2 ++
Podemos aplicar o método da Transformada de Laplace para resolver a eq. (4), ou seja,
para achar a resposta no tempo do sistema, calculando antes a função de transferência G(s) e
colocando a eq. (4) na forma
 Y(s) = G(s)U(s) (5)
que pode ser ilustrada pelo diagrama de blocos da fig. 1:
Fig. 1 Diagrama de Blocos
A resposta do sistema no domínio do tempo é obtida através da aplicação da transformação
inversa de Laplace na eq. (5):
 y(t) = L-1[G(s)U(s)] (6)
As transformadas inversas podem ser buscadas nas tabelas de transformadas de Laplace,
como as apresentadas a seguir. Em geral, antes de usar as tabelas, é necessário fazer o
desenvolvimento do membro direito da eq. (6) em frações parciais pelos métodos usuais.
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EXERCÍCIOS
1 Considere um sistema mecânico rotacional cujo modelo matemático é dado pelas EDOL’s
0K2KJ
)t(TKK2J
212
..
211
..
=θ+θ−θ
=θ−θ+θ
e que T(t) é a entrada e θ2(t) é a saída. Sendo J = 1 kg.m2, achar a equação I/O para esse
sistema.
Resp.: )t(KTK3K4 222
..
2
)4( =θ+θ+θ
2 O modelo matemático do sistema mecânico da fig. 1 é dado porkyyckxxcxm
.... +=++ ,
onde x(t) é a resposta no tempo e y(t) é a excitação do tipo deslocamento da base.
Achar a função de transferência.
Resp.: G(s) = 
kcsms
kcs
2 ++
+
3 A fig. 2 representa um sistema mecânico com dois graus de liberdade, x1(t) e x2(t). O
modelo matemático é dado pelo sistema de EDOL's
)t(fkxkxxcxcxm
)t(fkxkxxcxcxm
2212
.
1
.
2
..
2
1212
.
1
.
1
..
1
=+−+−
=−+−+
onde f2(t) = 0. Considerando f1(t) como entrada e x1(t) e x2(t) como saídas, achar as funções de
transferência X1(s)/F1(s) e X2(s)/F1(s).
Resp.: 
22
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
)kcs()kcssm)(kcssm()s( onde
)s(
kcs
)s(F
)s(X)s(G
)s(
kcssm
)s(F
)s(X)s(G
+−++++=∆
∆
+==
∆
++==