2016 1 MTM5245 Gabarito Lista 07

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MTM 5245 - A´lgebra Linear - Gabarito Lista de Exercı´cios 07
Operac¸o˜es com transformac¸o˜es lineares e matriz associada a uma
transformac¸a˜o linear.
1. F +H : R2 −→ R2, (F +H)(x, y) = (x, x+ 2y);
F ◦G : R2 −→ R2, F ◦G(x, y) = (y, 2x+ 2y);
G ◦ (H + F ) : R2 −→ R2, G ◦ (H + F )(x, y) = (x+ 2y, 2x+ 2y);
G ◦ 3F : R2 −→ R2, G ◦ 3F (x, y) = (6y, 3x+ 6y);
G ◦ F ◦H : R2 −→ R2, G ◦ F ◦H(x, y) = (2x, 2y).
2. (a) F ◦G : R3 −→ R3, F ◦G(x, y, z) = (x+ 3y − z, x+ y + z, x+ 2z);
(b) N(F ◦G) = {(−2z, z, z) | z ∈ R} e Im(G ◦ F ) = {x(1, 0, 1) + y(3, 1, 1) |x, y ∈ R};
(c) Base do nu´cleo de F ◦G: {(−2, 1, 1)} e dim(N(F ◦G)) = 1;
Base da imagem de G ◦ F : {(1, 0, 1), (3, 1, 1)} e dim(Im(G ◦ F )) = 2.
3. F ◦G ◦ F : R2 −→ R3, F ◦G ◦ F (x, y) = (0,−x,−6x+ 3y).
4. [T ]AB =
[ −2 −3 0
3 3 2
]
.
5. Considere C = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
[T ]AB =
 3 05 2
−3 3
 e [T ]AC =
 −3 32 5
−2 −2
.
6. Considere C = {(1, 0), (0, 1)} e D = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
T (x, y) = (8x+ 18y, 6x+ 11y,−2x− 4y) e [T ]CD =
 8 186 11
−2 −4
.
7. v = (2, 0).
8. (11,−13, 2).
9. (a) T (x, y, z) = (−2y + z,−x+ y);
(b) Im(T ) = [(0,−1), (−2, 1), (1, 0)] e uma base da imagem e´: {(0,−1), (1, 0)};
(c) N(T ) = [(1, 1, 2)] e uma base do nu´cleo e´: {(1, 1, 2)};
(d) T na˜o e´ injetora, T e´ sobrejetora e T na˜o e´ um isomorfismo.
10. (a) [T (1, 1)]B =
[
2
−1
]
e [T (3, 2)]B =
[
1
3
]
;
(b) T (1, 1) = (−1, 0) e T (3, 2) = (10, 7);
(c) T (x, y) = (12x− 13y, 7x− 7y).
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