0 - Álgebra Linear - Resumo da 2ª unidade

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Resumo da 2ª unidade 
(Álgebra Linear)!
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Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo:
 
 
Este sistema pode ser representado através de uma representação matricial da forma: A.x = b
onde:
A – matriz de coeficientes de ordem 
x – vetor de incógnitas de ordem 
b – vetor dos termos independentes
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 Uma solução do sistema é uma ênupla de Números reais. (X1,X2, . . . Xn), que quando substituirmos a ênupla nas equações, resulta em equações verdadeiras
Método da eliminação Gaussiana: usar operações elementares a Matriz ampliada do Sistema(é a matriz dos coeficientes com a dos termos independentes)
 Depois que fizermos as operações obtemos uma matriz triangular superior.
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 SOLUÇÕES DE UM SISTEMA:
Vazio: quando você resolver e chegar em algum absurdo. Tipo: quando a solução X + Y = 1, for impossível
 X + Y = 2
Unitário: quando você resolver, e chegar em uma solução só. Tipo: x + 0 = 1 
 0+ y = 2
 Infinitas Soluções: como o nome ta dizendo, quando tem INFINITOS resultados possíveis.
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SISTEMA HOMOGENIO ASSOCIADO: o vetor dos termos independentes é nulo:
A .X = 0
Um Sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. 
eu disse pelo menos, eu não disse SOMENTE UMA NÃO. Admite pelo menos a solução trivial(vetor nulo).
OLHA: se o sistema homogêneo admite solução trivial, as soluções não triviais e seus respectivos múltiplos também serão soluções do Sistema. Daí a gente tira que:
Se o sistema admite solução trivial:
1) ou só tem o vetor nulo como solução, 
2) ou tem infinitas soluções!
GENERALIZANDO: SE O SISTEMA ADMITE MAIS DE UMA SOLUÇAO, ENTÃO SÃO INFINITAS!
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Forma escada:
 - É única
- Você vai escalonar até chegar na forma mais simples possível.... Exemplo de forma escada numa matriz 4X4:
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Outro exemplo de matriz na forma escada:
ANOTA AI Ó:
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DEFINIMOS:
POSTO OU CARACTERISTICA DE A: o numero de linhas não nulas de M
NULIDADE OU GRAU DE LIBERDADE DE A: n – posto(A)
SÓ LEMBRANDO:
Essa matriz M é a forma escada da matriz AMPLIADA!
Esse n ai, nada mais é do que o numero de incógnitas, ou seja, o numero de colunas de A.
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Seja A uma matriz mXn. Seja M a forma escada da “A”
ATENÇÃO:
POSTO = n  Possível e determinado
CLARO: se tu tem tantas linhas quantas forem as incógnitas, tu pode muito bem determinar as soluções.
ATENÇÃO:
POSTO < n  Possível e indeterminado
Se tu tem menos linhas do que incógnitas, como tu vai dizer quem são as soluções? Não da né? Mas quer dizer que não tem solução? NÃO.
Só quer dizer que você não sabe quais são elas, por que tem infinitas possibilidades certo?
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PRESTA ATENÇÃO: Se o sistema é POSSIVEL , NÃO quer dizer que ele tem solução única não. Quer dizer que tu pode determinar se ele tem solução única ou se tem infinitas!
SISTEMA SEM SOLUÇÃO ou IMPOSSÍVEL:
Posto(A) ≠ ou < Posto(A|b)
Mais ou menos isso:
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Note que a minha linha que contem o Z esta zerada. É como se tivesse: 0.z = 10!
Isso é possível? NAO
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SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Impossível
Possível
Não tem solução
Solução
Única 
Infinitas
Soluções
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(x,y,z) = (5,0,4) + t(-1,1,0)
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QUESTÃO DE MINI-PROVA
Exemplo 1:
SISTEMAS EQUIVALENTES:
Dois Sistemas são equivalentes, se possuem a mesma solução geral
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Resposta :.Exemplo 1
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Resposta :.Exemplo 1
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Trás ela pra forma escada
 novamente e a inversa é a
Matriz que você encontrar 
Do lado direito
1) ela só pode ser invertível se for quadrada e também se o determinante for diferente de ZERO.
ps:. O determinante da inversa da matriz A = 1/determiante de A
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Equações lineares degeneradas...
São equações que possuem todos os coeficientes nulos
Claro que por consequência, para essas equações terem solução, o termo independente tem que ser zero.
Por sinal , vão existir infinitas soluções!
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QUESTÃO DE MINI-PROVA
Exemplo 2:
DESCONSIDEREM
ESSA QUESTAO!
Silvio disse que tem um pro no enunciado. 
E não , ele não disse qual era!
QUESTÕES EXTRA
Algumas questões da prova de 2009.2
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QUESTÃO DE PROVA 2009.2 (questão 7)
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Resp...
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QUESTÃO DE PROVA 2009.2 (questão 3)
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QUESTÃO DE PROVA 2009.2 (questão 4)
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Resp...
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Resp...
SÓ PRA exercitar mais um pouquinho
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3) Calcular a inversa de:
1) determine a forma canônica reduzida, ou seja, a forma escada da matriz:
2) classifique o sistema abaixo é possível, se for, diga as suas soluções.
Tentem fazer antes de olhar o gabarito no próximo Slide
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1) 
2) 
 possível e determinado!
3)