Prova 2 de Cálculo I - (9)

Prévia do material em texto

UFPE – CCEN – Departamento de Matema´tica
Ca´lculo I, 20 Semestre de 2006.
20Exerc´ıcio Escolar
Nome leg´ıvel –
ASSINATURA –
OBS: Verifique se seu caderno de resposta tem treˆs folhas. Na˜o e´ permitido o uso de
ma´quina de calcular. Entender o enunciado das questo˜es e´ parte integral da prova; os
fiscais na˜o dara˜o informac¸o˜es complementares. Nesta prova, tg denota a func¸a˜o tangente
e arcsen(x) denota a func¸a˜o inversa de sen(x).
1.(2,0) Considere a curva determinada pela equac¸a˜o
e(5y) + y2 − x2 = 0.
Determine a equac¸a˜o da reta tangente a curva no ponto P = (1, 0).
2.(2,5) Dentre todos os retaˆngulos que teˆm dois lados adjacentes sobre os eixos coordena-
dos, um ve´rtice na origem e um outro ve´rtice na parte do gra´fico de f(x) = e−3x que esta´
no primeiro quadrante (x ≥ 0), determine as dimenso˜es do retaˆngulo de a´rea ma´xima.
Justifique.
3.(1,5) Calcule os limites abaixo. Justifique suas respostas.
(a) lim
x→0
tg(3x)
arcsen(x)
(b) lim
x→0+
x ln(5sen(x))
4. Seja f(x) = −x
4
4
+ x3 − x2 + 3.
(a) (0,4) Analise a existeˆncia de ass´ıntotas e determine-as caso existam. Justifique sua
resposta.
(b) (1,2) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f e os pontos de
ma´ximo e mı´nimo locais.
(c) (1,2) Estude a concavidade do gra´fico e determine os pontos de inflexa˜o.
(d) (1,2) Use (a)-(c) para esboc¸ar o gra´fico da func¸a˜o, marcando no mesmo o(s) ponto(s)
de ma´ximo e de mı´nimo com uma bola ◦ e o(s) ponto(s) de inflexa˜o com uma cruz
x.