FLEXÃO NORMAL

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FLEXÃO NORMAL - REMA II
Professor M.Sc. Eder Chaveiro Alves
INTRODUÇÃO
 Considere-se a viga a simplesmente apoiada, submetidas a duas forças concentradas no mesmo plano xy que contém o eixo da barra
INTRODUÇÃO
 Essas forças produzem deslocamentos nos diversos pontos do eixo da viga , dando origem a tensões internas. 
 A parte central da viga está sujeita somente ao momento fletor M=P.a , sem esforço cortante. Neste trecho diz-se que a solicitação é de flexão pura . 
 Nas seções da viga onde atuam simultaneamente momento fletor e força cortante diz-se que há flexão simples . 
INTRODUÇÃO
 Na dedução das expressões das tensões normais decorrentes da flexão, admitem-se as seguintes hipóteses: 
“as seções planas permanecem planas após a deformação” (hipótese simplificadora atribuída a Bernouille); 
supõem-se vigas prismáticas , ou seja, barra de eixo reto e de mesma seção transversal; 
admite-se que o material obedeça à lei de Hooke e que os módulos de elasticidade à tração e à compressão sejam iguais. 
INTRODUÇÃO
 Para o estudo da distribuição das tensões normais decorrentes da flexão pura devem-se considerar as deformações que ocorrerão na viga no mesmo plano onde atua o carregamento. 
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
 A ação do Momento Fletor faz com que o eixo da viga se curve, permanecendo as seções transversais mm e pq planas e normais ao eixo longitudinal. 
 
 
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
 A simetria do carregamento exige que todos os elementos da viga se deformem identicamente, o que só será possível se as seções transversais permanecerem planas. 
 
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
 As fibras inferiores serão alongadas, fica ndo sujeitas a esforços de tração e as fibras superiores serão encurtadas, ficando sujeitas a esforços de compressão.
 
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
 Há uma superfície na qual as fibras longitudinais não sofrem variação de comprimento, chamada superfície neutra da viga. Nesta superfície não atuam tensões.
 
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
 O ponto 0 é o centro da curvatura do eixo longitudinal. O raio de curvatura é indicado por r . Da geometria vem: 
 
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
 Por hipótese, as deformações são suficientemente pequenas, de tal modo que em um ponto qualquer pertencente ao eixo neutro, um ângulo inicialmente reto antes da deformação (formado por uma fibra longitudinal e a seção transversal) continua sendo reto depois da deformação.
 
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
Semelhança de triângulos
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
Semelhança de triângulos
 
Esta equação mostra que as deformações longitudinais (εx) são diretamente proporcionais à curvatura e à distância y da Linha Neutra. 
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
 Quando a viga é de material elástico linear, com diagrama tensão – deformação linear (material que obedece à Lei de Hooke), tem-se, σ = E ε. Portanto, as tensões normais na viga são: 
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
 Observa-se que a tensão σx é proporcional à distância da Linha Neutra (hipótese de Navier). As tensões variam linearmente com a distância y do eixo neutro.
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
 Como não há força normal atuando na seção, a integral de σx dA sobre a área total da seção tran -sversal deve anular-se, o que dá: 
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
 Como a curvatura e o módulo de elasticidade (E) são constantes, vem (para vigas sob flexão pura):
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
 Se o Momento Estático Ms=∫ ydA = 0, como se vê nas expressões acima, significa que o eixo neutro passa pelo Centro de Gravidade da seção transversal. 
 Os eixos y e z também tem origem no CG da seção transversal.
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
 O momento da força elementar σx dA em relação ao eixo neutro é σx ydA . A integral de todos esses momentos elementares sobre a área da seção transversal deve ser igual ao momento fletor M , ou seja: 
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
 Assim, a equação pode tomar a seguinte forma:
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
 Nesta equação, M é positivo quando produz compressão na viga e y é positivo quando o sentido é para baixo.
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
 As tensões máximas de tração e de compressão ocorrerão nos pontos mais afastados do eixo neutro. Designando os afastamentos das fibras extremas por yinf e ysup,respectivamente, tem-se:
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
 Seção retangular
 Seção circular
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
Deformação e curvatura da barra submetida a flexão
A deformação da barra submetida à flexão é medida pela curvatura da superfície neutra. A curvatura é definida como o inverso do raio de curvatura ρ, e pode ser calculada resolvendo a equação:
TENSÕES NORMAIS NA FLEXÃO
Deformação e curvatura da barra submetida a flexão
Mas em regime elástico, temos .
Resovendo, temos:
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO
 Considere a seção transversal de uma viga carregada transversalmente por uma força cortante V como apresentado
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO
 Justificativa do surgimento das tensões de cisalhamento longitudinais. 
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO
 Fórmula da tensão de cisalhamento em vigas 
 
 Considere a viga carregada transversalmente. 
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO
 Considerando somente as forças axiais atuando nas seções transversais de um elemento de viga de comprimento dx, temos:
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO
 Impondo o equilíbrio das forças atuando na direção axial x, tem-se:
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO
Substituindo a tensão normal de flex ão:
Simplificando e considerando que o momento interno M e o momento de inércia I são constantes na seção: 
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO
Isolando a tensão de cisalhamento, tem-se:
 
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO
Como e é o primeiro 
momento da área A’ com relação ao eixo neutro, ou seja
 
 . Então:
 
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO
Logo, a tensão de cisalhamento em uma seção num ponto distante y’ do eixo neutro é determinada dada por:
 
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO
Restrições: 
 Material trabalha dentro do regime elástico-linear, 
Relação espessura/comprimento da viga pequena (hipótese fundamental da teoria de flexão). 
Módulo de elasticidade deve ser o mesmo em tração e em compressão.
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO
Distribuição da tensão de cisalhamento em vigas
 
Considere a viga de seção transversal retangular de altura h e largura b, submetida à um esforço cortante V: 
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO
O primeiro momento da área A’, Q, pode ser determinado como:
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO
O primeiro momento da área A’, Q, pode ser determinado como:
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO
 Nessa fórmula, V é a força cortante, t é a largura da seção da fibra estudada, Q é o momento estático da área sombreada em relação à linha neutra cc’ e I é o momento de inércia da seção em relação a cc’.
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO
A distribuição da tensão de cisalhamento é parabólica. 
 A tensão de cisalhamento é nula nas extremidades ( h/2, - h/2). 
A tensão de cisalhamento é máxima no eixo neutro (y = 0).
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO
FLUXO DE CISALHAMENTO
 A união das diferentes partes do membro é feita através de cola, pregos, parafusos, etc. 
 Para o projeto destes elementos é necessário o conhecimento da força que deve ser resistida por cada um destes elementos . Seja a viga
com o carregamento abaixo, formada pela união de dois elementos: 
FLUXO DE CISALHAMENTO
FLUXO DE CISALHAMENTO
Da eq. abaixo, que representa o equilíbrio das forças na direção x, tem-se a força de cisalhamento atuante na interface entre dois elementos: 
FLUXO DE CISALHAMENTO
Sabendo que e o fluxo de 
cisalhamento q é dado por:
FLUXO DE CISALHAMENTO
FLUXO DE CISALHAMENTO