_ 08_MecMat_ FLEXÃO

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• Conceitos de Flexão
• Flexão Pura
• Flexão Simples
MECÂNICA DOS 
MATERIAIS
Aula 8
- Momento Torçor – Torque (T) - Momento Fletor (M)
Plano do momento é paralelo ao 
plano da seção transversal
Plano do momento é normal ao 
plano da seção transversal
Flexão - Introdução
- As Forças e os Momentos Fletores são coplanares
(plano a).
- As Forças tem linhas de ação perpendiculares ao eixo
longitudinal da barra.
- O plano que contém as Forças e os Momentos
Fletores (plano a), também contém o eixo longitudinal
da barra.
Condições:
Flexão - Introdução
Configuração Deformada: parte da barra é comprimida e parte tracionada. Invertendo-se o sentido
dos momentos fletores, inverte-se também a região comprimida e a tracionada.
Flexão - Introdução
Superfície Neutra: é o conjunto de fibras (pontos) ou lugar geométrico da barra, onde não ocorre
tração nem compressão. Nessa superfície as tensões e as deformações são nulas.
Flexão - Introdução
Linha Neutra (LN): é a interseção do plano da superfície neutra com o plano da seção transversal
da barra.
Flexão - Introdução
Linha Elástica: é o eixo longitudinal deformado.
Flexão - Introdução
Flexão Pura: ocorre quando o único esforço atuante na barra é o Momento Fletor (M), ou seja, a
Força Cortante é nula (V).
Convenção:
- Momento positivo (+): traciona as fibras
longitudinais inferiores.
- Momento negativo (-): traciona as fibras
longitudinais superiores.
Flexão Pura
Flexão Pura
Outros casos de flexão
Diagrama de corpo livre: Observa-se que ocorre Flexão Pura em uma dada seção. Conjugados de
Momento fletor.
- Os casos de flexão pura não são muito comuns nas aplicações práticas, no entanto as conclusões e
deduções que fizermos aqui podem ser aplicadas à Flexão Simples e à Flexão Composta.
Flexão Pura
Conjugados M e M’ (atuam no plano de simetria):
- A barra mantém a simetria em relação ao plano.
- A barra flexiona-se uniformemente de modo a formar um arco de
circunferência (M é o mesmo em qualquer seção).
- Após a deformação, as seções transversais mantém-se planas e
normais ao eixo longitudinal deformado (linha elástica) – Hipótese de
Bernoulli.
- As fibras superiores e inferiores se comprimem (encurtam) ou
tracionam (alongam), conforme o sentido do momento fletor aplicado.
- Na superfície neutra as fibras não se deformam.
- A superfície neutra (linha neutra) é a referência para determinação das
tensões e deformações nos demais pontos da barra (seção transversal).
Deformações em uma barra simétrica em Flexão Pura
Flexão Pura – Deformações
( )
 y
dx
d
-
dx
.d y- .d 
 
JK
JK - K'J'
 ε
x
θρθρθ
=
−
==
D’E’ = DE = JK = dx = dq.r
dx
d
 
ρ
1 θ
=
 y
ρ
E
- 
x
σ =Lei de Navier
(encurtamento)
sinal negativo
- Lei de Hooke: s = E.ε (regime elástico)
Conclui-se que a deformação longitudinal varia
linearmente em relação à superfície neutra (y), ao
longo de toda barra.
 y
ρ
1
- ε
x
=
Flexão Pura – Deformações - Lei de Navier
Deformações em uma barra simétrica em Flexão Pura
 y
ρ
E
- 
x
σ =
Conclui-se:
- A distribuição das tensões é linear.
- As tensões são nulas na superfície neutra (linha 
neutra), y=0. 
- As tensões são máximas (tração e compressão) na 
superfície da barra (topo e base), y = c.
- Função da curvatura da superfície neutra (1/r).
Tensões e Deformações no Regime Elástico (σmáx ≤ σesc)
Flexão Pura – Tensões e Deformações 
- Determinação da superfície neutra: Condição de Equilíbrio



→=
=−=−
−=
=
dA y Q
0 dA y 
ρ
E
 0; dA y 
ρ
E
 y
ρ
E
 σ :Navier de Lei
0 dA . 
x
σ
LN
x
 
0 Fx =
Momento Estático da área “A” em relação à linha neutra “LN”
0 y z LN 0 QLN =→=
“ Linha neutra (LN) passa pelo centro geométrico (CG) da seção (A).”
(σmáx ≤ σesc)
Flexão Pura – Tensões e Deformações 
Tensões e Deformações no Regime Elástico
- Determinação da tensão normal: Condição de Equilíbrio
Momento de Inércia de área “A” em relação à linha neutra “LN”
0 Mz =



→=
==
=
=
dA y 
dAy 
ρ
E
 dA.y . y 
ρ
E
 M
 y
ρ
E
- σ :Navier de Lei
 dA ) 
x
(-y.σ
2
2
x
z
z
 I
ZM
ZI . E
M
 
ρ
1 Z= Curvatura da Superfície Neutra
(deformação da barra sujeita à flexão)
;
I . Z
ρ
 E
MZ =
Tensões e Deformações no Regime Elástico
Flexão Pura – Tensões e Deformações 
- Curvatura da superfície neutra:
z
z
z
M
 
ρ
E
 ;
 E
M
 
ρ
1 z
II .
== y
ρ
E
- σx =- Lei de Navier:
ZI
y . M
 σ Zx −=
Tensão normal devido à Flexão Pura:
Fórmula da Flexão no regime elástico
LNz II =
LNI
y . M
 σ
z
x =
Flexão Pura – Tensões e Deformações 
Tensões e Deformações no Regime Elástico
4.1) Sabendo-se que o momento mostrado atua no plano vertical, determinar a tensão no: (a) ponto
A; (b) ponto B. Resp: a) -61,1 MPa; b) 91,7 MPa.
Exercícios
4.2) Sabendo-se que o momento mostrado atua no plano vertical, determinar a tensão no: (a)
ponto A; (b) ponto B.
Exercícios
4.4) A viga de aço mostrada é feita de um aço com σe = 250 MPa e σu = 400 MPa. Usando um
coeficiente de segurança 2,5, determinar o maior momento que pode ser aplicado à viga, quando
ela se encurva em torno do eixo z. Resp: M= 129,6 kN.m.
Exercícios
4.6) Uma viga de seção transversal, como indicado, é extrudada de uma liga de alumínio com σe
= 310 MPa e σu = 480 MPa. Usando um coeficiente de segurança 3,0, determinar o maior
momento que pode ser aplicado à viga, quando ela se encurva em torno do eixo z.
Exercícios
4.8) Duas forças verticais são aplicadas a uma viga de seção transversal mostrada. Determinar as
máximas tensões de tração e compressão na porção BC da viga. Resp: +73,2 MPa; -102,4 MPa.
Exercícios
4.9 e 4.10) Duas forças verticais são aplicadas a uma viga de seção transversal mostrada.
Determinar as máximas tensões de tração e compressão na porção BC da viga. Resp 4.9: σt,máx =
+121,6 MPa; σmáx = -143 MPa.
Fig. 4.9 Fig. 4.10
Exercícios
4.18 e 4.19) Sabendo-se que, para a viga extrudada mostrada na figura, a tensão admissível é de
120 MPa, à tração, e 150 MPa à compressão, determinar o maior momento M que pode ser
aplicado.
Resp: 4.18) M= 177,9 kN.m; 4.19) M= 20,9 kN.m.
Fig. 4.18 Fig. 4.19
Exercícios
4.20) Um momento de 3,5 kN.m é aplicado à barra de aço mostrada. Pede-se: (a) sendo que o
momento encurva a barra em torno do eixo horizontal, determinar a máxima tensão e o raio de
curvatura; (b) resolver a parte “a”, considerando que a barra é encurvada em torno do eixo
vertical pelo momento de 3,5 kN.m. Usar E = 200 GPa. Resp: a) 83 MPa; 90,4 m; b) 138,3 MPa; 32,5 m.
Exercícios
4.24) Um momento de 22,6 kN.m é aplicado ao perfil de aço laminado W 200x46,1 mostrado.
Pede-se: (a) sendo que o momento encurva a viga em torno de um eixo horizontal, determinar a
máxima tensão; (b) resolver a parte “a”, considerando que a viga é encurvada em torno do eixo
vertical, pelo momento de 22,6 kN.m.
Exercícios