Matriz, sistema linear e determinante

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Matriz, Sistema Linear e Determinante 
 
1.0 Sistema de Equações Lineares 
 
Equação linear de n variáveis x1, x2, ..., xn é uma equação que pode ser expressa na forma a1x1 
+ a2x2 + ... + anxn = b, onde a1, a2, ..., an são constantes não todas nulas e b mais uma constante. 
Se b = 0, a equação é denominada equação linear homogênea. 
Uma coleção finita de equações lineares é denominada um sistema de equações lineares, ou 
sistema linear. Suas variáveis são chamadas de incógnitas. 
Solução de um sistema linear nas incógnitas x1, x2, ..., xn é uma sequência de n números s1, s2, 
..., sn, tais que, se substituídas nos lugares das incógnitas, respectivamente, tornam verdadeira 
cada equação do sistema. 
O conjunto de soluções de um sistema linear é denominado conjunto-solução. 
Um sistema linear é consistente se houver pelo menos 1 solução e inconsistente se não existir 
solução. 
 
Teorema 1: 
Cada sistema de equações lineares tem nenhuma, uma ou uma infinidade de soluções, não 
havendo outras possibilidades. 
 
Operações elementares sobre as linhas: 
 Multiplicar toda uma linha por uma constante não-nula. 
 Trocar 2 linhas de posição. 
 Somar um múltiplo de uma linha a outra linha. 
 
 
 
 
 
 
 
2.0 Resolução de Sistemas Lineares usando 
Redução por Linhas 
 
Forma escalonada reduzida entre linhas (FERL): 
 Se a linha não é totalmente constituída de zeros, então o primeiro número não-nulo na 
linha é 1, que denominamos de pivô. 
 Se existem linhas totalmente constituídas por zeros, então elas estão agrupadas na base 
da matriz. 
 Em 2 linhas quaisquer que não são totalmente agrupadas por zeros, o pivô da linha inferior 
ocorre mais a direita do que o pivô da linha superior. 
Se R é a FERL de uma matriz A de tamanho nxn, então R tem uma linha de zeros ou R é 
a matriz identidade In. 
 
Eliminação de Gauss-Jordan: 
 Etapa para frente: introduzem-se os zeros abaixo dos pivôs. 
 Etapa para trás: introduzem-se os zeros acima dos pivôs. 
Se somente usarmos a primeira etapa, o procedimento é chamado eliminação gaussiniana / de 
Gauss. 
 
Pivotamento parcial: 
Nas eliminações de Gauss-Jordan e de Gauss é procedimento padrão efetuar uma troca de 
linhas a cada passo para colocar a entrada de maior valor absoluto na posição de pivô antes de 
introduzir o pivô. 
 
Retrossubstituição: 
Cada equação correspondente à forma escalonada por linhas é, sistematicamente, substituída 
na equação acima dela, começando da base e avançando para cima. 
 
Solução trivial: 
Um sistema homogêneo é um conjunto de equações homogêneas em que se observa que x1 = 
x2 = ... = xn = 0, sendo esta uma solução trivial. Qualquer outra solução é denominada solução 
não-trivial. 
 
 
Teorema 2: 
Um sistema linear homogêneo possui somente a solução trivial ou tem uma infinidade de 
soluções, não havendo outras possibilidades. 
 
Teorema 3: 
Um sistema linear homogêneo com mais incógnitas do que equações possui uma infinidade de 
soluções. 
 
3.0 Operações com Matrizes 
 
Duas matrizes são definidas como iguais se têm o mesmo tamanho e suas entradas são 
correspondentes. 
 
Se A é uma matriz quadrada e se existe uma matriz B de mesmo tamanho que A tal que AB = 
BA = I, dizemos que A é invertível / não-singular e que B é uma inversa. 
A e B são inversas uma da outra, pois AB = BA. 
 
Teorema 4: 
Se A é uma matriz invertível e B e C são ambas inversas de A então B = C, ou seja, uma matriz 
invertível tem uma única inversa. 
 
Teorema 5: 
Se A é invertível e n é um número inteiro não-negativo, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Matrizes elementares: 
Uma matriz que resulta de uma única operação elementar sobre linhas de uma matriz 
identidade. 
São sempre quadradas. 
 
Teorema 6: 
Uma matriz elementar é invertível e a inversa também é uma matriz elementar. 
 
Teorema 7: 
Se A é uma matriz nxn, então as seguintes afirmações são equivalentes: 
 A FERL de A é In. 
 A pode ser expresso como um produto de matrizes elementares. 
 A é invertível. 
 
Algoritmo de Inversão: 
Para encontrar a inversa de uma matriz invertível A, encontre a sequência de operações 
elementares que reduz A a I e então efetue a mesma sequência de operações em I para obter 
A-1. 
 
Maneira de Executar as tarefas simultaneamente: 
 
 
 
 
 
Se I não aparecer, A não é invertível. 
Se obtivermos uma linha de zeros do lado esquerdo, A não é invertível. 
 
Teorema 8: 
Se Ax = B é um sistema linear de n equações a n incógnitas e se a matriz de coeficientes A é 
invertível, então o sistema tem uma única solução, a saber, x = A-1B. 
4.0 Determinantes 
 
Produto elementar de uma matriz A de tamanho mxn é o produto de n entradas de A tais que 
não há 2 delas da mesma linha ou da mesma coluna. Assim, se A = [aij], então cada produto 
elementar pode ser expresso na forma a1j1a2j2...anjn onde os índices de coluna constituem uma 
permutação {j1, j2, ..., jn} dos inteiros 1 à n, e os índices de linha estão ordenados naturalmente. 
A permutação é par ou ímpar se o número mínimo de trocas que são necessárias para colocar 
a permutação em ordem natural é par ou ímpar. Se a permutação for par, o sinal dela é 
positivo, se ímpar, negativo. 
 
O determinante de uma matriz quadrada A é denotado por det(A) e definido como a soma de 
todos os produtos elementares com sinal de A: 
 
 
 
O número de produtos elementares com sinal num determinante nxn é n!. 
 
Teorema 9: 
Se A é uma matriz quadrada com linha ou coluna de zeros, então det(A) = 0. 
 
Teorema 10: 
Se A é uma matriz triangular então det(A) é o produto das entradas na diagonal principal. 
 
Se A é uma matriz quadrada, então o menor da entrada aij é denotado por Mij e definido como 
o determinante da submatriz que sobra quando suprimimos de A a i-ésima linha e j-ésima 
coluna. O número Cij = (-1)
i+jMij é denominado cofator da entrada aij. 
 
 
 
 
 
Teorema 11: 
O determinante de uma matriz A de tamanho nxn pode ser calculado multiplicando as 
entradas de uma linha (ou coluna) qualquer pelos seus cofatores e somando os produtos assim 
obtidos, ou seja, para cada 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ n temos 
 
 
 
 
5.0 Propriedades dos Determinantes 
 
Se A é uma matriz nxn: 
 det(A) = det(AT) 
 Se B é uma matriz que resulta quando uma única linha ou coluna de A é multiplicada por K, 
então det(B) = Kdet(A). 
 Se B é uma matriz que resulta quando 2 linhas ou colunas de A são trocadas, então 
det(B) = –det(A). 
 Se A tem 2 linhas / colunas iguais, det(A) = 0. 
 Se A tem 2 linhas / colunas proporcionais, det(A) = 0. 
 Se A e B são matriz quadradas do mesmo tamanho, então det (AB) = det(A).det(B). 
 det(An) = [det(A)]n. 
 Se A é invertível, então det(A-1) = 1/det(A). 
 
5.1 Regra de Cramer 
 
Teorema 12: 
Se as entradas de qualquer linha (ou coluna) de uma matriz quadrada são multiplicadas pelos 
co-fatores das entradas correspondentes de uma linha / coluna diferente, então a soma dos 
produtos é zero. 
 
Se A é uma matriz nxn e Cij é o cofator de aij, então a matriz 
 
 
 
 
 
 
é denominada matriz de cofatores de A. Sua transposta chama-se adjunta da matriz A, 
denominada por adj(A). 
 
Teorema 13: 
Se A é invertível, então 
 
 
 
 
 
Teorema 14 – Regra de Cramer: 
Se Ax = b é um sistema linear de n equaçõesa n incógnitas, então o sistema tem uma 
solução única se, e somente se, det(A) ≠ 0, caso que a solução é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde Aj é a matriz que resulta quando a j-ésima coluna de A é substituída por b. 
 
6.0 Provas 
 
PROVA 1 – SE DET(A) ≠ 0, ENTÃO A É INVERTÍVEL. 
Prove que se ad – bc ≠ 0 então a FERL de 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L1 → L1 
L2 → aL2 – cL1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L1 → (ad-bc)L1 – bL2 
L2 → L2 
 
 
 
 
 
 
L1 → L1/a(ad-bc) 
L2 → L2/(ad-bc) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROVA 2 – PROVAR TEOREMA 4. 
Prove que se B = A-1 e C = A-1, então B = C. 
 
BA = I 
(BA)C = IC → Como IC = C, temos: 
(BA)C = C → Lei da associedade da multiplicação: 
B(AC) = C → Como AC = I, temos: 
BI = C → Como BI = B, temos: 
B = C 
 
PROVA 3 – A É UMA MATRIZ QUADRADA INVERTÍVEL SE, E SOMENTE SE, DET(A) ≠ 0. 
 
Primeiro vamos verificar que det(A) e det(R) são ambos nulos ou não-nulos, sendo R a matriz 
na FERL de A. 
Veremos os efeitos das operações elementares sobre o determinante: 
 Se multiplicarmos toda uma linha por uma constante não-nula K, o determinante dessa 
nova matriz será K.det(A). 
 Se trocarmos 2 linhas de posição, o determinante dessa nova matriz será –det(A). 
 Se somarmos um múltiplo de uma linha a outra linha o determinante dessa nova matriz 
elementar não se altera. 
Nos 3 casos, os determinantes antes e depois das aplicações das operações elementares são 
ambas nulas ou não-nulas. 
Como R é feito por uma série de operações elementares em A, temos que se det(A) ≠ 0, 
det(R) ≠ 0 ou se det(A) = 0, det(R) = 0. 
Se R é a FERL da matriz Anxn, então R tem uma linha de zeros (det(R) = 0) ou R é uma matriz 
identidade In (det(R) = 1 ≠ 0). Para que A seja invertível, R = I. Se det (A) ≠ 0, det(R) ≠ 0; isso 
implica que R = I, portanto A é invertível. Se det(A) = 0, então det(R) = 0; isso implica que R ≠ I, 
portanto A não é invertível.