Apostila - Dinâmica do ponto material

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DINÂMICA DO PONTO MATERIAL 
 
1.0 Conceitos 
 
Forças se comportam como vetores. 
Forças de Contato: Representam o resultado do contato físico entre dois corpos. 
Forças de Campo: Representam as forças que agem através do espaço vazio. 
Referencial Newtoniano: Os eixos de uma grandeza devem ter uma orientação constante em 
relação às estrelas e sua origem deve estar fixa no Sol ou deslocar-se com velocidade 
constante em relação a ele. 
Massa: Propriedade intrínseca de um corpo, independentemente do ambiente ao redor do 
corpo e do método utilizado para medi-la. Também é uma grandeza escalar. 
 
Princípio de Transmissibilidade: As condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo 
permanecerão inalteradas se uma força que atura num dado ponto do corpo rígido for 
substituída por outra de mesma intensidade, direção e sentido, mas que atua num ponto 
diferente, desde que as 2 forças tenham a mesma linha de ação. 
 
Lei Áurea da Mecânica: O que se ganha em força, perde-se em distância, ou seja, mesmo com 
a aplicação de uma máquina simples para alterar a força, o trabalho será mantido com uma 
alteração proporcional na distância. 
 
2.0 Leis de Newton 
 
2.1 Primeira Lei de Newton 
 
Explica o que acontece com o corpo quando não existe uma força agindo sobre ele. 
 
Na ausência de forças externas, um corpo em repouso permanece em repouso e um corpo em 
movimento permanece em movimento com velocidade constante. 
 
Em termos mais simples, quando não agem forças sobre um corpo, sua aceleração é nula. 
 
Lei da Inércia: A natureza de um corpo é de resistir a mudanças em seu movimento. 
 
Fundamentação da Segunda Lei de Newton: A velocidade não muda se nenhuma força age 
sobre um corpo; logo, se a força age, ocorre mudança de movimento, medida pela aceleração. 
Portanto: 
 
 
 
OBS.: A primeira lei de Newton não diz o que acontece com um corpo com força resultante 
nula, e sim, com ausência de força. Logo, a força não é aquilo que produz o movimento, e 
sim, o que causa mudança neste. 
 
 
 
 
 
2.2 Segunda Lei de Newton 
 
Explica o que acontece com o corpo quando existe uma força agindo sobre ele. 
 
Força Resultante: Soma vetorial de todas as forças externas (forças internas não são 
incluídas!) agindo sobre um corpo. 
 
2.2.1 Aceleração e Massa Constante 
 
Um ponto material submetido a uma força não nula adquire uma aceleração com módulo 
proporcional ao módulo da força e na mesma direção e sentido desta. 
 
O valor constante para a relação entre os módulos das forças e acelerações é chamado de 
massa do ponto material m. 
 
 
 
Unidade da força: Newton (kg.m/s²) 
 
Comprovação da Primeira Lei de Newton: Se a força resultante que atua sobre o ponto 
material for zero, a aceleração do ponto material também é zero. Logo, se o ponto material 
estiver inicialmente em repouso (v0 = 0) em relação a um certo sistema de referência 
newtoniano, ele permanecerá em repouso (v = 0); se o ponto material estiver inicialmente 
com velocidade v0, continuará a se mover com velocidade constante v0, numa mesma linha 
reta. 
 
2.2.2 Equilíbrio Dinâmico 
 
Rearranjando os termos da equação da força com aceleração constante, temos: 
 
 
 
O vetor –ma é chamado de vetor de inércia. O ponto material pode ser considerado em 
equilíbrio sob a ação das forças dadas e do vetor de inércia. 
O vetor de inércia mede a resistência oferecida pelos pontos materiais quando tentamos 
colocá-las em movimento ou quando tentamos mudar as condições de seus movimentos. 
Massa Inercial: medida de resistência de um corpo a uma mudança no movimento em 
resposta a uma força externa. 
 
2.2.3 Força e Quantidade de Movimento 
 
Substituindo a aceleração pela derivada dv/dt, temos: 
 
 
 
 
 
 
Como a massa é considerada constante, ela pode “entrar” na derivada sem qualquer 
alteração: 
 
 
 
 
 
 
A equação mostra que a resultante das forças que atuam num ponto material é igual à 
derivada temporal (em relação ao tempo) da quantidade de movimento desse ponto. Este foi 
o enunciado original de Newton: 
 
 
 
 
 
 
 
Princípio de Conservação da Quantidade de Movimento para um ponto material: Se a força 
resultante do ponto material é zero, a quantidade de movimento do ponto material permanece 
constante, tanto em módulo quanto em direção e sentido. 
 
2.2.4 Resumo de casos: 
 
Aceleração e massa constante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Velocidade constante: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso geral: Velocidade e massa variam: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.5 Força Gravitacional 
 
A força exercida pela Terra sobre um corpo é a força gravitacional Fg, que é direcionada par ao 
centro da Terra. Seu módulo é chamado de peso do corpo: 
 
 
 
A massa m agora faz um papel de determinar a intensidade da atração gravitacional entre o 
corpo e a Terra. Logo, m é chamado de massa gravitacional. 
Por conclusões experimentais na dinâmica newtoniana, diz-se que a massa inercial e a massa 
gravitacional têm o mesmo valor. 
 
2.3 Terceira Lei de Newton 
 
Se dois corpos se interagem, a força F1 exercida pelo corpo 1 sobre o corpo 2 é igual em 
módulo, mas oposta em direção à força F2 exercida pelo corpo 2 sobre o corpo 1. 
 
 
 
Força F1 que o corpo 1 exerce sobre o corpo 2: Força de ação. 
Força F2 que o corpo 2 exerce sobre o corpo 1: Força de reação. 
A força de ação é igual à força de reação em módulo, agem sobre corpos diferentes, e são do 
mesmo tipo. 
 
Forças são sempre interações entre dois corpos, ou seja, ela sempre ocorre em pares, e uma 
força única isolada não existe. 
 
Força Normal n: Força originária da superfície, sempre perpendicular a esta. Portanto, ela não 
é uma reação da força gravitacional, até porque estas duas forças são exercidas sobre corpos 
iguais. 
 
3.0 Torque 
 
O torque é definido a partir da componente perpendicular ao eixo de rotação da força 
aplicada sobre um objeto que é efetivamente utilizada para fazer ele girar em torno de um 
eixo ou ponto central, conhecido como ponto pivô ou ponto de rotação. A distância d do 
ponto pivô ao ponto onde atua uma força F é chamada braço do momento. Sua unidade é 
N.m. 
 
Simplificando, torque é uma grandeza vetorial que tende a rodar ou virar objetos. 
 
O torque é definido pela relação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela Segunda Lei de Newton, L’ = F e, considerando a distância do pivô constante, temos: 
 
 
 
 
 
Fazendo o módulo do produto vetorial, temos: 
 
 
 
Sendo θ o ângulo entre o braço do momento e a força aplicada. 
 
 
 
4.0 Centro de Massa 
 
O centro de massa de um objeto qualquer é na verdade uma posição definida 
matematicamente. Esta posição pode ser encontrada a partir da massa do objeto e da atuação 
de uma força externa resultante sobre ele. 
 
Podemos pensar no centro de massa de um corpo qualquer como sendo um ponto que se 
comporta como se simplesmente toda a massa do corpo estivesse concentrada nele. 
 
Considere um sistema de coordenadas com origem em O e um corpo qualquer feito de muitas 
partes menores cuja massa total é M. A posição de uma das partes em relação a O é dada pelo 
vetor ri e sua massa é mi, onde i representa o índice que define a partícula. A força resultante é 
definida por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O torque produzido pela gravidade em cada ponto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O toque produzido pela força resultante é:Igualando os torques, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Decompondo R, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para corpos de massas simétricas, o centro de gravidade de uma figura estará localizado sobre 
os eixos de simetria de um corpo, ou seja, no cruzamento ou interseção dos eixos de simetria. 
 
Elipse e Circunferência: CG = Centro. 
 
Quadriláteros: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo Equilátero: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo Isósceles: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Triângulo Retângulo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: Considerando um triângulo retângulo na posição como o da figura abaixo: 
 
 
 
5.0 Aplicações 
 
Quando um corpo está sendo puxado por uma corda ou fio ligado a ele, a corda exerce uma 
força sobre o corpo. O módulo dessa força é chamado de tensão na corda, tendo sua direção 
ao longo da corda, afastando-se do corpo. 
 
Partícula em Equilíbrio Translacional: Estão em equilíbrio translacional os corpos que estão 
em repouso ou em movimento com velocidade constante, logo: 
 
 
 
Partícula em Equilíbrio Rotacional: Estão em equilíbrio rotacional os corpos que possuírem um 
torque nulo: 
 
 
 
Partícula Acelerada: A força resultante não é nula e está agindo sobre, um corpo, logo este 
acelera. 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.1 Máquina Simples 
 
Toda máquina simples é um dispositivo, tecnicamente uma única peça, capaz de alterar uma 
força (seja em intensidade e/ou direção e/ou sentido) com o intuito de ajudar o homem a 
cumprir uma determinada tarefa com um mínimo de esforço muscular. De modo geral, o 
objetivo da máquina é multiplicar a intensidade de uma força. 
 
5.1.1 Vantagem Mecânica 
 
A vantagem mecânica (VM) de uma máquina simples traduz a 'economia' de força 
proporcionada pela máquina, isto é, o número pela qual a força aplicada pelo operador está 
sendo multiplicada. 
Sendo F a intensidade da força aplicada pelo operador e R a intensidade da força transmitida 
pela máquina à carga, temos: 
 
 
 
 
 
 
Obedecendo à Lei Áurea da Mecânica, a vantagem mecânica pode ser expressa em termos de 
deslocamentos: 
 
 
 
 
 
 
5.1.2 Planos Inclinados 
 
São superfícies planas, rígidas, inclinadas em relação à horizontal. 
 
Sendo P o peso da carga, para elevá-la diretamente, na vertical e, lentamente, o operador 
deveria aplicar uma força vertical de intensidade igual a P, ou seja, deveríamos ter Po = R para 
uma elevação vertical direta no deslocamento H. Se a carga for empurrada ao longo do plano 
inclinado, a intensidade da força F a ser aplicada, paralela ao plano inclinado, será menor do 
que R. Isto significa que, para cumprir a mesma tarefa de levantar lentamente uma carga a 
uma altura H, o plano inclinado permite uma 'economia de força' (F < P) e um 'acréscimo de 
distância' (L > H). 
 
 
 
 
 
 
 
A Aceleração com que o bloco desce o plano inclinado independe da sua massa m: 
 
 
 
 
 
 
 
5.1.3 Polias ou Roldanas 
 
Polia é um disco que pode girar em torno de um eixo que passa por seu centro. Além disso, na 
periferia desse disco existe um sulco, chamado gola, no qual passa uma corda contornando-o 
parcialmente. 
As polias classificam-se em fixas e móveis. Nas fixas os mancais de seus eixos permanecem em 
repouso em relação ao suporte onde foram fixados. Nas móveis tais mancais se movimentam 
juntamente com a carga que está sendo deslocada pela máquina. 
 
Na polia fixa a VM = 1, sua função é apenas a de inverter o sentido da força aplicada. Como 
conseqüência, temos que F = R e dF = dR. 
 
 
 
 
 
 
A polia móvel comporta-se como alavanca inter-resistente cujo braço da potência é o dobro do 
braço da resistência (VM = 2). Como conseqüência, temos que: 
 
 
 
 
 
 
Associação de Polias ou Talha Exponencial é o acréscimo sucessivo de polias móveis, em que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.1.4 Máquina de Atwood 
 
A Máquina de Atwood consiste em dois corpos com massas desiguais que são pendurados 
verticalmente por uma polia leve, sem atrito. Se considerarmos que o corpo 2 desce, temos: 
 
 
 
 
 
Como os fios são iguais, temos que T1 = T2 = T. Adicionando estas equações, T1 e T2 se 
cancelam: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo esta equação na primeira, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se m1 = m2, teríamos a = 0 e T = m1g = m2g. 
 
5.1.5 Alavancas 
 
São peças rígidas, tais capazes de girar ao redor de um ponto ou eixo, denominado fulcro ou 
ponto de apoio. Em uma das extremidades da alavanca o operador aplica seu esforço F e ela 
transfere para a outra extremidade (ou região) uma força R para a carga aí colocada. 
 
Alavancas do primeiro gênero ou interfixas: O fulcro localiza-se entre a força aplicada 
(potência) e a força transmitida (resistência). 
 
Alavancas do segundo gênero ou inter-resistentes: A força transmitida (resistência) localiza-se 
entre o fulcro e a força aplicada (potência). 
 
Alavancas do terceiro gênero ou interpotentes: A força aplicada (potência) localiza-se entre o 
fulcro e a força transmitida (resistência). 
 
 
 
As alavancas interpotentes têm VM < 1. Sob o ponto de vista mecânico isso seria uma 
desvantagem, pois é preciso usar um grande esforço para vencer uma pequena carga 
(resistência pequena). Entretanto, nessas situações em que "se perde em força", ganha-se em 
deslocamento (e portanto em velocidade). 
 
5.2 Forças de Atrito 
 
Quando duas superfícies estão em contato, sempre aparecem forças tangenciais, chamadas de 
forças de atrito, ao tentar mover uma em relação a outra. O atrito que acontece entre 
superfícies ásperas é chamado de atrito seco ou atrito de Coulomb. O atrito que acontece em 
superfícies fluidas é chamado de atrito fluido. 
A força que se opõe à tração F e que impede o corpo de se mover é chamada de força de atrito 
estático fae. Se o corpo está parado, esta força, por regra de equilíbrio, se equipara à F. Se esta 
cresce e o corpo permanece parado, quer dizer q fae cresce na mesma proporção. Quando o 
módulo de F é aumentado até a eminência do movimento, obtém-se FaeM (Máxima). Quando F 
o ultrapassa, o corpo move-se, enfrentando uma nova força de atrito, menor que faeM, a força 
de atrito cinético fak. A força resultante F – fak produz uma aceleração. Se F – fak = 0, a 
aceleração é nula, e o corpo move-se com velocidade constante. 
 
 
 
Forças aplicadas não tendem a mover o corpo sobre as superfícies de contato: 
 
 
 
Forças aplicadas tendem a mover o corpo mas não o coloca em movimento: 
 
 
 
Movimento iminente: 
 
 
 
Módulo da força de atrito dinâmico entre duas superfícies quaisquer: 
 
 
 
As constantes adimensionais μe e μk são chamados de coeficientes de atrito estático e 
dinâmico, respectivamente. Estes dependem da natureza das superfícies, e, geralmente, μe > 
μk. 
 
A direção da força de atrito é sempre oposta ao movimento real ou iminente do corpo em 
relação à superfície. 
 
5.3 Forças Resistivas Dependentes da Velocidade 
 
5.3.1 Proporcional à Velocidade do Corpo 
 
Em baixas velocidades escalares, a força resistiva R agindo sobre um corpo que está em 
movimento através de um meio viscoso é dado por: 
 
 
 
Sendo b uma constante que dependedas propriedades do meio, da forma e dimensões do 
corpo. O sinal negativo representa o fato de que a força resistiva é oposta à velocidade. 
Quando a aceleração torna-se nula, a força resistiva equilibra-se com as outras forças, 
atingindo a velocidade terminal vt, que é inalcançável. 
5.3.2 Proporcional ao Quadrado da Velocidade do Corpo 
 
Em altas velocidades escalares, a força resistiva R agindo sobre um corpo que está em 
movimento através de um meio viscoso é dado por: 
 
 
 
 
 
 
Sendo ρ a densidade do ar, A a área de seção reta do corpo em movimento medida em um 
plano perpendicular a sua velocidade e D uma grandeza empírica adimensional chamada de 
coeficiente de arrasto. 
 
5.4 Lei de Hooke 
 
Para deformações elásticas, dizemos que é constante a razão entre a intensidade F da força 
aplicada numa mola e a deformação Δx que ela experimenta. A constante de 
proporcionalidade k é uma característica da mola e denomina-se constante elástica da mola. 
 
 
 
 
 
 
5.5 Forças em Movimento Circular Uniforme 
 
A partícula em trajetória circular uniforme de raio r com velocidade uniforme v tem aceleração 
centrípeta de módulo: 
 
 
 
 
 
 
Se há aceleração, então existe uma força. Como a aceleração é em direção ao centro do 
círculo, a força resultante tem de ser direcionada para o centro também. Esta força resultante 
é caracterizada por: 
 
 
 
 
 
 
 
OBS.: A expressão força centrípeta é errônea, pois ela não é um tipo de força, e sim uma 
nova função para a força. Não se adiciona num diagrama de forças a força centrípeta; ela é 
uma equação para a força resultante. 
 
OBS.: A força centrífuga existe em relação a referenciais não-inerciais, não sendo uma reação 
da força centrípeta, e sim uma força de inércia. 
 
5.6 Forças em Movimento Circular Não Uniforme 
 
A partícula em trajetória circular não uniforme de raio r tem uma aceleração tangencial de 
módulo dv/dt e uma aceleração radial de módulo –ac. 
 
Se há várias acelerações, então existem várias forças. Se, neste caso, a aceleração total é dada 
por a = at + ar, então a força resultante é caracterizada por: 
 
 
 
O vetor componente Fr aponta em direção ao centro do círculo e é responsável pela 
aceleração centrípeta. O vetor componente Ft é responsável pela aceleração tangencial, que 
faz com que a velocidade escalar se altere com o tempo. 
 
5.7 Forças Fundamentais da Natureza 
[Ordem decrescente de intensidade] 
 
5.7.1 Força Nuclear Forte 
 
Sinônimo: Força hadrônica, pois só se manifesta entre hádrons (grupo de partículas que 
engloba prótons e nêutrons). 
 
Força que mantém a coesão do núcleo atômico. Garante a união dos quarks para formarem 
prótons e nêutrons, além da ligação entre eles. É também a força mais forte de todas, mas sua 
intensidade, só se manifesta para distâncias muito pequenas (inferiores ao de um núcleo 
atômico). 
 
Os elétrons não são afetados pela força nuclear forte. 
 
5.7.2 Força Eletromagnética 
 
Força que se manifesta em partículas eletrizadas. Garante a ligação entre elétrons e os 
núcleos atômicos e a união de átomos para a formação das moléculas, e a emissão das ondas 
eletromagnéticas pelos átomos quando seus elétrons mudam de nível energético. 
Essencialmente, todas as forças que atuam no mundo macroscópico, exceto a força 
gravitacional, são manifestações da força eletromagnética. 
 
A lei de Coulomb expressa o módulo da força eletrostática: 
 
 
 
 
 
 
Sendo k a constante de Coulomb, que é igual à 8,99.109 N.m²/C². 
 
 
5.7.3 Força Nuclear Fraca 
 
Força que se manifesta entre os hádrons e os léptons (grupo de partículas que engloba os 
elétrons). Ela garante a emissão dos elétrons pelos núcleos de algumas substâncias 
radioativas (decaimento beta). 
 
A força eletromagnética e a força nuclear fraca são manifestações diferentes de uma mesma 
interação fundamental, a Força eletrofraca. 
 
5.7.4 Força Gravitacional 
 
Força mútua de atração entre corpos quaisquer. 
Apesar de ser a menos intensa das outras três forças, ela pode atingir valores elevados – a 
massa é proporcional à intensidade da força – em planetas e estrelas. 
Através da lei da gravitação universal de Newton, este provou que: 
 
 
 
 
 
 
Sendo G a constante gravitacional universal, que é igual a 6,67.10-¹¹ N.m²/kg². 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.0 Exemplos de Diagramas de Força