[Cálculo II] Cálculo(UFRPE) - Volume 2

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Recife, 2009
Cálculo I
Cláudia Dezotti
Bruno Lopes
Volume 2
Universidade Federal Rural de Pernambuco
Reitor: Prof. Valmar Corrêa de Andrade
Vice-Reitor: Prof. Reginaldo Barros
Pró-Reitor de Administração: Prof. Francisco Fernando Ramos Carvalho
Pró-Reitor de Extensão: Prof. Paulo Donizeti Siepierski
Pró-Reitor de Pesquisa e Pós-Graduação: Prof. Fernando José Freire
Pró-Reitor de Planejamento: Prof. Rinaldo Luiz Caraciolo Ferreira
Pró-Reitora de Ensino de Graduação: Profª. Maria José de Sena
Coordenação Geral de Ensino a Distância: Profª Marizete Silva Santos
Produção Gráfica e Editorial
Capa e Editoração: Allyson Vila Nova, Rafael Lira, Italo Amorim e Heitor Barbosa
Revisão Ortográfica: Marcelo Melo
Ilustrações: Claudia Dezotti e Bruno Lopes
Coordenação de Produção: Marizete Silva Santos
Sumário
Capítulo 3 - Derivação .....................................................................................4
3.1 Introdução............................................................................................4
3.2 A Regra da Cadeia (Derivada da Função Composta) .........................4
3.3 Derivadas das Funções Elementares..................................................6
Capítulo 4 - Comportamento das Funções .................................................. 11
4.1 Introdução.......................................................................................... 11
4.2 Derivadas Sucessivas .......................................................................12
4.3 Análise Gráfica das Funções .............................................................14
4.4 Funções Crescentes e Decrescentes................................................19
4.5 Extremos Locais – Teste das Derivadas Primeira e Segunda ...........22
4
Cálculo I
Capítulo 3 - Derivação
3.1 Introdução
Iniciamos nossa disciplina estudando Limites e no primeiro módulo 
introduzimos o conceito de derivada e estudamos algumas Regras 
de Derivação. Para esse segundo volume vamos continuar a estudar 
as Regras de Derivação. De início veremos a Regra da Cadeia e 
chegaremos as Derivadas das funções trigonométricas. Achando 
necessário, revejam no primeiro volume do Livro de Cálculo I os 
conceitos fundamentais sobre Derivadas.
Atividade de Pesquisa
Desde o primeiro volume do Livro de Cálculo I estudamos a 
Derivada e suas Regras de Derivação. Que tal montar uma tabela de 
Derivadas? Uma ótima ideia é divulgar sua tabela no Fórum do seu 
Polo.
3.2 A Regra da Cadeia (Derivada da Função 
Composta)
Durante o primeiro volume do Livro de Cálculo I vimos como 
derivar a função e também a função . 
Agora, fazendo a composição da função com , temos 
. Como derivar a função ?
Uma forma é desenvolver o binômio e em seguida derivar 
a função. Mas imagine se a função a qual queremos derivar tenha 
expoente 10. Desenvolver a expressão não é uma das 
tarefas mais simples.
A regra que iremos mostrar agora estabelece uma forma mais 
simples para se obter a derivada da função composta em termos das 
funções elementares já estudadas.
A função composta tem derivada dada por:
5
Cálculo I
Vejamos como aplicar a regra da cadeia na função 
 Inicialmente precisamos identificar quais são as 
funções elementares envolvidas, a saber:
 e .
Já sabemos que a derivada de uma função composta é dada 
pela expressão . Como vem que 
 e como vem que a sua derivada é . 
Substituindo esses valores na expressão , 
ficamos com:
Vejamos mais alguns exemplos onde utilizamos a regra da 
cadeia:
Ex1: 
Ex2: 
Ex3: 
Ex4: 
Solução:
 Ex1: . Tomando e e 
em seguida aplicando a expressão já 
enunciada anteriormente, a derivada de é:
 
 Ex2: . Para esse segundo exemplo vamos tomar 
 e . É importante lembrar que
 (aqui aplicamos a regra para 
derivada de um quociente). Mais uma vez, utilizando a expressão 
 e fazendo as devidas substituições:
 
 Ex3: . Para e . As 
6
Cálculo I
derivadas de e de são respectivamente 
e . Substituindo as funções e suas derivadas em 
:
 
 Ex4: . Para e , as suas 
derivadas são e . Fazendo as devidas 
substituições em , teremos:
 
Atividade de Estudo
Utilizando a regra da cadeia, calcule a derivada das funções 
abaixo:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
3.3 Derivadas das Funções Elementares
A partir desse tópico passaremos a estudar as derivadas das 
funções elementares do cálculo: exponenciais, logarítmicas, 
trigonométricas e suas inversas. Acompanhe atentamente cada 
definição e os exemplos.
3.3.1 Derivada de uma função exponencial
Vamos partir da seguinte proposição:
Se com e , então . A 
7
Cálculo I
demonstração dessa proposição pode ser encontrada em qualquer 
livro de cálculo. Fica como exercício para você, cursista.
Um caso particular dessa proposição e muito utilizado no estudo 
do cálculo é:
Se , então sua derivada é dada por Se , 
onde o “e” é o famoso número neperiano.
Vejamos alguns exemplos onde aplicamos a noção vista acima:
Ex1: 
Ex2: 
Ex3: 
Ex4: 
Solução:
 Ex1: . Para esse exemplo usaremos a regra da derivada 
de um produto. Observe: .
 Ex2: . Mais uma vez vamos fazer uso da regra da 
derivada de um produto. É importante lembrar que a derivada 
de é e que a derivada de é (aqui fizemos 
a utilização da regra da cadeia). Pela regra do produto, 
.
 Ex3: . Essa função também pode ser escrita como 
 ou ainda como . Pela regra do produto:
 
 Ex4: . Usaremos nesses quarto exemplo a regra da 
derivada de um quociente: .
3.3.2 Derivada de uma função logarítmica
Partiremos da proposição que:
Se , com , então .
Uma consequência dessa proposição, que facilmente você 
encontra a demonstração em livros de cálculos ou ainda com seu 
Tutor Virtual, é a seguinte:
8
Cálculo I
, então 
Alguns exemplos onde usaremos as noções que acabamos de 
enunciar são mostrados abaixo:
Ex1: 
Ex2: 
Ex3: 
Solução:
 Ex1: . Para calcular a derivada dessa função, 
vamos inicialmente aplicar a regra da derivada de um produto:
 
 Ex2: . A sua derivada é 
 Ex3: . Mais uma vez fazendo uso da regra da 
derivada de um produto de funções:
 
3.3.3 Derivada das funções trigonométricas
Todas as derivadas de funções trigonométricas podem ser 
demonstradas através da própria definição de derivadas. Em 
qualquer momento do curso você cursista poderá questionar essa 
demonstração com o seu tutor virtual. Também em livros de cálculo 
é possível de se encontrar essas demonstrações. Nesse volume do 
Livro de Fundamentos de Cálculo iremos focar as aplicações das 
regras para as derivadas das funções trigonométricas listadas a 
seguir:
Derivadas das Funções Trigonométricas:
i. 
ii. 
iii. 
iv. 
9
Cálculo I
v. 
vi. 
vii. 
Vejamos alguns exemplos onde podemos aplicar as derivadas das 
funções trigonométricas:
1. Calcular a derivada de cada uma das funções dadas a seguir:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
As soluções:
 a. . Sua derivada é 
 b. , possui derivada y’ = -3 sen3x
 c. . Nesse exemplo inicialmente aplicaremos a 
regra para a derivada da diferença entre duas funções:
 
 d. .Já estudamos a regra para a derivada do 
produto entre duas funções:
 
 
 ainda 
 e. . Essa função pode ser escrita como . 
Em seguida podemos aplicar a regra para a derivada do 
produto: 
 f. . Pela regra da derivada do produto de duas 
funções: .
10
Cálculo I
Atividade de Estudo
1. Calcule a derivada de cada uma das funções dadas a seguir:
a. 
b. 
c. 
d. 
2. Calcule a derivada das funções abaixo:
a. 
b. 
c. 
d. 
3. Observando as funções trigonométricas a seguir, encontre suas 
derivadas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
No ambiente está disponível
uma tabela com um resumo das principais 
funções que estudamos no Volume 1. Baixe para seu computador essa 
tabela e também discuta com outros cursistas a sua aplicação.
11
Cálculo I
Capítulo 4 - Comportamento das 
Funções
4.1 Introdução
Para esse quarto módulo da disciplina de Cálculo I iremos estudar 
algumas aplicações das derivadas. Inicialmente trabalharemos com 
as Derivadas Sucessivas. Essa parte do conteúdo é muito importante 
e nos dará a base para o entendimento no estudo do Comportamento 
das Funções.
Atividade de Pesquisa
Como ainda estamos trabalhando com Derivadas, é interessante 
que cada cursista reveja os conteúdos que foram trabalhados no 
Volume 1 do Livro de Cálculo I. As regras de derivação serão muito 
usadas nesse volume.
Internet
Um recurso que ajudará bastante para a construção de gráficos e o 
entendimento do comportamento de uma função é o software Winplot. 
Este programa gera gráficos em duas e também em três dimensões.
No link que estamos disponibilizando (http://baixaki.ig.com.br/download/
WinPlot.htm) é possível fazer gratuitamente o download do programa.
Baixe o arquivo e faça a instalação em seu computador. De início 
tente reproduzir alguns dos gráficos já disponibilizados nesse volume 
para em seguida fazer a representação dos gráficos das Atividades 
de Estudo.
12
Cálculo I
4.2 Derivadas Sucessivas
Para algumas aplicações das derivadas, nós precisaremos derivar 
uma função mais de uma vez. Quando uma função for 
derivável, sabemos que existe e também podemos pensar na 
derivada de e repetir esse processo sucessivamente.
A tabela abaixo (Tabela 1) nos mostra como definimos e denotamos 
as derivadas sucessivas de uma função :
Leitura Notação
1ª derivada ou derivada de 1ª ordem ou 
2ª derivada ou derivada de 2ª ordem ou 
3ª derivada ou derivada de 3ª ordem ou 
4ª derivada ou derivada de 4ª ordem ou 
nª derivada ou derivada de nª ordem ou 
Tabela 1
Vejamos alguns exemplos:
1. Se , as derivadas sucessivas de 
 estão indicadas abaixo:
 
 
 
 
 e para todo 
2. Para representaremos suas derivadas sucessivas a 
seguir:
 
 
 
 
13
Cálculo I
 
 
 De outra forma:
 
3. Se , suas derivadas sucessivas:
 
 
 
 
 
 Ou ainda:
 
4. Vejamos agora um exemplo de aplicação da derivada 
segunda:
 A velocidade (V) é definida como a taxa de variação do espaço 
(S) em relação ao tempo (t):
 , ou seja, . (note que indica a derivada 
de “S” em relação a variável “t”) Da mesma forma, a aceleração 
(a) que é definida como sendo a taxa de variação da velocidade 
(V) em relação ao tempo (t):
 , ou ainda, . (note que indica a derivada 
de “V” em relação avariável “t”).
Atividade de Estudo
1. Calcule o que se pede em cada caso:
a. Dado , determine .
b. Se , calcule .
14
Cálculo I
2. Calcule :
a. 
b. 
c. 
d. 
3. A equação horária de um ponto em movimento é 
, onde S é o espaço em metros e t o tempo 
em segundos. Determine:
a. A velocidade nos instantes e 
b. A aceleração nos instantes e 
4.3 Análise Gráfica das Funções
Estudaremos o comportamento das funções através da observação 
do seu gráfico. Estudaremos também máximos e mínimos dessas 
funções e observaremos que esses pontos, se existirem, ocorrem em 
pontos chamados de críticos.
4.3.1 A ideia inicial de máximo e mínimo
Considere a função definida por 
O gráfico que representa essa função é uma parábola que passa 
pelos pontos (2; 0) e (3; 0) e que possui vértice (2, 5; 0,25). Observe 
o gráfico:
Figura 1
15
Cálculo I
A partir da observação do gráfico da função 
(Figura 1), notamos que a função assume valor máximo quando 
 (x do vértice). Esse valor máximo é (y do vértice).
Também podemos verificar que essa função não possui um valor 
mínimo, pois tanto para como par , temos que 
.
Vejamos agora o comportamento da função . 
Sabemos que seu gráfico é uma parábola de Vértice (1, 5; - 0,25). O 
gráfico de está representado na Figura 2:
Figura 2
Da observação do gráfico da Figura 2, percebemos que quando 
 (x do vértice) a função assume seu valor mínimo. Esse valor 
mínimo é (y do vértice). Também podemos notar que a 
função não possui um valor mínimo, visto que 
para e para , .
Para a primeira função, , o número 2,5 é 
chamado de ponto de máximo (ou maximante) e para segunda 
fincão, , o número 1,5 é chamado de ponto de 
mínimo (ou minimante).
4.3.2 Máximos e mínimos locais
Vamos iniciar o estudo de máximos e mínimos locais partindo do 
entendimento do gráfico de uma função dada.
Dada uma função com domínio , imagem 
e derivável em . Seu gráfico é mostrado abaixo (Figura 3):
16
Cálculo I
Figura 3
Da observação do gráfico de percebemos que quando 
, e que quando , . 
Por esse gráfico, também notamos que a função não 
possui ponto de máximo e nem ponto de mínimo. Mas quando 
: e quando a função tem um comportamento 
diferenciado.
Vamos retornar ao gráfico (Figura 4 e Figura 5):
Figura 4
17
Cálculo I
Figura 5
No intervalo , para qualquer ponto , com , sempre teremos 
. A partir dessa observação, dizemos que em a função 
 assume um valor máximo local (ou máximo relativo).
Já no intervalo , para qualquer , temos que . 
Então dizemos que em a função assume um valor mínimo 
local (ou mínimo relativo).
Outra forma de escrever:
 é o ponto de máximo local e é o valor máximo local;
 é o ponto de mínimo local e é o valor mínimo local.
Seja a função e seu gráfico representado na 
Figura 6:
Figura 6
Essa função possui um ponto de máximo relativo em e dois 
pontos de mínimos relativos em . O valor máximo relativo é 
 e o valor mínimo relativo é .
18
Cálculo I
A proposição que se segue nos permite encontrar os possíveis 
pontos máximos ou mínimos relativos (pontos de extremos relativos).
Proposição:
Seja uma função definida em um intervalo aberto 
8. Se tem um extremo relativo (máximo ou mínimo local) em e 
 existe para todo , então .
Exemplos:
Ex1: Para a função no intervalo 
determinar seus pontos extremos relativos.
Solução:
 A derivada de é . Pela proposição estudada, 
se possui um extremo relativo em , com (no nosso 
exemplo, compreende o intervalo ), então .
 Fazendo , temos que (e 3 pertence ao intervalo 
trabalhado no exemplo), logo é o único ponto crítico da 
função (observe a Figura 7).
Figura 7
 Já os valores de nesse ponto crítico e nos extremos 
do intervalo dado, são:
 
 
 
19
Cálculo I
Então, temos que a função tem máximo relativo igual a 5 no 
extremo e mínimo relativo igual no ponto crítico .
Ex2: Vejamos agora uma função com grau maior que dois:
 Seja para .
 Temos que e quando é o 
ponto crítico da função. O valor de nesse ponto crítico é 
calculado abaixo:
 
 Então, temos que a função tem mínimo relativo igual a -6 no 
extremo .
Atividade de Estudo
1. Determine os pontos críticos das funções dadas:
a. 
b. 
c. 
d. 
2. Determine, quando existirem, os extremos das funções abaixo:
a. 
b. 
c. 
d. 
4.4 Funções Crescentes e Decrescentes
O que veremos agora é um critério muito usado na prática que 
permite verificar se uma função é crescente ou decrescente. 
Esse critério é baseado no sinal (positivo ou negativo) da derivada de 
.
20
Cálculo I
Observe a seguinte proposição:
Seja uma função contínua em um intervalo e derivável no 
intervalo .
Se:
a. para todo , então é crescente em ;
b. para todo , então é decrescente em .
Observe a noção geométrica dessa proposição:
a. Se a derivada é positiva para todo , 
geometricamente a reta tangente tem inclinação ascendente 
para todo .
Figura 8
b. Se a derivada
é negativa para todo , 
geometricamente a reta tangente tem inclinação descendente 
para todo .
Figura 9
Ex1: Vamos determinar os intervalos nos quais a função 
 é crescente ou decrescente.
Solução:
 Como (temos aqui uma função constante), a função 
 será sempre crescente, pois .
21
Cálculo I
Ex2: Queremos agora determinar os intervalos nos quais a função 
 é crescente ou decrescente.
Solução:
 A derivada de é . Fazendo o estudo dos sinais 
para percebemos que:
Figura 10
 será crescente para , e será decrescente para .
Ex3: Vejamos mais um exemplo: Determinar os intervalos nos quais 
a função é crescente ou decrescente.
Solução:
 Temos como derivada de , . Mais uma vez 
devemos fazer o estudo dos sinais para :
Figura 11
 Observe na Figura 11 que:
 Para valores de no intervalo é negativa, ou seja, a 
função é crescente nesse intervalo;
 Para valores de menores que ou para valores de maiores 
que , é positiva e, portanto, é 
crescente para ou .
22
Cálculo I
Atividade de Estudo
1. Determine os intervalos nos quais as funções a seguir são 
crescentes ou decrescentes:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
4.5 Extremos Locais – Teste das Derivadas 
Primeira e Segunda
O que estudaremos agora é uma aplicação da proposição que 
foi trabalhada no tópico anterior para saber se um ponto crítico é de 
máximo local ou de mínimo local.
4.5.1 Critério da primeira derivada para determinação 
de extremos
Começaremos por enunciar um teorema, teorema esse conhecido 
como Teste da Primeira Derivada: 
Seja uma função contínua em um intervalo que possui 
derivada em todo ponto do intervalo , exceto em um ponto :
a. Se para todo e para todo , então 
tem um máximo relativo em ;
Figura 12
b. Se para todo e para todo , então 
 tem um mínimo relativo em ;
23
Cálculo I
Figura 13
Vamos procurar entender esse teorema através de aplicação de 
alguns exemplos e da interpretação geométrica.
Ex1: Seja a função no intervalo . Queremos 
mostrar pelo Teste da Derivada Primeira que a função _ possui um 
ponto de mínimo.
 A derivada de é . Fazendo temos que 
 é o único ponto crítico de .
 Observando o item b do Teorema enunciado nesse tópico 
(Figura 13), concluímos que é um ponto mínimo (compare 
as Figuras 13 e 14).
Figura 14
4.5.2 Critério da segunda derivada para determinação 
de extremos
Iniciaremos com o enunciado do Teorema. Esse Teorema também 
é conhecido como Teste da Segunda Derivada:
Seja uma função derivável em um intervalo e um ponto 
crítico de nesse intervalo, isto é, . Então:
a. tem um máximo relativo em ;
b. tem um mínimo relativo em 
O Teste da Segunda Derivada é bem simples. De forma resumida, 
se quisermos saber se uma função derivável em um dado intervalo 
possui máximo ou mínimo local, basta determinarmos seus pontos 
críticos e em seguida, na sua segunda derivada aplicar esses pontos 
críticos. Observe:
24
Cálculo I
Ex: Encontrar os pontos de máximos e mínimos da função 
.
Solução:
 A primeira derivada de é . Lembrando que 
para determinar os pontos críticos de , basta fazer , 
ou seja, que possui raízes e (esses 
são os pontos críticos de ).
 Aplicando esses pontos críticos na segunda derivada de , que 
é dada por , teremos:
 , logo é um ponto de mínimo relativo 
e , logo é um ponto de 
máximo relativo.
Atividade de Estudo
1. Encontrar, se existirem, os pontos de máximos e mínimos 
relativos das seguintes funções:
a. 
b. 
c. 
d. 
Resumo
Nesse segundo volume do Livro de Cálculo I estudamos algumas 
aplicações das derivadas. Iniciamos com derivadas sucessivas e 
em seguida trabalhamos com pontos de máximo e mínimo de uma 
função através de uma derivada e estudamos os pontos críticos de 
uma função. E ao final desse volume vimos os testes das derivadas 
primeira e segunda.