Libro Petrología y Mineralogía

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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE 
FACULTAD DE INGENIERIA 
DEPARTAMENTO INGENIERIA DE MINAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PETROLOGÍA Y MINERALOGIA 
 
MINERALOGIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apuntes Mineralogía . Adaptado de Introduction to Mineral Sciences, 
Andrew Putnis, Cambridge University Press. 
 
 
F. Michael Dobbs Página 1 
MINERALOGÍA 
 
Mineral es un sólido inorgánico, de composición definida, poseedor de una estructura 
cristalina ordenada, y que resulta de un proceso de formación o transformación geológico. 
 
 La definición anterior; si bien es cierto, es clara y precisa, no da cuenta de la 
importancia del entendimiento de la mineralogía. 
 
Aún cuando el reconocimiento de las distintas especies minerales resulta llamativo, 
principalmente en términos del conocimiento. No es hasta cuando se investiga el medio 
en que se encuentran inmersos estos minerales, que se toma conciencia de su verdadera 
importancia. Este medio complejo es roca, la cual constituye en gran parte el ambiente en 
donde se desarrollan actividades relativas a las ciencias de la Tierra. 
 
Áreas multidisciplinarias, tales como Geología, Geografía, Obras Civiles, Metalurgia, 
Topografía y Minería, entre otras, desarrollan sus actividades sobre este material. Debido 
a lo anterior, el estudio detallado debe comenzar desde la estructura más pequeña, para 
luego, en base al conocimiento, extrapolar estas condiciones hacia el macizo rocoso en 
evaluación. 
 
Una vez entendida y configurada la estructura básica que posee cada mineral, es 
posible reconstruir el ambiente de su formación, y cómo estos minerales reaccionarán 
frente a la exposición de las distintas condiciones ambientales. A partir de esto, se tiene 
una mejor idea de una serie de parámetros y propiedades físicas de cada mineral. 
 
En el estado actual de la minería, se explotan reservas a partir de un modelo 
geológico construido. Para el desarrollo de tal construcción, se deben considerar todos los 
eventos geológicos ocurridos a través del tiempo. Esta información es aportada en gran 
parte por la composición mineralógica que tiene el yacimiento. Por lo tanto la Evaluación 
de Recursos, es un área influenciada altamente por la mineralogía. 
 
 Por otro lado, el diseño minero puede ser agresivo, pero asegurando la estabilidad 
de la construcción. Para llevarlo acabo entonces, se debe tener en cuenta una serie de 
consideraciones al respecto del comportamiento mecánico que presenta la roca. Claro es 
que este comportamiento se encuentra gobernado por los minerales constituyentes de 
este material. Es por esto, que cada diseño debe incorporar una caracterización del 
macizo rocoso a nivel Geológico, Geotécnico y Geomecánico. 
 
 Para finalizar el proceso productivo, se debe pasar de roca a metal, o a no metal. 
Para realizar esto, deben ser estudiadas y optimizadas las recuperaciones que se 
obtienen tras cada proceso, y estas recuperaciones son función de los elementos 
químicos que componen a cada mineral, i.e. la estructura interna de los minerales. En 
este sentido, la Metalurgia también se ve condicionada por el entendimiento de la 
Mineralogía. Por ello la planificación del consumo de reservas se hace considerando 
dominios geometalúrgicos, para así lograr una alimentación homogénea a la planta de 
tratamiento, desde un yacimiento heterogéneo. 
 
 
Mauricio Domcke G. 
 
Apuntes Mineralogía . Adaptado de Introduction to Mineral Sciences, 
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En el presente escrito, se estudia la mineralogía comenzando desde el análisis más 
básico, pasando por su influencia en el comportamiento mecánico y la descripción de 
estructuras de los minerales formadores de roca, para finalmente tratar algunos de los 
procesos mediante los cuales se conforman las distintas asociaciones mineralógicas. 
Mauricio Domcke G. 
 
Apuntes Mineralogía . Adaptado de Introduction to Mineral Sciences, 
Andrew Putnis, Cambridge University Press. 
 
 
F. Michael Dobbs 
CONTENIDOS 
 
 
1. PERIODICIDAD Y SIMETRÍA 1 
 
1.1. La Red, Celda Unitaria y el Motivo 2 
1.2. Simetría de redes bi-dimensionales 3 
1.3. Grupos bi-dimensionales puntuales y espaciales 4 
1.4. Redes y sistemas cristalinos tridimensionales 7 
1.5. Grupos puntuales tri-dimensionales y su representación 9 
1.6. Grupos espaciales tri-dimensionales 9 
1.7. Planos y direcciones en un cristal 12 
 
 
 
2. ANISOTROPÍA Y PROPIEDADES FÍSICAS 14 
 
2.1. Anisotropía - una analogía mecánica 14 
2.2. Propiedades de un tensor de segundo orden y sus 
variaciones con la dirección 16 
2.3. Control de la simetría sobre las propiedades físicas 17 
2.4. Propiedades ópticas de los minerales 20 
2.4.1. Variación del índice de refracción en un cristal - 
indicatriz óptica 20 
2.4.2. Control de la simetría en la variación del índice de 
refracción en un cristal 20 
2.4.3. Birrefringencia 22 
2.4.4. Colores de interferencia 25 
2.5. Una nota en las propiedades elásticas de los minerales 25 
2.6. Relación entre anisotropía y estructura cristalina 26 
2.7. Anisotropía y la forma externa de los minerales 26 
 
 
 
3. LA ESTRUCTURA CRISTALINA DE LOS MINERALES I 28 
 
3.1. Enlaces en estructuras cristalinas 28 
3.2. Descripción de estructuras cristalinas 28 
3.2.1. Estructuras de Empaquetamiento Cerrado (EC). 
ECCúbico y ECHexagonal 28 
3.2.2. Sitios intersticiales en Estructuras de 
Empaquetamiento Cerrado 30 
3.2.3. Estructuras tipo basadas en empaquetamiento cerrado 33 
3.2.4. Minerales con estructura basada en Empaquetamiento 
Cerrado 35 
3.2.5. Estructuras construidas de poliedros 38 
 
 
Mauricio Domcke G. 
 
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F. Michael Dobbs 
4. LA ESTRUCTURA CRISTALINA DE LOS MINERALES II – 
SILICATOS 41 
 
4.1. El tetraedro [SiO4] 41 
4.2. Algunas generalizaciones respecto de la composición y 
estructura de los silicatos 43 
4.3. Nesosilicatos - Silicatos con Tetraedro [SiO4] aislado 44 
4.3.1. Los minerales de Olivino 44 
4.3.2. Los minerales de Granate 46 
4.3.3. Silicatos de Aluminio: Kianita, Andalusita y Silimanita 46 
4.4. Sorosilicatos 47 
4.5. Inosilicatos - Silicatos de Cadena Simple 47 
4.5.1. Piroxenos 48 
4.5.2. Piroxenoides 50 
4.6. Inosilicatos - Silicatos de cadena doble 51 
4.7. Filosilicatos - Silicatos en capas 52 
4.7.1. Politipismo en las micas 54 
4.8. Tectosilicatos - Silicatos en Armazón 56 
4.8.1. Minerales de Sílice 56 
4.8.2. Kalsilita-Nefelina: Tridimita distorsionada 58 
4.8.3. Los feldespatos 59 
 
 
 
5. DEFECTOS EN MINERALES 64 
 
5.1. Defectos puntuales 64 
5.1.1. Defectos de Schottky y Frenkel 65 
5.1.2. Impurezas y substitución atómica 66 
5.1.3. Centros de color en los cristales 66 
5.1.4. Difusión 66 
5.1.5. Estequiometría alterada 67 
5.2. Defectos lineares 68 
5.2.1. El vector de Burges 68 
5.2.2. Dislocación de filo y dislocación de tornillo 69 
5.2.3. Bucle dislocacional - Interacción entre defectos 
puntuales y lineares 69 
5.2.4. Dislocaciones parciales y fallas de empaquetamiento 69 
5.3. Defectos planares 70 
5.3.1. Fallas de empaquetamiento 70 
5.3.2. Defectos de Wadsley 70 
5.3.3. Defectos planares y reacciones químicas en estado 
sólido 70 
5.3.4. Fronteras de dominio antifase 71 
5.3.5. Fronteras de maclas 71 
 
 
 
Mauricio Domcke G. 
 
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F. Michael Dobbs 
6. ENERGÉTICA EN LA ESTABILIDAD DE MINERALES I - 
CONCEPTOS BÁSICOS 72 
 
6.1.Algunos conceptos básicos de la termodinámica 72 
6.2. Cambios de entalpía en transformaciones y reacciones en 
minerales 73 
6.3. Entropía y desorden 73 
6.3.1. Entropía configuracional 74 
6.3.2. Entropía electrónica 75 
6.3.3. Entropía vibracional 75 
6.4. Energía libre de Gibbs G, y el equilibrio 76 
6.4.1. Procesos reversibles e irreversibles. Metaestabilidad 77 
6.4.2. Transiciones de fase de primer y segundo orden 79 
6.5. Determinación de cantidades termodinámicas 80 
6.5.1. Medidas experimentales directas 80 
6.5.2. Estudios de equilibrio de fase 80 
6.5.3. Determinación de parámetros termodinámicos a partir 
de simulaciones computacionales 81 
 
 
 
7. ENERGÉTICA EN LA ESTABILIDAD DE MINERALES II - 
SOLUCIÓN SÓLIDA, ORDENAMIENTO Y EXSOLUCIÓN 82 
 
7.1. Solución sólida 82 
7.1.1. Energía libre de una solución sólida 82 
7.1.2. Diagrama de fase de equilibrio para una solución 
sólida - el solvus 84 
 
 ANEXO 86 
 Diagrama de fase en sistemas binarios simples 
 
 
 
 
 
Mauricio Domcke G. 
 
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1. PERIODICIDAD Y SIMETRÍA 
 
La fotografía (Figura 1.1) representa una proyección bidimensional de la estructura 
atómica de la cordierita. Esta muestra claramente la característica fundamental de todas 
las estructuras cristalinas. La distribución de átomos es periódica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Además de la simetría de translación, los patrones de distribución de átomos guardan 
relaciones de simetría con los átomos vecinos y con los enlaces que los unen. En la 
Figura 1.1, se aprecian elementos de simetría tales como ejes de simetría senaria, 
ternaria, binaria, y líneas especulares. 
 
En un cristal bien formado, la simetría interna de la distribución atómica se refleja en la 
relación simétrica entre la 
orientación de las caras 
externas (Figura 1.2). Lo 
importante de la simetría y la 
estructura interna de un 
mineral, es que influencian 
fuertemente sus propiedades 
físicas (e.g. mecánicas, 
eléctricas, ópticas, magnéticas 
y térmicas) además de reflejar 
el comportamiento que el 
mineral puede tener bajo 
cambios en las condiciones de 
presión y temperatura del 
medio. 
 
 
Figura 1.2. Versuvianita (Ca(Mg,Fe)2Al4(SiO4)5(Si2O7)2(OH,F)4). 
(a) Vista isométrica, ejes de simetría y planos especulares, 
(b) Vista superior, eje cuaternario. 
Figura 1.1. Estructura atómica de la cordierita (Mg2Al4Si5O18), Proyección de una capa delgada 
(≈ 200 Å) de mineral. Arreglo hexagonal, en donde los sitios negros representan canales a 
través de la estructura, mientras las zonas blancas constituyen una alta densidad de materia. 
 
 
Mauricio Domcke G. 
M. Pilar Espinoza 
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F. Michael Dobbs D. 
Mauricio Domcke G. 
M. Pilar Espinoza 
 
 
1.1. La Red, Celda Unitaria y el Motivo 
 
Las operaciones de simetría son mucho más fáciles de entender en el plano, pero las 
mismas ideas se extienden para las tres dimensiones. 
 
Un conjunto de puntos ordenados se puede generar repitiendo un motivo en las 
direcciones correspondientes a las dimensiones de este. 
 
Elegir el motivo se basa en la 
simpleza (no necesariamente en los 
nodos que contengan materia). La 
Figura 1.3 muestra tres formas de 
representar el orden de la cordierita 
(Figura 1.1). Se opta por a = b y γ = 
120°, la que corresponde a la más 
pequeña celda unitaria que describe a 
la estructura. Esta celda se denomina 
hexagonal primitiva (primitiva dado 
que sólo contiene puntos en los 
vértices de la figura). 
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En otras ocasiones, es preferible describir las estructuras en base a celdas no 
primitivas. La Figura 1.4 es similar a la Figura 
1.3, pero debido a que a ≠ b γ ≠ 120°, se 
prefiere la celda rectangular centrada (el punto 
en su centro hace que no sea primitiva), la cual 
tiene los atributos de simetría del tipo 
ortorrómbico. 
 
Considerando lo anterior, se define celda 
unitaria como la manera más simple que se 
tiene para representar el motivo de cualquier 
estructura, ya sea en el espacio o en un plano, y 
que mediante simetría de translación y de 
rotación en las direcciones cristalográficas, 
permiten construir la totalidad de la distribución 
de puntos. 
 
 Para describir una estructura cristalina, se 
comienza con la red y luego se especifica el 
arreglo atómico, su espaciamiento, y los 
ángulos de enlace, i.e. las coordenadas de los 
átomos relativas a cada punto de la red. El 
patrón de átomos asociado a cada nodo de la 
red, es lo que se denomina motivo. La Figura 
1.5 muestra lo anterior usando una red bi- 
dimensional similar al patrón mostrado en la 
Figura 1.3. Tres posibles celdas para la cordierita. 
Se opta por a = b y γ = 120° 
 
Figura 1.4. Celda unitaria no primitiva. 
 
Figura 1.5. Celda hexagonal con origen en “O” 
Átomos blancos con coordenadas (2/3, 1/3) y 
(1/3,2/3) representan el motivo de la estructura. 
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Figura 1.1. La estructura, puede ser definida como la suma de la red (la cual define la 
periodicidad) y el motivo existente en su interior. 
1.2. Simetría de redes bi-dimensionales 
 
Cualquier grupo ordenado de puntos en el espacio puede ser representado por alguno 
de los 4 sistemas cristalinos bi-dimensionales, los cuales se muestran en la Figura 1.6. 
 
 
Figura 1.6. Las cinco redes bi-dimensionales, y las simetrías de la distribución de puntos de la red. Para cada 
una, se muestra la celda unitaria a la izquierda, y los elementos de simetría operando en la celda, a su derecha. 
Mauricio Domcke G. 
M. Pilar Espinoza 
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Todo arreglo de puntos en las dos dimensiones puede representarse mediante uno de 
estos 4 sistemas cristalinos bi-
dimensionales. 
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Mauricio Domcke G. 
M. Pilar Espinoza 
 
Además de la translación, 
del deslizamiento invertido y de 
las líneas especulares, existen 
otros operadores de simetría. 
Estos se muestran en su 
totalidad en la Figura 1.7, y 
corresponden, además de lo 
anterior, a ejes de rotación 1, 2, 
3, 4 y 6. i.e. la figura se repite 
1, 2, 3, 4 y 6 veces 
respectivamente, en un giro de 
360°. 
1.3. Grupos bi-
dimensionales puntuales y 
espaciales 
 
Figura 1.7. Elementos de simetría operando en las dos dimensiones. 
 
 
La simetría completa de una estructura no se define solamente por la red, dado que el 
arreglo de átomos alrededor de 
cada punto de la red puede 
también ser simétrico, tal como en 
la Figura 1.1. Considerando la 
posible combinación de los 
elementos de simetría de tales 
arreglos de átomos, se necesita 
obtener la cantidad de 
combinaciones entre los ejes de 
rotación 1, 2, 3, 4 y 6 y las líneas 
especulares. Cada combinación 
diferente entre los elementos de 
simetría de los átomos que rodean 
a cada nodo de la red -sin 
considerar la repetición de 
translación ni el deslizamiento 
invertido-, y los operadores de 
simetría de la celda, define un 
grupo puntual, por lo que este 
último puede ser descrito y 
entendido, como la manera en que 
los átomos se relacionan al nodo 
de la red. La Figura 1.8 muestra 
los diez grupos puntuales 
existentes para las dos 
dimensiones. 
Figura 1.8. Los 10 grupos puntuales bi-dimensionales. 
Estos representan el número total de combinaciones de 
las líneas especularescon los ejes de rotación, 
alrededor de un punto. 
 
 
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 Para completar el análisis de la simetría bi-dimensional, se combinan los 10 grupos 
puntuales con las 5 redes o sistemas cristalinos descritos anteriormente. Aquí se 
introduce el deslizamiento invertido (una operación compuesta, que como se muestra en 
la Figura 1.7, involucra una reflexión a través de un plano, más un desplazamiento en 
medio vector a partir del origen), logrando un total de 17 grupos espaciales bi-
dimensionales. Estos se muestran en la Figura 1.9. Todo patrón o arreglo repetitivo de 
puntos ordenados debe basarse en uno de esos grupos espaciales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mauricio Domcke G. 
M. Pilar Espinoza 
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Figura 1.9. Los 17 tipos de patrones planares 
(o grupos espaciales bi-dimensionales). 
Trece de estos pueden ser obtenidos 
combinando las 5 celdas de la Figura 1.6, 
con los 10 grupos puntuales de la Figura 1.8. 
Los otros cuatro se deducen a partir de la 
existencia de la operación de deslizamiento 
invertido (del inglés glide). 
Mauricio Domcke G. 
M. Pilar Espinoza 
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Figura 1.9. (Continuación) 
Mauricio Domcke G. 
M. Pilar Espinoza 
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F. Michael Dobbs D. Página 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.9. (Continuación) 
1.4. Redes y sistemas cristalinos tridimensionales 
 
El desarrollo del concepto de redes, grupos puntuales y grupos espaciales para las 
tres dimensiones, se realiza de la misma manera en que se efectuó anteriormente para 
las dos dimensiones, pero asumiendo la complejidad extra que significa aumentar la 
cantidad de combinaciones entre los operadores de simetría. Esto hace a la simetría tri-
dimensional más difícil de visualizar, aún cuando los principios son los mismos. 
 
Los tipos de mallas tri-dimensionales fueron derivados por Bravais en 1848, quien 
encontró 14 redes distintas inmersas dentro de 7 sistemas cristalinos. Las redes se 
ilustran en Figura 1.10, mientras que la Tabla 1.1 resume su agrupamiento dentro de los 
sistemas cristalinos. 
Mauricio Domcke G. 
M. Pilar Espinoza 
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TABLA 1.1 
 LOS 7 SISTEMAS CRISTALINOS Y LAS 14 REDES DE BRAVAIS 
Sistema cristalino Dimensión celdas unitarias Simetría esencial Redes de Bravais 
Triclínico a ≠ b ≠ c α ≠ β ≠ γ Ninguna o eje 1 P 
Monoclínico a ≠ b ≠ c α = γ = 90 ° ≠ β Un eje 2 P, C 
Ortorrómbico a ≠ b ≠ c α = γ = β = 90 ° 
Tres ejes 2 mutuamente 
perpendiculares P, C, I, F 
Tetragonal a = b ≠ c α = γ = β = 90 ° Un eje 4 P, I 
Cúbico a = b = c α = γ = β = 90 ° 4 ejes 3 P, I, F 
Trigonal a = b = c 120° > α=γ =β > 90 ° 1 eje 3 P 
a = b ≠ c 1 eje 6 P Hexagonal α = β = 90 °; γ = 120° 
 
 
Figura 1.10. Las 14 redes de Bravais. Todos los sólidos cristalinos pueden ser descritos por celdas unitarias 
que pertenecen a uno de estos tipos. Al respecto de la notación para cada celda, se nota que en primer lugar, 
se menciona el sistema cristalino, y luego, el tipo de red, donde; “P” es Primitiva, “I“ centrada en el Interior, “C” 
es centrada en las caras bases y “F” es centrada en las todas caras. 
Mauricio Domcke G. 
M. Pilar Espinoza 
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1.5. Grupos puntuales tri-dimensionales y su representación 
 
 A los 10 grupos puntuales planares se le agrega una tercera dimensión y se derivan 
los 32 grupos puntuales tri-dimensionales, los que definen la relación de los átomos que 
se disponen alrededor de un nodo de la red. Se debe considerar que la línea especular se 
transforma en un plano y que la rotación alrededor de un punto se convierte en la rotación 
alrededor de un eje. Además se introduce un nuevo elemento de simetría llamado eje de 
roto-inversión. Se opera con el eje y después se invierte por el centro. 
 
 Visualizar las relaciones angulares de los grupos puntuales resulta complejo, por esto 
es que su representación se realiza mediante una proyección estereográfica. La Figura 
1.11 muestra esta representación para todos los sistemas cristalinos de las 32 clases de 
simetría. 
 
 
1.6. Grupos espaciales tri-dimensionales 
 
La combinación de los 32 grupos puntuales con las 14 redes de Bravais generan el 
conjunto completo de grupos espaciales tridimensionales, mediante un procedimiento 
análogo a los grupos bidimensionales. Todo el ordenamiento estructural de los minerales 
se puede describir asociándolo a alguno de los 230 grupos espaciales resultantes. Su 
derivación realizada al final del siglo XIX, fue hecha por Schoenflies, Barlow y Federov. 
 
Un grupo espacial es entonces, la última sub-división dentro de la clasificación de los 
elementos de simetría. Cada grupo espacial se encuentra asociado a un grupo puntual, el 
cual a su vez pertenece a una de las 14 redes de Bravais, que como se vio se encuentran 
inmersas en alguno de los 7 sistemas cristalinos. Cualquier material cristalino tiene una 
estructura que pertenece a uno de estos 230 grupos espaciales. 
 
 
 
Mauricio Domcke G. 
M. Pilar Espinoza 
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F. Michael Dobbs D. Página 11 
 
Figura 1.11. Los 32 grupos puntuales. Cada uno es ilustrado con 2 estereogramas, uno muestra la simetría, 
y el otro muestra como esta simetría opera en una dirección general o polo. 
Mauricio Domcke G. 
M. Pilar Espinoza 
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Figura 1.11. (Continuación). 
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1.7. Planos y direcciones en un cristal 
 
La posición de un plano respecto de los ejes cristalográficos se expresa mediante los 
índices de Miller. 
 
 Los planos de un cristal se determinan de la manera siguiente. Consideremos la cara 
de un cristal, como el de la Figura 1.12, para 
el cual las constantes de la red son a, b y c. 
Si un conjunto de planos intercepta estos 
ejes y divide a a en “h” partes, a b en “k” 
partes, y a c en “l” partes, cualquiera de los 
planos es denotado entre paréntesis 
redondo, y con las dimensiones (hkl). Otra 
manera de decirlo es que el plano (hkl) tiene 
interceptos de a/h, b/k y c/l en los tres ejes 
cristalográficos, i.e. los índices de Miller son 
los recíprocos de los interceptos 
fraccionales a cada eje. 
 
 En la Figura 1.12, el conjunto de caras 
paralelas corta a a en dos distancias 
unitarias, a b también en dos, mientrasque 
a c en una; por lo tanto los índices son (1/2 
1/2 1). Debido a que los índices son 
enteros, los correspondientes al ejemplo 
son (1 1 2). 
 
Figura 1.12. Esta gráfica muestra un set de planos 
equiespaciados (de los cuales el primero se encuentra 
sombreado) en los cuales se repiten las constantes a, b y c 
a través de los ejes cristalográficos x, y y z 
respectivamente. Los círculos negros representan los 
 De manera de familiarizar el concepto de 
los índices de Miller, en la Figura 1.13 se 
muestran ejemplos de planos y sus direcciones, notados mediante los índices señalados. 
puntos de la red a través de los 3 ejes cristalográficos. Los 
índices de Miller para este set de planos son (112). 
 
Mauricio Domcke G. 
M. Pilar Espinoza 
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F. Michael Dobbs D. Página 14 
 
Figura 1.13. Ejemplos de planos y sus índices de Miller. 
Las direcciones en un cristal se describen de manera similar que los planos, pero son 
denotadas por números enteros entre paréntesis 
cuadrados. Una dirección general [UVW] 
corresponde a un vector con proyecciones U
 
a, Vb y 
Wc en los respectivos ejes cristalográficos. (Figura 
1.14). Para ilustrar esto con mayor claridad, la Figura 
1.15 muestra una estructura bi-dimensional en el 
plano xy con varias direcciones [UVW] denotadas. 
Se puede identificar también en esta figura, que una 
dirección tiene similares índices que los planares, 
sólo cuando se trabaja en el sistema cúbico. En la 
Figura, se observa claramente que la dirección [110], 
no es perpendicular al plano (110), el cual está 
dibujado con línea segmentada. 
 
Figura 1.14. Dirección [UVW] en relación a sus componentes a lo 
largo de sus ejes cristalográficos 
Mauricio Domcke G. 
M. Pilar Espinoza 
Apuntes Mineralogía . Adaptado de Introduction to Mineral Sciences, 
Andrew Putnis, Cambridge University Press. 
 
F. Michael Dobbs D. Página 15 
 
 
Figura 1.15. Ejemplos que muestran direcciones en una malla bi-dimensional. Se puede notar que en 
general, una dirección no es perpendicular al plano indicado con los mismos índices. Es el caso 
particular del plano (110) con la dirección [110]. 
Mauricio Domcke G. 
M. Pilar Espinoza 
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Andrew Putnis, Cambridge University Press. 
 
 
F. Michael Dobbs Página 14 
2. ANISOTROPÍA Y PROPIEDADES FÍSICAS 
 
 La mayoría de los materiales cristalinos son anisotrópicos, eso significa que la 
magnitud de varias propiedades físicas dependerá de la dirección en que se midan con 
respecto de la del cristal. 
 
Algunas propiedades de los minerales son claramente no direccionales. Por ejemplo, 
la densidad o la capacidad calórica pueden medirse sin tomar una dirección referencial. 
Estas propiedades son denominadas propiedades escalares o tensores de rango cero. 
Otras propiedades, tales como la energía superficial y por lo tanto la reactividad química, 
dependen de la orientación cristalográfica de la superficie; pero no son en sí mismas 
cantidades que dependan de la dirección en que se midan. Estas propiedades se 
denominan propiedades vectoriales o tensores de primer rango. Por otro lado, 
propiedades como la conductividad térmica, la cual relaciona dos cantidades vectoriales, 
son denominadas tensores de segundo rango y deben ser especificadas de una manera 
distinta. Con un sistema de ejes se puede especificar la propiedad por sus tres valores 
principales. Esta clasificación de las propiedades físicas, también involucran a tensores de 
tercer y cuarto rango, pero estas escapan al objetivo de este escrito. Propiedades 
elásticas, pertenecen a los tensores de cuarto rango, por lo que su descripción es 
claramente más compleja. 
 
El propósito de este análisis es ilustrar el fenómeno de la anisotropía y por otro lado, 
proveer una base de entendimiento de las propiedades ópticas de los minerales. Las 
propiedades elásticas sólo se mencionarán brevemente. 
 
2.1. Anisotropía - una analogía mecánica 
 
Previo a analizar las propiedades físicas de los minerales, una simple analogía 
mecánica bi-dimensional ayudará a describir 
generalmente los conceptos de anisotropía, y como 
especificar una propiedad cuando varía con la 
dirección. 
 
Se considera un sistema mecánico donde un 
anillo central es sostenido por medio de dos pares 
de resortes ortogonales, a un marco (Figura 2.1). 
Los resortes a los lados opuestos del anillo son 
idénticos, pero tienen diferentes constantes de 
elasticidad al par ortogonal. Se aplica una fuerza 
general F al anillo; vector causa, y se obtiene un 
desplazamiento; vector efecto. La relación entre la 
causa y el efecto, define la rigidez de los resortes. 
 
Cuando se aplica una fuerza general F al 
sistema, la intuición lleva a pensar que el 
desplazamiento del anillo dependerá de la rigidez relativa de ambos pares de resortes, 
relación causa-efecto. i.e. el desplazamiento dependerá de la orientación de la fuerza. De 
todas maneras, el vector desplazamiento no se torna paralelo al vector fuerza debido a la 
diferencia en las constantes de elasticidad de los resortes, i.e. debido a la anisotropía. 
Figura 2.1. En este sistema, una anillo 
central, es sostenido por dos pares de 
resortes, los cuales están fijos a un 
marco. 
Mauricio Domcke G. 
 
Apuntes Mineralogía . Adaptado de Introduction to Mineral Sciences, 
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F. Michael Dobbs Página 15 
 
 
 La componente de la fuerza F aplicada en las direcciones x e y son Fcosθ y Fsinθ 
respectivamente (Figura 2.2.a). Si la rigidez (definida como el desplazamiento por fuerza 
unitaria aplicada) de los resortes a largo del eje x es k1, y a lo largo de y K2, entonces los 
desplazamientos serán x = k1 Fcosθ e y = K2 Fsinθ. El desplazamiento resultante es 
mostrado en la Figura 2.2.b, y el ángulo (φ) resultante entre este desplazamiento y el eje x 
está dado por 
 
tan φ = k2/k1 (tan θ) 
 
 
 
Figura 2.2. Análisis del sistema anisotrópico de la Figura 2.1. 
(a): Componentes de la fuerza F aplicada en los ejes principales. 
(b): Componentes del desplazamiento en los ejes principales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Entonces en general, la dirección del desplazamiento no será la misma que la de 
la aplicación de la fuerza. Sólo cuando θ es igual a 0° ó 90°, el desplazamiento (vector 
efecto) será paralelo a la fuerza aplicada (vector causa). 
 
 Basándose en la reciente analogía, se deben realizar una serie de observaciones 
acerca de la anisotropía: 
 
i. En un sistema anisotrópico, el vector efecto en general no es paralelo al vector 
causa aplicado. 
 
ii. En el ejemplo bi-dimensional mencionado, existen dos direcciones ortogonales en 
las cuales el efecto se vuelve paralelo a la causa. Para las tres dimensiones, se 
puede demostrar que estas direcciones son tres y ortogonales entre sí. 
 
iii. Un sistema anisotrópico puede ser analizado en términos de las componentes a lo 
largo de estas direcciones ortogonales, llamadas ejes principales. Sobre estos ejes 
principales, los valores de la propiedad física son denominados valores 
principales. En el caso descrito esta era la rigidez de ambos pares de resortes (k1 
y k2). Para las tres direcciones, esto se extiende a k1, k2 y k3 
 
 
Mauricio Domcke G. 
 
Apuntes Mineralogía . Adaptado de Introduction to Mineral Sciences, 
Andrew Putnis, Cambridge University Press. 
 
 
F. Michael Dobbs Página 16 
Para las tres dimensiones, una dirección general puede ser representada mediante 
sus cosenos direccionales, los cuales se ilustran en la Figura 2.3.a. Considere un sistema 
en el cual se aplica una fuerza Fen una dirección general, resultando en un 
desplazamiento D desfasado de esta fuerza en ϕ (Figura 2.3.b). La componente de este 
desplazamiento en la dirección de F se relaciona a la fuerza aplicada F por una constante 
K (la cual en la analogía mecánica depende de la rigidez de los tres resortes). 
 
 
Figura 2.3.a. Los cosenos direccionales l, m, n 
de la dirección de la fuerza F, están dados por 
los cosenos de los ángulos entre F y los ejes x, 
y, z respectivamente. 
 Dado que la componente de D en la dirección 
de F es DF = D cosϕ 
 
 K = D cosϕ / F = DF / F 
 
 Es posible calcular el valor de K en términos 
de k1, k2, y k3. Las componentes de F en los ejes 
principales son: 
 
 Fx = Fl
 Fy = Fm
 Fz = Fn
 
 
 Las componentes del desplazamiento en los ejes 
principales son entonces: 
 
 Dx = k1Fl
 Dy = k2Fm
 Dz = k3Fn
 
 La magnitud D resultante del desplazamiento en 
la dirección de F (DF) puede ser escrita en términos 
de sus componentes como: 
 
 DF = Dxl + Dym + Dzn 
Resultando; DF = k1Fl2 + k2Fm2 + k3Fn2
Luego; K = DF / F 
 
Entonces K = k1l2 + k2m2 + k3n2 (Ec. 2.1) 
 
 Esta última ecuación, define el valor de la 
propiedad K en cualquier dirección, en términos de 
los tres valores principales k1, k2, k3 y sus cosenos 
direccionales l, m, n. 
 
Figura 2.3.b. La componente de D en la 
dirección de F está definida como DF = D cosϕ 
 
 
 2.2. Propiedades de un tensor de segundo orden y sus variaciones con la dirección 
 
En un sistema de tres ejes ortogonales, es posible visualizar la variación de una 
propiedad K con la dirección, al representar la magnitud de K como la distancia medida 
desde un origen. El resultado será una superficie tridimensional cuya forma expresa 
Mauricio Domcke G. 
 
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F. Michael Dobbs Página 17 
fácilmente la anisotropía de la propiedad. Entonces, en un material isótropo la propiedad 
en análisis será igual en todas las direcciones, por lo tanto la superficie que la representa 
es una esfera. 
 
Para obtener la forma de esa superficie de representación, se considera un punto con 
coordenadas x,y,z a una distancia r del origen en 
la dirección de F (Figura 2.4). Los cosenos 
direccionales l,m,n pueden ser escritos en 
términos de x,y,z como 
 
Figura 2.4. Esquema utilizado para la 
derivación de las superficies representativas 
que describen la variación de una propiedad 
perteneciente a un tensor de segundo rango. 
 
Figura 2.5. Elipsoide con semiejes a, b y c. 
 
l = x/r, m = y/r, n = z/r 
 
 Substituyendo estos valores en Ec. 2.1, se 
obtiene que 
r2K = 1 
 
 Es decir, r = 1/√K, entonces 
 
k1x2 + k2y2 + k3z2 = 1 (Ec. 2.2) 
 
 Si los tres valores principales, k1, k2, k3 son 
positivos, entonces la Ec. 2.2 describe una 
elipsoide. La ecuación característica para una 
elipsoide es 
 
x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1 
 
 Donde a, b y c son los semiejes (Figura 2.5). 
los semiejes para la superficie que representa la 
propiedad anisótropa son 
 
1/√ k1, 1/√ k2, 1/√ k3
 
 En cualquier dirección general, el radio es 
igual al valor de 1/√K en esa dirección. 
 
 
 
 
 
 2.3. Control de la simetría sobre las propiedades físicas 
 
Se denominará X, Y, Z a los ejes principales de la elipsoide, siempre ortogonales. Y 
para describir el control de la simetría sobre las propiedades físicas, se debe analizar 
como están relacionados estos ejes a los ejes cristalográficos del mineral. 
 
Principio de Neumann: Los elementos de simetría de cualquier propiedad física de un 
cristal deben incluir los elementos de simetría del grupo puntual del cristal. Entonces, a 
Mauricio Domcke G. 
 
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F. Michael Dobbs Página 18 
partir de la analogía mecánica, y el conocimiento de la descripción de propiedades a partir 
de una elipsoide, se tiene para los distintos sistemas cristalográficos. 
 
i. Para un cristal triclínico, dado que no hay restricciones de simetría, la elipsoide 
puede tener cualquier orientación respecto de los ejes cristalográficos. 
 
ii. En el sistema monoclínico, ya que existe un eje binario a lo largo de uno de los 
ejes cristalográficos, uno de los ejes de la elipsoide debe ser paralelo a este eje. 
 
iii. En el sistema ortorrómbico, los tres ejes de la elipsoide deben ser paralelos a los 
ejes cristalográficos. 
 
iv. Cuando se consideran los sistemas tetragonal, hexagonal y trigonal se hace 
evidente que la elipsoide es de menor simetría, sin embargo si la elipsoide general 
tiene k1 = k2, tendrá entonces una sección circular en el plano XY. (elipsoide de 
revolución). Este plano es entonces, perpendicular al eje de mayor simetría del 
cristal, ejes de 4, 6 y 3 repeticiones. 
 
v. En el sistema cúbico la propiedad de tensor de segundo orden es isótropo. 
 
 Un par de ejemplos del control que ejerce la simetría sobre las propiedades físicas de 
los minerales se muestran a continuación. La Figura 2.6 indica como se propaga un flujo 
calórico sobre un cristal, y la Figura 2.7 muestra la difusión anisotrópica del Ni en el 
Olivino. 
 
Mauricio Domcke G. 
 
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Andrew Putnis, Cambridge University Press. 
 
 
F. Michael Dobbs Página 19 
Figura 2.6. (a) Un punto origen de calor P sobre la cara (100) de un cristal tetragonal. La conductividad en este 
plano resulta en una isoterma de superficie elíptica. El flujo calórico siempre será radial a partir de P, mientras que 
el gradiente termal es normal a la superficie isoterma. (b) Definiciones de conductividad y resistividad en un 
sistema anisotrópico. (c) Para la obtención de la superficie de conductividad, el flujo calórico se resuelve en 
dirección normal al gradiente termal, mientras que para la resistividad, el gradiente termal es resuelto en la 
dirección del flujo calórico. Notar que en ambos casos la dirección del flujo calórico y el gradiente termal son los 
mismos. En un material isotrópico, la resistividad y la conductividad son siempre recíprocos, pero en un material 
anisotrópico, este es el único caso sobre los ejes principales. 
Mauricio Domcke G. 
 
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F. Michael Dobbs Página 20 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2.4. Propiedades ópticas de los minerales 
Figura 2.7. Las dos secciones principales de la superficie de representación que describe la variación del 
coeficiente de difusión en el mineral ortorrómbico olivino. En esta ocasión a : b ; c toman los valores de 
0.48 : 0.55 : 0.09 respectivamente. 
 
 2.4.1. Variación del índice de refracción en un cristal - indicatriz óptica 
 
 Las propiedades ópticas, deben ser expresadas en términos que permitan relacionar 
el vector causa con el vector efecto. 
 
 El índice de refracción (n) de un medio isotrópico, se define como la razón entre la 
velocidad de la luz en el vacío (c), y la velocidad de la luz del medio (v). i.e., n = c/v. En un 
mineral, este índice de refracción se representa como cualquier tensor de segundo rango, 
con todas las propiedades, restricciones y alcances mencionados anteriormente. La forma 
más general corresponde a una elipsoide denominada indicatriz óptica. 
 
 2.4.2. Control de la simetría en la variación del índice de refracción en un cristal 
 
 La variación del índice de refracción en un cristal se analiza de forma análoga a la 
realizada en la sección 2.2 de este escrito. 
 
i. En el sistema cúbico, no existe variación con la dirección del índice de refracción y 
entoncesla elipsoide se transforma en una esfera que tiene como eje único el 
valor de “n”. 
 
ii. Para cristales que pertenecen al sistema tetragonal, hexagonal y trigonal, la 
indicatriz óptica se transforma en una elipsoide de revolución, con sección circular 
normal a los ejes 3 ó 4 ó 6. Se deben indicar dos valores principales para los ejes, 
e y o (de extraordinario y ordinario respectivamente). Figura 2.8.a. 
 
iii. Para cristales de menor simetría se deben indicar tres valores principales para los 
índices de refracción. Estos son α < β < γ. Figura 2.8.b. 
Mauricio Domcke G. 
 
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F. Michael Dobbs Página 21 
 
 
 Frecuentemente resulta útil 
imaginar la indicatriz óptica, 
como una superficie inmersa 
dentro del cristal. Gracias a lo 
anterior, se ha conseguido 
identificar con claridad la 
relación existente entre los ejes 
cristalográficos y la indicatriz 
óptica. La Figura 2.9 muestra 
dos claros ejemplos de 
visualización. En el cuarzo 
(quartz), la indicatriz es más 
extendida en la dirección 
paralela al eje c, debido a que e 
> o. Para tales casos, se refiere 
a cristales ópticos positivos. 
Para la calcita (calcite), la cual 
representa el caso contrario, se 
denomina cristal óptico negativo. 
 
Figura 2.8. La variación con la dirección del índice de refracción en un cristal, es descrita por una elipsoide 
denominada indicatriz óptica. 
Figura 2.9. Relación entre la orientación óptica de una indicatriz 
uniaxial y la orientación cristalográfica. 
Mauricio Domcke G. 
 
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F. Michael Dobbs Página 22 
 El eje normal a una sección isotrópica 
es denominado eje óptico. En un cristal 
uniaxial, el eje óptico es perpendicular al 
plano xy¸ ordinario. Para cristales biaxiales, 
existen dos secciones isotrópicas, una de 
ellas se muestra en Figura 2.9.a. El ángulo 
entre los dos ejes ópticos es denominado 
2vγ (Figura 2.9.b). Si 2vγ < 90°, el cristal es 
óptico positivo y si 2vγ > 90°, el cristal es 
óptico negativo. 
 
 
 
 2.4.3. Birrefringencia 
 
 El comportamiento óptico de un cristal es consecuencia de las propiedades 
anisotrópicas que posee. Dicho con 
mayor simpleza, si un rayo de luz 
incidente atraviesa un cristal 
anisotrópico, da origen a dos rayos 
refractados, en vez de uno. Estos dos 
rayos refractados siempre se polarizan 
en planos perpendiculares entre si, 
por lo que se tienen dos índices de 
refracción diferentes. Si los índices de 
refracción son bastante distintos, y el 
cristal es suficientemente grueso, los 
dos rayos pueden ser fácilmente 
separados, debido a la diferencia en el 
ángulo de refracción. La doble 
refracción de la calcita (Figura 2.11) 
ilustra claramente esta situación. La 
diferencia numérica entre los dos índices de refracción es denominada birrefringencia. La 
calcita, es uno de los minerales que posee mayor birrefringencia. 
Figura 2.10. Ejes ópticos para un cristal biaxial 
Figura 2.11. Doble refracción en la calcita 
 
Mauricio Domcke G. 
 
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F. Michael Dobbs Página 23 
 Resulta importante interpretar la birrefringencia en términos de la relación que existe 
entre la orientación del rayo de luz incidente y la 
orientación de la indicatriz, y entonces visualizar cómo 
la birrefringencia depende de la orientación. Notar que 
el vector luz eléctrica E, el cual interactúa con el cristal, 
es siempre perpendicular a la dirección del rayo, 
debido a esto, los dos rayos refractados vibran en 
direcciones ortogonales entre sí. El plano en que estos 
dos rayos refractados vibran, es el plano normal a la 
dirección del rayo incidente. 
 
 La Figura 2.12 ilustra la anterior situación con un 
rayo incidente en una indicatriz uniaxial. El plano 
normal al rayo incidente (e’o) define una sección 
elíptica dentro de la indicatriz (línea segmentada), Las 
vibraciones E de los rayos refractados se deben 
encontrar dentro de la sección e’o. Los dos ejes 
principales de esta sección definen las dos direcciones de vibración, y las dimensiones de 
los semiejes mayor y menor definen los dos índices de refracción. 
 
Figura 2.12. Rayo incidente en una 
indicatriz uniaxial. El vector E se 
encuentra inmerso en el plano e’o. 
 
 En la Figura 2.12., se puede ver, que si el rayo incide a través del eje óptico, los dos 
rayos refractados tendrán direcciones o y o, e índices de refracción de igual magnitud, por 
lo que la birrefringencia es nula. Por otro lado, si el rayo incidente entra a través de la 
dirección de o (cualquiera de los dos semiejes), los rayos refractados se propagarán a 
través de e y o (este último ortogonal a la dirección del rayo incidente), y la diferencia de 
los índices de refracción (birrefringencia) es la máxima que se puede tener dentro de la 
indicatriz. 
 
 Finalmente, se debe considerar un último aspecto al respecto de la doble refracción. 
Hasta ahora, no se ha impuesto ninguna restricción del estado de polarización del rayo 
incidente. Sin embargo, Si deseamos describir las relaciones de fase entre los dos rayos 
refractados, el rayo incidente debe ser polarizado plano. Esto se consigue haciendo pasar 
luz ordinaria a través de un filtro polaroide (polarizador) antes de que entre al cristal. 
(Figura 2.13). 
 
Mauricio Domcke G. 
 
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F. Michael Dobbs Página 24 
 
 
Figura 2.13. Una rayo de luz no polarizado, el vector eléctrico E oscila en todas las direcciones normales a la 
dirección del rayo incidente. Cuando este pasa a través de un polarizador, sólo la componente de E a lo largo 
del eje de transmisión del polaroide es transmitido, resultando un rayo de luz polarizado. 
 
 Cuando este rayo incidente polarizado entra a una sección del mineral, es dividido en 
dos rayos refractados, cada uno inicialmente de igual fase. A medida que los dos rayos 
pasan a través del mineral se va produciendo una diferencia entre ellos que deja a uno 
más retrasado, ya que experimentan índices de refracción diferentes y por lo tanto 
velocidades de propagación distintas. Estos salen del mineral vibrando en direcciones 
ortogonales, las que generarán componentes en un segundo filtro polaroide (analizador) 
cuya dirección de polarización es perpendicular al polarizador (primer filtro). Esta situación 
se denomina luz cruzada, y sirve para analizar las direcciones de polarización de la luz 
que pasan por un cristal. (Figura 2.14) 
 Si un cristal es isótropo, el vector E incidente pasará a través de él sin cambiar su 
orientación por lo tanto será bloqueado por el analizador. Se dice que el cristal esta en 
extinción; un cristal isótropo está siempre en extinción. 
 
 En un cristal anisótropo el vector incidente E será dividido en dos componentes 
ortogonales. Sin embargo si este es paralelo a una de esas direcciones solo uno de los 
componentes será transmitido, el estado de polarización permanecerá sin cambios y por 
tanto el analizador bloqueará al rayo. Esto es una posición de extinción. 
 
 Existe otra posición de extinción al rotar 90º el cristal de tal forma que el vector 
incidente E es paralelo al otro componente. 
 
Mauricio Domcke G. 
 
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Andrew Putnis, Cambridge University Press. 
 
 
F. Michael Dobbs Página 25 
 
 
Figura 2.14. Esquema de polarización de luz similar al Microscopio. 
2.4.4. Colores de interferencia 
 
La mayoría de losminerales muestran una birrefringencia menor que la calcita, por 
tanto esta propiedad no es notable sin utilizar un microscopio petrográfico. Un rayo de luz 
polarizada plana que atraviesa un mineral anisótropo se parte en dos rayos de distinto 
índice de refracción, distinta velocidad de transmisión. Entonces si recorren la misma 
distancia (espesor del corte de roca, 30 μm), emergerán en una posición diferente en la 
onda, desfasados. La extensión del desfase depende de la diferencia de índices de 
refracción. Los dos rayos que vibran ortogonales, vectores E ortogonales, con diferencia 
de fase entre ellos, se recombinan en el analizador formando una sola onda que es el 
resultado de la interferencia entre las dos que emergen del cristal. En el caso de una 
iluminación blanca la interferencia resulta de la destrucción de ciertas longitudes de onda, 
dando como resultado un color de interferencia característico. Si los minerales son 
examinados en una sección transparente estándar, los colores de interferencia se 
relacionan directamente con la birrefringencia. 
 
 2.5. Una nota en las propiedades elásticas de los minerales 
 
Aún cuando al inicio de este capítulo se mencionó que las propiedades elásticas se 
encuentran en una categoría distinta a las propiedades de segundo rango, se hará una 
breve referencia a ellas. 
 
En el análisis del comportamiento de los minerales ante las solicitaciones de esfuerzo 
diferencial se usa la relación existente entre el tensor de esfuerzos σ y el tensor de 
deformaciones λ (elipsoides). En el ámbito de la deformación elástica estos tensores 
Mauricio Domcke G. 
 
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F. Michael Dobbs Página 26 
están linealmente relacionados por las constantes elásticas del cristal. El caso más 
general, el triclínico, necesita de 21 de ellas, las que se reducen a 3 en los minerales 
cúbicos. Para agregados sólidos isótropos, vidrios y rocas policristalinas, hay dos 
constantes elásticas, el Módulo de Young (σ/ε) y el de Poisson (-ε'/ε, donde ε corresponde 
a la deformación en la dirección del esfuerzo y ε' la deformación en las direcciones 
ortogonales). 
 
2.6. Relación entre anisotropía y estructura cristalina 
 
La relación entre estas es evidente. En algunos minerales que presentan una extrema 
anisotropía como el grafito, este tiene una estructura conformada por capas de carbono 
fuertemente enlazados a una distancia de 1.42Ǻ, (Figura 2.15.a) mientras las capas se 
enlazan débilmente a una distancia de 3.35Ǻ. Estas capas son fácilmente separadas, lo 
que le confiere la suavidad característica. Esta fuerte anisotropía explica que la 
resistividad eléctrica perpendicular a las capas sea de 5 * 10-3 Ωm y la paralela a las 
capas sea de 5 * 10-6 Ωm, es decir, el grafito es semiconductor perpendicular a las capas 
y es conductor metálico paralelo a estas. Similar a la conductividad térmica que es 
28.3*10-6K-1 perpendicular a las capas y virtualmente cero paralelo a las capas. 
 
Para la calcita es evidente con los índices de refracción, dado que si el vector E vibra 
paralelo a los planos CO3 el índice de refracción es de 1,658 y si E vibra perpendicular a 
estos, entonces el índice es de 1.486, debido a la perturbación del campo eléctrico 
provocado por los oxígenos vecinos en las capas. (Figura 2.15.b). 
 
 
 
Figura 2.15. (a) Estructura del grafito. Capas de átomos de carbono dispuestos en las esquinas de una malla 
hexagonal. (b) Estructura de la Calcita. 
2.7. Anisotropía y la forma externa de los minerales 
 
La interpretación científica de la morfología de los minerales comienza con Bravais 
alrededor de 1850, quien postuló que las caras de un cristal deberían ser aquellas que 
mostraban una mayor densidad de puntos de red. A principios del siglo XX, se 
introdujeron sofisticaciones a estos postulados; pero sin tomar en cuenta los arreglos 
Mauricio Domcke G. 
 
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F. Michael Dobbs Página 27 
atómicos ni los tipos de enlaces que participan, por tanto no son aplicables al tratar de 
predecir la estructura de superficie. 
 
Hartman y Perdok en 1955 relacionan la morfología a direcciones estructurales 
importantes, esto es, direcciones que contienen una cadena de elementos fuertemente 
enlazados, llamadas cadenas de enlace periódico. Asbestos fibrosos, micas en capas son 
ejemplos de esto. En estructuras más complejas la relación no es tan evidente lo que es 
expresado por la introducción de impurezas en el ambiente de crecimiento. 
 
 
 
Mauricio Domcke G. 
 
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F. Michael Dobbs Página 28 
3. LA ESTRUCTURA CRISTALINA DE LOS MINERALES I 
 
 3.1. Enlaces en estructuras cristalinas 
 
 Un enlace es la fuerza cohesiva que mantiene unidos a los átomos dentro de una 
estructura, existen en los sólidos cristalinos enlaces en las tres dimensiones y son 
esencialmente cuatro. 
 
i. Metálico: En un átomo de elementos metálicos usualmente hay una, dos o 
raramente tres valencias de electrones exteriores débilmente ligadas al núcleo, por 
lo que pueden ser removidas para formar un ion positivo. En una estructura 
metálica, cada átomo aporta estos iones los cuales se mueven libremente como 
en un “mar” de electrones, el cual provee el “pegamento” necesario para enlazar a 
otros iones y formar el enlace. 
 
ii. Covalente: Comparten uno o más electrones del orbital externo, provocando un 
traslape de orbitales, que define la dirección del enlace. La coordinación entre 
átomos vecinos con enlaces covalentes está restringida y bien definida 
 
iii. Iónico: El llenado del faltante del orbital externo es realizado por transferencia de 
electrones desde un átomo al otro, tal que resulta un anión y un catión con 
simetría esférica. Fuerza electrostática y empaquetamiento cerrado. 
 
iv. Van der Waals: Es la débil atracción universal existente entre átomos y moléculas 
neutras que se encuentran muy cerca. La explicación de este enlace yace en que 
aún en una carga neutra existe una distribución de cargas la que fluctúa 
rápidamente produciendo esta pequeña vibración lo que posibilita el enlace. 
 
 
 3.2. Descripción de estructuras cristalinas 
 
 Existen distintas formas de describir una estructura cristalina. La más precisa es 
especificar la forma y tamaño de la celda unitaria (es decir, el sistema cristalino y los 
parámetros de la red) y alistar las coordenadas de cada tipo de átomo que se encuentra 
dentro de la celda. Esta forma no es clara en la visualización de la estructura y la 
comparación con otras, por lo que existen maneras alternativas de describir el arreglo de 
átomos en la estructura y la más simple es la de empaquetamiento cerrado. 
 
 
 3.2.1. Estructuras de Empaquetamiento Cerrado (EC). ECCúbico y ECHexagonal 
 
Se trata de describir la estructura como si fuesen esferas idénticas ordenadas en una 
caja de tres dimensiones. Este concepto es directamente aplicable a las estructuras de los 
metales, pero también es útil para muchas otras estructuras donde la ocupación del 
espacio por átomos es de importante consideración. 
 
 La Figura 3.1muestra un empaquetamiento de esferas (radio = r) bidimensional, en el 
cual cada esfera se encuentra en contacto con seis otras. Dentro de este 
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F. Michael Dobbs Página 29 
empaquetamiento, existen 3 direcciones de empaquetamiento a 60°. La celda unitaria que 
repite este patrón bi-dimensional es hexagonal,con parámetros de red a = 2r. 
 Para construir una estructura tri-dimensional, se superponen capas idénticas una 
sobre otra, y la mejor forma de 
hacer esto, es que las esferas de 
la capa superior, llenen los 
espacios que deja la capa inferior. 
 
 Refiriéndose a la primera capa 
como la capa A, se puede apreciar 
que existen dos sitios que la capa 
posterior puede ocupar, 
denominados B y C en la Figura 
3.1. La segunda capa puede 
ocupar todos los sitios B (con lo 
que se transforma en la capa B), o 
todos los sitios C (con lo que se 
transforma en la capa C). En 
superponer la capa B o C, la 
diferencia yace meramente en rotar la capa con una esfera como pivote en un ángulo de 
180°, por lo que no hay diferencia geométrica. Se escoge por conveniencia alfabética la 
capa B, obteniendo un arreglo de capas AB. 
 
 Sin embargo, la elección de la tercera capa tiene altas consecuencias. Nuevamente 
existen dos posibilidades; la capa se puede posicionar directamente por sobre la capa A, 
o lo puede hacer por sobre las posiciones C. La primera opción provoca una secuencia de 
capas ABA, la que si se repite de la misma forma proporciona un arreglo ABABAB... el 
cual es llamado Empaquetamiento Cerrado Hexagonal (ECH). La segunda opción, 
conduce a una secuencia de capas ABCABC... la cual es llamada Empaquetamiento 
Cerrado Cúbico (ECC). Se verá cada una a continuación en más detalle. 
 
 La Figura 3.2 ilustra un ECH. La celda unitaria es descrita por la repetición hexagonal 
en la capa A (ah = 2r) con la dimensión de c (ch) igual al doble del ancho de la capa. 
Inspecciones de la superposición 
de capas revelan que los átomos 
en la capa B no poseen el mismo 
entorno que los de la capa A, (la 
orientación de los enlaces es 
diferente), por lo que la celda es 
primitiva con puntos de la red sólo 
en las esquinas. Los planos de 
empaquetamiento cerrado son 
paralelos a (001). Muchos metales 
poseen esta estructura de 
empaquetamiento cerrado, 
incluyendo al magnesio (a = 3.21Ǻ 
y c = 5.21Ǻ), zinc (a = 2.66Ǻ y c = 
4.95Ǻ) y el titanio (a = 2.51Ǻ y c = 
4.68Ǻ). 
Figura 3.1. Una capa simple de esferas de radio r . Existen dos 
tipos de sitios en esta capa denominados B y C respectivamente. 
 
Figura 3.2. ECH genera esta estructura, con átomos en las 
posiciones coordenadas 0,0,0 y 1/3,2/3,1/2 en cada celda unitaria. 
El conjunto de átomos a la altura z = ½ genera la capa B en el 
empaquetamiento cerrado ABAB... y es mostrado con color negro 
en la Figura. 
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F. Michael Dobbs Página 30 
La Figura 3.3 ilustra el ECC. Se podría describir la celda unitaria de esta estructura de 
la misma manera que se hizo para el ECH, es decir, basándose en la celda unitaria 
hexagonal de la capa A, pero ahora existe una repetición de tres capas. Por lo anterior, 
esta estructura se describe en base a la celda unitaria hexagonal pero con repetición de 
tres capas en la dirección de c; A, B y C, las que tienen todas idéntico ambiente 
definiendo una celda unitaria cúbica centrada en las caras. El Cu (a = 3.61Ǻ), Ag (a = 
4.08Ǻ), Au (a = 4.07Ǻ) y Al (a = 4.05Ǻ) son algunos de los muchos metales que 
presentan estructuras ECC. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Otra estructura comúnmente adoptada por los metales es la cúbica de cuerpo 
centrado, la que contiene un átomo 
en el centro del cubo cuyo ambiente 
es idéntico al de los vértices y por 
ello cada átomo está en un nodo de 
la red. Esta estructura (Figura 3.4) la 
encontramos en el Na (a = 4.22Ǻ), 
Cr (a = 2.88Ǻ) y Fe (a = 2.87Ǻ). 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.4. Estructura cúbica de cuerpo centrado con 
átomos en las posiciones 0,0,0 y 1/2,1/2,1/2 en cada 
celda unitaria. 
Figura 3.3. (a) ECC ABCABC... mostrado en la misma orientación que en la Figura 3.2, con los átomos A 
en la posición 0,0,0; Los átomos B en la posición 1/3,2/3,1/3 y los átomos C a 2/3,1/3,2/3 en una celda 
unitaria. (b) Muestra la celda cúbica convencional, es el mismo arreglo, pero organizado en las tres 
dimensiones. El sombreado de los átomos es congruente con el de la Figura (a) para mostrar la relación 
entre las dos orientaciones. Se observa que se disponen en planos del tipo (111).
 
 3.2.2. Sitios intersticiales en Estructuras de Empaquetamiento Cerrado 
 
 Varias estructuras simples de minerales pueden ser descritas en términos de aniones 
ordenados en un empaquetamiento cerrado aproximado, en donde pequeños cationes 
ocupan los espacios intersticiales. 
 
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 Lo primero entonces, es describir las formas de los sitios producidos entre tales iones. 
Estos sitios se encuentran entre dos capas empaquetadas y son los mismos tanto para 
ECC como para ECH. (Figura 3.5) 
 
 
(a) 
 
(b) (c) (d)
 
 Figura 3.5. En (a), dos capas con empaquetamiento cerrado muestran los dos tipos de sitios 
intersticiales entre átomos con estructura tipo empaquetamiento cerrado. La capa de átomos sombreados 
se encuentra bajo la sin sombra. 
 En Figura 3.5, los intersticios etiquetados con “x” están envueltos por cuatro átomos 
empaquetados, los cuales forman un tetraedro apuntando hacia “afuera”, tal como se 
muestra en (3.5c). Existen otros sitios similares a los anteriores, pero con el tetraedro 
formado por los átomos apuntando hacia “adentro,” este tipo se muestra en (3.5b). Los 
sitios etiquetados con “•”, son octaédricos y su número de coordinación es seis (un 
octaédro lo forman 6 vértices), tal como se muestra en (3.5d). Considerando lo anterior, 
se debe hacer notar que en una estructura de empaquetamiento cerrado, ya sea cúbico o 
hexagonal, existe el doble de sitios tetraédricos al respecto de los octaédricos. 
 
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 Las Figuras 3.6 y 3.7 muestran la orientación y posición de octaedros y tetraedros 
para ECC y ECH. Por simplicidad, se muestra un solo sitio para cada caso. 
 
 
Figura 3.6. Empaquetamiento cerrado cúbico. En (a) se muestran las 
posiciones de los sitios tetraédricos, mientras que en (b), las de los 
octaédricos. Ambos para una celda unitaria. 
 
(a) (b) 
Figura 3.7. Empaquetamiento cerrado hexagonal. En (a) se muestran las 
posiciones de los sitios tetraédricos, mientras que en (b), las de los 
octaédricos. Ambos para una celda unitaria. 
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Aunque los sitios intersticiales están presentes en la misma proporción en la ECC y 
ECH, sus orientaciones en la celda unitaria en relación al empaquetamiento cerrado es 
distinta en cada caso. 
 
En las figuras anteriores (3.6 y 3.7) se muestran los sitios en relación a las celdas 
unitarias en los que se ha destacado solo uno de ellos. En la estructura ECC hay cuatro 
iones de empaquetamiento cerrado por celda unitaria, entonces, existen cuatro sitios 
octaédricos y ocho sitios tetraédricos por cada una. En la estructura ECH hay dos iones 
de empaquetamiento cerrado por tanto existen dos sitios octaédricos y cuatro tetraédricos 
por celda unitaria. 
 
Una consideración importante para este tipo de análisis es la regla de la razón de 
radios: r / R, para un sitio tetraédrico r / R ≥ 0,225 y para uno octaédrico r / R, = 0,414 
 
 
 3.2.3. Estructuras tipo basadas en empaquetamiento cerrado 
 
Si se consideran estructuras simples basadasen iones ordenados en 
empaquetamiento cerrado, los cuales serán usualmente aniones (X) y cationes (M) en los 
sitios intersticiales, se pueden definir algunos tipos estructurales importantes. 
 
 
i. Empaquetamiento cerrado cúbico (ECC) con todos los sitios octaédricos 
ocupados. Esta es la estructura de la bien estudiada halita. 
 
Halita (NaCl): Su celda unitaria es 
cúbica con a = 5.62Å y su red de 
Bravais es F, por lo que se tiene un 
octaedro en el centro (juntando los 
seis puntos del “centrado en las 
caras”). Los aniones Cl- se 
encuentran en las esquinas y en el 
centro “a 1”, y en los puntos medios 
“a 1/2”. Por el contrario, los cationes 
Na+ se encuentran “a 1/2” en las 
esquinas y en el centro, y “a 1” en 
los puntos medios. Los enlaces Na-
Cl se realizan entre las aristas del 
cubo y dada la coordenada z de los 
iones, la distancia del enlace es a/2 
= 2.81 Å. (La escritura “a 1” ó “a 1/2” 
es una manera de mostrar la 
coordenada z de los iones). (Figura 3.8) 
 
Figura 3.8. Estructura de la Halita 
 
 
 
 
 
 
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ii. Empaquetamiento cerrado cúbico (ECC) con la mitad de los sitios tetraédricos 
ocupados. La estequiometría de la estructura es MX y se llama estructura de la 
Esfalerita ya que es una de las estructuras del ZnS. 
 
 
 
Esfalerita o Blenda de Zinc (ZnS): Su 
celda unitaria es cúbica con a = 5.41Å y 
su red de Bravais es F, por lo que 
existen 8 tetraedros (uno por cada 
vértice del cubo). En los puntos de la 
red se encuentran los azufres (S-) y los 
cationes (Zn+) ocupan sólo la mitad de 
los tetraédros (2 por arriba en la 
diagonal y al inverso los de abajo). Por 
esto se puede representar como ECC 
semi-tetraédrico donde los aniones 
ocupan las esquinas y el centro “a 1”, y 
los puntos medios “a 1/2”, mientras que 
para los cationes las coordenadas son 
(1/4,1/4,1/4); (1/4,3/4,3/4); (3/4,1/4,3/4); 
(3/4,3/4,1/4). La distancia del enlace Zn-
S es de 2.34 Å. (Figura 3.9) 
Figura 3.9. Estructura de la Esfalerita 
 
 
 
iii. Empaquetamiento cerrado cúbico (ECC) con todos los sitios tetraédricos 
ocupados. La estequiometría es ahora M2X o MX2 dependiendo del ion que esté 
en empaquetamiento cerrado. La estructura es llamada estructura de la Fluorita, 
CaF2, en donde el Ca2+ está en arreglo de empaquetamiento cerrado y el F- en los 
sitios intersticiales. El caso contrario se conoce como estructura Anti- Fluorita. 
 
Fluorita (CaF2): Su celda unitaria es 
cúbica con a = 5.46Å y su red de 
Bravais es F, por lo que existen 8 
tetraedros (uno por cada vértice del 
cubo). En los puntos de la red se 
encuentran los cationes Ca2+ (a 
excepción de los demás ECC) y 
ocupando todos los sitios tetraédricos 
los aniones F-. Debido a lo anterior, es 
que se puede describir la estructura 
como ECC tetraédrico con los cationes 
ocupando los vértices y el centro “a 1”, y 
los puntos medios “a 1/2”, y los aniones 
en filas y columnas “a 1/4“ y “a 3/4“, y 
alternando en c también “a 1/4“ y “a 3/4“ 
(en total ocho aniones). La distancia del 
enlace Ca-F es de 2.36 Å. (Figura 3.10) 
Figura 3.10. Estructura de la Fluorita 
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iv. Empaquetamiento cerrado hexagonal 
(ECH) con todos los sitios octaédricos 
ocupados. El ejemplo tipo es la 
estructura del NiAs (Arseniuro de Ni). 
 
 
Arseniuro de Níquel (NiAs): Puede ser 
descrito como un ECH octaédrico con 
parámetros a = 3.6Å y c = 5.0Å, con 
los aniones (As) en las esquinas “a 1” 
y “a (1/3, 2/3,1/2)”, y los cationes Ni “a 
(2/3,1/3,1/4)” y “a (2/3,1/3,3/4)”. La 
distancia del enlace Ni-As es 2.43Å. 
(Figura 3.11) 
Figura 3.11. Estructura del Arseniuro de Níquel 
 
 
v. Empaquetamiento cerrado hexagonal 
(ECH) con la mitad de los sitios 
tetraédricos ocupados. Llamada 
estructura de la Wurtzita, otra de las 
formas del ZnS. 
 
Wurtzita (ZnS): Este polimorfo de la 
Esfalerita es descriptible mediante un 
ECH semi-tetraédrico, con parámetros 
a = 3.81Å y c =6.23 Å. Los aniones de 
azufre se encuentran en las mismas 
posiciones que en el NiAs, pero los 
cationes de Zn se disponen en todas 
las esquinas “a 5/8” y en la misma 
posición que el otro azufre “a 1/8”. La distancia del enlace Zn-S es de 2.34 Å. 
(Figura 3.12). 
Figura 3.12. Estructura de la Wurtzita 
 
 3.2.4. Minerales con estructura basada en Empaquetamiento Cerrado 
 
La Periclasa (MgO) y la Galena (PbS) tienen la estructura del NaCl, y así existen 
muchos otros óxidos y sulfuros cuyas estructuras se basan en los 5 tipos antes descritos, 
o en algunas de sus variantes. 
 
 
i. La estructura de la Calcopirita 
 
La composición es CuFeS2 y tiene una estructura basada en la blenda de zinc, con los 
átomos de S en ECC y con la mitad de los sitios tetraédricos ocupados, todos con sus 
ápices apuntando en la misma dirección. Si los átomos de Cu y Fe tuviesen una 
probabilidad de 0,5 en los sitios tetraédricos, entonces la estructura tendría desorden y su 
estequiometría sería (Cu,Fe)S2. Sin embargo, el ordenamiento de los cationes en ella, 
resulta del doblamiento de la celda cúbica en una dirección, formando una celda 
tetragonal. (Figura 3.13). 
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La probabilidad de variaciones de la razón Cu/Fe es mayor a alta temperatura, ya que 
existe un mayor desorden, el que disminuye en baja temperatura al adoptar la estructura 
doblada de la Esfalerita. A temperaturas altas la Calcopirita forma una solución sólida 
restringida, con una variación composicional entre Cu y Fe la que disminuye al bajar la 
temperatura hasta la fórmula inicial. Este proceso es común en varios minerales. (Figura 
3.14). 
 
ii. La solución sólida Troilita-Pirrotita (FeS-Fe1-xS) 
 
La estructura de la Troilita, FeS, está basada en del NiAs, con un ECH de los S y con 
el Fe ocupando los sitios 
tetraédricos. Bajo los 140ºC, la 
estructura sufre una pequeña 
distorsión, por tanto no puede seguir 
siendo descrita con el uso de una 
celda hexagonal, sino con una celda 
unitaria de tipo monoclínica y de 
mayor tamaño. (Figura 3.15) 
 
En altas temperaturas, la 
estructura NiAs del FeS puede 
variar sobre un rango de 
composiciones Fe1-xS produciendo 
vacantes en los sitios octaédricos. 
Los sulfuros de hierro con esta fórmula general se denominan Pirrotita, los que varían 
entre FeS y Fe7S8, hasta una vacante cada ocho átomos. El orden de estos sitios 
vacantes tiene una fuerte dependencia de la temperatura y la fugacidad de S. 
Figura 3.13. Estructura de la 
Calcopirita 
Figura 3.15. Troilita, FeS posee la estructura tipo NiAs cuando se 
encuentra sobre los 140°C. 
 
Figura 3.14. Posible variación composicional en la solución sólida 
de la parte central del sistema Cu-Fe-S. Las zonas sombreadas 
denotan tres soluciones sólidas existentes. La primera es cercana 
a la Bornita Cu FeS5 4 (bornite), luego la cercana a la Calcopirita 
CuFeS (iss) y finalmente la solución sólida de la Pirrotita (po) 2
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iii. La estructura del Corindón, Hematita e Ilmenita 
 
Los minerales Corindón (α-Al2O3), Hematita (α-Fe2O3) e Ilmenita (FeTiO3) tienen 
estructura derivada del NiAs, en en la cual losoxígenos presentan un empaquetamiento 
aproximadamente hexagonal y los cationes ocupando sitios octaédricos. Se distingue en 
la fórmula que la razón catión/anión no es 1, por lo que sólo dos tercios de los sitios 
intersticiales están ocupados, y dependiendo el ordenamiento de esta ocupación resulta la 
diferencia en la celda unitaria. (Figura 3.16). 
 
En la Ilmenita y Hematita la situación se complica ya que puede existir una sustitución 
de Fe por Ti, de hecho en la Ilmenita la mitad de los Fe están reemplazados por Ti, 
dependiendo de la temperatura podrá existir una solución sólida entre estos extremos la 
cual es limitada a baja temperatura. 
 
 
Figura 3.16. La estructura del Corindón. (a) Una capa de átomos de oxígeno empaquetados (círculos 
sin relleno) que muestran la ocupación ocatédrica de los sitios ocupados (átomos con relleno). (b) Los 
átomos de oxígeno en ECH, representados por las líneas horizontales denominadas ABAB... 
 
iv. La estructura de la Espinela 
 
Las Espinelas son un grupo de minerales del tipo AB2O4, cuyo nombre viene del 
MgAl2O4 y es descrita como una estructura en que los oxígenos son ECC y los cationes A 
y B ocupan un octavo de los sitios tetraédricos, y la mitad de los sitios octaédricos. La 
celda unitaria usual de ellos es A8BB16O32, la que es difícil de ilustrar y presenta una gran 
flexibilidad de ocupación por distintos cationes. Lo anterior la hace una estructura común 
dentro de un centenar de compuestos, incluidos varios minerales e importantes óxidos 
magnéticos comerciales. (Figura 3.17). 
 
La oxidación de la magnetita, Fe3O4, es provocada por el paso del ión Fe+2 a Fe+3, 
cuando todos los iones son trivalentes se provoca una estructura de Espinela defectuosa 
originando el mineral Maghemita, Fe21,67O32, esto tiene importancia en la propiedad 
magnética que pierde esta Espinela defectuosa, la que finalmente se convierte en 
Hematita. 
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La estructura de la Espinela es adoptada por algunos sulfuros, llamados 
Thioespinelas, las que tienen una composición variable en el rango de Fe-Co-Ni-S. 
 
Figura 3.17. Estructura de la Espinela AB2O4. La celda unitaria cúbica contiene 32 átomos 
de oxígeno en ECC. Para mostrar la distribución de los sitios catiónicos, la estructura puede 
ser descrita en términos de pequeños cubos denominados “A” y “B” en (a). “A” representa 
un tetraedro AO4 y “B” el cubo B4O4 los cuales albergan a los cationes B en sitios 
octaédricos. Para completar la estructura, la anterior distribución de cubos AO4 y B4O4 se 
ubican dentro de los octantes de un cubo mayor en los cuales existen átomos de A en las 
esquinas y centrados en las caras, como se muestra en (b). 
 
 
 3.2.5. Estructuras construidas de poliedros 
 
 A menudo, resulta bastante conveniente describir una estructura en términos de la 
coordinación de un catión dentro de un poliedro, y la manera en la cual estos poliedros se 
conectan entre ellos, ya sea compartiendo ápices, aristas o caras. En las estructuras de 
empaquetamiento cerrado mencionadas anteriormente, se dio cuenta de la coordinación 
de varios cationes. Por ejemplo, al mencionar que en la Esfalerita los cationes Zn 
ocupaban sitio tetraédricos, se aclaraba que su coordinación era 4. Por otro lado, en la 
Halita, al mencionar que el sodio se encontraba en un sitio octaédrico, se hacía mención 
tácita de que su número de coordinación era 6. (Un hexaedro regular (cubo) lo conforman 
8 vértices, por lo tanto su coordinación es 8, por otro lado, el octaedro lo conforman 6 
vértices por lo que su número de coordinación 
es 6). 
 
La estructura del NaCl que es de tipo ECC 
puede ser descrita también como octaedros 
que comparten aristas. Cada arista es 
compartida por dos octaedros; al centro del 
octaedro hay un átomo de Na y en cada vértice 
hay uno de Cl . La Figura 3.19 muestra que 
dentro de la celda unitaria del NaCl los sitios 
tetraédricos no están ocupados. 
 Figura 3.19. Estructura de la Halita, descrita 
en términos del compartimiento de aristas de 
octaedros 
 
 
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La estructura de la blenda de Zn 
puede ser descrita como tetraédros que 
comparten vértices. Cada vértice es 
compartido por cuatro tetraédros en 
cuyos centros se ubican los átomos de 
Zn. (Figura 3.20). 
 
Por otro lado, la estructura de la 
Espinela puede ser vista como fila de 
octaedros que comparten aristas, y que 
corren a lo largo de una de las 
diagonales del cubo, los que a su vez 
están unidos con las siguientes líneas 
de octaedros a través de tetraedros 
unidos por un vértice a los octaedros. 
Entonces, cada vértice esta compartido 
por tres octaedros y un tetraedro. 
(Figura 3.21). 
Figura 3.20. Estructura de la Esfalerita, descrita en 
términos de tetraédros, los cuales comparten vértices. 
 
 
 
i. Estructura de la Perovskita 
 
La Perovskita CaTiO3 tiene una 
estructura que es adoptada por muchos 
compuestos con fórmula general ABO3. 
La estructura ideal es cúbica con 
octaedros en cada vértice en un arreglo 
infinito de vértices compartidos. El catión 
A está al centro del cubo y coordinado a 
doce átomos de O, ubicados estos en la 
mitad de cada una de las aristas del 
cubo. En ésta disposición ideal, la razón 
de largos de enlace A-O a B-O debe ser 
igual a √2, (Figura 3.22). Cuando ésta 
condición no puede ser satisfecha la 
estructura se distorsiona cambiando la 
forma del octaedro o torciendo los 
enlaces entre los octaedros. Esto 
provoca una pérdida de simetría, la que 
en la mayoría de los minerales se recupera a muy altas presiones. Es por esto que se 
infiere que el manto inferior de la Tierra está conformado por perovskitas, MgSiO3, de alta 
simetría, (Figura 3.23). 
Figura 3.21. Parte de la estructura de la Espinela, en 
donde se muestra la relación existente entre los tetraedros 
AO4 y los octaedros BO6 en una cara (100) de la celda 
unitaria cúbica 
 
 
 
 
 
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ii. La estructura del Rutilo 
 
En el rutilo, la estructura forma cadenas de octaedros TiO6 a lo largo del eje c los 
cuales comparten aristas con los octaedros vecinos y están unidos mediante aristas 
opuetas con el octaedro del frente. La celda unitaria es tetragonal con parámetros a = b = 
4.59 Å, y c=2.96 Å. A altas presiones, el SiO2 posee la estructura del rutilo y el polimorfo 
de la Sílice se llama estishovita. Es una de las pocas estructuras donde el Si no aparece 
en coordinación tetraédrica con el O. (Figura 3.24). 
 
 
Figura 3.23. Dos modificaciones de la estructura de la Perovskita. (a) 
Rotación alternada de los octaédros BO64. (b) Desplazamiento de los Figura 3.22. La estructura cúbica 
cationes B 
 
de la Perovskita ABO3. 
Figura 3.24. La estructura del rutilo TiO6. (a) arreglo de cadenas de octaedros TiO que comparten aristas 6
vistas a su largo. (b) Vista de la estructura a lo largo del eje a, mostrando la cadena de octaedros. (c) Una 
vista de la estructura a través de [110] que muestra como las cadenas de octaedros se encuentran unidas 
lateralmente a través de sus esquinas. 
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4. LA ESTRUCTURA CRISTALINA DE LOS MINERALES II - SILICATOS 
 
El silicio es el segundo elemento en abundancia en