4a_Lista_de_Exercicios_Gabarito

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 EQE 400 - Modelagem e Dinâmica de Processos / 2011-2 
 
Quarta Lista de Exercícios (Sistemas de 1ª e 2ª ordens)∗ 
 
 
1. Como engenheiro(a) de processo, você está tentando estimar os parâmetros de um 
modelo para um processo que você acredita ser de primeira ordem (sem tempo morto). Às 
3:00h, você faz uma perturbação degrau ao processo. Às 4:00h, a saída do processo já 
alcançou 80% do seu valor final. Qual a constante de tempo do processo? 
 
2. Um(a) operador(a) de processos aplica uma perturbação degrau em uma variável de 
entrada às 2:00h e não observa resposta até às 2:10h. Ele(a) observa que a saída alcança 
90% do seu valor final de estado estacionário às 2:45h. Você acha que este é um processo 
de primeira ordem + tempo morto. 
 
Hora Entrada Saída 
1:00h 200 kg/h 100oC 
1:30h 200 kg/h 100oC 
1:59h 200 kg/h 100oC 
2:00h 225 kg/h 100oC 
2:10h 225 kg/h 100oC 
2:45h 225 kg/h 91oC 
depois das 5:00h 225 kg/h 90oC 
 
a) Qual é o tempo morto para este processo (mostre as unidades)? 
b) Qual é a constante de tempo para este processo (mostre as unidades)? 
c) Qual é o ganho do processo (mostre as unidades)? 
 
3. Considere o processo de misturação mostrado abaixo, onde parte da corrente de 
alimentação "by-passa" o tanque de mistura. 
 
a) Mostre que o processo tem uma função de transferência do tipo "lead-lag", se a entrada 
é Cf e a saída é C3. (Dica: Escreva o balanço de massa dinâmico em torno do tanque e 
um balaço estacionário em torno do ponto de mistura (depois da saída do tanque). Use a 
forma de variáveis desvio.) 
 
∗Problemas do Livro de Bequette (1998) e Ogunnaike e Ray (1996). 
 2
b) Seja F=2 m3/min, F1=1 m3/min, Cf=1 kgmol/m3, e V=10m3. Encontre o modelo no 
espaço de estados e a função e transferência representando o sistema. 
c) Considere um aumento degrau em Cf para 1.5 kgmol/m3. Encontre a resposta em C3 
para esta mudança. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Um sistema de segunda ordem tem a seguinte função de transferência: 
 
)s(U
1s5s25
5,2)s(Y
2 ++
= , 
 
onde a unidade do tempo é hora. O valor inicial, no estado estacionário, para a variável de 
saída é 20psig e da variável de entrada é 4gph (gph – galão por hora). No tempo t=0h, uma 
perturbação do tipo degrau negativo é aplicada, de 4gph para 3gpm. Pede-se: 
a. Qual é o valor final da variável de saída; 
b. Quando a variável de saída atinge pela primeira vez seu valor final? 
c. Qual é o valor mínimo da variável de saída? 
d. Quando a variável de saída atinge pela primeira vez seu valor mínimo? 
e. Faça um gráfico da resposta do sistema com o tempo. 
 
5. Considere a seguinte EDO de segunda ordem: 
 
ku
dt
duky
dt
dy)(
dt
yd
n212
2
21 +τ=+τ+τ+ττ , 
 
com as seguintes condições y'(0)=y(0)=u'(0)=u(0)=0. Pede-se: 
 
a. Encontre a transformada de Laplace da equação diferencial; escreva esta expressão na 
forma Y(s)=g(s)U(s); 
b. Admita que uma perturbação do tipo degrau de magnitude A na variável u ocorre no 
tempo t=0; encontre a resposta do processo no domínio do tempo usando frações 
parciais; 
c. Faça um gráfico da resposta do sistema com o tempo, usando como parâmetros k=1, 
τ1=3, τ2=10, para valores de τn variando de 3 a 10, e depois de -10 a 0. 
F 
Cf F1 
F2 
Cf 
C1 C3 
F3=F 
 3
 
6. Considere o seguinte sistema de EDOs: 
 
ukx
dt
dx
ukx
dt
dx
22
2
2
11
1
1
=+τ
=+τ
, 
 
com as seguinte relação y = x1 + x2, onde x1 e x2 são as duas variáveis de estado, y é a 
variável de saída e u é a variável de entrada. Pede-se: 
a. Mostre que estas duas equações podem equações podem ser combinadas em uma 
única equação na forma do Problema 5; encontre k e τn como função de k1, k2, τ1 e 
τ2; 
b. Admita que uma perturbação do tipo degrau de magnitude A na variável u ocorre no 
tempo t=0; encontre a resposta do processo no domínio do tempo usando frações 
parciais; 
c. Faça um gráfico de x1(t), x2(t) e y(t) para A=1, k1=-1, k2=2, τ1=3 e τ2=10. 
 
 
7. Como engenheira(o) de processos na Corporação Industrial Pólo Complexo, você é 
responsável por unidade com um reator químico exotérmico. A fim de aprender mais sobre 
a dinâmica do processo, você decide fazer uma perturbação degrau na variável de entrada, 
que é a temperatura da corrente de resfriamento do reator, de 10oC para 15oC. O reator 
estava operando inicialmente em regime estacionário. Você obtém o seguinte gráfico para 
sua variável de saída, que é a temperatura do reator. 
 
 
Pede-se: 
a. Qual é o valor do ganho estacionário do processo? (mostre unidades) 
b. Qual é o valor de τ? (mostre unidades) 
 4
c. Qual é o valor de ξ? (mostre unidades) 
d. Qual é o valor da razão de decaimento? 
e. Qual é o valor do período de oscilação? (mostre unidades) 
f. Escreva a função de transferência do processo. 
 
8. Um processo tem dois pólos e um zero. Os pólos estão localizados em -1 ± 0,5i e o zero 
está localizado em 0,5 (ver plano complexo abaixo). Esboce o tipo de resposta que você 
esperaria para uma perturbação do tipo degrau unitário na variável de entrada. Explique. 
Encontre a função de transferência e verifique seus resultados admitindo que o processo 
tem ganho unitário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9. Considere o seguinte modelo no espaço de estado: 
 
[ ] ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
2
1
2
1
2
1
x
x
10y
u
117,1
7
x
x
238,2833,0
0405,2
x
x
�
�
, 
 
Pede-se: 
a. Encontre a função de transferência g(s), onde Y(s)=g(s)U(s); 
b. Encontre os pólos e zeros; 
c. Faça um gráfico da resposta a uma perturbação do tipo degrau unitário; 
d. Faça um gráfico da resposta à perturbação do tipo impulso unitário. 
 
10. Uma engenheira de processo responsável pela operação de um reator químico 
complicado pede ao operador de processo para fazer uma perturbação degrau na vazão da 
corrente de resfriamento do reator (de 10gpm para 15gpm) às 2:00h. A temperatura do 
reator é inicialmente 150oC às 2:00h e cai para 115oC às 2:10h. Finalmente a temperatura 
do reator atinge o valor estacionário de 125oC. Admitindo que o processo é de segunda 
ordem, com )1s2s/(1)s(g 22 +ξτ+τ= , encontre k, ξ e τ (mostre as unidades). 
 
11. A resposta de um processo de segunda ordem sub-amortecido tem um tempo de subida 
de 1h, e apresenta um valor máximo de 15oC (em variáveis desvio), após uma perturbação 
degrau no tempo t=0. Após um longo período, a saída do processo é 12oC (novamente em 
variáveis desvio). Pede-se: 
Re 
Im 
(-1, 0,5) 
 (0,5, 0) 
 
(-1, -0,5) 
×
×
o 
 5
 
a. Qual é o valor de τ? 
b. Qual é o valor de ξ? 
c. Quais são os pólos? Mostre sua localização no plano complexo. 
 
12. Considere a função de transferência de terceira ordem abaixo, onde β é um parâmetro. 
Encontre as condições sobre o parâmetro β que resultarão em resposta inversa. 
 
)1s2)(1s3)(1s5(
)ss2()s(g
2
+++
β++= , 
 
Mostre seu trabalho e explique sua resposta. 
 
13. Considere a função de transferência de segunda ordem com dinâmica no numerador: 
 
)s(U
)1s)(1s(
)1s(k)s(Y
21 +τ+τ
+η= . 
 
Admita que τ1 representa a menor constante de tempo do denominador. Admita que uma 
perturbação do tipo degrau com magnitude A na variável de entrada do processo. Mostre 
que ocorre um máximo na resposta y(t) se η>τ2, e que um mínimo ocorre se η<0 
(indicando resposta inversa). Mostre também que não existe ponto de máximo ou mínimo 
se 0<η<τ2. Dica: lembre-se que um ponto de máximo ou mínimo em y(t) implica que 
dy(t)/dt=0. 
 
14. Considere a seguinte função de transferência: 
 
1s4s3
2s12)s(g
2 ++
+= . 
 
Pede-se: 
 
a. Escrevag(s) na forma polinomial: 
1s2s
)1s(k
)s(g
22
1
+ξτ+τ
+η= ; 
b. Escreva g(s) na forma com ganho e constantes de tempo: 
)1s)(1s(
)1s(k
)s(g
21
1
+τ+τ
+η= ; 
c. Escreva g(s) na forma com pólos e zeros: 
)ps)(ps(
)zs(k
)s(g
21
11
−−
−= . 
 
15. Considere o problema dos tanques em série que interagem. Desenvolva as equações do 
modelo para os tanques, de forma similar ao problema dos tanques em série sem interação, 
mas observando que a vazão de saída do tanque 1 é diretamente proporcional à diferença 
entre as alturas dos tanques 1 e 2, respectivamente. Escrevas as equações no domínio do 
tempo, use a transformada de Laplace para escrevê-las do domínio s, e então rearranje as 
equações de modo a relacionar a altura do tanque 2 (Segunda variável de estado) em função 
 6
da vazão de alimentação do primeiro tanque (variável de entrada). Compare as função de 
transferência com aquela obtida para o caso dos tanques em série sem interação. 
 
16. Considere um reator contínuo do tipo tanque agitado onde ocorre a reação irreversível 
A→B. As equações do modelo são: 
 
B
e
A
B
Ae
e
A
eA
C
V
F
kC
dt
dC
C
V
F
Ck
V
F
dt
dC
−=
+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=
. 
 
Os seguintes parâmetros e valores das variáveis de entrada no estado estacionário são: 
EEe )V/F( =0,2 min
-1, k=0,2 min-1, (CAe)EE=1 gmol/L. Considere para o seu problema que a 
variável de entrada é CAe e a variável de saída é CB. Observe que os valores das variáveis 
de estado no estado estacionário são (CA)EE=(CB)EE=0,5 gmol/L. Pede-se: 
 
a. Mostre que a função de transferência relacionando a concentração de A na 
alimentação com a concentração de B é: 
 
)1s5,2)(1s5(
5,0)s(g ++= 
 
onde o ganho é dado em (gmol de B/L)/(gmol A/L), e a unidade de tempo é minuto. 
 
b. No tempo t=0 aplica-se uma perturbação pulso de magnitude 0,5 gmol de A/L e 
duração de 1min. Use transformada de Laplace e mostre como a variável de saída 
varia com o tempo. 
c. Faça um gráfico mostrando a resposta do sistema. 
 
17. A unidade de produção de um certo polímero consiste basicamente do conjunto 
mostrado na figura abaixo: um pré-misturador e um reator conectados em série por um tubo 
cujo comprimento não é desprezível. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solvente 
FS 
(1-ρ)FT 
ρFT 
Monômero 
Polímero 
Pré-Misturador Tubulação Reator 
Catalisador 
 7
O pré-misturador é um tanque agitado no qual uma elevada corrente de solvente 
inerte S (vazão volumétrica FS) é misturada com uma pequena vazão de agente de 
transferência de cadeia A (vazão volumétrica FT). De acordo com o projeto, uma fração ρ 
da corrente de agente de transferência de cadeia é alimentada diretamente na saída do pré-
misturador. O monômero M e o catalisador C são alimentados no reator contínuo do tipo 
tanque agitado, como também a corrente diluída de agente de transferência de cadeia do 
pré-misturador. O polímero é retirado na saída do reator e separado do monômero não 
reagido e solvente em outra seção que não é de nosso interesse agora. 
O objetivo principal é controlar a viscosidade da solução polimérica normalizada 
ajustando-se a razão FT/FS. As variáveis pertinentes são definidas a seguir, em termos e 
desvios a partir dos valores estacionários: 
 
u = razão FT/FS; 
v = concentração do agente de transferência de cadeia medida na alimentação do 
tubo; 
w = concentração do agente de transferência de cadeia medida na entrada do reator; 
y = viscosidade da solução polimérica normalizada na saída do reator. 
 
dado que as seguintes funções de transferência são razoavelmente adequadas para 
cada porção indicada do conjunto indicado: 
 
Pré-misturador: 
1s10
1s5)s(g1 +
+= , 
Tubulação: s62 e)s(g −= , 
Reator: 
1s12
25)s(g3 += , 
 
onde a unidade do tempo é minutos e todas as outras unidades são unidades normalizadas 
de acordo com padrões industriais para este produto, pede-se: 
 
a. Qual é a função de transferência global (para todo o processo de polimerização) que 
relaciona, em termos de variáveis desvio, a variável de entrada do processo (FT/FS) 
com a variável de saída (a viscosidade da solução polimérica normalizada)? 
b. Obtenha expressões matemáticas individuais para a resposta de v(t), w(t) e y(t) para 
um degrau de magnitude 0,02 em u(t). Esboce as respostas obtidas separadamente, 
mostrando claramente todas as características distintas importantes; 
c. Se uma modificação no processo tem o efeito aparente de deslocar a localização do 
zero de g1(s) de sua localização original no plano complexo para s=-0,05, esboce as 
novas respostas v(t), w(t) e y(t) para a mesma perturbação degrau de magnitude 0,02 
em u(t), admitindo que apenas a dinâmica do pré-misturador foi afetada pela 
modificação do processo. Mostre claramente todas as características distintas 
importantes de cada resposta. 
 
18. Após linearização do conjunto original de seis equações diferenciais ordinárias, não 
lineares e acopladas, que descrevem a dinâmica de um processo de separação industrial, 
simplificações adicionais e a transformada de Laplace resultaram na seguinte função de 
transferência relacionando a entrada com a saída do processo: 
 
 8
)s(U
)1s2,15()1s5,1(
3,10)s(Y
5 ++
= . 
 
Use seu simulador de processos favorito para obter a resposta deste processo a um degrau 
unitário e compare a resposta com aquela obtida a partir da função de transferência: 
 
1s2,15
e3,10)s(g
s5,7
+=
−
. 
 
Como esta função de transferência está relacionada com aquela obtida do modelo original 
do processo? Avalie a razoabilidade de utilizar esta função de transferência em lugar da 
original, mais complicada.