LISTA 3 ANÁLISE FREQUENCIAL

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
EQE 478 – MOD. E DINÂMICA DE PROC. – LISTA (Data: São João de 2004)
PROF. MAURÍCIO BEZERRA DE SOUZA JÚNIOR
1) Trace esboços dos diagramas de Bode - RA (A.B.F. e A.A.F.; freqüências de quebra
e de ressonância) e ângulo de fase para a função de transferência descrita pelos
comandos abaixo do MATLAB:
num=4
den=[.5 .5 .5]
delay=1
G=tf(num,den,’iodelay’,delay)
2) Uma função de transferência usada em alguns controladores é a chamada LEAD-
LAG:
( )
( )G s K
s
s
( ) = ++
α
β
1
1
a) Para esta função, calcule RA;
b) Verifique as A.B.F. e A.A.F. para esta função;
c) Para esta função, calcule φ. Verifique o comportamento de φ a alta e a baixa
freqüência;
d) Faça esboços de RA e φ para K =1; β = 1 e:
i. α = 0,5
ii. α = 2.
e) Explique de onde vem o nome lead-lag.
3) Dê um exemplo de um processo que apresenta o fenômeno chamado de “resposta
inversa”. Na sua resposta explicite: i. a variável de entrada (perturbada) e a variável de
saída; ii. o comportamento esperado; iii. o comportamento inicial observado e iv. a
explicação física para a ocorrência de tal fenômeno.
4) Como distinguir se uma curva de resposta ao degrau que apresenta “overshoot” é de
um processo de segunda ordem com um zero ou de um processo de segunda ordem
(sem zero) subamortecido.
5) Considerando dois sistemas de primeira ordem com as respostas de frequência
mostradas abaixo, qual é os sistema que responde mais rapidamente a uma perturbação.
Por quê?
10-2 10-1 100 101 102
-100
-50
0
Frequency (rad/sec)
G
ai
n 
dB
10-2 10-1 100 101 102
-30
-60
-90
0
Frequency (rad/sec)
P
ha
se
 d
eg
Sist. 1
Sist. 1
Sist. 2
Sist. 2
6) Seja um Diagrama de Nyquist típico: a) Como este diagrama é traçado? b) Que
informações podem ser obtidas da função de transferência G(s) a partir do Diagrama?
7) Dê exemplos de processos da Engenharia Química - indicando quem é y’(s) (saída) e
x’(s) (entrada) - que apresentam as seguintes funções para G(s): a) tempo morto puro; b)
segunda ordem superamortecido (sem zero); c) segunda ordem subamortecido (sem
zero); d) segunda ordem superamortecido (com um zero negativo); e) f. de t. com um
zero positivo; f) terceira ordem; g) primeira ordem com tempo morto;
Se julgar necessário, faça figuras e/ou justifique suas escolhas. NÃO É NECESSÁRIO
DEDUZIR AS FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA, BASTA INDICÁ-LAS.
8) Obtenha a f. de t. (num2, den2) correspondente aos comandos abaixo no MATLAB:
num1=[1];
den1=[5 .5];
num2=num1;
den2=conv(den1,den1);
Esboce os Diagramas de Bode: RA (indicando A.B.F.; A.A.F.; freqüência de
quebra e ressonância, se houver) e φ.
9) O controlador PD ideal tem a seguinte f. de t.:
Gc = Kc[1 + (1/(τIs))+ τDs]
Por que seu angulo de fase é chamado de ângulo lead (avanço em português) e não lag
(atraso)? Justifique, calculando φ para esta f. de t.
10) Se uma função de transferência na forma y(s) = num(s) / den(s) é descrita no
MATLAB pelos comandos:
num = [2];
den = [4 2 2];
A função resultante exibe overshoot (quando perturbada por um degrau)? E
ressonância?
11) Sejam as funções de transferência abaixo. Indique para cada caso:
i. o número de zeros e seus valores;
ii. o número de pólos e seus valores;
iii. se a saída oscila quando a entrada for perturbada por um degrau (por análise
de pólos);
iv. se a saída é instável (ou seja, cresce indefinidamente) quando a entrada for
perturbada por um degrau (por análise de pólos).
a) y’(s)/u’(s) = 5 / s;
b) y’(s)/u’(s) = 5 / (s +1) (s +2)
c) y’(s)/u’(s) = 5 / (s2 + s + 1)
d) y’(s)/u’(s) = (10 s + 1) / (5 s + 1)
12) Considere o seguinte conjunto de reações em série e paralelo, ocorrendo em um
CSTR isotérmico, com volume e densidade constantes:
A → B → C
A + A → D (de segunda ordem em relação a A)
Onde k1 = (5/6) min-1; k2 = (5/3) min-1; k3 = (1/6) L/(mol) (min); (F/V) = 4/7. A
alimentação do reator está limpa dos componentes B, C e D, mas contém A com
concentração CAf.
Considere que as vazões de entrada e saídas são iguais a F e são constantes, mas que
CAf pode variar.
a) escreva as equações de balanço de massa para todos os componentes;
b) calcule as concentrações estacionárias de todos os componentes, considerando
CAf,e = 10 mol / L.
c) obtenha a função de transferência entre CA e CAf;
d) obtenha a função de transferência entre CB e CAf;
e) obtenha a função de transferência entre CC e CAf;
f) obtenha a função de transferência entre CD e CAf.
13) Um sistema apresenta os valores de RA indicados na Tabela abaixo. Identifique sua
função de transferência.
w (rad/min) RA
0,001 9,9995
0,01 9,9504
0,1 7,0711
1 0,9950
10 0,1
100 0,01
1000 0,001
Escreva a expressão para o ângulo de fase deste sistema? É lag ou lead?
14) Sejam os valores de RA e φ de um sistema desconhecido a várias freqüências. (a)
determine a ordem do sistema desconhecido; (b) verifique se há tempo morto; (c)
compute os valores dos parâmetros do sistema (por exemplo, ganho e constante de
tempo; ou ganho, período natural de oscilação e fator de amortecimento) e o valor do
tempo morto (se houver).
Freqüência
(rad/min)
RA φ
(rads)
0.01 10 -0,011
0.05 9.99 -0,055
0.1 9.99 -0,11
1 9.95 -1,0997
3 9.58 -3,2917
5 8.94 -5,4636
7 8.19 -7.6107
9 7.43 -9,7328
10 7.04 -10,7854
12 6.4 -12,8760
15 5.55 -15,9829
20 4.47 -21,1071
30 3.16 etc.
40 2.43
50 1.96
15) Sejam os diagramas de Bode de um sistema desconhecido. Repita os itens (a) a (d)
da questão anterior.
16) Um sistema com entrada f e saída y exibe a resposta abaixo quando foi perturbado
de seu EE inicial por um degrau de magnitude 3,5 em f.
(a) Obtenha uma função de transferência aproximada de primeira ordem com tempo
morto entre y’ e f’;
(b) Aproxime o tempo morto por Padé de primeira ordem. A função resultante exibiria
resposta inversa à mesma perturbação degrau do problema? Por quê?
NAS QUESTÕES 17 A 20, CONSIDERE TANQUES CILÍNDRICOS COM
VÁLVULA LINEAR NA SAÍDA.
17) Considere que um TANQUE 1 alimentado com uma vazão de 1 m3/h se encontra
inicialmente no EE. Se a vazão de entrada é aumentada de 10 %, a seguinte curva de
resposta é obtida.
i. qual o nível h1 estacionário inicial?
ii. Qual a função de transferência entre h1’ e Fi’?
iii. Qual o valor da área do tanque e da resistência da válvula?
18) Considere que uma análise de resposta frequencial foi procedida em um TANQUE
2 e os seguinte diagrama de Bode foi obtido:
Considerando que a variável de entrada é a vazão de alimentação do tanque e a de saída,
seu nível.
(c) obtenha a função de transferência entre h2’ e Fi’?
(d) qual o valor da área do tanque e da resistência da válvula?
(e) se a amplitude do sinal senoidal de entrada é 0,2, escreva a expressão da resposta de
h2’(t) decorrido um tempo suficientemente longo, supondo:
a) ω = 0,1 rad/min;
b) ω = 1 rad/min;
c) ω = 100 rad/min.
19) Se os tanques 1 e 2 forem acoplados em série sem interação:
a) obtenha a função de transferência entre h2’ e Fi’?
b) pela análise de pólos e zeros (se houver) indique se h2 exibirá overshoot quando Fi
variar conforme um degrau.
20) Se os tanques 1 e 2 forem acoplados em série com interação
a) obtenha a nova função de transferência entre h1’ e Fi’
b) obtenha a função de transferência entre h2’ e Fi’
c) pela análise de pólos e zeros (se houver) indique se h1 exibirá overshoot quando Fi
variar conforme um degrau.
d) pela análise de pólos e zeros (se houver) indique se h1 exibirá overshoot quando Fi
variar conforme um degrau.
21) Por que um sistema instável (com pólos positivos) não pode ser submetido a análise
de resposta freqüencial?