Lista 8 com gabarito

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MTM 5245 - A´lgebra Linear - Lista de Exercı´cios 08
Autovalores e autovetores de um operador linear e de uma matriz.
1. Determine os autovalores, autovetores e bases para os respectivos autoespac¸os das se-
guintes transformac¸o˜es lineares:
(a) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (x+ 2y,−x+ 4y);
(b) T : R2 −→ R2, T (x, y) = (2x+ 2y, x+ 3y);
(c) T : R3 −→ R3, T (x, y, z) = (x+ y + z, 2y + z, 2y + 3z);
(d) T : R3 −→ R3, T (x, y, z) = (x,−2x− y, 2x+ y + 2z);
(e) T : P2(R) −→ P2(R), T (ax2 + bx+ c) = ax2 + cx+ b.
2. Determine os autovalores, autovetores e bases para os respectivos autoespac¸os das se-
guintes matrizes:
(a) A =
[
1 3
−1 5
]
;
(b) A =
[
2 1
3 4
]
;
(c) A =
 1 −1 02 3 2
1 1 2
 ;
(d) A =
 3 −1 −30 2 −3
0 0 −1
 .
3. Os vetores v1 = (1, 1) e v2 = (2,−1) sa˜o autovetores de um operador linear T : R2 −→ R2,
associados aos autovalores λ1 = 5 e λ2 = −1, respectivamente. Determine a imagem do
vetor v = (4, 1) por esse operador.
4. Determine o operador linear T : R2 −→ R2 cujos autovetores sa˜o v1 = (y,−y) e v2 =
(0, y), com y 6= 0, associados aos autovalores λ1 = 1 e λ2 = 3, respectivamente.
5. Sejam u = (2, 1) e v = (−1, 3) autovetores de um operador linear T : R2 −→ R2, associa-
dos aos autovalores λ1 = 4 e λ2 = 2, respectivamente. Determine T (3u− v).
6. Seja T : R2 −→ R2 uma transformac¸a˜o linear que dobra o comprimento do vetor u =
(2, 1) e triplica o comprimento do vetor v = (1, 2), sem alterar as direc¸o˜es nem inverter
os sentidos.
(a) Calcule T (0, 3);
(b) Determine, para todo (x, y) ∈ R2, T (x, y);
(c) Calcule a matriz associada ao operador T com respeito a` base ordenadaB = {(2, 1), (1, 2)}
no domı´nio e contra-domı´nio.
1
MTM 5245 - A´lgebra Linear - Gabarito Lista de Exercı´cios 08
Autovalores e autovetores de um operador linear e de uma matriz.
1. (a) Autovalores de T : 3 e 2;
Autovetores associados ao autovalor 3: v = (y, y), com y 6= 0;
Base para o autoespac¸o Vλ=3: {(1, 1)};
Autovetores associados ao autovalor 2: v = (2y, y), com y 6= 0;
Base para o autoespac¸o Vλ=2: {(2, 1)}.
(b) Autovalores de T : 1 e 4;
Autovetores associados ao autovalor 1: v = (−2y, y), com y 6= 0;
Base para o autoespac¸o Vλ=1: {(−2, 1)};
Autovetores associados ao autovalor 4: v = (x, x), com x 6= 0;
Base para o autoespac¸o Vλ=4: {(1, 1)}.
(c) Autovalores de T : 1 e 4;
Autovetores associados ao autovalor 1: v = (x, y,−y), em que x e y na˜o podem ser
simultaneamente nulos;
Base para o autoespac¸o Vλ=1: {(1, 0, 0), (0, 1,−1)};
Autovetores associados ao autovalor 4: v = (x, x, 2x), com x 6= 0;
Base para o autoespac¸o Vλ=4: {(1, 1, 2)}.
(d) Autovalores de T : 1, −1 e 2;
Autovetores associados ao autovalor 1: v = (x,−x,−x), com x 6= 0;
Base para o autoespac¸o Vλ=1: {(1,−1,−1)};
Autovetores associados ao autovalor −1: v = (0,−3z, z), com z 6= 0;
Base para o autoespac¸o Vλ=−1: {(0,−3, 1)};
Autovetores associados ao autovalor 2: v = (0, 0, z), com z 6= 0;
Base para o autoespac¸o Vλ=2: {(0, 0, 1)}.
(e) Autovalores de T : 1 e −1;
Autovetores associados ao autovalor 1: p(x) = ax2+bx+b, em que a e b na˜o podem
ser simultaneamente nulos;
Base para o autoespac¸o Vλ=1: {x2, x+ 1};
Autovetores associados ao autovalor −1: p(x) = bx− b, com b 6= 0;
Base para o autoespac¸o Vλ=−1: {x− 1}.
2. (a) Autovalores de A: 2 e 4;
Autovetores associados ao autovalor 2: v =
[
3y
y
]
, com y 6= 0;
Base para o autoespac¸o Vλ=2:
{[
3
1
]}
;
Autovetores associados ao autovalor 4: v =
[
y
y
]
, com y 6= 0;
1
Base para o autoespac¸o Vλ=4:
{[
1
1
]}
.
(b) Autovalores de A: 1 e 5;
Autovetores associados ao autovalor 1: v =
[ −y
y
]
, com y 6= 0;
Base para o autoespac¸o Vλ=1:
{[ −1
1
]}
;
Autovetores associados ao autovalor 5: v =
[
x
3x
]
, com x 6= 0;
Base para o autoespac¸o Vλ=5:
{[
1
3
]}
.
(c) Autovalores de A: 1, 2 e 3;
Autovetores associados ao autovalor 1: v =
 x0
−x
; com x 6= 0;
Base para o autoespac¸o Vλ=1:

 10
−1
;
Autovetores associados ao autovalor 2: v =
 −2z2z
z
; com x 6= 0;
Base para o autoespac¸o Vλ=2:

 −22
1
;
Autovetores associados ao autovalor 3: v =
 x−2x
x
; com x 6= 0;
Base para o autoespac¸o Vλ=3:

 1−2
1
.
(d) Autovalores de A: −1, 2 e 3;
Autovetores associados ao autovalor −1: v =
 xx
x
; com x 6= 0;
Base para o autoespac¸o Vλ=−1:

 11
1
;
Autovetores associados ao autovalor 2: v =
 xx
0
; com x 6= 0;
Base para o autoespac¸o Vλ=2:

 11
0
;
2
Autovetores associados ao autovalor 3: v =
 x0
0
; com x 6= 0;
Base para o autoespac¸o Vλ=3:

 10
0
.
3. (8, 11).
4. T (x, y) = (x, 2x+ 3y).
5. (26, 6).
6. (a) (2, 10);
(b) T (x, y) =
(
5x+ 2y
3
,
−2x+ 10y
3
)
;
(c)
[
2 0
0 3
]
.
3