Slide 2 - Conceitos Sinais e Sistemas - Prof. Julio

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Introdução ao Controle deIntrodução	ao	Controle	de	
ProcessosProcessos
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Tema 2: Sinais e Sistemas
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Tema	2:	Sinais	e	Sistemas
Prof. Julio Elias Normey Rico
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Prof. Julio Elias Normey Rico
Departamento de Automação e Sistemas ‐ UFSC
1
Objetivos da aulaObjetivos	da	aula
• Formalizar a representação de sistemas e sinais usando 
diagramas de blocos. 
• Definir conceitos básicos de sinais e sistemas• Definir conceitos básicos de sinais e sistemas 
• Analisar algumas propriedades dos sinais e sistemas. 
• Usar conceitos básicos de matemática e física para a l e   d
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Usar conceitos básicos de matemática e física para a 
modelagem de sistemas simples.
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2
Diagramas de blocosDiagramas	de	blocos
SistemaEntrada Saída
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Sistema
Entradas Saídas
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3
Sistema
Manipuladas
e
Perturbações
Controladas
e
Medidas
Diagramas de blocosDiagramas	de	blocos
Perturbações Perturbações 
Não Medidas Medidas
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SistemaManipuladas
Saídas
Medidas
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Saídas Não Medidas
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Saídas Medidas  = T
P t M did Ti Fi
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Pert. Medidas = Tin, Fin
Pert. Não Medidas = p
Manipulada = V2
Exemplo colunaExemplo	coluna
Manipulada = Vv e Fo Ce
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Saídas Medidas  = p e H
Saídas não Medidas  = Cv e Ce
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Pert. Medidas = Fe
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Pert. Não Medidas = tipo vinho
5Cv
Uso de inferências
Diagramas de blocosDiagramas	de	blocos
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S2
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+
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O2
O1=I2I1
O2
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S1 S2
6
S1
+ O
I
S2
Sinais e SistemasSinais	e	Sistemas
Sinal = descrição quantitativa de um determinado fenômeno associado a um 
dado meiodado meio.
Exemplos:  sinal térmico, 
sinal luminoso, sinal
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sinal luminoso, sinal 
velocidade.
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Sistema = é um parte do meio que cria sinais próprios ou transforma sinais 
que recebe do meio ambiente. Estes sinais permitem  que  o sistema se 
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comunique com o restante do meio ambiente.
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7
Exemplos:  sistema aquecedor, 
sistema lâmpada, sistema 
carro.
V(t)
a(t)
Sinais FormalismoSinais	‐ Formalismo
Sinal é uma função x(t): T ASinal é uma função    x(t): T A
T=dominio e A= imagem
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Exemplos:
• Temperatura do ambiente
• Índice da poupança
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• Numero de peças no inventário
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Classificados pelo domínio:
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Classificados pelo domínio:
• Sinais de tempo contínuo (o domínio é um intervalo 
do eixo real)
• Sinais de tempo discreto ou amostrado (o domínio éSinais de tempo discreto ou amostrado (o domínio é 
um conjunto de pontos contável do eixo real)
Sinais TiposSinais	‐ Tipos
Contínuos:
• Temperatura ambiente    T(t): R [0, 35] C
• Velocidade de um carro   V(t): R [0, 100] km/h
• Potência consumida por uma lâmpada P(t): R[0,70] W
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Discretos:
• Índice da poupança  I(n) : N  [0, 1]%
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• Numero de peças no inventário  P(n): N  [0,1000]
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Discretos: Sequencia no tempo, domínio contável de pontos
S(n) = {s(1) s(2) s(k) }
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S(n)   {s(1), s(2),       s(k),.....}
Sinais particularesSinais	particulares
Degrau
Rampa
Degrau
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Sinais 
periódicosPulso
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Expressar as funções 
t ! A lino tempo! Analisar as 
propriedades!
Exponencial
Sinais AmostragemSinais	‐ Amostragem
Amostragem:g
• Sinais de tempo contínuo são “capturados a cada amostra”
Para t=k Ts então   s(t)   s(kTs)  ou  s(k)
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Exemplo:
• Temperatura do ambiente (‐) e sinal amostrado
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eTemperatura do ambiente (‐) e sinal amostrado
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Ts
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Sinais AmostragemSinais	‐ Amostragem
Amostragem:g
• É uma transformação do domínio do sinal 
• Não muda a Imagem  s(t)=s(kTs) se t=kTs
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Por exemplo passamos:
T= Reais para T= múltiplos de 5
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Importante:
• Sinais amostrados são um caso particular de sinais discretos
T  Reais          para                T  múltiplos de 5
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ç• Sinais amostrados são um caso particular de sinais discretos
• Todo sinal amostrado é discreto
• A amostragem pode ser uniforme ou não
• Se queremos manter a informação a taxa de amostragem
12
Se queremos manter a informação a taxa de amostragem 
deve ser compatível com a variação no tempo do sinal
Sinais InterpolaçãoSinais	‐ Interpolação
Interpolação:p ç
• Sinais de tempo discreto são interpolados entre amostras para 
gerar valores no intervalo [k Ts, (k+1)Ts].
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si(t)  = s(kTs)  para todo k
Exemplo:
• Interpolação por degraus
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eInterpolação por degraus
Tss(kTs) 
Sinal continuo gerado
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tempo 
Sinais InterpolaçãoSinais	‐ Interpolação
• É uma transformação de domínio
• O sinal discreto não existe entre amostras e o sinal contínuo• O sinal discreto não existe entre amostras e o sinal contínuo 
gerado tem valores nos intervalos [k Ts, (k+1)Ts].
Si(t) = S(kTs) para todo k
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Si(t)  = S(kTs)  para todo k
Si(t) definido para todo t
S(kTs) só definido para k interio
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Exemplo: s(kTs) 
Sinal Si(t) 
continuo
gerado
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p gerado
14Ts
tempo 
Amostragem e InterpolaçãoAmostragem	e	Interpolação
• Não são necessariamente inversas
• Amostragem é a inversa da interpolação• Amostragem é a inversa da interpolação
• Interpolação não é inversa da amostragem
X(t)
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sInterp. Amost.
X(kTs)
X(kTs)
X(t)
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X(kTs)
X(t) X’(t)
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Amost. Interp.
X(t) X’(t)
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X’(t) diferente de X(t)
Sinais QuantizaçãoSinais	‐ Quantização
É uma transformação de imagem:ç g
• O sinal deve assumir um valor predefinido
• Formalmente é toda transformação de imagem f: A  A’
Tal que A’ é um conjunto finito
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x(t)  = 0 se x<0
x(t) = H.Inteiro(x/H) se x em [0 , (N‐1)H)
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x(t) = (N‐1) H se x em [(N‐1)H, infinito)
(N‐1)H
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ç(N‐1)H
H
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0
H
Sistemas de controle discretoSistemas	de	controle	discreto
VP
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Atuador Processo SensorInterp.
VC VP
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eVR
Controle
Amost.
Quant.
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Propriedades de SistemasPropriedades	de	Sistemas
Sistema Linear = A saída de um sistema a uma combinação linear de entradas 
é a combinação linear das saídas a cada entrada independenteé a combinação linear das saídas a cada entrada independente
U1  Y1     então    a U1 + b U2  a Y1 + b Y2 
U2 Y2
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U2  Y2
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eExemplo: sistema resistência U
K >0
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Entrada: tensão
Saída: correnteI
I = V/R
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Contra‐Exemplo: força de atrito vento no carro       Fa=K v^2
Propriedades de SistemasPropriedades	de	Sistemas
Sistema Causal = A saída de um sistema não pode se antecipar a entrada que 
causou essa saídacausou essa saída
U1(t)  Y1(t)     sendo  U1(t)=U2(t) para todo t< t0 arbitrário
U2(t) Y2(t)
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U2(t)  Y2(t)
Então  Y1(t) = Y2(t) para todo t< t0 
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Todo sistema físico é causal!!!
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CALOR (fogo)
Propriedades de SistemasPropriedades	de	Sistemas
Sistema Invariante = A saída de um sistema a uma dada entrada tem a 
mesma forma independentemente do momento da aplicação da entradamesma forma independentemente do momento da aplicação da entrada
U1(t)  Y1(t)     então    U1(t+t1)  Y1(t+t1) 
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Exemplo: A resistência elétrica, a força de atrito do vento, 
considerando um modelo onde R e K são constantes
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considerando um modelo onde R e K são constantes
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Contra‐exemplo: Poupança, não é invariante, pois a taxa de juros 
muda com o tempo 
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S(k) = S(k‐1) + S(k‐1) * (1+ x(k))
x(k) = taxa de juros no mês kx(k) = taxa de juros no mês k
Exemplo:	Aquecedor	
En. Ac./t = En. Entra/t – Em. Sai/t
p q
mc dT/dt P (1/R)( T – Te)
c=4,187 kWs/kg C
m= 20kg (20lts)
R=25 C/kW (lá de vidro)
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Simular e analisar propriedades (linearidade, causalidade, invariância)
Exemplo: ArmazemExemplo:	Armazem
L(k)
E(k) V(k)
L(k)=L(k‐1) + E(k) – V(k) Modelo instantâneo de encomenda
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L(k)=L(k‐1) + E(k‐d) – V(k) Modelo real de encomenda
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Simulador
L(0)=20;
E [2 2 1 1 1];
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çE=[2, 2, .....1, 1, 1];
V=[0, 0, 0 ... 3, 3,...3];
For k=1:50
L(k)=L(k‐1) + E(k‐d) – V(k);
22
L(k)=L(k‐1) + E(k‐d) – V(k);
End
Plot(E,V,L)
Simular e analisar propriedades (linearidade, causalidade, invariância)
Modelos e propriedadesModelos	e	propriedades	
Ganho estático
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s60
80
3
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20
40
P3
P2
P1
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Constante de tempo 0
0% 25% 50% 100%
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Modelos ‐ linearizaçãoModelos	 linearização
Sistema não linear
Modelo
dy
Modelo 
incremental
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dx
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Comportamento linear aproximado   dy = K dx
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Como calcular? Usamos Series de Taylor e truncamos em primeira ordem
Exemplo: Modelo de carro
24
Exemplo: Modelo de carro
M dv/dt = F – k v2
Pto de operação v0, F0
v = v0 + v
F F0+ FF = F0+ F
ConclusõesConclusões
• Sinais e sistemas, elementos básicos.
• Diagramas de blocos para representação.
M d l f ló i d• Modelagem fenomenológica do processo. 
• Entendimento de propriedades.
• Simulação como ferramenta de análise l e
 
d
e
 
e
s
s
o
s
• Simulação como ferramenta de análise.
PRÓXIMA AULA = sistema de controle todo‐nada ç ã
o
 
a
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PRÓXIMA AULA   sistema de controle todo nada
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25