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23/09/2023, 12:31 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=… 1/42
Introdução
SINAIS E SISTEMASSINAIS E SISTEMAS
INTRODUÇÃO A SINAIS E SISTEMASINTRODUÇÃO A SINAIS E SISTEMAS
Au to r : E s p . C l óv i s Tr i s t ã o
R ev i s o r : M e . G i a n c a r l o M i c h e l i n o G a e t a L o p e s
Tempo de leitura do conteúdo estimado em 1 hora e 25 minutos.
23/09/2023, 12:31 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=… 2/42
Olá, estudante! É com prazer que apresentamos a você este material. Neste material, vamos
estudar os sinais e sistemas, disciplina com ênfase em modelos matemáticos e analíticos .
É necessário um estudo introdutório, assim como a compreensão das ferramentas de
modelagem e análise dos sistemas lineares contínuos e discretos . Vamos abordar, de forma
introdutória, o conceito de sinais, tipos de classi�cação de sinais, suas transformações no
domínio do tempo. No último tópico, abordaremos a classi�cação dos sistemas lineares
mais utilizados, para a análise e processamento de sinais. O objetivo deste estudo é o de dar
embasamento a você, estudante, que lidará, ao longo de sua vida acadêmica, com a
disciplina de sistemas e sinais, e na vida pro�ssional, com diversas áreas do conhecimento,
como processamento de sinais, robótica, circuitos elétricos, sistemas de comunicação,
sistemas de controle etc. Bons estudos!
Caro(a) estudante, para começarmos, você sabia que a disciplina de Sinais e Sistemas está
relacionada, de forma interdisciplinar , a diversas áreas do conhecimento, como engenharia,
computação, medicina, circuitos elétricos etc.? Essa área é muito importante e atua de forma
única na captura de informações, por meio de sinais, conforme a variação dessas
informações no tempo. Após essa captura, são utilizados sistemas lineares e modelos
matemáticos para análise e processamento dos sinais e informações, o que demanda
computação cientí�ca. São utilizados softwares e sistemas embarcados em
microprocessadores e microcontroladores para a análise de sinais. Também é possível usar
softwares, como Octave®, Scilab® e MatLab®, e suas bibliotecas para essa manipulação de
dados e análise de sinais. O objetivo deste estudo é fornecer a você um ferramental
completo para o entendimento do assunto, de forma clara e intuitiva, para interpretar os
resultados com base na teoria.
Introdução a Sinais e
Sistemas
23/09/2023, 12:31 E-book
https://student.ulife.com.br/ContentPlayer/Index?lc=wR85%2bYmnkCR74AKsl7dyAA%3d%3d&l=7ZbpMC70dw5lmMG6po4moQ%3d%3d&cd=… 3/42
SINAIS Um sinal é um conjunto de dados ou informação. Como exemplo, temos
um sinal de telefone ou televisão, o registro de vendas de uma corporação ou os
valores de fechamento da bolsa de negócios (por exemplo, o valor médio do índice
BOVESPA).
 SISTEMAS Os sinais podem ser posteriormente processados por sistemas, os
quais podem modi�cá-los ou extrair informação adicional. Um sistema pode ser
construído com componentes físicos, elétricos, mecânicos ou sistemas
hidráulicos (realização em hardware) ou pode ser um algoritmo que calcula uma
saída de um sinal de entrada (realização em software) (LATHI, 2006, p. 75).
Sinais são informações (dados) variáveis ao longo do tempo que podem ser extraídas de
diversas formas e em várias áreas da indústria, como na medicina, na computação e na
engenharia. Por exemplo, a medição da pressão arterial em um determinado instante pode
ser a de�nição de um sinal, por isso a informação do paciente, no caso, a pressão arterial
naquele segundo, é coletada. Outro exemplo é a diferença de potencial elétrico entre dois
pontos, a qual pode gerar diversas variáveis e um número variável de sinais. Como podemos
veri�car pelos exemplos, um sinal se refere a uma grandeza física, que é convertido para um
sinal elétrico, em que pode ser processado e encaminhado, independentemente do meio de
comunicação.
Após a extração dos sinais e das informações, há a necessidade do processamento de
sinais , que pode ser realizado de forma analógica ou digital . Os dados que podem ser
analisados são de diversas formas, como sons, sinais de televisão, sinais de rádio, celulares,
comunicação de dados pela internet etc.
Os sinais digitais podem ser convertidos em sinais analógicos, ou utilizados da forma digital,
e apresentados em aparelhos de leitura analógica ou digital. Os sinais analógicos, assim
como o digital, podem ou não ser convertidos por meio de circuitos digitais para serem
apresentados em dispositivos digitais ou analógicos. Por exemplo, sensores de presença.
O sinal é de�nido por um conjunto de dados, que pode variar em função do tempo ou espaço.
Com relação à amplitude de um sinal, esta varia ao longo do tempo. O sinal existe em um
intervalo de tempo (-∞,+∞), com variação de sua amplitude, e pode ser interpretado por um
número que indica seu tamanho e força. Esse número considera não só a sua amplitude de
sinal, mas, também, sua duração em um determinado intervalo. Por exemplo, se quisermos
usar uma função y(t) como medida do sinal contínuo, também devemos considerar a sua
variação ao longo do tempo, que assume valores reais ou nulos ao longo do tempo(t).
Considere a equação 1, segundo Lathi (2006), como exemplo:
 (1)y (t)   =  x (t)   +  x (t − 1)  ou simplificando  y (t)   = (t)                       x2
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Para o sinal discreto, temos a função y(n), que mede o sinal discreto, com variação no tempo,
podendo assumir valores discretos que pertencem a um conjunto numérico, por exemplo, n ∊
(...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...). Observe a equação 1.1, segundo Lathi (2006):
                                            (1.1)
Obs.: x = números reais ou complexos.
Podemos considerar que o tamanho de um sinal leva em conta a amplitude que varia ao
longo do tempo , bem como a duração desse sinal.
A energia de um sinal é como a área x(t), que de�ne não somente a amplitude , mas,
também, a sua duração . A forma como trabalhamos com a amplitude do sinal, pode variar
como positiva e/ou negativa, e isso pode anular a extração da informação. Uma forma de
evitar essa anulação dos sinais é o uso de uma função quadrática x²(t), a qual sempre terá
valores positivos. Essa informação pode ser considerada como energia do sinal, retratada na
equação 2, conforme descrita por Lathi (2006):
                                          (2)
Percebe-se, na fórmula acima, que o módulo de |x(t)| é o conjunto de sinais positivos, nesse
conjunto de sinais, que na verdade são informações onde  poderemos aplicar modelos
 matemáticos, em sua análise.
Para termos uma medida signi�cativa para o sinal, a energia do sinal precisa ser �nita ao
longo do tempo . Mas quando a energia do sinal é in�nita ao longo do tempo, precisamos
considerar a medida média , a essa medida podemos dar o nome de potência de sinal ,
conforme a equação 3, segundo Lathi (2006):
                                            (3)
Com base na equação da potência do sinal, apresentamos a Figura 1.1a, com energia do
sinal �nita e amplitude em x(t) tendendo a zero, e módulo de t tendendo ao in�nito, neste
caso, temos a medida do sinal. Já na Figura 1.1b, a energia do sinal é in�nita e x(t) não tende
a zero, e o módulo tende ao in�nito, neste caso, podemos obter a energia média do sinal, se
houver. A essa medida dá-se o nome de potência do sinal �nita (equação 3).
y (n)   =  x (n)   +  x (n − 1)  ou y (n)   = (n)x2
= d (t)Ex ∫
∞
−∞ |x (t)|
2
=   d (t)Px lim
t→∞
1
t
∫
t
2
−t
2
|x (t)|2
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Os sinais são de diversas formas, como sinais de voz, sinais de imagem etc. No quadro 1.1,
podemos veri�car os exemplos de sinais.Figura 1.1 - Sinais: a) um sinal de energia �nita; b) potência de energia �nita de um sinal
Fonte: Lathi (2006, p. 76).
#PraCegoVer : a imagem apresenta dois grá�cos, (a) e (b), no plano cartesiano x e y. No grá�co
(a), temos a energia do sinal no tempo �nito, com um pico no eixo Y, caracterizando um valor do
sinal em um determinado tempo. No grá�co (b), temos a potência do sinal, que apresenta diversas
variações em tempos �nitos no eixo x.
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Quadro 1.1 - Exemplos de sinais em nosso dia a dia
Fonte: Elaborado pelo autor.
#PraCegoVer : o quadro é dividido em 3 colunas e 2 linhas. Na primeira linha, temos os
títulos das colunas, sendo a primeira Medicina, a segunda Climática e a terceira
Bovespa. Na segunda linha, temos os exemplos de sinais para as três categorias. Na
primeira coluna, temos “batimento cardíaco”, “Pressão arterial”, “Temperaturas em
geral”, “Medida do colesterol” e “Medida da glicose”. Na segunda coluna, temos
“Variação da temperatura”, “Velocidade do vento”, “Umidade do ar” e “Radiação solar”.
Na terceira coluna, temos “Riscos no mercado de ações”, "Rentabilidade" e “Variação da
bolsa”.
Os sinais têm um sistema de classi�cação que os diferencia em diversas formas e usos. No
próximo subtópico, apresentaremos a classi�cação de sinais.
Classificação de Sinais
Caro(a) estudante, você sabia que os sinais podem ser classi�cados de diversas formas?
Como vimos, são funções que podem assumir diferentes valores, como valor de número real
ou um valor de número complexo.
Segundo Roberts (2010), a compreensão de que os sinais portam informação e como elas
são classi�cadas é fundamental para a sua análise.
Os sinais podem ser classi�cados em sinal de tempo contínuo e sinal do tempo discreto. No
sinal de tempo contínuo, sua amplitude em x(t) varia ao longo do tempo(t), conforme
podemos analisar na Figura 1.2:
Medicina Climática Bovespa
❖    Batimento cardíaco.
❖    Pressão arterial.
❖    Temperaturas em
geral.
❖    Medida do colesterol.
❖    Medida da glicose.
❖    Variação da
temperatura.
❖    Velocidade do vento.
❖    Umidade do ar.
❖    Radiação solar.
❖    Riscos no mercado de
ações.
❖    Rentabilidade.
❖    Variação da bolsa.
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O sinal do tempo discreto apresenta amostras em um instante do tempo, resultando em uma
derivada do sinal contínuo, por meio de amostras uniformes . De�nimos (TA) como o tempo
de amostragem e (p) como o número. Observe que a informação do sinal é coletada a cada
instante no tempo e no espaço contínuo. Temos t = pTA ou x(t) = x(pTA).
Reescrevendo, x(p) = x(pTA), em que p ∈ ℤ podem inferir em um grá�co discreto. Observe a
Figura 1.3, para entender melhor:
Figura 1.2 - Classi�cação do sinal contínuo no tempo
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : na �gura, temos um plano cartesiano x e y; no eixo y há a função x(t), que
caracteriza a amplitude do sinal, e no eixo x, encontramos os valores do (t), que caracterizam os
valores do tempo de vida do sinal.
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Um sinal pode ser contínuo no tempo quando ele apresenta valores contínuos neste mesmo
período . Um sinal discreto é uma sequência temporal de valores, como médias de valores,
valores mensais discretos ao longo do tempo.
Abaixo, veremos os tipos de sinais e como eles se apresentam:
1. Sinais pares e sinais ímpares
Função par: um sinal x(t) é intitulado par se x(t) = x(-t), e, segundo Lathi (2006), tal função
tem o mesmo valor nos instantes t e -t. Podemos a�rmar que x(t) é simétrico em relação ao
eixo das ordenadas. Observe a Figura 1.4:
Figura 1.3 - Sinal discreto no tempo
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : no plano cartesiano em 2D, no eixo das ordenadas, temos vários sinais discretos,
que seriam amostras de valores capturados ao longo do instante p, localizado no eixo das
abscissas, que é o tempo de vida do sinal.
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Função ímpar: segundo Lathi (2006), um sinal é intitulado ímpar quando x(t) = -x(-t). Esta
função tem valores negativos nos instantes t e -t, gerando grá�co antissimétrico ao eixo das
ordenadas, conforme Figura 1.5:
Figura 1.4 - Sinal par
Fonte: Lathi (2006, p. 100).
#PraCegoVer : no plano cartesiano em 2D, no eixo x, temos vários pontos, formando uma linha
contínua, que começa com valores -t até t.
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Figura 1.5 - Sinal ímpar
Fonte: Lathi (2006, p. 100).
#PraCegoVer : no plano cartesiano em 2D, temos um grá�co nos eixos -x e -y, com valores no eixo
x em -t. Nos eixos x e y, temos um grá�co simétrico, rebatido do -x e -y, com valores e t.
2. Sinais periódicos e sinais não periódicos (aperiódicos)
Segundo Lathi (2006), um sinal periódico tem valor positivo T quando x(t) = x(t+T). Portanto,
ele obedece a um período especí�co, conforme a Figura 1.6, apresentada a seguir, que
mostra os períodos 2 e 1, respectivamente.
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Um sinal não periódico (aperiódico), como o nome já diz, não apresenta um período
especí�co em t. Conforme Figura 1.7:
Figura 1.6 - a) Sinal periódico com período 2; b) Sinal periódico com período de 1
Fonte: Lathi (2006, p. 89).
#PraCegoVer : no plano cartesiano em 2D, nos eixos x e y, de�nimos um período para o sinal do
grá�co, nesse caso, na �gura (a), há um intervalo de coleta, em t, de 2 períodos, e na �gura (b), há
um intervalo de coleta de 1 período no instante t.
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Sobre a periodicidade dos sinais, trataremos com mais detalhes nos próximos tópicos.
3. Sinal determinístico
É um tipo de sinal de que não há incerteza sobre seu valor, em qualquer instante t. Na função
x(t) = 10sen(t), perceba que não há dúvida sobre os valores dessa função em x(t), visto que
eles são determinados em todo o instante t. Observe a Figura 1.8, a seguir, que apresenta um
instante -3 a 3.
Figura 1.7 - Sinal aperiódico
Fonte: Lathi (2006, p. 100).
#PraCegoVer : no plano cartesiano em 2D, temos um grá�co não periódico ou aperiódico, sem
intervalo especí�co de coleta.
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Figura 1.8 - Sinal determinístico
Fonte: Lathi (2006, p. 100).
#PraCegoVer : no plano cartesiano em 2D, temos um grá�co determinístico no intervalo de x,
variando com valores de  t(-3,...,3).
4. Sinal aleatório
Um sinal é dito aleatório quando seus dados, em quaisquer instantes, podem sofrer
interrupções, ou ruídos, tornando o valor do sinal duvidoso, em um determinado instante. Na
Figura 1.9, temos um sinal aleatório.
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Figura 1.9 - Sinal aleatório
Fonte: Lages (2004, p. 3).
#PraCegoVer : no plano cartesiano em 2D, temos um grá�co determinístico no intervalo do eixo x
com valores de t(-3,...,3).
5. Sinal analógico e sinal digital
No sinal analógico, sua amplitude apresenta valores dos números reais.
Já o sinal digital assume valores quantizados, ou seja, valores prede�nidos, podendo ser a
média de um conjunto de sinais.
Os sinais, tanto analógico quanto digital,podem ser contínuos e/ou discretos.
�. Sinal corrompido por ruído
Um sinal é dito corrompido quando sofre algum tipo de interferência externa, considerado um
ruído, o que altera seu valor. Podemos analisar um sinal corrompido ou com ruído na Figura
1.10:
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Figura 1.10 - Grá�co referente ao sinal original (acima) e abaixo o mesmo sinal sofrendo
interferência
Fonte: Persechino; Apolinário; Albuquerque (2014, p. 3).
#PraCegoVer : temos dois grá�cos, um em cima e outro embaixo. No grá�co de cima, temos o
sinal original coletado, e no grá�co abaixo, temos o mesmo sinal, só que totalmente distorcido
pelo ruído.
Na próxima seção, abordaremos a classi�cação dos sistemas lineares de tratamento dos
sinais.
Classificação de Sistemas
Segundo Lathi (2006), sistema é como um elemento que manipula o sinal de entrada e o
transforma em um outro sinal de saída. Esse conceito pode ser observado na Figura 1.11,
apresentada a seguir:
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Figura 1.11 - Aparelho que transforma o sinal de entrada em sinal de saída
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : a imagem é constituída pela expressão “Sinal de entrada” conectada, por uma seta,
para a direita, ao termo “Aparelho”, seguido por uma seta apontando, à direita, para a expressão
“Sinal de saída”.
Os sistemas podem ser classi�cados em:
Estocástico e determinístico: o sistema estocástico apresenta diversas direções para
onde você pode seguir, e seu processo pode evoluir, apesar da certeza de seus
valores. O sistema determinístico apresenta diversas probabilidades, tem entrada
inicial conhecida, mas pode assumir variáveis aleatórias no decorrer do processo;
Sistemas com e sem memória: um sistema com memória depende de valores que
são tratados em sua entrada, e sua saída depende desses valores. Para que os dados
possam ser armazenados, esse sistema necessita de dispositivos de armazenamento
em seu projeto. Um sistema sem memória apresenta apenas um valor de entrada, e
sua saída só depende desse valor de entrada, que ocorre no mesmo instante de
tempo, em resumo, tudo que entra, sai, e nenhum valor é armazenado;
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Sistemas causal e não causal: o sistema causal é dependente de valores da entrada
ou de um sistema de retroalimentação; esses valores podem ser no instante presente,
passado ou armazenados, se o sistema permitir. O sistema não causal ou
antecipativo depende de valores no instante presente, passado ou futuro da entrada
do sinal.
Sistemas linear e não linear: um sistema linear é caracterizado pela sobreposição de
funções, ou seja, x (t) e x (t), se atenderem às condições:
-   adição: dado x (t) e x (t), temos x(t) = x (t) + x (t);
-   homogeneidade: dado x(t) = ax (t).
Caso essas duas condições não sejam atendidas, o sistema é considerado não linear .
Sistemas invariantes no tempo e variante no tempo: no sistema invariante , também
conhecido como Sistema Linear Invariante no Tempo (SLIT), a sua relação de entrada
e saída ao longo do tempo não varia. Quando essa condição não é satisfeita, o
sistema é considerado variante no tempo ;
Sistemas estável e instável : sistema estável , também conhecido como Bounded
Input and Bounded Output (BIBO), são sistemas estáveis em toda a sua amplitude
�nita de sinal de entrada, o mesmo acontece com o sinal de saída que também é
limitado.
Já um sistema instável apresenta uma entrada limitada de sinal, mas, com o passar
do tempo, o sinal de saída pode ser diferente do sinal de entrada, sendo que a
amplitude desse sinal pode crescer sem nenhum controle, com tendência ao in�nito.
Caro(a) estudante, existem diversos exemplos de sistemas , que são utilizados para o
processamento de sinais, e cada um tem a sua particularidade. Alguns exemplos são:
voz;
dados;
GPS;
sistema de comunicação.
Neste último, pode-se destacar uma rede de dados, em que transmitimos o sinal por meio de
uma rede de computador; esse sinal passará pelo transmissor , que o converte para a forma
como ele será transmitido, indo para o canal de transmissão, que pode ser um cabo metálico
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ou um cabo de �bra ótica. Por �m, chega ao seu receptor , no qual o sinal é recebido,
corrigido e ajustado, para que a mensagem seja apresentada ao receptor.
Ainda sobre os sistemas de comunicação, eles são divididos em analógicos e digitais.
1. Analógicos : nesse sistema existe uma portadora que transmite um sinal de alta
frequência, modulado e com amplitude. É um sinal contínuo no tempo.
2. Digitais : são sinais discretos no tempo e em amplitude; de�nido o sinal em determinado
instante de tempo, os sistemas digitais podem assumir um conjunto de valores �nito.
Há diversos exemplos de sistemas de comunicação, dentre eles, temos:
radiodifusão;
ponto a ponto;
sistemas de controle: controle de temperatura, controle de velocidade, controle de
tensão, GPS;
sensoriamento remoto (uso de satélites para o controle do clima etc.);
biomedicina;
medicina;
processamento digital de sinais;
processamento de imagens.
Segundo Roberts (2010), os sinais digitais são importantes, mas não são imunes a ruídos, e
diferentes dos sistemas analógicos, pois exigem uma análise bem mais elaborada. Na
comunicação binária, os bits podem ser detectados bem mais rápidos e de forma clara,
antes do ruído atingir grandes amplitudes.
SAIBA MAIS
O vídeo “Introdução aos Sinais e Sistemas” apresenta uma
abordagem interativa. Nele, é possível perceber que o autor
faz uma análise didática sobre o conceito de sinais e
sistemas, e ter uma boa noção do que é sinal e suas
abordagens. Ele explica a necessidade dos pré-requisitos
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Segundo Oppenheim, Willsky e Nawab (2010), sistemas físicos são conexão de dispositivos,
desde comunicações e processamento de sinais até veículos automotores, sistema de
controles e sistemas elétricos. São processos que induzem a uma entrada, a um
processamento e a uma forma de resultado ou saída de informação .
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Sabemos que a classi�cação dos sinais passa por diversas etapas, e uma delas é a que trata
dos sinais somente positivos, para a medição de sua amplitude, em um intervalo de tempo.
A classi�cação dos sinais tem valores em sua entrada que abrangem todo o espectro de
números reais e complexos.
OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S.; NAWAB, S. R. Sinais e sistemas . 2. ed. São Paulo:
Pearson Prentice-Hall, 2010.
Assinale a alternativa que representa o tipo de sinal que captura apenas os valores
modulares, neste caso, o instante positivo.
a) Potência do sinal.
b) Amplitude do sinal.
c) Tempo do sinal.
d) Energia do sinal.
e) Sinal discreto.
para a compreensão da disciplina de sinais. O autor também
explica quais são os sistemas existentes, dando enfoque em
sistemas retroalimentados. Para assistir ao vídeo e continuar
estudando o tema, acesse o link :
A S S I S T I R
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Caro(a) estudante, você sabia que os sinais trabalham no domínio do tempo e no domínio da
frequência ? Estas são duas formas de olhar a resolução de um problema. Isso nos faz
compreender, de forma clara e completa, o comportamento de um sistema, como os dados
são manipulados e tratados dentrode todo o sistema. No domínio do tempo, podemos lidar
com o sistema, que ocorre de forma temporal , ou podemos lidar com o sistema no seu
domínio da frequência , que atua no seu espectro de frequência .
Segundo Nalon (2009), no domínio da frequência, é possível obter informações relevantes
sobre o sinal, que não poderiam ser obtidas apenas analisando o domínio do tempo, por isso
as duas fontes de informações (domínio do tempo e domínio da frequência) necessitam
trabalhar em conjunto .
Transformação do Sinal
no Domínio do Tempo
A cada uma das senoidesA cada uma das senoides
adicionadas ao grá�co dá-se o nomeadicionadas ao grá�co dá-se o nome
de de componentes da frequência docomponentes da frequência do
sinal original sinal original . A primeira senoide. A primeira senoide
retrata a adição das senoides. Pararetrata a adição das senoides. Para
essa análise, precisamos usar umessa análise, precisamos usar um
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Para entender melhor, na Figura 1.12, apresentada a seguir, é ilustrada a obtenção de um
sinal pelos componentes de suas senoides. Esse método é conhecido como análise de
sinais por meio da transformada de Fourier.
Figura 1.12 - Sinal analógico construído através dos componentes senoidais
Fonte: Nalon (2009, p. 40).
#PraCegoVer : apresentamos quatro grá�cos, (a), (b), (c) e (d), de a-c, os grá�cos vão se
sobrepondo, até formar, no grá�co (d), a componente de senoides.
Os sinais presentes nos grá�cos são reconstruídos e sobrepostos de (a) a (d), formando a
amplitude de uma onda quadrada, em que retiramos os valores desejados. O processo
empregado nessa análise contempla, a partir de uma senoide (a), de frequência baixa, a
adição de outras senoidais de frequências altas, com amplitudes de�nidas, até que em (d) o
sinal desejado é obtido, sendo este sinal de onda quadrática.
Na seção a seguir, podemos ver como essas transformações ocorrem, com mais detalhes.
ferramental matemático e análiseferramental matemático e análise
usando a transformada de Fourier. usando a transformada de Fourier. 
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Periodicidade de um Sinal
Segundo Roberts (2010), um sinal é periódico quando obedece à função x(t) =x (t+TA), sendo
TA uma condição positiva . Se TA é um valor que satisfaz à função, então é denominado
período fundamental de x(t). Na Figura 1.13, apresentada a seguir, é ilustrado um sinal
periódico.
Figura 1.13 - Sinal periódico com amplitude 1 que varia no tempo
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : apresentamos um grá�co periódico, no plano cartesiano, com eixos x e y. No eixo y,
temos a amplitude do sinal; no eixo x, temos t, que é o tempo do sinal, com tempo de 1 minuto
entre um período e outro.
Concluindo, o sinal varia em função do tempo , e pode ser contínuo ou discreto no tempo,
sendo um período fundamental. Os sinais podem ser periódicos e não periódicos , sendo que
os sinais discretos periódicos, em toda a sua extensão, são positivos e obedecem a x(p).  Os
sinais não periódicos, como o próprio nome diz, não têm um período de�nido, e podem variar
em sua amplitude e tempo.
Na próxima seção, apresentaremos os sinais pares e ímpares e alguns exemplos.
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Sinais pares e Sinais Ímpares
Um sinal é denominado par quando ele for simétrico em relação ao plano cartesiano de y.
Em termos matemáticos, temos que x(-t) = x(t). A seguir consta um exemplo de grá�co par e
simétrico, conforme Figura 1.14.
Um sinal é dito ímpar quando ele não tem simetria no eixo y. Em termos matemáticos, temos
x(t) = -x(-t). A seguir consta um exemplo de grá�co ímpar e não simétrico, conforme �gura:
Figura 1.14 - Grá�co par simétrico
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : a �gura apresenta, no plano cartesiano x e y, um grá�co vermelho, em forma de
parábola, que se estende de -1 em x, até 1 em y, e o grá�co  é rebatido em torno do eixo y.
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Figura 1.15 - Grá�co ímpar
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : a �gura apresenta, no plano cartesiano x e y, um grá�co vermelho, em forma de
parábola, que se estende de -2 a 0 em x, até 1 em y, e o mesmo é rebatido em torno do eixo x, em 0
e 2 em x, e -1 em y.
Podemos veri�car que temos um ordenamento do plano cartesiano para a análise de sinais
pares e ímpares, em que o eixo das ordenadas importa na análise do sinal a ser capturado
em determinado tempo.
SAIBA MAIS
Para aprofundar um pouco mais o conhecimento obtido até
aqui, a partir de nossas discussões sobre o conteúdo,
convido você, estudante, a assistir a um vídeo, que elucidará
o conceito sobre sistemas lineares e sinais, o que é um sinal,
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Nesta seção, estudamos os sinais pares e ímpares e suas implicações e como se analisa a
periodicidade de um sinal em seu domínio de tempo. Na próxima seção, iremos discutir os
tipos de sinais existentes. Até lá!
Conhecimento
Teste seus Conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Processo de análise de sinais, no domínio do tempo, por meio de suas senoides, em que se
tem um somatório de suas amplitudes e frequências, até obtermos um resultado
satisfatório. Há um nome para esse tipo de composição e resultado.
NALON, J. A. Introdução ao processamento digital de sinais . Rio de Janeiro: LTC, 2009.
(Biblioteca Ânima).
Com base no parágrafo supracitado, qual o nome dado a esse tipo de adição de senoides?
a) Soma de sinais ímpares.
b) Soma de sinais pares.
c) Soma de senoides do sinal.
d) Componentes da frequência do sinal.
e) Soma de frequências do sinal.
como ele é obtido, como deve ser analisado, seus tipos e
classi�cação.
O vídeo está disponível em:
A S S I S T I R
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Caro(a) estudante, segundo Lathi (2006), os tipos de sinais têm uma certa variabilidade,
dependendo do meio que são extraídos. Por exemplo, temos sinais que trafegam nas redes
de computadores, que são caracterizados como sinais digitais. Você sabia que existem
diversos tipos de sinais ? Precisamos nos aprofundar mais nesse assunto, concorda? Vamos
elencar alguns, os quais podemos classi�cá-los da seguinte forma:
Sinais analógicos e digitais: o sinal analógico assume qualquer valor em seu eixo y,
pode ser considerado um sinal analógico , que não tem delimitação ao longo do
tempo. Um sinal digital tem valores delimitados no eixo y, os quais são �nitos ao
longo do tempo. Observe os tipos de sinais analógicos e digitais contínuos ou
discretos na Figura 1.16:
Tipos de Sinais
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Sinais determinísticos e aleatórios: um sinal determinístico pode ser representado de
forma grá�ca e por uma expressão matemática exatamente igual . Já o sinal aleatório
é conhecido por reunir valores probabilísticos e médios.
Como vimos, na área de sinais e sistemas, há vários tipos de sinais, aqui apresentamos
apenas os que usaremos neste material de estudo. Você pode se aprofundar nesses estudos
consultando as referências bibliográ�cas ao �nal deste material.
Figura 1.16 - (a) sinal analógico, contínuo no tempo; (b) sinal digital, contínuo no tempo; (c)
sinal analógico, discreto no tempo; (d) sinal digital, discreto no tempo
Fonte: Lathi (2006, p. 89).
#PraCegoVer : na�gura, temos quatro tipos de sinais, dispostos em duas colunas e duas linhas.
Na primeira coluna e linha, temos um grá�co contínuo no plano cartesiano x e y, que varia ao longo
do tempo em y, cujo sinal é crescente. Na segunda coluna, primeira linha, temos um grá�co digital,
em forma de morros e vales quadrados. Na primeira coluna, segunda linha, temos um grá�co
analógico discreto, com variações de valores ao longo do eixo y. Por último, na segunda coluna,
segunda linha, temos um grá�co digital discreto, com vários valores aleatórios no eixo x e y.
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Vimos, nesta seção, que a maioria dos sinais físicos é contínua, os sinais discretos são
coletados ao longo de um tempo �nito e que existem diversos tipos de sinais. Na próxima
seção iremos estudar a classi�cação de sistema, que refere-se a dispositivos físicos ou
matemáticos, responsáveis por analisar e  processar os sinais capturados.
praticar
Vamos Praticar
Há diversos tipos de sinais e os sinais analógicos e digitais, por exemplo, são usados em
todas as áreas do conhecimento, desde em sistemas de comunicação por computador até
em radiodifusão. Diante disso, é possível a�rmar que o sinal analógico pode ser sempre
contínuo? Qual a sua compreensão a respeito? Explique.
Sinais Complexos
REFLITA
Caro estudante, por que precisamos de sinais discretos e
sinais contínuos e qual a diferença entre eles na análise de
sinais e sistemas? Para essa análise, é necessário sempre
trabalhar com sinais analógicos ou podem ser utilizados
sinais digitais?
Fonte: Lathi (2006, p. 30).
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Na prática, lidamos com sinais em números reais, mas temos que olhar para a matemática
complexa dos números imaginários, que caracteriza os sinais complexos. Em que
, sendo A e a, números complexos, sendo , rt, sendo r a parte real
e imaginária de x(t). Se r < 0, temos a parte real e imaginária da função, expressa em
senoides achatadas. Caso r > 0, temos senoides crescentes. Podemos expressar a equação,
segundo Lathi (2006), na Figura 1.17.
Figura 1.17 - Sinais complexos
Fonte: Higuti; Kitano (2003, p. 11).
#PraCegoVer : a �gura apresenta, no plano cartesiano x e y, dois grá�cos, em forma de parábola,
que se estende pelos números reais menores que zero, para os números complexos, formando
várias senoides achatadas quando tendem a zero. Quando os números reais são maiores que zero,
formam um conjunto de senoides crescentes.
Sinal Degrau Unitário
A função degrau unitário é de�nida, matematicamente, segundo Lathi (2006):
. Observe a Figura 1.18, que representa uma função
degrau unitário.
x (t)   = Aϵat A  = |A| ϵrt
u (t)   = {0,  t  < 0 ou 1,  t ≥ 0}
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Figura 1.18 - Sinal degrau unitário
Fonte: Higuti; Kitano (2003, p. 13).
#PraCegoVer : a �gura apresenta, no plano cartesiano x e y, um degrau unitário, semelhante a um
lance de escada.
Sinal Impulso Unitário
A função impulso unitário , também conhecida como função delta de Dirac, tem relação com
a função do degrau unitário. Usando a representação matemática, segundo Lathi (2006),
temos: , tem área unitária no intervalo , e zero
valores fora desse intervalo. A medida que o limite de delta tendendo a 0 ( ), a função
 �ca mais estreita e com amplitude, com área igual a 1. Na Figura 1.19, a seguir, essa
função é apresentada:
δ (t)   =  lim
Δ→0
δΔ(t) (t)δΔ 0 ≤ t ≤ Δ
Δ → 0
(t)δΔ
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Figura 1.19 - Sinal impulso unitário
Fonte: Higuti; Kitano (2003, p. 15).
#PraCegoVer : a �gura apresenta, no plano cartesiano x e y, um sinal unitário no eixo y, de tamanho
1, sendo o impulso unitário.
Observe que, quando , para t, menos para t = 0, o número 1 indica a área da função,
sendo o impulso unitário da área.
No próximo tópico, iremos abordar a classi�cação dos sistemas que coletam e analisam os
sinais.
δ (t) = 0
δ (t)
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Prezado(a) estudante, segundo Haykin e Veen (2001), existem diversos sistemas e todos são
realimentados com seus sinais de saída e frações dos dados de entrada . Esses sistemas
são complexos, e no estudo da Engenharia, são aplicados mecanismos ao longo do projeto,
para que eles não se tornem instáveis.
À medida que um sinal é transmitido e se propaga por um canal , ele pode sofrer distorções
devido a interferências físicas, que contaminam esse sinal em sua saída, causando uma
distorção . A função dos sistemas é reconstruir esse sinal, na forma como ele veio
originalmente, removendo essas distorções e ruídos, independentemente se esse sistema for
analógico ou digital.
Segundo Nalon (2009), qualquer sistema pode ser processado por meio de uma amostragem
de sinal. Os sistemas podem ser subdivididos em menores, diminuindo a complexidade de
seu processamento. Esses sistemas, nesse contexto, são quaisquer processamento que
possa ser realizado em um sinal discreto. Sistemas que apresentam certa linearidade e sem
muita variância de amplitude são processados de forma rápida e simples, sendo fácil sua
implementação computacional.
Já sistemas que apresentam sinais discretos necessitam ser divididos em pequenos
sistemas para sua resolução, a qual é complexa, sendo necessário , para sua solução,
recorrer ao recurso computacional , o que torna o processo computacional mais complexo e
custoso.
Para estudos dos sistemas lineares, é necessário usar um cabedal matemático para a
resolução dos problemas, como as transformadas de Laplace e as séries de Fourier. Com
esse ferramental analítico, a resolução e o processamento de diversas amostragens de
sinais se tornam possíveis, seja no campo analógico ou no domínio do tempo discreto, e o
uso de ferramental computacional é imprescindível nos dias de hoje, para a resolução dos
problemas. Para isso, são utilizados softwares criados para esse �m, que trabalham com
modelos matemáticos e auxiliam nessa tarefa mais complexa.
Classificação de
Sistemas
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Por mais que os conceitos supracitados sejam complexos , seu estudo é necessário, visto
que, para a área de engenharia, são a base do conhecimento. Um simples circuito pode
simular a abertura da porta de uma casa, por exemplo, e o engenheiro precisa construir um
sistema que lide com esse sistema de forma simples.
Uma das motivações para o desenvolvimento de ferramentas para a análise de sistemas é o
projeto de modelos matemáticos para a resolução de problemas que são muito parecidos ,
tornando possível o uso  do aparato computacional de forma rápida, necessitando de poucos
ajustes, para analisar determinado problema.
Como vimos até agora, os sistemas são utilizados para processar os sinais, extraí-los ,
modi�cá-los e reprocessá-los , apresentando seu resultado ao �nal. Esses sistemas podem
ter componentes físicos ou lógicos , os quais usam funções matemáticas para calcular um
valor que entra no sistema, que é processado e tem sua saída apresentada em algum
componente de hardware/software . Na Figura 1.20, apresentamos uma ideia genérica desse
sistema.
Figura 1.20 - Aparelho que transforma o sinal de entrada em um sinal de saída
Fonte: Elaborada pelo autor.
#PraCegoVer : a imagem apresenta a expressão “Sinal de entrada” conectada, por uma seta, para
a direita pelo termo “Aparelho”, seguido por uma seta apontando, à direita, para a expressão“Sinal
de saída”.
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O sistema linear apresenta três componentes principais: análise do sinal , projeto ,
modelagens numérica e matemática . Além desses componentes, os sistemas são
classi�cados por categorias:
lineares e não lineares;
contínuos e discretos no tempo;
analógicos ou digitais;
estáveis ou instáveis.
Com base na classi�cação de algumas categorias, a seguir consta a descrição de cada um:
-        Sistemas lineares e não lineares: um sistema linear pode ser caracterizado como um
processo cuja entrada é proporcional à sua saída de sinal , ou seja, se entra x e sai y , e
temos outro sinal que entra x e sai y , sua somatória resulta na saída y + y . Este é um
sistema linear, pois a entrada é proporcional à saída, dada a somatória das saídas. Já a
análise de sistemas não lineares é difícil, com sinais de entrada geralmente grandes e de
complexa identi�cação, sendo necessário aproximar esses sistemas aos sistemas lineares,
para uma análise dos sinais de forma partimentada. É complexo apresentar a não linearidade
em forma matemática, visto que as condições de entrada e amplitude de sinais podem
alterar a natureza do problema e a forma de como analisá-las.
- Sistemas analógicos e digitais: um sistema cuja entrada e saída são análogos, caracteriza-
se por um sistema analógico . Um exemplo é um ramal telefônico de uma empresa de
telefonia. Os sistemas digitais são caracterizados por discretos, e variáveis ao longo do
tempo, possuindo um sistema de entrada de dados, processamento e saída de dados. Por
exemplo, um computador é um sistema digital clássico.
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- Tipos de Sinais, Sistemas e Processamento de Sinais Analógico e Digital
-
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#PraCegoVer : o infográ�co tem o título “Tipos de Sinais, Sistemas e Processamento de Sinais
Analógico e Digital” e possui três botões em linha horizontal. No primeiro botão, há o título
“Sistemas” e o seguinte texto: “São ferramentas que processam os sinais, em um modelo de
entrada-processamento-saída, podendo modi�cá-los dependendo do modelo de processamento.
Os sistemas podem ser construídos com elementos físicos, elétricos, mecânicos, computacionais
(uso de algoritmos). Esses sistemas usam um ferramental matemático para alcançar os objetivos.
Um exemplo de sistema é o moedor de carne”. A �gura apresentada é de uma máquina de moer
carne. No segundo botão, há o título “Sinal” e o seguinte texto: “É um conjunto de informações
adquiridas por meio físico, por exemplo, um sinal de celular. Esse sinal pode ser um conjunto de
valores adquiridos de qualquer modo ou local, variando em função do tempo. Esses sinais são
tratados e analisados, usando sistemas lineares, os quais processam os dados usando modelos
matemáticos”. A �gura apresentada é de um mapa-múndi na cor branca e cinza, que contém uma
linha no centro, que representa uma rede de sinais. Essa rede corta o mapa de fora a fora. No
terceiro botão, há o título “Sistemas digitais e analógicos” e o seguinte texto: “Um sinal digital
apresenta valores discretos, no tempo e na amplitude do sinal. Já o formato do sinal analógico é
uma onda contínua e apresenta diversos valores com variações in�nitas. A principal vantagem do
sinal digital é a precisão, que traz um ganho na transmissão de imagem e áudio. Os sinais são
diferentes; o sinal digital tem sido utilizado, na maioria dos casos, pela sua qualidade”. A �gura
apresentada é de uma ilustração de alguns personagens representando pessoas vestindo roupas
coloridas, alguns utilizam celular, outros conversam entre si. A �gura também apresenta um
notebook , alguns paraquedas entregando correspondências e cartas e um avião com uma pessoa
nele.
Sistemas
São ferramentas que processam os sinais, em um
modelo de entrada-processamento-saída, podendo
modi�cá-los dependendo do modelo de
processamento. Os sistemas podem ser construídos
com elementos físicos, elétricos, mecânicos,
computacionais (uso de algoritmos). Estes sistemas
usam um ferramental matemático para alcançar os
objetivos. Um exemplo de sistema é o moedor de
carne
Fonte: Markus Mayer/123RF
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Como vimos, caro(a) estudante, os sistemas são de�nidos como um dispositivo que
processa o sinal ou os sinais, produzindo novos sinais. Um exemplo de sistema de
processamento são os sistemas de comunicação, que processam voz e dados. Um outro
exemplo é o sistema de GPS de um carro, celular ou aeronave, que mostra a posição exata
em que estamos no globo terrestre, por meio de satélites espalhados pelo espaço, os quais
transmitem o sinal de localização para nossos dispositivos, apresentando a localização
exata no mapa geográ�co.
Temos diversos exemplos de sistemas, como:
sistema de controle de velocidade;
sistema de controle de tensão;
sistema de controle de temperatura;
sistema de controle de posição e trajetória;
sistema de sensoriamento remoto;
sistemas de sensores de radar;
sistemas de infravermelho;
sistemas de processamento de imagens;
sistemas biomédicos;
sistemas de processamento de sinais médicos;
sistemas de processamento de imagens médicas;
sistemas de equilíbrio humano.
Nos exemplos apresentados, é possível veri�car a diversidade de sistemas existentes, os
quais utilizam os conceitos de sinais e sistemas, sendo essa disciplina a base de diversas
áreas do conhecimento humano.
praticar
Vamos Praticar
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Além dos conceitos matemáticos e modelos para a análise e processamento de sinais,
temos um ferramental computacional à nossa disposição para lidar com todo o aparato
matemático, de forma rápida e prática. Faça uma análise do ferramental computacional
existente para a análise e processamento de sinais. Quais os softwares existentes no
mercado?
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Material
Complementar
F I L M E
Tesla
Ano: 2020
Comentário: Este �lme conta a história de Nikola Tesla, inventor e
engenheiro elétrico, que usou as teorias de sistemas e sinais em seus
experimentos com eletricidade, apresentando uma visão aos alunos
sobre as aplicações das teorias matemáticas, vistas neste material.
Para conhecer mais sobre o �lme, acesse o trailer disponível em:
TRA I LER
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L I V R O
Sinais e sistemas
Editora: Pearson Prentice-Hall
Autor: Alan V. Oppenheim; Alan S. Willsky; S. Hamid Nawab
ISBN: 978-85-4301-380-0
Comentário: Este livro apresenta, de forma completa e didática, a
matéria em questão, com olhar acadêmico, e exemplos práticos. É uma
leitura necessária para você, estudante da área de exatas. Com
enfoque didático, você irá compreender um pouco mais a teoria, com
exemplos, por meio dos quais poderá exercitar seu conhecimento em
teorias matemáticas.
23/09/2023, 12:31 E-book
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Conclusão
Prezado(a) estudante, �nalizando nosso estudo, podemos concluir que sinais e sistemas são
considerados temas fundamentais para a formação de engenheiros(as). Promovemos, neste
material, uma visão introdutória e um start dessa temática.
Este trabalhoapresentou os sinais contínuos e discretos, a classi�cação dos sinais e suas
aplicações nos sistemas lineares. Seguindo o plano de ensino, estudamos as transformações dos
sinais no domínio do tempo e os tipos de sinais e sistemas. Mesmo com todo o embasamento
deste material, esperamos que se aprofunde de forma autônoma e busque suas aplicações na área
de conhecimento.
Desde já agradecemos a oportunidade. Até a próxima!
Referências
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https://www.youtube.com/watch?v=ldPyaLhW7us
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https://www.researchgate.net/publication/265727615_Evidenciacao_de_estruturas_em_imagens_por_meio_de_equacao_de_difusao
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https://www.youtube.com/watch?v=ScYQkzb5sE4

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