TANSFORMAÇÃO LINEAR - MARIA INÊZ - UFSC

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Transformac¸o˜es Lineares
Profa. Maria Inez C. Gonc¸alves
Universidade Federal de Santa Catarina
Definic¸a˜o 1.
Definic¸a˜o: Sejam U e V espac¸os vetoriais sobre um corpo K (K = R ou K=C). Uma func¸a˜o
T : U → V e´ uma transformac¸a˜o linear se:
(1) T (u + w) = T (u) + T (w), para todo u,w ∈ U.
(2) T (αu) = αT (u), para todo u ∈ U e para todo α ∈ K.
Observac¸a˜o: Se U = V , uma transformac¸a˜o linear T : U → U e´ chamada tambe´m de
operador linear.
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Proposic¸a˜o 2.
Sejam U e V espac¸os vetoriais sobre K (R ou C) e T uma transformac¸a˜o linear. Enta˜o:
a) T (Ou) = Ov
b) T (−u) = −T (u), ∀ u ∈ U
c) T (α1u1 + α1u2 + ...+ αmum) = α1T (u1) + ...+ αmT (um).
Observac¸a˜o: Do item (c), temos que para saber o valor que T assume em u, basta saber o
valor que T assume nos elementos da base de U.
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Lema 3.
Sejam U e V espac¸os vetoriais sobre K. Uma func¸a˜o T : U → V e´ uma transformac¸a˜o linear
se somente se, T (αu + v) = αT (u) + T (v), ∀u, v ∈ V , ∀α ∈ K.
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Igualdade de Transformac¸o˜es Lineares
Definic¸a˜o 4.
Sejam U e V espac¸os vetoriais sobre K, e sejam T : U → V e S : U → V duas
transformac¸o˜es lineares. Dizemos que T e S sa˜o iguais, T = S , se T (u) = S(u),∀u ∈ U.
Lema 5.
Sejam T : U → V e S : U → V duas transformac¸o˜es lineares. Suponha que U e´ gerado por
{u1, u2, · · · , un}. Se
T (ui ) = S(ui ), ∀i , 1 ≤ i ≤ n,
enta˜o T = S .
Demonstrac¸a˜o:
Seja u ∈ U, enta˜o existem escalares α1, α2, · · · , αn, tais que u = α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun.
T (u) = T (α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun)
= α1T (u1) + α2T (u2) + · · ·+ αnT (un)
= α1S(u1) + α2S(u2) + · · ·+ αnS(un)
= S(α1u1 + α2u2 + · · ·+ αnun) = S(u)
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Composic¸a˜o de Transformac¸o˜es Lineares
Teorema 6.
Sejam F : U → V e G : V →W duas transformac¸o˜es lineares. A composta G ◦ F : U →W
tambe´m e´ uma transformac¸a˜o linear.
Demonstrac¸a˜o:
Sejam u1 e u2 ∈ U e α ∈ K. Assim:
(G ◦ F )(u1 + α · u2) = G (F (u1 + α · u2))
= G (F (u1) + α · F (u2))
= G (F (u1)) + α · G (F (u2))
= (G ◦ F )(u1) + α · (G ◦ F )(u2).
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