Núcleo e Imagem de uma Transformação Linear - Profa. Maria Inez

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Nu´cleo e Imagem de uma Transformac¸a˜o Linear
Profa. Maria Inez C. Gonc¸alves
Universidade Federal de Santa Catarina
Nu´cleo e Imagem de uma Transformac¸a˜o Linear
Definic¸a˜o
Sejam U e V espac¸os vetoriais sobre K, e seja T : U → V uma transformac¸a˜o linear.
a) O conjunto {u ∈ U |T (u) = 0} e´ chamado nu´cleo de T e denotado por ker(T ) ou
Nuc(T ).
b) O conjunto {v ∈ V | ∃u ∈ U com T (u) = v} e´ chamado de imagem de T e denotado por
Im(T ).
Observac¸a˜o
a) Uma transformac¸a˜o linear T : U → V e´ sobrejetora se T (U) = V . Ou seja, dado v ∈ V ,
existe u ∈ U, tal que T (u) = v .
b) Uma transformac¸a˜o linear T : U → V e´ injetora se dados u e v ∈ U, com T (u) = T (v),
se tem necessariamente que u = v . Ou de forma equivalente, se dados u e v ∈ U, com u 6= v ,
enta˜o T (u) 6= T (v).
c) Uma transformac¸a˜o linear T : U → V e´ Bijetora se e´ injetora e sobrejetora.
Nu´cleo e Imagem de uma Transformac¸a˜o Linear
Teorema
Sejam U e V espac¸os vetoriais sobre K, e seja T : U → V uma transformac¸a˜o linear. Enta˜o:
i) O nu´cleo de T e´ um subespac¸o de U.
ii) A imagem de T e´ um subespac¸o de V .
Demonstrac¸a˜o:
i) Sejam u1 e u2 ∈ ker(T ) e α ∈ K. Enta˜o:
1) ker(T ) 6= ∅, como T e´ uma transformac¸a˜o linear, T (0) = 0, logo 0 ∈ ker(T ).
2) T (u1 + u2) = T (u1) + T (u2) = 0 + 0 = 0 =⇒ u1 + u2 ∈ ker(T ).
3) T (α · u1) = α · T (u1) = α · 0 = 0 =⇒ α · u1 ∈ ker(T ).
Portanto ker(T ) e´ um subespac¸o de U.
Nu´cleo e Imagem de uma Transformac¸a˜o Linear
Teorema
Sejam U e V espac¸os vetoriais sobre K, e seja T : U → V uma transformac¸a˜o linear. Enta˜o:
i) O nu´cleo de T e´ um subespac¸o de U.
ii) A imagem de T e´ um subespac¸o de V .
Demonstrac¸a˜o:
ii) Sejam v1 e v2 ∈ Im(T ) e α ∈ K. Enta˜o, existem u1 e u2 ∈ U, tais que:
T (u1) = v1 e T (u2) = v2.
Assim:
1) Im(T ) 6= ∅, como T e´ uma transformac¸a˜o linear, 0 = T (0), logo 0 ∈ Im(T ).
2) v1 + v2 = T (u1) + T (u2) = T (u1 + u2) =⇒ v1 + v2 ∈ Im(T ).
3) α · v1 = α · T (u1) = T (αu1) =⇒ α · v1 ∈ Im(T ).
Definic¸a˜o
A dimensa˜o da Im(T ) e´ chamada de posto de T , posto(T ), e a dimensa˜o do ker(T ) e´
chamada de nulidade de T , nul(T )
Nu´cleo e Imagem de uma Transformac¸a˜o Linear
Proposic¸a˜o
Seja T : U → V uma transformac¸a˜o linear. T e´ injetora se e somente se ker(T ) = {0}
Demonstrac¸a˜o:
Suponha que T e´ injetora. Seja u ∈ ker(T ), enta˜o T (u) = 0, mas T (0) = 0. Enta˜o, u = 0,
pois T e´ injetora.
Suponha agora que ker(T ) = {0}. Suponha que existam u1 e u2 ∈ U, tais que
T (u1) = T (u2). Enta˜o T (u1)− T (u2) = 0 ⇒ T (u1 − u2) = 0 ⇒ u1 − u2 = 0 ⇒ u1 = u2
⇒ T e´ injetora.
Lema
Seja T : U → V uma transformac¸a˜o linear. Se B = {u1, u2, · · · , un} e´ uma base de U, enta˜o
{T (u1), T (u2), · · · ,T (un)} gera Im(T ). .
Teorema da Dimensa˜o
Teorema
Sejam U e V espac¸os vetoriais sobre K, dim(U) <∞ e T : U → V uma transformac¸a˜o linear.
Enta˜o:
dim(U) = dim(ker(T )) + dim(Im(T ))
Corola´rio
Seja T : U → V uma transformac¸a˜o linear. Se dim(U) = dim(V ) <∞, enta˜o T e´ injetora se
e somente se T e´ sobrejetora.
Demonstrac¸a˜o:
Suponha que T e´ uma transformac¸a˜o linear injetora. Enta˜o dim(ker(T )) = 0 e pelo
teorema da dimensa˜o temos que dim(U) = dim(Im(T )), mas por hipo´tese
dim(U) = dim(V ), assim dim(Im(T )) = dim(V ), o que implica que T e´ sobrejetora
Suponha agora que T e´ uma transformac¸a˜o linear sobrejetora. Enta˜o
dim(Im(T )) = dim(V ), assim, usando a hipo´tese que dim(U) = dim(V ) e o teorema da
dimensa˜o, temos que dim(ker(T )) = 0, ou seja T e´ injetora.
Corola´rio
Seja T : U → V uma transformac¸a˜o linear injetora. Se dim(U) = dim(V ) <∞, enta˜o T leva
uma base de U em uma base de V .
Demonstrac¸a˜o: Seja B = {u1, u2, · · · , un} uma base de U. Queremos mostrar que
B′ = {T (u1), T (u2), · · · , T (un)} e´ uma base de V . Suponha que existam escalares
{α1, α2, · · · , αn} tais que
α1T (u1) + α2T (u2) + · · ·+ αnT (un) = 0
Como T e´ uma transformac¸a˜o linear, a igualdade acima pode ser reescrita como:
T (α1u1) + T (α2u2) + · · ·+ T (αnun) = 0, ou ainda, T (α1u1 + α2u2 · · ·+ αnun) = 0.
Mas, como T e´ injetora, temos que:
α1u1 + α2u2 · · ·+ αnun = 0,
e como u1, u2, · · · , un sa˜o l.i., temos que,
α1 = α2 = αn = 0.
Portanto, T (u1), T (u2), · · · , T (un) e´ l.i. Como n = dim(U) = dim(V ), temos n vetores l.i.
num espac¸o vetorial em um espac¸o vetorial de dimensa˜o n.Portanto,
T (u1), T (u2), · · · , T (un) forma uma base de V .