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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Me´todos Diretos
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´
Campus Francisco Beltra˜o
Disciplina: Ca´lculo Nume´rico
Professor: Jonas Joacir Radtke
Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ Ca´lculo Nume´rico
Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Um problema de grande interesse pra´tico que aparece, por
exemplo, em ca´lculo de estruturas e redes ele´tricas e soluc¸a˜o de
equac¸o˜es diferenciais, e´ o da resoluc¸a˜o nume´rica de um sistema
linear Sn de n equac¸o˜es com n inco´gnitas:
Sn =

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
...
...
. . .
...
...
an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
Sob a forma matricial Sn pode ser escrito como
A~x = ~b
onde A e´ uma matriz quadrada de ordem n, ~x e ~b sa˜o vetores com
n componentes.
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
O componete aij da matriz A e´ chamado de coeficiente da
inco´gnita xj e os bi sao˜ chamados de termos independentes. A
matriz A e´ chamada matriz dos coeficientes e a matriz:
B =

a11 a12 . . . a1n b1
a21 a22 . . . a2n b2
...
...
. . .
...
...
an1 an2 . . . ann bn
 = [A : ~b]
e´ chamada de matriz aumentada ou matriz completa do
sistema.
Chamaremos de ~x∗ o vetor soluc¸a˜o e de x , uma soluc¸a˜o
aproximada do sistema linear Sn.
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Classificac¸a˜o Quanto ao Nu´mero de Soluc¸o˜es
Teorema
(i) Um sistema de n equac¸o˜es e n inco´gnitas admite soluc¸a˜o se, e
somente se o posto da matriz ampliada e´ igual ao posto da
matriz dos coeficientes.
(ii) Se as duas matrizes teˆm o mesmo posto p e p = n, a soluc¸a˜o
sera´ u´nica.
(iii) Se as duas matrizes teˆm o mesmo posto p e p < n, podemos
escolher n− p inco´gnitas, e as outras p inco´gnitas sera˜o dadas
em func¸a˜o destas.
No caso (iii) dizemos que o grau de liberdade e´ n − p.
Denotamos por pa o posto da matriz ampliada e pc o posto da
matriz dos coeficientes.
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Aplicac¸a˜o na Engenharia
Problema
Uma placa quadrada de material homogeˆneo e´ mantida com a
borda AB a temperatura de 10oC , a borda BC a 20oC , a borda
CD a 30oC e a borda AD a 40oC , conforme ilustrado na figura
abaixo. Apo´s atingido o equilibrio te´rmico, qual sera´ a temperatura
aproximada em cada ponto da placa?
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Soluc¸a˜o:
Intuitivamente podemos supor que a temperatura de um dado
ponto da placa, apo´s o equilibrio te´rmico, sera´ dada pela me´dia
das temperaturas dos pontos vizinhos. Logo podemos escrever que
T22 =
T12 + T23 + T32 + T21
4
=
1
4
(T23 + T32 + 50)
T23 =
T13 + T24 + T33 + T22
4
=
1
4
(T33 + T22 + 30)
T32 =
T22 + T33 + T42 + T31
4
=
1
4
(T22 + T33 + 70)
T33 =
T23 + T34 + T43 + T32
4
=
1
4
(T23 + T32 + 50)
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Reescrevendo as equac¸o˜es anteriores temos o seguinte sistema
alge´brico linear
4T22 − T23 − T32 + 0T33 = 50
−T22 + 4T23 + 0T32 − T33 = 30
−T22 + 0T23 + 4T32 − T33 = 70
0T22 − T23 − T32 + 4T33 = 50
cuja a matriz ampliada e´ dada por
4 −1 −1 0 50
−1 4 0 −1 30
−1 0 4 −1 70
0 −1 −1 4 50

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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Sistemas Triangulares
Seja um sistema de equac¸o˜es alge´bricas dado por A~x = ~b onde a
matriz A = (aij) e´ triangular superior, ou seja, ai ,j = 0 se j < i ,
j = 1,2, ..., n, que na forma expandida fornece
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
a22x2 + . . . + a2nxn = b2
. . .
...
...
annxn = bn
ou onde a matriz A = (aij) e´ triangular inferior, ou seja, aij = 0
se j > i , j = 1,2, ..., n, que na forma expandida fornece
a11x1 = b1
a21x1 + a22x2 = b2
...
...
. . .
...
an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Observe que os sistemas triangulares determinados, isto e´, quando
aii , i = 1, 2, ..., n, sa˜o facilmente resolvidos por substituic¸a˜o
retroativa ou progressiva.
Algoritmo
Seja a matriz A triangular superior de ordem n:
(1) xn =
bn
ann
(2) i = n − 1
(3) xi =
bi − n∑
j=i+1
aijxj

aii
(4) i = i − 1
(5) Se i ≥ 1, voltar ao passo (3)
(6) FIM
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Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Algoritmo
Seja a matriz A triangular inferior de ordem n:
(1) x1 =
b1
a11
(2) i = 2
(3) xi =
bi − i−1∑
j=1
aijxj

aii
(4) i = i + 1
(5) Se i ≤ n, voltar ao passo (3)
(6) FIM
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Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Exemplo
Determinar o vetor soluc¸a˜o do seguinte sistema linear:
x1 = 1
2x1 + 5x2 = 2
3x1 + 6x2 + 4x3 = 3
Exerc´ıcio 1
Determinar o vetor soluc¸a˜o dos seguintes sistemas lineares:
(a)

x1 − 3x2 + x3 = 6
4x2 − x3 = 5
x3 = 4
(b)

x1 = 1
x1 + x2 = −1
x1 + x2 + x3 = 3
x1 + x2 + x3 + x4 = 3
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Exerc´ıcio 2
Implementar um programa computacional para a resoluc¸a˜o de um
sistema linear triangular superior. Como dados de entrada devera˜o
ser fornecidos a dimensa˜o da matriz, os valores dos coeficientes e
os valores dos termos independentes.
Os me´todos nume´ricos para resoluc¸a˜o de um sistema linear podem
ser divididos em dois grupos:
Me´todos Diretos: sa˜o aqueles que, a menos de erros de
arredondamento, fornecem a soluc¸a˜o exata do
sistema linear, caso ela exista, apo´s um nu´mero finito
de operac¸o˜es.
Me´todos Iterativos: geram uma sequeˆncia de vetores {~x (k)}, a
partir de uma aproximac¸a˜o inicial ~x (0). Sob certas
condic¸o˜es esta sequeˆncia converge para a soluc¸a˜o ~x∗,
caso ela exista.
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Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Definic¸a˜o
Denomina-se transformac¸o˜es elementares a`s seguintes
operac¸o˜es sobre as equac¸o˜es de um sistema linear:
(a) Trocar a ordem de duas equac¸o˜es do sistema.
(b) Multiplicar uma equac¸a˜o do sistema por uma constante na˜o
nula.
(c) Adicionar um mu´ltiplo de uma equac¸a˜o a uma outra equac¸a˜o.
Obs.: Qualquer conjunto de transformac¸o˜es elementares pode ser
aplicado a um sistema de equac¸o˜es lineares sem alterar o conjunto
soluc¸a˜o do mesmo.
Definic¸a˜o
Dois sitemas S1 e S2 sera˜o equivalentes se S2 puder ser obtido de
S1 atrave´s de transformac¸o˜es elementares.
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
O Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss, ou simplesmente Me´todo
de Gauss, consiste em transformar o sistema original A~x = ~b
utilizando (n − 1) passos em um sistema linear equivalente com
matriz dos coeficientes triangular superior U~x = ~c o qual se resolve
facilmente por substituic¸a˜o.
Exemplo
Resolver 
2x1 + 3x2 − x3 = 5
4x1 + 4x2 − 3x3 = 3
2x1 − 3x2 + x3 = −1
pelo me´todo de Gauss
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Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Soluc¸a˜o: Escreve-se a matriz aumentada do sistema linear, isto e´,
B =
 2 3 −1 | 54 4 −3 | 3
2 −3 1 | −1
 = [ A | ~b ]
Fazendo B0 = B e chamando de L
(0)
1 , L
(0)
2 , L
(0)
3 as linhas 1, 2 e 3,
respectivamente, de B0, escolhe-se a
(0)
11 como pivoˆ e calculam-se os
multiplicadores:
m
(0)
21 = −
a
(0)
21
a
(0)
11
= −4
2
= −2
m
(0)
31 = −
a
(0)
31
a
(0)
11
= −2
2
= −1
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Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Faz-se, agora, as seguintes transformac¸o˜es elementares sobre as
linhas de B0:
L
(1)
1 ← L(0)1
L
(1)
2 ← L(0)2 + m(0)21 · L(0)1
L
(1)
3 ← L(0)3 + m(0)31 · L(0)1
onde L
(1)
1 , L
(1)
2 e L
(1)
3 sa˜o linhas da matriz transformada, B1.
Efetuando-se as transformac¸o˜es acima indicadas tem-se:
B1 =
 2 3 −1 | 50 -2 −1 | −7
0 −6 2 | −6

Escolhe-se a
(1)
22 = −2 como pivoˆ e calcula-se o multiplicador
m
(1)
32 = −
a
(1)
32
a
(1)
22
= −−6−2 = −3
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Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Sa˜o feitas agora as seguintes transformac¸o˜es elementares sobre as
linhas de B1:
L
(2)
1 ← L(1)1
L
(2)
2 ← L(1)2
L
(2)
3 ← L(1)3 + m(1)32 · L(1)2
onde L
(1)
1 , L
(1)
2 e L
(1)
3 sa˜o linhas da matriz transformada, B2, que
esta´ na forma triangular, isto e´,
B2 =
 2 3 −1 | 50 −2 −1 | −7
0 0 5 | 15

A matriz B2 e´ a matriz aumentada do sistema triangular superior
2x1 + 3x2 − x3 = 5
− 2x2 − x3 = −7
5x3 = 15
⇒ x =
 12
3

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Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Dispositivo Pra´tico
Linha Multiplicador Coeficientes Vetor Transformac¸o˜es
(1) 2 3 − 1 5
(2) − 4
2
= −2 4 4 − 3 3
(3) − 2
2
= −1 2 − 3 1 −1
(4) 0 −2 − 1 −7 −2 · (1) + (2)
(5) −−6−2 = −3 0 − 6 2 −6 −1 · (1) + (3)
(6) 0 0 5 15
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Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Início
i = k+1, n
j = k+1, n
k = 1, n-1
m = -a(i,k) / a(k,k)
a(i,k) = 0
a(i,j) = a(i,j) + m*a(k,j)
b(i) = b(i) + m*b(k)
Fim
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Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Aplicac¸a˜o na Engenharia
Problema
Uma placa quadrada de material homogeˆneo e´ mantida com a
borda AB a temperatura de 10oC , a borda BC a 20oC , a borda
CD a 30oC e a borda AD a 40oC , conforme ilustrado na figura
abaixo. Apo´s atingido o equilibrio te´rmico, qual sera´ a temperatura
aproximada em cada ponto da placa?
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Soluc¸a˜o: Intuitivamente podemos supor que a temperatura de um
dado ponto da placa, apo´s o equilibrio te´rmico, sera´ dada pela
me´dia das temperaturas dos pontos vizinhos. Logo podemos
escrever que
T22 =
T12 + T23 + T32 + T21
4
=
1
4
(T23 + T32 + 50)
T23 =
T13 + T24 + T33 + T22
4
=
1
4
(T33 + T22 + 30)
T32 =
T22 + T33 + T42 + T31
4
=
1
4
(T22 + T33 + 70)
T33 =
T23 + T34 + T43 + T32
4
=
1
4
(T23 + T32 + 50)
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Reescrevendo as equac¸o˜es anteriores temos o seguinte sistema
alge´brico linear
4T22 − T23 − T32 + 0T33 = 50
−T22 + 4T23 + 0T32 − T33 = 30
−T22 + 0T23 + 4T32 − T33 = 70
0T22 − T23 − T32 + 4T33 = 50
cuja a matriz ampliada B0 e´ dada por
B0 =

4 −1 −1 0 | 50
−1 4 0 −1 | 30
−1 0 4 −1 | 70
0 −1 −1 4 | 50

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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Escolhe-se a
(0)
11 = 4 como pivoˆ e calculam-se os multiplicadores:
m
(0)
21 = −
a
(0)
21
a
(0)
11
= −(−1)
4
= 0,25
m
(0)
31 = −
a
(0)
31
a
(0)
11
= −(−1)
4
= 0,25
m
(0)
41 = −
a
(0)
41
a
(0)
11
= −0
4
= 0
Faz-se, agora, as seguintes transformac¸o˜es elementares:
L
(1)
1 ← L(0)1
L
(1)
2 ← L(0)2 + 0,25 · L(0)1
L
(1)
3 ← L(0)3 + 0,25 · L(0)1
L
(1)
4 ← L(0)4
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Efetuando-se as transformac¸o˜es acima indicadas tem-se:
B1 =

4 −1 −1 0 | 50
0 3,75 −0,25 −1 | 42,5
0 −0,25 3,75 −1 | 82,5
0 −1 −1 4 | 50

Escolhe-se a
(1)
22 = 3,75 como pivoˆ e calcula-se os multiplicadores:
m
(1)
32 = −
a
(1)
32
a
(1)
22
= −(−0,25)
3,75
= 0,06666
m
(1)
42 = −
a
(1)
42
a
(1)
22
= −(−1)
3,75
= 0,26666
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Sa˜o feitas agora as seguintes transformac¸o˜es elementares sobre as
linhas de B1:
L
(2)
1 ← L(1)1
L
(2)
2 ← L(1)2
L
(2)
3 ← L(1)3 + 0,06666 · L(1)2
L
(2)
4 ← L(1)4 + 0,26666 · L(1)2
Efetuando-se as transformac¸o˜es acima indicadas tem-se:
B2 =

4 −1 −1 0 | 50
0 3,75 −0,25 −1 | 42,5
0 0 3,73333 −1,06666 | 85,33333
0 0 −1,06666 3,73333 | 61,33333

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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Escolhe-se a
(2)
33 = 3,73333 como pivoˆ e calcula-se o multiplicador:
m
(2)
43 = −
a
(2)
43
a
(2)
33
= −(−1,06666)
3,73333
= 0,28571429
Sa˜o feitas agora as seguintes transformac¸o˜es elementares sobre as
linhas de B1:
L
(3)
1 ← L(2)1
L
(3)
2 ← L(2)2
L
(3)
3 ← L(2)3
L
(3)
4 ← L(2)4 + 0,28571 · L(2)3
Efetuando-se as transformac¸o˜es acima indicadas tem-se:
B2 =

4 −1 −1 0 | 50
0 3,75 −0,25 −1 | 42,5
0 0 3,73333 −1,06666 | 85,33333
0 0 0 3,42857 | 85,71428

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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Fazendo substituic¸a˜o retroativa temos:
T4 =
85,71428
3,42857
= 25
T3 =
85,33333 + 1,06666 · 25
3,73333
= 30
T2 =
42,5 + 0,25 · 30 + 1 · 25
3,75
= 20
T1 =
50 + 1 · 20 + 1 · 30 + 0 · 25
4
= 25
Exerc´ıcio 1
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o Me´todo de Gauss: 2x1 + 4x2 − 6x3 = −21,2−x1 − 3x2 + x3 = 5,7
4x1 + 2x2 − x3 = 1,8
Resposta: ~x = [2; −1,5; 3,2]T
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Exerc´ıcio 2
Determinar o vetor soluc¸a˜o dos sistemas lineares abaixo atrave´s do
me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss:
(a)

2x1 + 3x2 − x3 = 5
4x1 + 4x2 − 3x3 = 3
2x1 − 3x2 + x3 = −1
(b)

2x1 + 3x2 + x3 − x4 = 6,9
−x1 + x2 − 4x3 + x4 = −6,6
x1 + x2 + x3 + x4 = 10,2
4x1 − 5x2 + x3 − 2x4 = −12,3
Respostas:
(a) ~x = [1; 2; 3]T
(b) ~x = [0,9; 2,1; 3; 4,2]T
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
No momento de se calcular o multiplicador mik , se o pivoˆ estiver
pro´ximo de zero, o me´todo pode ampliar os erros de
arredondamento. Para se contornar estes problemas,
escolhe-se
como pivoˆ max(|aij |), com i , j = 1, 2, ..., n. Logo,
miq = − aiq
apq
onde apq e´ o elemento pivoˆ e a linha p e´ a linha pivotal.
Soma-se, a cada linha na˜o pivotal, o produto da linha pivotal pelo
fator correspondente miq da linha na˜o pivotal. Rejeitando esta
coluna e a p-e´sima linha do pivoˆ, tem-se uma nova matriz M(1).
Repetindo o mesmo racioc´ınio n − 1 vezes chegamos a uma u´nica
linha. Para se obter a soluc¸a˜o, constro´i-se o sistema formado por
todas as linhas pivotais e, a partir da u´ltima linha pertencente a
matriz M(n−1), resolve-se atrave´s de substituic¸o˜es retroativas.
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Exemplo
Resolver pelo me´todo de pivotac¸a˜o completa, retendo, durante as
eliminac¸o˜es, cinco algarismos depois da v´ırgula:
0,20x1 − 2,00x2 + 4,50x3 = 13,20
1,90x1 + 1,25x2 − 2,95x3 = −5,46
2,00x1 − 5,00x2 + 3,00x3 = 20,4
Soluc¸a˜o: A matria ampliada e´ dada por:
B0 =
 0,20 −2,00 4,50 | 13,201,90 1,25 −2,95 | −5,46
2,00 −5,00 3,00 | 20,40

Escolhe-se como pivoˆ o maior em valor absoluto dentre os
coeficientes da matriz A, ou seja, a32 = −5, e calculam-se os
multiplicadores:
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
m
(0)
12 = −
a12
a32
= −(−2)
(−5) = −0,4
m
(0)
22 = −
a22
a32
= − 1,25
(−5) = 0,25
Faz-se, agora, as seguintes transformac¸o˜es elementares sobre as
linhas de B0:
L
(1)
1 ← L(0)1 + m(0)12 · L(0)3
L
(1)
2 ← L(0)2 + m(0)22 · L(0)2
L
(1)
3 ← L(0)3
B1 =
 −0,60 0,00 3,30 | 5,042,40 0,00 −2,20 | −0,36
2,00 −5,00 3,00 | 20,40

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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Escolhe-se como pivoˆ o maior em valor absoluto dentre os
coeficientes da matriz A com excec¸a˜o da segunda coluna, ou seja,
a32 = 3,3, e calculam-se os multiplicadores:
m
(1)
23 = −
a23
a13
= −(−2,2)
3,3
=
2
3
Faz-se, agora, as seguintes transformac¸o˜es elementares sobre as
linhas de B0:
L
(2)
1 ← L(1)1
L
(2)
2 ← L(1)2 + m(1)23 · L(1)2
L
(2)
3 ← L(1)3
B2 =
 −0,60 0,00 3,30 | 5,042,00 0,00 0,00 | 3,00
2,00 −5,00 3,00 | 20,40

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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Efetuando-se as substituic¸o˜es retroativas obtemos:
x1 =
3,00
2,00
= 1,5
x3 =
5,04 + 0,6 · 1,5
3,3
= 1,8
x2 =
20,4− 2 · 1,5− 3 · 1,8
−5,0 = −2,4
Exerc´ıcio 1
Resolva o sistema linear abaixo utilizando o me´todo de pivotac¸a˜o
completa: 
2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 7
x1 − x2 + 2x3 − x4 = 1
3x1 + 2x2 − 3x3 − 2x4 = 4
4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 12
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Exerc´ıcio 2
Determinar o vetor soluc¸a˜o dos sistemas lineares abaixo atrave´s do
me´todo de pivotac¸a˜o completa:
(a)

2x1 + 3x2 − x3 = 5
4x1 + 4x2 − 3x3 = 3
2x1 − 3x2 + x3 = −1
(b)

2x1 + 3x2 + x3 − x4 = 6,9
−x1 + x2 − 4x3 + x4 = −6,6
x1 + x2 + x3 + x4 = 10,2
4x1 − 5x2 + x3 − 2x4 = −12,3
(c)

4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 10
x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 5
x1 − x2 − x3 − x4 = −1
x1 + x2 + x3 + x4 = 3
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Refinamento da Soluc¸a˜o
Seja x (0) a soluc¸a˜o aproximada para o sistema A~x = ~b. Obte´m-se
a soluc¸a˜o melhorada x (1) aplicando-se a correc¸a˜o δ(0) em x (0).
x (1) = x (0) + δ(0)
Se
A x (1) = ~b
enta˜o
A
(
x (0) + δ(0)
)
= ~b
⇒ A x (0) + A δ(0) = ~b
⇒ A δ(0) = ~b − A x (0)
⇒ A δ(0) = ~r (0)
Assim, δ(0) e´ obtido resolvendo o sistema A δ(0) = ~r (0).
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Me´todo de Eliminac¸a˜o de Gauss
Me´todo de Pivotac¸a˜o Completa
Obtido δ(0), calcula-se x (1) = x (0) + δ(0).
Repete-se o processo para se obter x (2), x (3), ..., x (k) ate´ que se
tenha a precisa˜o desejada. Logo, obtem-se o refinamento de forma
iterativa pela seguinte equac¸a˜o:
x (i+1) = x (i) + δ(i), com i = 0,1,2, ..., k
Exerc´ıcio 1
Resolver o seguinte sistema com arredondamento em duas casas
decimais na matriz aumentada utilizando o me´todo de eliminac¸a˜o
de Gauss. Considerando a soluc¸a˜o x obtida, fac¸a o refinamento ate´
que se obtenha o res´ıduo ~r (k) = ~0, considerando precisa˜o dupla, ou
seja, quatro casas decimais.
8,7x1 + 3,0x2 + 9,3x3 + 11,0x4 = 16,4
24,5x1 − 8,8x2 + 11,5x3 − 45,1x4 = −49,7
52,3x1 − 84,0x2 − 23,5x3 + 11,4x4 = −80,8
21,0x1 − 81,0x2 − 13,2x3 + 21,5x4 = −106,3
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	Método de Eliminação de Gauss
	Método de Pivotação Completa